变化率与导数测试题
高中数学导数变化的快慢与变化率练习题
变化的快慢与变化率精选题31道一．选择题（共14小题）1．设函数f（x）可导，则等于（）A．f′（1）B．3f′（1）C．D．f′（3）2．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图，则对于函数y＝f（x）的描述正确的是（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x＝0处取得最大值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x＝2处取得最小值3．若y＝f（x）在（﹣∞，+∞）可导，且，则f′（a）＝（）A．B．2C．3D．4．在曲线y＝x2+1的图象上取一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则△y：△x为（）A．△x++2B．△x﹣﹣2C．△x+2D．2+△x﹣5．若f（x）＝lnx+x3，则＝（）A．1B．2C．4D．86．设f（x）在x＝1处的导数为2，则＝（）A．B．C．D．67．函数y＝x2在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣△x，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（）A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．k1与k2的大小关系不确定8．设函数f（x）＝x2﹣1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（）A．2.1B．0.21C．1.21D．12.19．设f（x）是可导函数，当h→0时，，则f'（x0）＝（）A．2B．C．﹣2D．10．设函数f（x）＝x2+ax，且，则a＝（）A．B．C．1D．﹣111．设函数y＝f（x）可导，则等于（）A．f'（1）B．3f'（1）C．D．以上都不对12．已知函数f（x）＝e2x，则＝（）A．e B．﹣e C．e2D．﹣e213．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（1）＝﹣1，则＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣114．已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为1，则＝（）A．0B．C．1D．2二．多选题（共2小题）（多选）15．某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+），则下列说法正确的有（）A．S（t）在[0，2]上的平均变化率为m/hB．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hC．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低D．18时潮水起落的速度为m/h（多选）16．小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时的瞬时速度为V（t），区间[0，t1]，[0，t2]，[t1，t2]上的平均速度分别为V1，V2，V3，则下列判断正确的有（）A．V1＜V2＜V3B．C．对于V i（i＝1，2，3），存在m t∈（0，t2），使得V（m t）＝V1D．整个过程小明行走的速度一直在加快三．填空题（共14小题）17．酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是．18．函数f（x）＝lnx在区间[1，e]上的平均变化率为．19．设函数f（x）可导，则＝．20．已知函数f（x）＝2x3，则＝．21．酒杯的形状为倒立的圆锥（如图），杯深9cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率为．22．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥．杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，则当水深为4cm时，时刻t＝s，水升高的瞬时变化率v＝cm/s．23．已知函数，则＝．24．已知函数f（x）＝3x2﹣x，则＝．25．已知f'（x0）＝3，则＝．26．函数y＝x2+x在x＝1到x＝1+h之间的平均变化率为．27．如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为．28．已知一物体的运动方程是S＝24t﹣3t2（S的单位为m，t的单位为s），则该物体在时间段[0，6]内的平均速度与t时刻的瞬时速度相等，则t＝s．29．在x＝1附近，取△x＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是．30．已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min．四．解答题（共1小题）31．已知自由落体运动的方程为（g为常数），求：（1）落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度；（2）落体在t＝10s这一时刻的瞬时速度．变化的快慢与变化率精选题31道参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．设函数f（x）可导，则等于（）A．f′（1）B．3f′（1）C．D．f′（3）【分析】利用导数的定义即可得出．【解答】解：＝＝．故选：C．【点评】本题考查了导数的定义，属于基础题．2．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图，则对于函数y＝f（x）的描述正确的是（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x＝0处取得最大值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x＝2处取得最小值【分析】结合图象，求出函数的单调区间，在判断函数的最值．【解答】解：当0＜x＜2或x＞4时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，2），（4，+∞）上单调递减，当2＜x＜4或x＜0时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（2，4）（﹣∞，0）上单调递增，∴当x＝0或x＝4时函数取的极大值，∴函数f（x）最大值为，max{f（0），f（4）}，无最小值，故选：C．【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值，最值的关系，属于中档题．3．若y＝f（x）在（﹣∞，+∞）可导，且，则f′（a）＝（）A．B．2C．3D．【分析】根据导数的定义进行求解即可．【解答】解：∵，∴•＝1，即f′（a）＝1，则f′（a）＝，故选：D．【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．4．在曲线y＝x2+1的图象上取一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则△y：△x为（）A．△x++2B．△x﹣﹣2C．△x+2D．2+△x﹣【分析】此题应用函数值的变化量与自变量的变化量的比值求得．【解答】解：△y：△x＝＝△x+2．故选：C．【点评】通过计算函数值的变化来解，比较简单．5．若f（x）＝lnx+x3，则＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据题意，求出f（x）的导数，进而可得f′（1）＝4，又由极限的性质可得由＝2f′（1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝lnx+x3，其导数f′（x）＝+3x2，则f′（1）＝4，又由＝2×＝2f′（1），则＝8，故选：D．【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的性质和计算，属于基础题．6．设f（x）在x＝1处的导数为2，则＝（）A．B．C．D．