分数阶微分方程-课件
分数阶微分方程数值离散caputo
Caputo分数阶导数的L1插值逼近是一种数值计算方法，可以用于求解分数阶微分方程的数值解。
以下是该方法的基本步骤：1. 首先需要定义分数阶导数的Caputo逼近格式，根据Caputo定义，分数阶导数可以用L1插值近似表示。
2. 编写计算分数阶导数的程序，根据计算结果，可以得到分数阶微分方程的数值解。
具体实现可以参考以下代码：```matlabfunction dy = caputo_diff(y, t, alpha, h)% y: 函数值向量% t: 时间向量% alpha: 分数阶导数的阶数% h: 时间步长n = length(t);dy = zeros(n, 1);a = zeros(n, 0);for i = 1:na(i, 1) = (i - 1)^(alpha + 1) / gamma(alpha + 2);for j = i - 1:-1:0a(i, j + 1) = (j + 1)^(alpha + 1) / gamma(alpha + 2) - j^(-alpha + 1) / gamma(2 - alpha + 2);endsum = 0;for k = 1:i - 1sum = sum + (a(i, i - k) - a(i, i - k + 1)) * y(k + 1);enddy(i) = (sum * h^(-alpha) + h^(-alpha) * a(i, 0) * y(1) + gamma(alpha + 1) * (gamma(alpha + 2) / gamma(alpha + 1)) * (t(i + 1)^(alpha + 1) - t(i + 1)^2 - t(i)^2) / (h^(-alpha) - gamma(alpha + 1))) / h^(-alpha);endend```该函数返回一个向量dy，表示分数阶微分方程的数值解。
调用格式为：dy = caputo_diff(y, t, alpha, h)。
分数微分方程
can support periodic solutions ouestion has been studied extensively by a number of authors, see for example [19], [20] and [18] and the references therein. In this paper, we study the nonlinear impulsive functional differential equation of the form (1.1) x′ (t) + a(t)x(t) = f (t, x(t), x(α1 (t)), . . . , x(αn (t))), t ∈ R, t = tk , k ∈ Z, ∆x(tk ) = Ik (x(tk )), k ∈ Z,
Abstract. This paper is a continuation of Y. Liu, Anti-periodic solutions of nonlinear first order impulsive functional differential equations, Math. Slovaca 62 (2012), 695–720. By using Schaefer’s fixed point theorem, new existence results on anti-periodic solutions of a class of nonlinear impulsive functional differential equations are established. The techniques to get the priori estimates of the possible solutions of the mentioned equations are different from those used in known papers. An example is given to illustrate the main theorems obtained. One sees easily that Example 3.1 can not be solved by Theorems 2.1–2.3 obtained in Liu’s paper since (G2) in Theorem 2.1, (G4) in Theorem 2.2 and (G6) in Theorem 2.3 are not satisfied. Keywords : anti-periodic solution; impulsive functional differential equation; fixed-point theorem; growth condition MSC 2010 : 34B16, 34C25
分数阶微积分的原理及应用
分数阶微积分的原理及应用1. 引言分数阶微积分是微积分的一个分支，它在计算与模拟复杂系统中具有一定的优势和应用前景。
本文将介绍分数阶微积分的基本原理以及其在工程领域的应用。
2. 分数阶微积分的基本原理2.1 分数阶导数与积分定义•分数阶导数是对函数进行微分运算的一种扩展，其定义是对函数的幂次导数求解。
常见的分数阶导数有Caputo导数和Riemann-Liouville导数。
•分数阶积分是对函数进行积分运算的一种扩展，其定义是对函数的幸次积分求解。
常见的分数阶积分有Caputo积分和Riemann-Liouville积分。
2.2 分数阶微分方程分数阶微分方程是使用分数阶导数描述的微分方程。
与经典的整数阶微分方程相比，分数阶微分方程具有更广泛的应用领域，并能更好地描述某些非平稳和非线性的现象。
2.3 分数阶微积分的性质与特点•分数阶微积分的性质与整数阶微积分存在一定的差异。
例如，分数阶导数具有非局部的特性，对函数的整体信息进行考虑。
•分数阶微积分的特点是能够描述具有长时记忆与长尾效应的系统行为，并对非平稳、非线性等复杂现象具有更好的适应性。
