高中数学复数专题知识点整理和总结人教版(1)

专题一 复数

一．基本知识

㈠复数的基本概念

⑴i 叫虚数单位，规定：①i 2=﹣1,②实数的一切运算法则对i 都成立。

⑵i 的正整数指数幂的化简

i 4n = i 4n+1= i 4n+2= i 4n+3=

⑶形如a +b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部. ①实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 ②虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；

③纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数. ⑷两个复数相等的定义：

a+bi=c+di ↔a=c 且b=d ;a+bi=0↔a=0且b=0.

强调：两个虚数不比较大小，也就是说：两个复数都是实数时才比较大小。

⑸共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；

⑹复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）

⑺复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； ㈡复数的基本运算

设111z a b i =+，222z a b i =+

（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；

（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4） 除法：

()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+=

二．

例题分析

【例1】已知()14z a b i =++-，求

（1） 当,a b 为何值时z 为实数

（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数

（3） 当,a b 为何值时z 为虚数

（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．1- B ．0 C 1 D ．1-或1

（2）（2012北京文2）在复平面内，复数

103i

i

+对应的点的坐标为（ ） （A ）(1,3) （B ）(3,1) （C ）(1,3)- （D ）(3,1)-

【例2】已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z

【例3】已知1z i =-，求z ，z z ⋅；

【变式1】复数z 满足21i

z i

-=

-，则求z 的共轭z

(2）（2012年新课标全国文2）复数z ＝－3+i

2+i

的共轭复数是 （ ）

（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i

【变式2】（2010年全国卷新课标）已知复数

z =，则z z •=（ ）

A. 14

B.12

【例4】已知12z i =-，232z i =-+

（1） 求12z z +的值； （2） 求12z z ⋅的值； （3） 求12z z ⋅.

【变式1】已知复数z 满足()21z i i -=+，求z 的模. 【变式2】若复数()21ai +是纯虚数，求复数1ai +的模. 【例5】若复数()312a i

z a R i

+=

∈-（i 为虚数单位）

， （1） 若z 为实数，求a 的值 （2） 当z 为纯虚，求a 的值.

1. (2012年山东 1)若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为 （ ）

(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i

2. （2013全国理2）若复数z 满足()i 34i 43+=-z 则z 的虚部为（ ）

（A ）4- （B ）5

4- （C ）4 （D ）

5

4

3．(2013北京，文4)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

4.(2013课标全国Ⅰ，文2)

2

12i

1i +(-)

＝( )． A ．

11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i

2 D ．11i 2- 5．(2013山东，文1)复数z ＝2

2i i

(-)(i 为虚数单位)，则|z |＝( )．

A ．25

B

C ．5

D 6.(2014北京9)若()()12x i i i x R +=-+∈，则x = .

7.（2014年全国文3）设i i

z ++=

11

，则=||z A. 2

1 B. 2

2 C. 2

3

D. 2

8.（2014山东文1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为

共轭复数，则2()a bi +=

（A ）54i - （B ）54i + （C ）34i - （D ）34i +

【例6】（2012年全国卷 新课标）下面是关于复数2

1z i

=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）

1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34

【变式1】设a 是实数，且

112

a i

i -+

+是实数，求a 的值..