6【分析】根据＝＝f′（1），即可求出．【解答】∵f′（1）＝2，∴＝＝f′（1）＝，故选：A．【点评】本题考查了函数的变化率与导数的关系，属于基础题．7．函数y＝x2在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣△x，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（）A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．k1与k2的大小关系不确定【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解．【解答】解：∵函数y＝f（x）＝x2在x0到x0+△x之间的平均变化量为：△y＝f（x0+△x）﹣f（x0）＝（x0+△x）2﹣（x0）2＝△x（2x0+△x）∴k1＝＝2x0+△x．∵函数y＝f（x）＝x2在x0﹣△x到x0之间的平均变化量为：△y＝f（x0）﹣f（x0﹣△x）＝（x0）2﹣（x0﹣△x）2＝△x（2x0﹣△x）∴k2＝＝2x0﹣△x．∵k1﹣k2＝2△x，而△x＞0，故k1＞k2．故选：A．【点评】本题考查了函数的平均变化率的概念及的求法，解答此题的关键是熟记概念，是基础题．8．设函数f（x）＝x2﹣1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（）A．2.1B．0.21C．1.21D．12.1【分析】求出自变量x的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案．【解答】解：△x＝1.1﹣1＝0.1，△y＝1.12﹣1﹣（12﹣1）＝0.21．所以函数的平均变化率为．故选：A．【点评】本题考查了变化的快慢与变化率，是基础的概念题．9．设f（x）是可导函数，当h→0时，，则f'（x0）＝（）A．2B．C．﹣2D．【分析】根据导数的定义即可求出．【解答】解：当h→0时，，则f'（x0）＝＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查了导数的定义，属于基础题10．设函数f（x）＝x2+ax，且，则a＝（）A．B．C．1D．﹣1【分析】根据题意，求出函数的导数，进而可得f′（1）的值，由导数的定义可得f′（1）＝＝2+a＝1，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2+ax，则f′（x）＝2x+a，则有f′（1）＝2+a，若，即f′（1）＝＝2+a＝1，解可得：a＝﹣1；故选：D．【点评】本题考查导数的计算以及极限的性质，注意导数的定义，属于基础题．11．设函数y＝f（x）可导，则等于（）A．f'（1）B．3f'（1）C．D．以上都不对【分析】利用导数的定义式f′（x）＝可得答案．【解答】解：∵函数y＝f（x）可导，根据导数的定义式f′（x）＝可得∴＝f'（1），故选：A．【点评】本题考查平均变化率的极限，即导数的定义，属于基础题．12．已知函数f（x）＝e2x，则＝（）A．e B．﹣e C．e2D．﹣e2【分析】求导，根据导数在某点的极限值，即可求得结论．【解答】解：∵f（x）＝e2x，∴f′（x）＝2e2x，∴＝﹣＝﹣f′（1）＝﹣2e2＝﹣e2，故选：D．【点评】本题考查了导数的定义与运算法则，属于基础题．13．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（1）＝﹣1，则＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】直接利用导数的定义进行求解即可．【解答】解：根据导数的定义可知，＝f'（1）＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了平均变化率的应用，涉及了导数定义的理解和应用，解题的关键是掌握导数的定义，属于基础题．14．已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为1，则＝（）A．0B．C．1D．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解．【解答】解：因为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为1，则＝＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了导数的定义的简单应用，属于基础试题．二．多选题（共2小题）（多选）15．某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+），则下列说法正确的有（）A．S（t）在[0，2]上的平均变化率为m/hB．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hC．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低D．18时潮水起落的速度为m/h【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，S（t）在[0，2]上的平均变化率＝＝﹣，A错误，对于B，S（t）＝3sin（t+），其最小正周期为＝24，则相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h，B正确，对于C，当t＝6时，S（6）＝3sin（×6+）＝﹣，不是S（t）的最小值，C 错误，对于D，S（t）＝3sin（t+），其导数S′（t）＝3（t+）′cos（t+）＝cos（t+），则有S′（18）＝，D正确，故选：BD．【点评】本题考查变化率的计算，涉及正弦函数的性质，属于基础题．（多选）16．小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时的瞬时速度为V（t），区间[0，t1]，[0，t2]，[t1，t2]上的平均速度分别为V1，V2，V3，则下列判断正确的有（）A．V1＜V2＜V3B．C．对于V i（i＝1，2，3），存在m t∈（0，t2），使得V（m t）＝V1D．整个过程小明行走的速度一直在加快【分析】可通过题意，分别表示出V1，V2，V3，再根据选项A，B进行比大小，即可确定；选项C可根据图像，由线与直线的交点，即可判断，选项D，可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断．【解答】解；由题意可知；V1＝，V2＝，v3＝，由图像可知t1＜t2且2t1＞t2，因此V1＝＜V2＝，t2﹣2（t2﹣t1）＝2t1﹣t2＞0，所以t2＞2（t2﹣t1），因此V2＝＜v3＝，此时V1＜V2＜V3，故A正确；由V1+V3﹣2V3＝S0（），＝＞0，故＞V2，故B正确；由图像可知，直线与曲线的交点为（t1，），故存在m i∈（0，t2），使得V（m i）＝V i，即当m i＝t1时，V（t1）＝V1，故C正确；t时刻的瞬时速度为V（t），判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由图像可知，当t＝t1时，切线方程的斜率最大，故在此时，平均速度最快，故D不正确．故选：ABC．【点评】本题考查根据函数图像研究平均速度的大小，变化快慢的比较，属中档题．三．填空题（共14小题）17．酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是．【分析】作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即得到正确答案【解答】解：由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，由图知可得r＝h，此时水的体积为×π×r2×h＝又由题设条件知，此时的水量为20t故有20t＝，故有h＝h'＝××又当h＝4时，有t＝，故h＝4时，h'＝××＝当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是故答案为【点评】本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败．18．函数f（x）＝lnx在区间[1，e]上的平均变化率为．【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可．