3. 分数阶微积分在工程领域的应用3.1 信号处理•分数阶微分方程可用于信号的降噪和信号分析等领域。
通过引入长时记忆的特性，分数阶微分方程能够更好地处理非平稳信号，并提高信号处理精度。
•分数阶导数可以用于图像的边缘检测，对于含有复杂纹理和边缘的图像，分数阶导数能够更好地保留边缘信息。
3.2 控制系统•分数阶微分方程在控制系统中的应用已经得到广泛研究。
相比整数阶微分方程，分数阶微分方程可以更好地描述具有记忆效应和时滞的系统。
•分数阶微分方程在PID控制器、自适应控制和模糊控制等领域的应用研究热度逐渐增加。
3.3 金融与经济学•分数阶微积分在金融与经济学中的应用也有不少研究。
例如，分数阶Brown运动可以更好地描述股票价格的波动性，从而提高金融市场风险和收益的预测精度。
分数阶脉冲时滞微分方程
分数阶脉冲时滞微分方程英文回答：Fractional order impulsive delay differential equations (FOIDDEs) are a class of differential equations that arisein various fields of science and engineering, such as viscoelasticity, electrochemistry, and population dynamics. Due to their complex nature, developing efficient and accurate numerical methods for solving FOIDDEs is a challenging task.In this paper, we propose a novel numerical method for solving FOIDDEs based on the finite difference method (FDM). The proposed method utilizes the Caputo fractionalderivative and employs a backward difference scheme to approximate the time derivative. The delay term is handled by introducing a delay operator. The resulting system of equations is then solved using a suitable linear solver.To demonstrate the accuracy and efficiency of theproposed method, we conduct numerical experiments on several FOIDDEs with different fractional orders and delay times. The numerical results show that the proposed method is able to obtain accurate solutions with high order of accuracy. Moreover, the method is efficient and can handle problems with large delay times.In summary, the proposed numerical method provides a powerful tool for solving FOIDDEs. The method is easy to implement and can be applied to a wide range of problems.中文回答：分数阶脉冲时滞微分方程 (FOIDDEs) 是一类在粘弹性、电化学和种群动力学等各个科学和工程领域中广泛应用的微分方程。
分数阶 klein-gordon 方 程
分数阶 klein-gordon 方程分数阶(Klein-Gordon)方程是描述质量粒子的一个重要物理方程，它是由黎曼几何学和量子力学所融合而成的，可用于描述粒子的量子力学行为。
Klein-Gordon方程在相对论量子力学中具有重要的地位，表示质量为m的粒子（例如自旋为零的粒子）的运动。
它的一般形式可以写为：∂^2ψ(x,t)/∂t^2 - c^2∇^2ψ(x,t) + (mc^2/ħ)^2ψ(x,t) = 0其中，ψ(x,t)是波函数，c是光速，ħ是约化Planck常数。
这个方程的第一项描述了粒子在时间上的演化，第二项描述了粒子在空间上的演化，第三项代表了质量引起的势能。
对于自由粒子而言，即没有外部引力作用的情况下，Klein-Gordon方程可以简化为：∂^2ψ(x,t)/∂t^2 - c^2∇^2ψ(x,t) + (mc^2/ħ)^2ψ(x,t) = 0解Klein-Gordon方程的方法有很多，其中一种常用的方法是傅里叶展开法。
傅里叶展开法首先将波函数ψ(x,t)在空间上展开为平面波的叠加形式，即：ψ(x,t) = ∑[c(k)exp(i(kx-ωt)) + c^*(k)exp(-i(kx-ωt))]其中，c(k)是展开系数，k是波矢，ω是角频率。
将展开后的波函数代入Klein-Gordon方程中，再对系数c(k)进行求解，得到粒子的波函数。
另一种求解Klein-Gordon方程的方法是使用分数阶导数。
分数阶导数是微积分的一种延伸，它可以描述非局域性和非马尔可夫性。
通过引入分数阶导数，Klein-Gordon方程可以转化为一个分数阶偏微分方程。
然后可以利用分数阶导数的性质和方法，如Laplace变换、分数阶Fourier变换等，对方程进行求解。
除了以上两种方法，还有其他一些求解Klein-Gordon方程的方法，如投影算符方法、量子力学线性方程法等，这些方法都可以通过数值计算和数学方法进行求解。
高等数学PPT课件(共13章)第6章微分方程
(2)按实际问题写出初始条件; ．
(3)求微分方程的通解;
(4)由初始条件确定所求的特解.
