2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(一)三角形中的计算和证明综合(解析版)

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编

一、三角形中的计算和证明综合题

1.（2020贵州黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．

探究发现

（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．

拓展运用

（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．

（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．

【解答】解：（1）全等，理由是：

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

{CD =CE ∠BCD =∠ACE BC =AC

，

∴△ACE ≌△BCD （ SAS ）；

（2）如图3，由（1）得：△BCD ≌△ACE ，

∴BD ＝AE ，

∵△DCE 都是等边三角形，

∴∠CDE ＝60°，CD ＝DE ＝2，

∵∠ADC ＝30°，

∴∠ADE ＝∠ADC +∠CDE ＝30°+60°＝90°，

在Rt △ADE 中，AD ＝3，DE ＝2，

∴AE =√AD 2+DE 2=√9+4=√13，

∴BD =√13；

（3）如图2，过A 作AF ⊥CD 于F ，

∵B 、C 、E 三点在一条直线上，

∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝60°，

在Rt△ACF中，sin∠ACF=AF AC，

∴AF＝AC×sin∠ACF＝1×√3

2

=√32，

∴S△ACD=1

2

×CD×AF=12×2×√32=√32，

∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×1

2

=12，

FD＝CD﹣CF＝2−1

2

=32，

在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2=(√3

2

)2+(32)2=3，

∴AD=√3．

2.（2020黑龙江牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，

交射线CA于点F．请解答下列问题：

（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE+BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）

（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线

上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）、（2）的条件下，若DE＝2AE＝6，则CF＝18或6．

【解答】解：（1）如图①，延长CD，FE交于点M．

∵AB＝BC，EF∥BC，

∴∠A＝∠BCA＝∠EF A，

∴AE＝EF，

∴MF∥BC，

∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，

又∵∠FCM＝∠BCM，

∴∠M＝∠FCM，

∴CF＝MF，

又∵BD＝DE，

∴△MED≌△CBD（AAS），

∴ME＝BC，

∴CF＝MF＝ME+EF＝BC+AE，

即AE+BC＝CF；

（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE+CF，如图②，延长CD，EF交于点M．

由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），

∴ME＝BC，

由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，

∴BC＝ME＝EF+MF＝AE+CF；

当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF+BC．

如图③，延长CD交EF于点M，

由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，

又∵AB＝BC，

∴∠ACB＝∠CAB＝∠F AE，

∵EF∥BC，

∴∠F＝∠FCB，

∴EF＝AE，

∴AE＝FE＝FM+ME＝CF+BC；

（3）CF ＝18或6，

当DE ＝2AE ＝6时，图①中，由（1）得：AE ＝3，BC ＝AB ＝BD +DE +AE ＝15，

∴CF ＝AE +BC ＝3+15＝18；

图②中，由（2）得：AE ＝AD ＝3，BC ＝AB ＝BD +AD ＝9，

∴CF ＝BC ﹣AE ＝9﹣3＝6；

图③中，DE 小于AE ，故不存在．

故答案为18或6．

3.（2020武汉）问题背景：如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；

尝试应用：如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上，AD BD =√3，求DF CF 的值； 拓展创新 如图（3），D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝2√3，直接写出AD 的长．

【解答】问题背景

证明：∵△ABC ∽△ADE ，

∴AB AD =AC AE ，∠BAC ＝∠DAE ，

∴∠BAD ＝∠CAE ，AB AC =AD AE ，

∴△ABD ∽△ACE ；

尝试应用

解：如图1，连接EC ，

∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，

∴△ABC ∽△ADE ，

由（1）知△ABD ∽△ACE ，

∴AE EC =AD BD =√3，∠ACE ＝∠ABD ＝∠ADE ，

在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，

∴AD AE

=√3， ∴AD EC =AD AE ×AE CE =√3×√3=3．

∵∠ADF ＝∠ECF ，∠AFD ＝∠EFC ，

∴△ADF ∽△ECF ，

∴DF CF =AD CE =3．