五年级数学下册长方体和正方体讲义

五年级数学长方体和正方体讲义

一、立体图形

图形名称侧面展开图侧面展开图侧面展开图长方体长方形S=2(ab+ah+bh) V=abh 正方体长方形S=6a²V=a³

圆柱体长方形

S= S侧+2S底

=2πrh+2πr²

V=S底h =πr²h

圆锥扇形S=S底+S侧

V=

1

3

S底h =

1

3

πr²h

三、长方体和正方体

（一）长方体和正方体的特征

1、理解直观图，认识面、棱、和顶点。

2、比较长方体和正方体的特征：

面棱顶点

长方体6个面都是长方形（也可能有两个

面是正方形）

相对的面完全相同

有3组棱（即12条棱）

每组的4条棱的长度相同

8个

正方体

6个面都是完全

相同的正方体

12条棱长度都相等8个长

宽

高

顶点

面

棱棱长

顶点

棱

长方体正方体

相同点：面、棱、顶点的数量都相同， 不同点：在面的形状、棱的长度方面不同。 长方体和正方体的关系：正方体是特殊的长方体。

长方体的长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体的棱长：正方体棱的长度叫做正方体的棱长。 【练习】判断：

1、由6个正方形组成的图形就是正方体。（ ）

2、有6个面、8个顶点、12条棱的物体不是长方体就是正方体。（ ）

3、一个长方体，如果有两个相邻的面是正方形，这个长方体就是正方体。（ ）

4、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也有可能有两个相邻的面相等。（ ）

（二）长方体和正方体的展开图

【例题】1、下面是长方体和正方体的展开图，请在展开图上标出上、左和前。

2、下面的图形中，能折成长方体的是（ ）

3、下面图形中，能折成正方体的是

下

后

后

下

左

A C

B

A

B

C

正方体展开后的图形有如下几种（11种）：

（三）长方体和正方体的表面积

1、表面积的含义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。

计算长方体6个面的面积和时，关键是要知道什么？（每个面的长和宽是多少） 因为长方体相对的面的面积相等，所以我们可以分别求出每组相对的面中一个面的面积，相加后再乘2.。S=2（ab+ah+bh ） 正方体的表面积= 一个面的面积×6 S=6a 2

【例题】要用铁皮做一个8米长的通风管，横截面是边长5分米的正方形，需要多少铁皮 ？ 解析：因为做的是长方体的通风管，上下两个面都是没有的，所以需要的铁皮的面积只是四个面的面积和，而这四个面是相同的长方形，面积都相等。 5分米=0.5米 8×0.5×4=16（平方米） 答：需要16平方米的铁皮。

小结：在应用求表面积的计算方法解决实际问题时要具体问题具体对待，要注意求的是长方体或正方体哪几个面的面积。 2、表面积的变化

【例题】用下面两个不同的长方体拼成一个大长方体，可以怎样拼？算一算拼成的大长方体的表面积与两个小长方体的面积之和有什么关系？怎样使得到的大长方体的表面积最大和最小？ 解析：有三种拼法。三种拼法所得到的大长方体的表面积都不相同。我们知道拼成的大长方体的表面积与两个小长方体的面积和相比较，表面积减少了（ ）个面的面积。要使大长方体

2-2-2爬楼梯

2-3-1

1-4-1

a b

h

a

的表面积大，减少的面就要（ ），最少减少（ ），要使大长方体的表面积小，减少的面就要（ ），最多减少（ ）。

两个长方体的表面积之和： 4×（3×4+3×5+4×5）= 188（平方厘米） 最少减少的面积： 3×4×2=24（平方厘米） 最多减少的面积： 4×5×2=40（平方厘米） 大长方体的最大表面积： 188-24=164（平方厘米） 大长方体的最小表面积： 188-40=148（平方厘米）

【练习】 1、判断

（1）正方体的棱长是1厘米，它的表面积就是6厘米。（ ）

（2）两个正方体拼成一个长方体，这个长方体表面积等于这个正方体表面积的和。（ ） （3）正方体的棱长扩大3倍，表面积就扩大9倍。（ ）

（4）两个正方体拼成一个长方体，这个长方体表面积等于这两个正方体表面积的和。（ ） （5）用4个同样大小的正方体，可以拼成一个更大的正方体。…………… （ ）

2、把一个长方体木料沿着线正好锯成3个完全一样的小正方体后，表面积增加了48平方米。

这个木料的表面积是（ ）平方米。

3、一个无盖的正方体木箱，棱长是0.8米，做这个木箱至少需要木板多少平方米、

4、一间教室长是8米，宽是6米，高是3米，门窗和黑板面积是20平方米，要粉刷教室的天

5cm

4cm

3cm

5cm

4cm

3cm

花板和墙壁，平均每平方米用涂料0.25千克，粉刷这间教室共需要涂料多少千克？

（四）长方体和正方体的体积

体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高

字母表示：V=abh=Sh （V 表示体积，a 、b 、h 分别表示长方体的长、宽、高，S 表示底面积） 正方体的体积=棱长×棱长×棱长

字母表示：V=a 3 (V 表示体积，a 表示棱长)

（五）体积与容积 1、体积与容积的区别：

1、意义不同：体积指物体所占空间的大小，容积指容器所能容纳的物体的体积。

2、测量方法不同。在计算物体的体积或容积前一般要先测量长、宽、高，求物体的体积是从该物体的外部来测量，而求容积却是从物体的内部来测量。一种既有体积又有容积的物体，它的体积一定大于它的容积

3、单位名称不完全相同：体积单位一般用：立方米、立方分米、立方厘米。固体、气体的容积单位与体积单位相同，而盛液体的容积单位一般用升、毫升。 1立方米：棱长是1米的正方体的体积就是1立方米。 1立方分米：棱长是1分米的正方体的体积就是1立方分米。 1立方厘米：棱长是1厘米的正方体的体积就是1立方厘米。

计量液体的体积一般用升和毫升作单位。1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 2、单位换算

相邻长度单位之间的进率是（ ）。1米=（ ）分米 1分米=（ ）厘米

相邻面积单位之间的进率是（ ）。1平方米=（ ）平方分米 1平方分米=（ ）平方厘米

相邻体积单位之间的进率是（ ）。1立方米=（ ）立方分米 1立方分米=（ ）立方厘米

a

a b

h