高等流体力学之三个特解讲解

1 ? (rur ) ? ? (uz ) ? 0 r ?r ?z
（2-1a）
ur
?ur ?r
?
uz
?ur ?z
?
u? 2 r
?
?
1
?
?p ?r
??
?? 2ur
? ?
?r
2
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? (ur ) ? ?r r
? 2ur ?z2
? ? ?
（2-1b）
ur
?u? ?r
?
uru? r
?
uz
?u? ?z
?Байду номын сангаас
?
?? 2u?
(1-3)
? ? 0 (1-4a)
? ? 0 (1-4b)
? 解方程（1-3）可得
?
?
?
r2 ?
A e 4? t
t
(1-5)
? 式中，常数 A可用沿周线的速度环量等于该圆周所
围得涡管强度这一条件来确定。设在任意时刻沿
半径为r的圆周上的速度环量为 ? ，同一时刻，半
径为r的涡管强度应该为
r
?0 ? ?2? rdr
半径为无限大的平面圆盘在不可压缩流体 中以等加速度旋转，忽略质量力。如图 311所示，由于粘性，圆盘带动圆盘附近的 流体旋转，离心力的作用使流体产生径向 分速，压力下降。为补充径向分速流出的 流体，自然出现轴向分速，最终形成轴对 称螺旋形流动。
? 在惯性圆柱坐标系中，速度分量为uz，u2 ， u θ流动为轴对称，故流动各量不随周向角 θ 变化。基本微分方程为
? 方程2-1中， ur 、 uθ和uz是二阶微商，要有七个 边界条件才能确定。边界条件不够，因此在求解 之前必须对流动做进一步的分析，作出合理的假 定。
? 显然，决定流动速度和鸭梨分布的因素是圆盘旋
转速度ω，流体粘性系数 ν及空间点的坐标 r 和z，
故可得速度和压力为
ui ? ui (? ,? , r, z) p ? p(? ,? , r, z) （2-3）
(V ?? )? ? 0 (??? )V ? 0
? 于是，（1-1）式可改写成
?? z ?t
? ???
z
? 略去下标z，写成
?
?? ? ???
?t
(1-2)
? 采用极坐标，上式可写成
? ?? ? ? ? (r ?? )
?t r ?r ?t
? 初始条件为：
t?0 r?0
? 边界条件为：
t?0 r? ?
? 根据质量力有势的不可压缩粘性流体的涡旋传输
方程
D? ? ?? ?? ?V ? v??
Dt
? 上述方程也可以写成下面的形式：
?? ? (V ?? )? ? (??? )V ? ???
?
?t
(1-1)
? 如图3-2所示，沿直涡线去 oz轴，则有
?x?? y?0
? ? ? zk
? 由于运动的对称性和平面运动中速度 V沿 ? z方向 的微商为零，故
? 由于
2?
? ? ?CV ?ds ? ?0 V ?rd? ? 2? rV
(1-7) (1-8) (1-9)
? 把（1-9）式代入上式，得到速度分布为
V?
?0
r2 ?
(1? e 4? t )
4??
(1-10)
? 由（1-7）式可以看到，在初始时刻t=0，各处（r>0）的运 ? 动都是无旋的，在t>0的任何时刻整个空间立即产生涡旋， ? 分布情况可由（1-7）式代表即涡旋随距离r的增加而单调地 ? 下降。在中心处（r=0）的涡旋随时间增长而单调地下降。 ? 而在离中心某一距离处（r=a）的点上，涡旋起初增加，达
一、涡的衰减情况推导
由涡旋的传输方程知道，当流体具有粘性、 非正压或者质量力无势时，均将破坏涡旋的守 恒。粘性、非正压与质量力无势这三者中，尤 以粘性流体为经常性起作用的因素。因为，对 于实际的流体，运动时总是呈现粘性。因此， 粘性流体一般来讲是有旋的，而且其涡旋的大 小可以随时间产生、发展、衰减、消失。涡旋 还会扩散，自涡旋强度大得地方向涡旋强度弱 的地方扩散，直至涡旋强度均衡为止。涡旋强 度的扩散性质决定了很多流体运动的物理现象； 因此，研究涡旋在粘性流体中运动的规律具有 重要的实际意义。
? 下面估算圆盘旋转带动的粘性层厚度 δ。因为距
下面以一空间孤立涡线为例，从涡旋传输方程 具体分析涡旋扩散的规律。
? 设在无边界的粘性流体中有一强度 ? 0为的无穷长
直涡线。不难证实，此涡线引起的运动与非粘性
流体情形相似，运动是无旋的，涡线周围各处
?
的?
?
0，流体质点以
V
?
?0
2? r
的速度作定长圆周运
? 动。差别只在于，在非粘性流体中，由于没有粘
性内摩擦阻力，因此，该直涡线的强度能够永远
保持不变，且不会向周围流体中扩散，不需要外
加能量来维持质点的定常圆周运动；但在粘性流
体中，由于粘性的缘故，涡旋将衰减下去，要维
持这种运动，就必须有外加能量，例如用涡旋的
无穷长细柱体来供给涡源。
? 现在讨论的问题是，假定在某 t ? 0 时刻，外加涡
源突然中断，分析该直涡线的扩散（衰减）情况。
? 因此可得
? ? ? ?
r
? ?2? rdr ?
r
r2 ?
A e 4? t
?2?
rdr
?
4??
A(1?
r2 ?
e 4? t
)
0
0t
? 将 t ? 0 ，? ? ? 0 代入上式，可得
(1-6)
A? ?0
4??
? 于是得到涡量分布为
??
?0
? r2
e 4? t
4?? t
? 速度环量为
r2 ?
? ? ? 0 (1? e 4? t )
? 源涡线在粘性流体中引起的运动，随时间过程而衰
? 减下去，直至运动停止，所有涡旋的动能都耗散变
? 为热。相反，对于任意时刻 t，当 t ??
? 时，? ? 0 ，V ? 0 ，也就是说，运动在直涡
? 线处逐渐消失。
二、旋转圆盘附近的流动
? Von-Karman 研究了旋转圆盘附近的流动， 并用N-S方程做了解析解。如图所示，假定
? ?
?r
2
?
? (u? ) ? ?r r
? 2u? ?
?z2
? ?
（2-1c）
ur
?uz ?r
? uz
?uz ?z
?
?
1
?
?p ?z
?
?
(
? 2uz ?r2
?
1 ?uz r ?r
?
? 2uz ?z2
)
（2-1d）
? 边界条件
z ? 0 uz ? ur ? 0 u? ? ? r
z ? ? ur ? u? ? 0 （2-2）
? 到一个极大值以后，开始降低，一直降到当 t ?? 时的
? 值。在r=a处，? 随t的变化规律如图3-3所示。
? 同样根据（ 1-10）式可以画出不通时刻速度随 r的 变化规律。如图 3-4所示.
? 最后，还可以注意到，在任意 r处，当 t ??
时 ? ? 0 ，V ? 0 。换句话说，初始时刻由于无