解直角三角形综合
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解直角三角形 综合练习
【例题精选】：
例1、在∆ABC 中, ∠C = 90︒, sin A =23
, 求ctg B 。
解: 方法一, 设∠A 对边BC = 2a , 斜边AB 为3a , 由勾股定理,
AC = 5a , 由三角函数的定义, ctg B BC AC B a a ===,即ctg 252
5
5 。 方法二;
∵sin A =23
, 由同角三角函数关系式, sin cos 221A A +=, 得
cos A =-⎛⎝ ⎫
⎭⎪=
123532
, 则tgA A A ===sin cos 2
353
25
5。又∵∠A 与∠B 互为余角, ∴sin A = cos B , tg A = ctg B , ∴ctg B = tg A = 2
5
5。
说明: 当直角三角形中已知一个三角函数求其它三角函数值时, 用小三角形法, 即方法一是比较简单的, 因为三角函数的定义是比值, 因此可设一份为一个常量, 设出比值, 再去计算。用同角三角函数关系式计算也应当会, 只是计算起来麻烦一些。
例2、在∆ABC 中, ∠C = 90︒, tg A =
12
5
,∆ABC 的周长为45cm, 求BC 的长。 解: 设BC = 12x , AC = 5x , 则AB = 13x , 则题意, 12x + 5x + 13x = 45cm, 30x = 45, ∴x =
32, ∴BC = 123
2
18⨯=(cm) 例3、在∆ABC 中, ∠C = 90︒, a b ==1535,, 求∠A 及S ABC ∆。 解: ∵∠C = 90︒, a b ==1535,
∴tg A =
=
1535
3
3
, 又∵∠A 为锐角, ∴∠A = 30︒,
∴S ab ABC ∆==
⨯⨯=12121535152
3。 说明: 当已知边求角时, 可利用三角函数的定义, 这里已知
两直角边, 可以求锐角的正切或余切值, 再去求角。
例4、求值: cos cos 2237151548534245︒+︒︒+︒+︒-︒+︒tg ctg tg ctg tg ·
分析: 所给的三角函数中, 只有45︒的三角函数是特殊角的三角函数值, 其它都不是特殊的三角函数值, 应当分析这些三角函数值之间的关系, 由分析可以看出37︒与53︒角互为余角, 因为互为余角的余函数相等, 因此tg48︒与ctg42︒也相等, 再进行计算就可以了。
解：···cos 37tg15ctg15tg48cos 53ctg42tg45cos 37cos 53tg15ctg15tg48ctg42tg45cos 37sin 37tg15ctg15tg48tg48tg45222222︒+︒︒+︒+︒-︒+︒
=︒+︒+︒︒+︒-︒+︒
=︒+︒+︒︒+︒-︒+︒=++=1113
说明: 互为余角余函数相等的结论, 可用于角的转化, 通过
转化, 才能找到解题的思路, 才能找到解决问题的突破口, 这也是提高自己解题能力的一个重要方面。因此运用数学思想解决数学问题应当自觉的去做。
例5、在∆ABC 中, ∠ACB = 90︒, AB = 6, CD ⊥AB 于D , AD = 2, 求∠A 的正弦值。 分析: 由已知, ∠ACB = 90︒, CD ⊥AB 于D , 这在
几何中是个很典型的几何图形, 这个图形中, 有∆ACD ∽∆CDB ,
∆ACD ∽∆ACB , ∆CDB ∽∆ACB , 还有∠BCD = ∠A , ∠ACD = ∠B 等,
因此求∠A 的正弦值, 可以用角的代换, 即求∠BCD 的正弦, 或通过相似求边再求∠A 的正弦。 解: 方法一, ∵∠ACB = 90︒, CD ⊥AB 于D , ∴∆ACD ∽∆ABC , AC 2 = AD ·AB , AC 2 = 2×6, AC =23,
∴()
CD =
-=-=23
2124222
2
∴sin A CD AC =
==22236
3
。 方法二, ∠A 与∠BCD 同为∠ACD 的余角,
∴∠A = ∠BCD
∵BD = 6－2 = 4, ∆BCD ∽∆ABC , BC 2 = 4×6, BC = 26。 ∴sin sin A BCD BD BC =∠=
==4266
3
。 例6、已知a = sin20︒, b = sin40︒, 则下列正确的是
A ．2a < 1 <2b
B ．2a > 1 > 2b
C ．1 > 2a > 2b
D ．1 < 2a < 2b
分析: 从已知出发思考不太好想, 但换个角度, 从结论出发
去想, 看a 、b 间的联系, 将各项除以2, 结论为A 、a b <<12
, B 、
a b >
>12, C 、12>>a b , D 、1