【解答】解：函数f（x）＝lnx在区间[1，e]上的平均变化率为．故答案为：．【点评】本题考查了函数在给定区间上的平均变化率，属基础题．19．设函数f（x）可导，则＝．【分析】利用导数的定义进行分析即可得到答案．【解答】解：因为函数f（x）可导，所以＝．故答案为：．【点评】本题考查了瞬时变化率与导数的关系的应用，属于基础题．20．已知函数f（x）＝2x3，则＝0．【分析】根据条件得出＝f′（0），再运用导数运算公式求解即可．【解答】解：∵f（x）＝2x3，∴f′（x）＝6x2，∴＝f′（0）＝0，故答案为：0．【点评】本题考查了导数的概念，关键理解极限给出式子，导数的计算公式，属于基础题．21．酒杯的形状为倒立的圆锥（如图），杯深9cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率为．【分析】作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即可．【解答】解：由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，由图知＝可得r＝h，此时水的体积为×π×r2×h＝πh3，又由题设条件知，此时的水量为20t，故有20t＝πh3，故有h＝，∴h′＝××，又当h＝3时，此时t＝，故h＝3时，h'＝，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率v＝cm/s．故答案为：．【点评】本题考查变化的快慢与变化率，本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度的导数即可．22．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥．杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，则当水深为4cm时，时刻t＝s，水升高的瞬时变化率v＝cm/s．【分析】作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即得到正确答案【解答】解：由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，由图知＝可得r＝h，此时水的体积为×π×r2×h＝h3，又由题设条件知，此时的水量为20t，故有20t＝h3，故有h＝（•t），∴h′＝×（•t）×，又当h＝4时，此时t＝，故h＝4时，h'＝×（）×＝，当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率v＝cm/s，故答案为：，．【点评】本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败．23．已知函数，则＝﹣4．【分析】根据题意，由极限的运算性质可得原式＝2f'（0），求出函数f（x）的导数，进而可得f′（1）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，，而函数，其导数f'（x）＝3x﹣2e x，则f'（0）＝3×0﹣2e0＝﹣2，故，故答案为：﹣4．【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的运算性质，属于基础题．24．已知函数f（x）＝3x2﹣x，则＝10．【分析】根据f（x）的表达式，求出f（1+△x）﹣f（1﹣△x），再求出极限即可．【解答】解：∵f（x）＝3x2﹣x，∴f（1+△x）﹣f（1﹣△x）＝3（1+△x）2﹣（1+△x）﹣3（1﹣△x）2+（1﹣△x）＝10△x，∴＝＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查导数概念和应用，属于基础题．25．已知f'（x0）＝3，则＝6．【分析】利用平均变化率以及导数的定义求解即可．【解答】解：因为f'（x0）＝3，则＝3，所以＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了平均变化率以及导数的定义的理解与应用，属于基础题．26．函数y＝x2+x在x＝1到x＝1+h之间的平均变化率为h+3．【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数y＝x2+x，Δy＝（1+h）2+（1+h）﹣1﹣1＝h2+3h，Δx＝1+h﹣1＝h，则其平均变化率＝＝h+3，故答案为：h+3．【点评】本题考查函数的平均变化率的概念及的求法，注意平均变化率的计算，是基础题．27．如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为﹣1．【分析】根据平均变化率公式计算可得；【解答】解：依题意可得f（1）＝3、f（3）＝1，所以f（x）在[1，3]上的平均变化率；故答案为：﹣1．【点评】本题考查平均变化率的求法，考查计算能力，是基础题．28．已知一物体的运动方程是S＝24t﹣3t2（S的单位为m，t的单位为s），则该物体在时间段[0，6]内的平均速度与t时刻的瞬时速度相等，则t＝3s．【分析】利用平均变化率，导数的计算公式求解即可．【解答】解：∵S＝24t﹣3t2，∴S′＝24﹣6t，∴物体在时间段[0，6]内的平均速度为＝24﹣6t，∴t＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了平均变化率，导数的计算公式，属于基础题．29．在x＝1附近，取△x＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是③．【分析】分别求出各个函数在△x＝0.3时的平均变化率，再比较即可．【解答】解：△x＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1，②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2+△x＝2.3，③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3+3△x+（△x）2＝3.99，④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝﹣＝﹣，∴k3＞k2＞k1＞k4．所以平均变化率最大的是：③．故答案为：③．【点评】本题主要考查了函数的变化快慢，考查了函数的平均变化率，是基础题．30．已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min．【分析】直接求出函数的导数，代入时刻t＝40min，可得降雨强度．【解答】解：因为，∵，∴，故在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的实际应用，属于基础题．四．解答题（共1小题）31．已知自由落体运动的方程为（g为常数），求：（1）落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度；（2）落体在t＝10s这一时刻的瞬时速度．【分析】（1）根据平均速度公式计算；（2）首先求落体在[10，10+Δt]这段时间的平均速度，当Δt趋近于0时，求平均速度的极限，即落体在t＝10s这一时刻的瞬时速度．【解答】解：（1）落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度是：；（2）落体在[10，10+Δt]这段时间的平均速度是：，当Δt无限趋近于0时，平均速度趋近于10g，所以落体在t＝10s这一时刻的瞬时速度时10g．【点评】本题考查平均速度、瞬时速度、极限等基础知识，考查运算求解能力，是基础题。
变化率与导数练习题
变化率与导数练习题变化率与导数练习题数学中的变化率与导数是一个非常重要的概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来深入理解变化率与导数的概念，并探讨它们在实际问题中的应用。
问题一：某物体的速度随时间变化的函数为v(t)=3t²+2t-1，求物体在t=2时的速度。
解析：根据题意，我们需要求解函数v(t)在t=2时的值。
将t=2代入函数v(t)中，得到v(2)=3(2)²+2(2)-1=15。
因此，物体在t=2时的速度为15。
问题二：某车辆的加速度随时间变化的函数为a(t)=4t+2，求车辆在t=3时的加速度。
解析：根据题意，我们需要求解函数a(t)在t=3时的值。