第六章 微分方程
例6-2 【刹车制动问题】列车在直线轨道上以20m/s的
速度行驶,制动时列车的加 速度为 -0.4m/s2,问制动后多长时
间列车才能停下? 这段时间内列车行驶了多少米?
解 设列车制动后t秒行驶了s米.由题意知,初始条件
例6-6-【电容器充电规律】如图6-1所示的RC 电路,已知
在开关S合上前电容C 上 没有电荷,电容C 两端的电压为零,
电源电压为E.把开关合上后,电源对电容充电,电容 C 上的电
压uC 逐渐升高,求电压uC 随时间t变化的规律.
图6-1
第六章 微分方程
第六章 微分方程
第六章 微分方程
图6-2
=α+iβ,r2 =α-iβ (其中α 与β是实数,且β≠0).容易验证,
y1=eαxcosβx、y2=eαxsinβx 是方程(6-30)的两 个线性无关的特
解,故齐次方程(6-30)的通解为
第六章 微分方程
求二阶常系数齐次线性微分方程y″+py'+qy=0的通解的
步骤如下:
第一步,写出微分方程的特征方程r2 +pr+q=0;
第六章 微分方程
定理6-1 若y1、y2 是二阶常系数齐次线性微分方程(6-30)
的两个解,则y=C1y1+ C2y2 也是方程(6-30)的解;如果y1与y2 线
性无关,则y=C1y1+C2y2 是方程(6-30)的 通解.
证明
第六章 微分方程
所以y=C1y1+ C2y2 是方程(6-30)的解.由于y1 与y2 线性无
分数阶微分方程的数值解法及其MATLAB实现
分数阶微分方程的数值解法及其MATLAB实现1.分数阶微分方程的定义和性质分数阶导数是一般导数的推广，可以用分数阶微分方程来描述分数阶导数的性质。
分数阶微分方程一般形式如下：D^αy(t)=f(t,y(t)),0<α≤1其中，α是分数阶指数，D^α是分数阶导数符号，y(t)是未知函数，f(t,y(t))是已知的函数。
2.分数阶微分方程的数值解法由于分数阶导数的定义较为复杂，常见的数值解法有两种：格点差分法和Laplace变换法。
2.1格点差分法格点差分法是将连续的分数阶导数问题离散化为离散的整数阶微分方程问题，然后利用传统的整数阶微分方程数值解法求解。
具体步骤如下：(1)将时间区间[0,T]平均分为N段，使得Δt=T/N。
(2)将分数阶导数D^α近似为整数阶导数D_m^β，其中m>α>m-1，β=m-α。
(3)将方程D^αy(t)=f(t,y(t))离散为差分方程D_m^βy(t_k)≈f(t_k,y(t_k))，其中t_k=kΔt，k=0,1,2,...,N。
(4)解差分方程，得到数值解y_k，k=0,1,2,...,N。
2.2 Laplace变换法Laplace变换法是将分数阶微分方程转化为Laplace变换形式的整数阶微分方程，然后利用Laplace变换的性质和经典的整数阶微分方程数值解法求解。
具体步骤如下：(1) 对分数阶微分方程D^αy(t) = f(t, y(t)) 进行Laplace变换，得到整数阶微分方程s^αY(s) - s^αy(0) + s^α-1Y(s) = F(s)，其中Y(s) 和 F(s) 分别为 y(t) 和 f(t,y(t)) 的Laplace变换。
(2)将Y(s)和F(s)用有限差分近似替代，并将方程离散化为差分方程，得到Y_k(s)和F_k(s)，其中k是离散时间步长。
(3) 解差分方程，得到 Y_k。
将 Y_k 用逆Laplace变换转换为 y_k。
微分方程ppt课件
注意：满足假设的方程有很多，这里只是选取 了最简单的。
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假设N=1，即选取单位舍得承载量为1的总量， x(t)则代表了在t时刻的总量占理想总量的比例。
❖ 方程简化为x΄= f（a x）=ax(1-x) 此方程称为一阶、自治、非线性微分方程。 一阶： x΄ 自治：右端只与x有关，与t无关。 非线性：f（a x）是x的非线性函数。
问：x΄=ax是什么方程？ （一阶、自治、线性微分方程）
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解微分方程x΄=ax(1-x)。t=0时x=x(0)。
❖
微分方程的通解为
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❖ 在方程x΄=ax中，a看做参数，当a变化时， 方程也变化，其解随之改变。
