函数的概念及其表示

1、理解函数概念，明确函数三要素.

2、掌握求函数定义域、值域的基本方法.

3、了解两函数想等的意义，会判断给定两个函数是否是同一个函数.

板块一：函数的概念 1、映射

（1）映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A→B 。

注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射.

函数

映射

两集合

A ，

B 设A ，B

是两个非空数集 设A ，B 是两个非空集合

对应 关系 f ：A →B 如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中的任何一个数x ，在集合B 中都存在唯一确定的数f (x )与之对应 如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应 名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射

记法

y ＝f (x )，x ∈A

对应f ：A →B 是一个映射

2、函数

构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应法则相同

考试要求

典题精讲

函数及其表示

【例1】下列四个图象中，是函数图象的是 ( )

A ．(1)

B ．(1)(3)(4)

C ．(1)(2)(3)

D ．(3)(4)

【变式1】如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x,y 的对应关系，则有 （ ）

都表示映射，且①③表示y 为x 的函数 B.都表示y 是x 的函数

仅②③表示y 是x 的函数 D.都不能表示y 是x 的函数

【例2】 与函数f(x)=|x|是相同函数的是 （ ） 、y=2

x 、y=

x

x 2

、y=e lnx

、y=log 22x

【变式2】下列各对函数中，相同的是 （ ）

A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2

== B 、)1lg()1lg()(,1

1

lg

)(--+=-+=x x x g x x x f C 、 v

v

v g u u u f -+=

-+=11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f =

板块二：函数的定义域、值域

(1)函数的定义域、值域：

在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．

注意：

1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

2、求函数值域的方法

①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 【例3】(课本改编题)函数y ＝x ＋1＋1

2－x

的定义域为___________________________________． 【变式3】

1、(2013·苏锡常镇一调)已知常数t 是负实数，则函数f (x )＝12t 2－tx －x 2的定义域是________．

2、（11江苏卷）函数20.5log (43)y x x =-的定义域为

3、()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

4、(21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域

【例4】求2

1

23

y x x =++的值域.(直接法) 【变式4】

1、12-+-=x x y 的值域____________.（换元法）

2、1

1y 2

2+-=x x 的值域为__________.(判别式法)

3、1

+=x x

y 的值域为__________.(分离常数法)

4、2

32(12)y x x x =+--<≤的值域为__________.（图像法）

5、21y x x =+--的值域为__________.(几何意义)

板块三：求函数解析式

(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫

1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．

【例5】设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于________．

【变式5】

1、若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________.

2、已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．

3、已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．