将t=3代入函数a(t)中，得到a(3)=4(3)+2=14。
因此，车辆在t=3时的加速度为14。
问题三：某物体的位移随时间变化的函数为s(t)=2t³-3t²+4t，求物体在t=1时的位移。
解析：根据题意，我们需要求解函数s(t)在t=1时的值。
将t=1代入函数s(t)中，得到s(1)=2(1)³-3(1)²+4(1)=3。
因此，物体在t=1时的位移为3。
通过以上练习题，我们可以看到变化率与导数的概念在求解实际问题中的重要性。
变化率可以帮助我们描述物体在某一时刻的速度或加速度，而导数则可以帮助我们求解函数在某一点的斜率。
除了求解特定点的值之外，变化率与导数还可以帮助我们分析函数的整体特性。
例如，通过求解函数的导数，我们可以确定函数的增减性、极值点以及拐点等。
这些信息对于理解函数的行为和优化问题都非常重要。
在实际问题中，变化率与导数的应用也非常广泛。
例如，在经济学中，我们可以利用变化率与导数来分析市场供求关系、生产函数以及成本函数等。
在物理学中，变化率与导数则可以帮助我们研究物体的运动、力学性质以及电磁场等。
总之，变化率与导数是数学中的重要概念，它们不仅在理论研究中起到重要作用，也在实际问题中有着广泛的应用。
高三数学变化率与导数练习题
1.1变化率与导数（3）一、选择题1.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设f(2)−f(1)2−1=a，则下列不等式正确的是( )A. f′(1)<f′(2)<aB.C.f′(2)<f′(1)< aD.a<f′(1)<f′(2)2.函数f（x）在x=x0处导数f′（x）的几何意义是（）.A. 在点x=x0处的斜率B. 在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角正切值C. 点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率D. 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率3.已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）A. f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B. f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C. 对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D. 存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率4.函数y=1x在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]的平均变化率分别为k1，k2，k3，则()A. k1<k2<k3B. k2<k1<k3C. k3<k2<k1 D. k1<k3<k25.如果函数y=f（x）在点（3，4）处的切线与直线2x+y+1=0平行，则f′（3）等于（）A. 2B. -12C. -2 D. 126.y＝f(x)的图像如图所示，下列数值的排序正确的是( )A. B.C. D.7.已知f′（x0）=3，lim∆x→0f(x0+2∆x)−f(x0)3∆x的值是（）A. 3B. 2C. 23D. 328.已知函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为x+2y+1=0，则f（2）-2f′（2）的值为（）A. 12B. 1 C. −1 D. −129.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x2在点P（1，1）处的切线互相垂直，则ab为（）A. 23B. −23C. 12D. −1210.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是[0，π4]，则点P横坐标的取值范围是（）A. [−1,−12] B. [−1,0] C. [0,1] D. [12,1]二、填空题11.如图函数f（x）的图象在点P处的切线为：y=-2x+5，则f（2）+f′（2）=______．12.若曲线y=x2+1的一条切线的斜率是4，则切点的横坐标x= ______ ．三、解答题已知曲线为(1)求曲线在点处的切线；(2)曲线上哪一点的切线与垂直．。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试题(有答案解析)(3)
一、选择题1．与曲线2y x 相切，且与直线210x y ++=垂直的直线的方程为（ ）A ．22y x =-B ．22y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+2．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）A ．3B ．0C ．2D ．43．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 4．设()2ln 1f x x =+()2f '=（ ）A ．45 B ．15C ．25D ．355．已知()4cos 72f x ax b x x =++-.若()20186f '=，则()2018f '-=（ ） A ．6- B ．8- C ．6D ．86．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为()5284100c x x=-（80100x <<）.当净化到95%时所需净化费用的瞬时变化率为（ ）元/吨. A ．5284B ．1056.8C ．211.36D ．105.687．已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A ．38B ．1C ．98D ．1588．若曲线2y x ax b =++在点（0，b ）处的切线方程是x +y －1=0，则 A ．a=1，b=1B ．a=－l ，b=lC ．a=l ，b=－1D ．a=－1，b=－169．已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN 达到最小时,t 的值为 ( )A ．1B ．2C ．12D ．35510．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能11．已知点P 在曲线y=41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值 范围是（ ） A ．[0,4π) B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 12．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ） A ．22B ．322C ．(41)22e - D ．(41)22e + 二、填空题13．曲线232ln y x x x =-+的切线中，斜率最小的切线方程为__________.14．已知函数()()cos ,2,2223cos ,2,222x x k k k Z y x x k k k Z ππππππππ⎧⎡⎫∈-+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-∈++∈⎪⎢⎪⎣⎭⎩的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=___________.15．若函数()ln f x x =与函数()()2g 2ln 0x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是________. 16．在曲线3211333y x x x =-+-的所有切线中，斜率最小的切线方程为______． 17．函数在处的切线与直线垂直，则a 的值为______．18．已知曲线()32ln 3xf x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 19．已知函数y=f （x ）的图象在点M （2，f （2））处的切线方程是y=x+4，则f （2）+f′（2）=__．20．三棱锥A BCD -中，3AB CD ==2==AC BD ，5AD BC ==体外接球的表面积为_______________.