1）若a>0，当k>0时，lim keat = ；当k<0 时，lim keat =- 。 t
t
2）若a=0，keat 是常数。
3）若a<0，lim keat =0 t
1）当a>0时，所有非零解都随t的增加而远离 平衡点； 2）当a<0时，所有非零解都随t的增加而趋于 平衡点；
从图上看，所有对应于x(0)>0的解都趋于 x(t) ≡1，与假设吻合，当x(0)<0 时，解将趋 于-∞。
11
从 f（a x）=ax(1-x) 的图像上认识：
❖ 该图像与x轴交与x=0与x=1两点，对应于两个 平衡点。
❖ 当0<x<1，f（a x）>0。从而在满足0<x<1的(t，x) 处，斜率为正数，从而解在这个区域将增加， 而在x>0或x>1时，f（a x）<0，故解将减小。
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分数阶微分方程 第三讲 分数阶微分方程基本理论 一、 分数阶微分方程的出现背景及研究现状 1、出现背景 分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。 整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题： （1） 需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假 设条件； （2） 因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型； （3） 这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。 基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
2、研究现状 在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家们有用。然而在近几十年来，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。然而由于分数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性（非局部性）对现实问题进行了优美刻画的同时，也给我们的分析和计算造成很大困难。 在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有局限性的。 在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为： （1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等； （2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元法； （3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要。 鉴于此，发展新数值算法，特别是在保证计算可靠性和精度的前提下，提高计算效率，解决分数阶微分方程计算量和存储量过大的难点问题，发展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的课题。
二、 预备知识 1、 分数阶微积分经典定义回顾 作为分数阶微积分方程的基础，本书在第二章中对分数阶微积分的定义及性质做了系统的介绍，为了接下来讨论的需要，我们首先对其进行一个简要的回顾。 （1）分数阶微积分的主要思想
如上图所示，分数阶微积分的主要思想是推广经典的整数阶微积分，从而将微积分的概念延拓到整个实数轴，甚至是整个复平面。但由于延拓的方法多种多样，因而根据不同的需求人们给出了分数阶微积分的不同定义方式。然而这些定义方式不仅只能针对某些特定条件下的函数给出，而且只能满足人们的某些特定需求，迄今为止，人们仍然没能给出分数阶微积分的一个统一的定义, 这对分数阶微积分的研究与应用造成了一定的困难。 （2）几种经典的分数阶微积分定义 下面我们试图从理论依据、定义域、表达式和优缺点几个方面给出常见的四种分数阶微积分定义的比较图。
依据1：整数阶微分的差分定义 ()001()lim(1)(),kkrkhrkftftrhkNrh
G-L分数阶微积分定义： []001[()]lim(1)()tanhGpratphrpDftftrhrh
1()1[()]()(),0()tCpnpnataDfttufudupnp
