北师大版数学高二-1.1类比推理 学案

第一章 推理与证明 第一节 归纳与类比

1.2类比推理

★ 学习目标

1．理解类比推理的意义；了解类比推理的特点；

2．掌握运用类比推理的一般步骤。会进行简单的类比推理。 3．了解归纳推理与类比推理的异同；

4． 理解合情推理的含义，了解所得结果不一定正确；

5．了解合情推理在科学实验和创造中的价值，增强在数学学习中自觉运用合情推理的意识。提高归纳、类比联想的能力。

★ 学法指导

通过课本中例4、5的学习，充分体会类比推理的特点，总结出类比推理的一般步骤；并通过练习逐步学会进行简单的类比推理。

注意对归纳推理和类比推理的比较，了解它们的共同点和不同点。

★ 知识点归纳

1． 叫做类比推理； 2．类比推理是由 到特殊的推理模式；

3．类比推理得到的结论具有 的性质，所以不一定正确； 和 是最常见的合情推理。

★ 掌握类比推理的特点与步骤；

难点：在类比推理的运用中发现两类对象间相似性质潜在的关联性； 剖析：

1．类比推理的特点

① 类比是从特殊到特殊的推理，是根据两类不同对象已具有的某些相似性质，而联想到它们在其他方面可能也有相似的性质，从而由一类对象的已知的某项性质，猜测出另一类对象也可能有此项相应的性质而得到一个明确的结论，类比结论有明显的猜想和创新的特性。所得的结论超越了前提所包容的范围；

② 类比所得的结论超越了前提所包容的范围，结论不一定真。

③ 类比的前提是两类对象之间有可比性，所谓可比性是指：它们之间有可以清楚定义的某些共同特征。而且两类对象之间的相似性质越多，类比所得的性质的可靠性越大；

2．类比推理的一般步骤

① 找出与自己所研究的对象具有可比性的一类对象（它们的相似性质越多越好）；

② 根据比较类对象的某项已知性质，猜测你所研究的对象也可能有类似的性质，从而得出一个相应的明确的结论（命题）；

③ 对所提出的命题进行检验。

3．类比推理的结论未必真，欲知真假需证明。

例 在平面上*∈∀N n （)3≥n 都有正n 边形，而在空间对*∈∀N n （)4≥n 不是都有正n 面体。我们知道正多面体只有五种。

4．类比推理是我们探求数学问题的一种重要方法和途径：如：平面上的直线可以和空间的平面进行类比；向量与数可以类比；平面图形的面积与空间几何体的体积可以类比；等差数列与等比数列可以类比等等；

★ 典例分析

例1 如图，已知点

O 是ABC ∆内任意一点，连结,,,CO BO AO 并延长交对边于111,,C B A ，则

11

1

1111=++CC OC BB OB AA OA ………………………………（Ⅰ） 类比猜想，对于空间四面体BCD V -，存在什么类似的结论（Ⅱ）？并用证明（Ⅰ）时类似的方法给出证明。

分析：平面中的三角形可与空间的四面体进行类比，三角形内一点对应于四面体内一点，三角形的三个顶点类比四面体的四个顶点，三角形的三边类比四面体的四个面，于是可类比得到相应的结论（Ⅱ）；而证明，（Ⅰ）可用面积法，那么证明（Ⅱ）可类比使用体积法。

注意：本题不仅用类比得到一个新的性质，而且证明方法上也运用了类比的方法。

变式练习1

若三角形内切圆半径为r ，三边长为c b a ,,，则三角形的面积)(2

1

c b a r S

++=

；根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为4321,,,S S S S ，则四面体的体积=V （试证明

这两个结论）。

例2（2000，上海）在等差数列

{}n a 中，若010

=a ，则有等式：=+++n a a a 21

n a a a -+++1921 ),19(*∈

有等式 成立。

分析：等差数列中“与首末两项等距的两项和相等”，等比数列中“与首末两项等距的两项积相等”，由此联想到等差数列的两项和可与等比数列的两项积类比。

变式练习2

由三角形的边的不等关系容易得到不等式：||||||||||b a b a b a

-≥±≥+ 类比上述不等式，对于数b a ,有类似的不等式吗？若有写出来并对真假作出判断。

★ 基础训练

1．平面内平行于同一条直线的两条直线平行，类比可得，在空间有（ ）

A ．平行于同一直线的两直线平行；

B ．平行于同一直线的两平面平行；

C ．平行于同一平面的两直线平行；

D ．平行于同一平面的两平面平行。

2．将一张坐标纸折叠一次，使点)3,2(与点)2,3(重合，且点)2006,2005(与点),(n m 重合，则n m ,分别为（ ）

A ．2005，2005；

B ．2006，2006；

C ．2005，2006；

D ．2006，2005。

3．在项数为n 2（*∈N n ），公差为d 的等差数列中，偶数项和与奇数项和的差等于nd 。类比可得：在项数为n 2（*

∈N n ），公比为q 的等比数列中，

。

4．在正三角形中，三角形内的任意一点到三边的距离和为定值，类比这个性质，在空间相应的结论

是 ，此命题是 （填：真或假）。

5．由图（1）有面积关系：PA B PAB S PA PB S PA PB

''∆∆''⋅=

⋅，则由图（2）有体积关系：P A B C P ABC V V '''--＝ 。

6．设2

21)(+=

x

x f ，类比课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，求：

)6()5()4()5(f f f f +++-+- 的值。

★ 能力提高

1．在三角形ABC 中，射影定理可表示为a=bcosC+ccosB 。类比以上定理， 给出空间四面体性质的猜想。

2．（2004，上海）如图，点P 为斜三棱柱1

11C B A ABC -的侧棱1BB 上

一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于N 。 （1）求证：MN CC ⊥1；

（2）在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅⋅-+=cos 22

2

2

，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明。

★ 学后反思