三、解答题21．已知函数31()ln ()2f x x ax x a R =--∈． (Ⅰ)若曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线经过点，求a 的值；(Ⅱ)若()f x 在（1，2）上存在极值点，求a 的取值范围.22．已知函数32()f x x bx cx d =+++有两个极值点121,2x x ==，且直线61y x =+与曲线()y f x =相切于P 点． (1) 求b 和c(2) 求函数()y f x =的解析式；(3) 在d 为整数时，求过P 点和()y f x =相切于一异于P 点的直线方程 23．已知函数()ln (R)f x a x x a =-∈恒过定点A . （1）当1a =-时，求()f x 在点A 处的切线方程； （2）当2a =时，求()f x 在[1,]e 上的最小值. 24．已知函数3()f x x x=-． （1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．25．已知函数()()221f x ax a x lnx =+--.（1）当12a =时，求函数()f x 在1x =点处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性. 26．已知函数ln ()()a xf x a x+=∈R . （1）若4a =，求曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程； （2）求()f x 的极值；（3）若函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =，根据两直线垂直可求得01x =，即可求得切线方程. 【详解】设切点为()00P x y ，，由导数的几何意义可得所求直线的斜率02k x =， 又直线210x y ++=的斜率为12-， 所以()01212x ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭， 解得01x =，则2001y x ==，2k =，所以所求直线的方程为()121y x -=-， 即21y x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.2．A解析：A 【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．3．A解析：A 【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m en ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．C解析：C 【分析】 令()u x =，可求得()u x ='()f x '，可求得()2f '．【详解】 ∵()f x =()u x =，则()ln f u u =，∵()1f u u '=，()12u x ='=，由复合函数的导数公式得：()21xf x x =='+， ∴()225f '=． 故选：C ． 【点睛】本题考查复合函数的导数，掌握复合函数的导数求导法则是关键，属于中档题．5．D解析：D 【分析】分析()f x 的导函数()f x '，构造关于()f x '的新函数，借助新函数奇偶性即可计算()2018f '-的值.【详解】因为()4cos 72f x ax b x x =++-，所以()34sin 7f x ax b x '=-+，所以()374sin f x ax b x '-=-，令()()374sin g x f x ax b x '=-=-，所以()()34sin g x ax x g x -=-+=-且函数()g x 定义域为R 关于原点对称，所以()g x 是奇函数，所以()()201820180g g +-=，所以()()20187201870f f ''-+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()20181468f '-=-=. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，难度一般.一般地，形如()()()0g x f x c c =+≠的函数中，已知()f x 为奇函数，根据()f a 的值求解()f a -的值的方法：构造新函数()g x c -，根据新函数的奇偶性求解()f a -的值.6．C解析：C 【分析】根据()c x ，利用导数除法法则求出()c x '，将95代入()c x '即可求得. 【详解】5284()100c x x ''⎛⎫= ⎪-⎝⎭25284(100)5284(100)(100)x x x ''⨯--⨯-=-20(100)5248(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =-()2528495211.36(10095)c '==-.故选：C . 【点睛】本题考查复合函数的导数、导数的几何意义及利用导数知识解决相关问题的能力，是中档题.7．D解析：D 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a . 【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ， 化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得 3304a a -+-=，解得158a =.故选：D 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.8．B解析：B 【解析】 【分析】求得函数的导数求得()0f a '=，由切线的方程为10x y +-=，求得1a =-，把点(0,)b 代入切线方程10x y +-=，求得b 的值，即可求解． 【详解】由题意，函数()2f x x ax b =++，则()2f x x a '=+，所以()0f a '=，又由切线的方程为10x y +-=，所以1a =-，把点(0,)b 代入切线方程10x y +-=，即010b +-=，解得1b =， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理利用切线的方程和切点的坐标适合切线，列出方程是解答的关键，着重考查了推基础题理与运算能力，属于．9．C解析：C 【分析】求得()f x 图像上切线斜率为2的切点的横坐标，即是t 的值. 【详解】依题意可知，当()f x 图像上的切线和()21g x x =+平行时，MN 取得最小值，令()'12f x x ==，解得12x =，故12t =，所以选C. 【点睛】本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.10．A解析：A 【解析】 【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论． 【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ， ∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ， 恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．D解析：D 【详解】 试题分析：因为，所以34παπ≤<，选A. 考点：导数的几何意义、正切函数的值域.12．B解析：B 【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可． 【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0， 当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，∴d min2. 故选B. 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．二、填空题13．【分析】求出导函数由基本不等式求得最小值得最小的切线斜率及切点坐标然后可得切线方程【详解】由题意当且仅当且即时等号成立又时即斜率为1切点为切线方程为即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查用基 解析：30x y --=【分析】求出导函数，由基本不等式求得最小值，得最小的切线斜率，及切点坐标，然后可得切线方程． 