11[()]()(),0()tCppataDfttufudupp
依据2：整数阶积分的柯西公式 ()11()()()()tnnafttufudun
R-L分数阶微积分定义：()11[()]()()()tRnpnpataDfttufudunp
()[()][()],1,nRpRnpatatdDftDftnpnnNdt
Caputo分数阶微积分定义：
先积分后微分先微分后积分
缺点：定义域较窄计算复杂优点：定义域较宽缺点：Laplace变换较复杂优点：Laplace较简洁缺点：定义域太窄
分数阶微积分定义定义域： (){()}ftft[a,b]在上逐段连续且
在任意有限子区间上可积
定义域： (){()}ftft[a,b][p]+1在具有阶连续导数定义域：
(){()}ftft[a,b][p]+1在具有阶连续导数
基于广义函数的分数阶微积分定义：()()()patpDftftt%
1,0()()0,0pptttpt
定义域： {()()0;}ftftta
优点：有利于工程中对系统的描述
从上图我们看到，在分数阶微积分的发展过程中，人们根据不同的需求，从不同角度给出了分数阶微积分的定义，但这些定义无论从对象上还是从表达式上都无法实现统一，它们之间的关系大致可以用下图来表示。 注： 条件1：()ft在[,]ab上逐段连续，且在任何有限子区间上可积； 条件2：()ft在[,]ab上具有[]1p阶连续导数； 条件3：()()0kfa，1,2,,[]kpL； 条件4：()0ft，ta。 由上图我们可以看到，对于不同的分数阶微积分定义方式有着不同定义域，即便是在公共区域内，不同的定义方式之间也无法实现完全的统一，这对分数阶微积分的应用和研究造成了一定的困难，因此人们迫切期望着分数阶微积分的一种哪怕是形式上的统一定义方式。
2、 M-R序列分数阶微分的定义 为了满足实际需要，下面我们试图从形式上对分数阶微积分给出一种统一的表达式。 分数阶微积分的主要思想是推广经典的累次微积分，所有推广方法的共同目
标是以非整数参数p取代经典微积分符号中的整数参数n，即：
nnddt ppddt 实际上，任意的n阶微分都可以看成是一列一阶微分的叠加：
()()nnndftdddftdtdtdtdtL14243 （1）
由此，我们可以给出一种在很多实际应用中十分重要的分数阶微积分的推广方式。首先，我们假设已有一种合适的推广方式来将一阶微分推广为（01）
阶微分，即dDdt是可实现的。那么类似地可得到（1）的推广式为： ()()nnDftDDDftL14243 （2） 这种推广方式最初是由..KSMiller和.BRoss提出来的，其中D采用的是RL分数阶微分定义，他们称之为序列分数阶微分。序列分数阶微分的其他形式可以通过将D替换为GL分数阶微分、Caputo分数阶微分或其他任意形式分数阶微分来得到。 进一步，如果我们将（2）中的分数阶微分D替换为不同阶数的分数阶微分可得到序列分数阶微分更一般的表达式：
12()()nDftDDDftL （3）
12nL
根据问题的需要，D可以是RL分数阶微分、GL分数阶微分、Caputo
分数阶微分或其他任意形式的分数阶微分，从这一点看来，我们可以说序列分数阶微分从形式上给出了分数阶微积分在时域上的一个统一表达式，RL分数阶微分、GL分数阶微分和Caputo分数阶微分都只是序列分数阶微分的一种特殊情况。故而，下面我们在对分数阶微积分方程进行理论分析的时候可以仅仅针对序列分数阶微积分来给出结论。
3、M-R序列分数阶微分的Laplace变换 下面我们考虑如下形式的序列分数阶微分的Laplace变换。 11mmmatatatatDDDDL （4）
1111mmmatatatatDDDDL （5） 101,(1,2,,)mmjjjjmL （6） 在R-L分数阶微分定义下有： 1000{();}()[()]tttLDftssFsDft （7） 重复利用上式m次可得：
110000{();}()[()]mmmmkmkmtttkLDftssFssDft （8） 注：虽然上述序列分数阶微分的Laplace变换是在R-L分数阶微分定义下进行证明的，但是该结论对其他几种分数阶微积分也是成立的。
4、泛函理论基础 定理1（Schauder不动点定理） 设U是Banach空间X的有界闭子集，如果:TUU是连续映射，那么T在U中存在不动点，即使得Txx的点存在。
定义1（Lipschitz条件） 设,Xd是距离空间，T是从X到X的映射，如果存在常数0q，使得对所有的,xyX，