【详解】由题意22232331y x x x x '=-+=+-≥=，当且仅当22x x =且0x >，即1x =时等号成立，又1x =时，2y =-，即斜率为1，切点为(1,2)-，切线方程为21y x +=-，即30x y --=．故答案为：30x y --=． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用基本不等式求最值，属于中档题．14．-1【分析】根据题意直线与曲线相切于点利用导数的几何意义可求【详解】由题意可知直线恒过且与曲线相切于点；如图由得所以即【点睛】本题主要考查导数的几何意义切线的斜率为切点处的导数值侧重考查逻辑推理的核解析：-1 【分析】根据题意直线()()20y m x m =+>与曲线相切于点D ，利用导数的几何意义可求. 【详解】由题意可知，直线恒过()2,0-，且与曲线相切于点D ；如图，由cos y x =-得sin y x '=，4sin m x =，44cos (2)x m x -=+，所以444cos sin (2)x x x -=+，即()442tan 1x x +=-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切线的斜率为切点处的导数值，侧重考查逻辑推理的核心素养.15．【解析】【分析】分别求出导数设出各自曲线上的切点得到切线的斜率结合切点满足曲线方程再设出两条切线方程变形为斜截式从而根据切线相同则系数相等可得切点坐标的关系式整理得到关于一个坐标变量的方程借助于函数 解析：1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，再设出两条切线方程，变形为斜截式，从而根据切线相同则系数相等，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a 的范围． 【详解】1(),()22f x g x x x''==+，设切点分别是()()211222,ln ,,2ln x x x x x a ++， 所以切线方程分别为：()()()()211222211ln ,2ln 22y x x x y x x a x x x x -=--++=+-， 化简为()()212211ln 1,22ln y x x y x x x a x =+-=+-+， 所以21212122ln 1ln x x x a x ⎧=+⎪⎨⎪-=-⎩消1x ，得()222ln ln 221a x x =-+-， 令2()ln(22)1,(10)f x x x x =-+--<<，1()201f x x x '=-<+， 所以f (x )在(1,0)-单调递减，(0)ln 21,(1)f f =---→+∞，ln 21y >--，故ln ln 21a >--，解得12a e>.所以本题答案为1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】可导函数y =f (x )在0x x =处的导数就是曲线y =f (x )在0x x =处的切线斜率，这就是导数的几何意义，在利用导数的几何意义求曲线切线方程时，要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”，已知y =f (x )在0x x =处的切线是()()()000y f x f x x x '-=-，若求曲线y =f (x )过点(m ，n )的切线，应先设出切点()()00,x f x ，把(m ，n )代入()()()000y f x f x x x '-=-，求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再根据两直线方程系数成比例得到一个关于坐标变量的方程组即可.16．【解析】【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率先求出导函数利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率再用点斜式写出化简【详解】曲线时切线最小斜率为2此时切线方程为即故答案为：【点 解析：20x y -=【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率，先求出导函数()f x '，利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率，再用点斜式写出化简． 【详解】曲线3211333y x x x =-+-，223y x x ∴'=-+，1x ∴=时，切线最小斜率为2，此时，32111131233y =⨯-+⨯-=．∴切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=．故答案为：20x y -=． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及二次函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．17．0【解析】【分析】求函数的导数根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果【详解】因为函数y=(x+a)ex 在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直所以函数y=(x+ 解析：【解析】 【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果. 【详解】 因为函数在处的切线与直线垂直，所以函数在处的切线斜率，因为，所以，解得，故答案是0. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究曲线上某点处的切线的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，导数的几何意义，以及函数的求导公式，属于中档题目.18．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析：87【解析】 【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+. 【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+，求导得到()221ln 2x f x x x -=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+ 故答案为：87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.19．7【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率可得再由切点在切线上可得进而得到所求值详解：的图象在点处的切线方程是可得则所以答案是点睛：该题考查的是有关导数的几何解析：7 【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得'(2)1f =，再由切点在切线上，可得(2)6f =，进而得到所求值.详解：()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线方程是4y x =+，可得(2)246f =+=，'(2)1f =，则(2)'(2)617f f +=+=，所以答案是7.点睛：该题考查的是有关导数的几何意义，利用函数在某点处的导数等于该点处切线的斜率，再者就是切点在切线上，从而求得结果.20．【解析】三棱锥内接于长宽高为的长方体所以该几何体外接球的直径为表面积为 解析：6π【解析】三棱锥A BCD -内接于长宽高为的长方体，所以该几何体外接球的直径为=，表面积为246r ππ= 三、解答题21．（Ⅰ）a=﹣2（Ⅱ）111,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导函数，曲线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程，代入93,2⎛⎫⎪⎝⎭求出a 即可．（2）利用导函数()2132f x a x x =--'为（0，+∞）上的减函数，又因为f （x ）在（1，2）上存在极值，即()21302f x a x x -'=-=有解，列出不等式求解即可． 试题 （Ⅰ）()2132f x a x x =--' ()()1111,22f a f a ∴=--=-'-∴曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为()11122y a a x ⎛⎫++=-+- ⎪⎝⎭ ， 代入93,2⎛⎫⎪⎝⎭得a+5=﹣2a ﹣1⇒a=﹣2． （Ⅱ）()2132f x a x x =--' 为（0，+∞）上的减函数， 又因为f （x ）在（1，2）上存在极值，即()21302f x a x x -'=-=有解 ()()10111,2022f a f ⎧>⎪⎛⎫∴∴∈--⎨ ⎪<'⎝⎩'⎭⎪ ．点睛：本题考查导数几何意义及利用导数研究函数极值的问题，函数的极值点是导函数等于0的变号根，研究导函数的单调性，利用零点存在性定理限制不等式即得解. 22．(1)9,62b c =-=；（2）329()612f x x x x =-++；（3）15x ﹣16y+16＝0 【解析】 【分析】（1）由题意可得：f '（x ）＝3x 2+2bx+c ，所以3x 2+2bx+c ＝0的两个根为x 1＝1，x 2＝2，进而得到a 与b 的关系式解决问题．（2）设切点为（x 0，y 0），得f '（x 0）＝6，即x 0＝3或者x 0＝0，即可解出切点的坐标求出函数y ＝f （x ）的解析式．（3）由题意可得：设切点的坐标为（x 1，y 1），所以111y x k -=切＝321111962x x x x -+＝211962x x -+…①．所以K 切＝3x 12﹣9x 1+6…②，所以切点为（94，19964），所以1516k =切，所以切线方程为15x ﹣16y+16＝0． 【详解】（1）由题意可得：函数f （x ）＝x 3+bx 2+cx+d 的导数为：f '（x ）＝3x 2+2bx+c ，因为函数f （x ）＝x 3+bx 2+cx+d 有两个极值点x 1＝1，x 2＝2，所以3x 2+2bx+c ＝0的两个根为x 1＝1，x 2＝2，所以2b+c+3＝0，并且4b+c+12＝0，解得：b ＝﹣92，c ＝6． （2）设切点为（x 0，y 0），由（1）可得：f '（x ）＝3x 2﹣9x+6，因为直线y ＝6x+1与曲线y ＝f （x ）相切于P 点，所以f '（x 0）＝6，即x 0＝3或者x 0＝0，当x 0＝3时，y 0＝19，所以函数y ＝f （x ）的解析式为f （x ）＝x 392-x 2+6x+272．当x 0＝0时，y 0＝1，所以函数y ＝f （x ）的解析式为f （x ）＝x 392-x 2+6x+1．（3）由题意可得：f （x ）＝x 392-x 2+6x+1，并且P （0，1），设切点的坐标为（x 1，y 1），所以111y x k -=切＝321111962x x x x -+＝211962x x -+…①．又因为f '（x ）＝3x 2﹣9x+6， 所以K 切＝3x 12﹣9x 1+6…②，由①②可得：194x =或10x =（舍去）， 所以切点为（94，19964），所以1516k =切，所以切线方程为15x ﹣16y+16＝0． 所以过P 点和y ＝f （x ）相切于一异于P 点的直线方程为15x ﹣16y+16＝0．【点睛】本题考查了导数的几何意义与求导公式，求切线方程时应该首先弄清切线所过的点是否为切点，再根据题意采用不同的方法进行处理，属于中档题． 23．（1）21y x =-+（2）1- 【分析】（1）先求出定点(1,1)A -，然后求导，求出(1)f '，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而解决问题；（2）将2a =代入后求导，令导数为零，根据导数正负得导数的单调性，即可求得()f x 在[1,]e 上的最小值.【详解】（1）由题知：(1)1,f =-所以定点(1,1)A -， 若1a =-，()11f x x=--'，所以(1)2f '=-， 所以()f x 在点A 处的切线方程：12(1)y x +=--，即21y x =-+； （2）若2a =，()2ln f x x x =-，所以()2xf x x-'=， 令()0f x '=，解得2x =，当(1,2),()0,()x f x f x '∈>在(1,2)单调递增， 当(2,),()0,()x e f x f x '∈<在(2,)e 单调递减， 又因为(1)1f =-，()21f e e =->-， 所以()f x 的最小值为(1)f =1-. 【点睛】本题主要考查的是利用导数的几何意义求在点处的切线方程，利用导数求函数在给定区间的最值，考查学生的计算能力，是中档题. 24．（1）734y x =-（2）见解析 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程，求出切线与直线0x =和直线y x =的交点，根据三角形面积公式，即可得出答案. 【详解】 （1）31(2)222f =-= 23()1f x x '=+，37(2)144f '∴=+= 则曲线()y f x =在2x =处的切线方程为17(2)24y x -=-，即734y x =-（2）设(,)P m n 为曲线()y f x =上任一点，由（1）知过点P 的切线方程为231()y n x m m ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭即2331()y m x m m m ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0x =，得6y m=-令y x =，得2y x m ==从而切线与直线0x =的交点为60,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线与直线y x =的交点为(2,2)m m∴点(,)P m n 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积16|2|62S m m=⋅-⋅=，为定值.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于中档题. 25．（1）12y =（2）答案不唯一，具体见解析 【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； 【详解】 解：（1）当12a =时，21()2f x x lnx =-，1()f x x x∴'=-，()10k f ='=， 又()112f =， 故切线方程为12y =； （2）()()221f x ax a x lnx =+--，函数的定义域是(0,)+∞，()()212112(21)1()2(21)x ax ax a x f x ax a x x x+-+--∴'=+--==， 令2()2(21)1g x ax a x =+--， 当0a 时，()0<g x ，即()0f x '<， 则()f x 在(0,)+∞单调递减， 当0a >时，()g x 的图象如图所示：，则在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0<g x ，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()0>g x ，则()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，综上，0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，属于基础题．26．（1）2490x e y e +-=；（2）1a e -；（3）1a . 【解析】 【分析】（1）求导，把x e =代入导函数中，求出曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线的斜率，再求出()f e 的值，写出切线的点斜式方程，最后化为一般式；（2）对函数进行求导，让导函数为零，求出零点，然后判断函数的单调性，最后求出()f x 的极值；（3）函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，即在区间(20,e ⎤⎦上，()1f x =有解，这就要求函数()f x 在(20,e ⎤⎦上的最大值大于等于1，最小值小于等于1即可，结合（2）进行分类讨论，利用导数判断出函数的单调区间，求出函数的最大值，最后求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为4a =，所以'24ln 3ln ()()x x f x f x x x +--=⇒=，所以有'24()f e e-=， 而5()f e e=，曲线()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为： 2254()490y x e x e y e e e--=-⇒+-=； （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，ln ()a x f x x +=⇒ 21(ln )()x a f x x '-+=， 令'()0f x =，得1a x e -=，当()10,ax e -∈时，'()0,()f x f x >是增函数；当()1,ax e -∈+∞时，'()0,()f x f x <是减函数，所以函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11aa f e e--=，所以()f x 的极值为1a e -；（3）①当12a e e -<时，即1a >-时，由（2）可知：当()10,ax e -∈时，函数()f x 单调递增，当()1,ax e e -∈时，函数()f x 单调递减，函数()f x 在1a x e -=处取得极大值，即为()11a a f e e --=，所以()f x 的最大值为1a e -，又当a x e -=时，函数()f x 的值为零，故当(0,a x e -⎤∈⎦时，()0f x ≤，当(2,a x e e -⎤∈⎦时，(1()0,a f x e -⎤∈⎦，函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间(20,e ⎤⎦上有公共点，等价于11a e-，解得1a ； ②当12a e e -时，即1a -时，由（2）可知函数()f x 在(20,e ⎤⎦上单调递增，函数()f x 在(20,e⎤⎦上的最大值为()222a f e e +=，原问题等价于221a e+，解得22a e -，而1a -，所以无解，综上所述：实数a 的取值范围是1a .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数求曲线切线问题，考查了利用导数研究两个曲线有公共点问题，考查了分类讨论思想、转化思想，利用导数求出函数的单调区间，是解题的关键.。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=-，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e-B ．2e -C ．2e --D ．12e--2．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）A ．3B ．0C ．2D ．43．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( ) A ．2B ．42C ．4D ．224．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( ) A ．65B 5C ．55D ．65．已知221111x xf x x--⎛⎫= ⎪++⎝⎭，则曲线()y f x =在点)2,(2)f 处的切线的斜率为（ ）A ．19-B ．29-C ．19D ．296．曲线()33ln y x x x =-⋅在点(1,0)处的切线方程为（ ）A ．220x y +-=B ．210x y +-=C ．10x y +-=D ．440x y +-=7．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1B ．13C ．23D ．128．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（ ）A ．20162017B ．20172018C ．20182019D ．201920209．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π]10．若函数()33=-ln 3f x x x x -+-，则曲线()y f x =在点()()-1,-1f 处的切线的倾斜角是（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 11．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ） A ．22B ．322C ．(41)22e - D ．(41)22e + 12．直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b等于（ ） A ．14-B ．12-C ．14D ．12二、填空题13．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标等于______．14．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.15．已知函数()ln f x x x =+,若函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行,则0x =____________16．曲线ln(1)x y e x =++在(0,1)处的切线方程__________． 17．已知()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+，则(1)f '的值为___．18．已知1()sin cos f x x x =+，记211()(),,()(),,n n f x f 'x f x f 'x +==则1232017()()()()3333f f f f ππππ++++=_________________19．函数f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f′（﹣1）=6，则a 的值等于__．20．已知在R 上可导， ()()()3311F x f x f x =-+-，则()1F '=__________．三、解答题21．已知函数f （x ）=lnx 。
高中数学单元测试——变化率与导数
2018年9月17日高中数学周测/单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．曲线y=e x在A处的切线与直线x﹣y+1=0平行，则点A的坐标为（）A．（﹣1，e﹣1）B．（0，1）C．（1，e）D．（0，2）2．设曲线在点处的切线方程为,则( )A．0 B．1 C．2 D．33．已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于( )A．0B．1C．D．34．如图所示，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A．B．1C．2D．05．设曲线y＝ax－2ln(x＋2)在点(0, f(0))处的切线方程垂直于直线为x+2y=0，则a ＝( )A．0B．1C．2D．36．若曲线上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数( ) A．-2B．0C．1D．-17．已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为( ) A．B．C．D．8．曲线在处的切线与直线垂直，则（）A．-2B．2C．-1D．19．已知函数 的图象在点 处的切线为 ,若 也与函数 的图象相切,则 必满足（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知函数 的导函数为 ，记 ， ， ，则（ ）A ．B ．C ．D ． 11．曲线在点处的切线的斜率为（ ） A ．B ．C ．D ．12．设 存在导函数且满足，则曲线 在点 处的切线斜率为（ ）A ．B ．C ． 1D ． 213．如果曲线 在点 处的切线方程为 ，那么( ) A ． B ． C ． D ． 在 处不存在 14．已知直线l 是曲线x y e =与曲线22x y e =-的一条公切线， l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a 是函数()f x 的零点，则()f x 的解析式可能为（ ） A ． ()()222ln211xf x e x =+-- B ． ()()222ln212x f x e x =+-- C ． ()()222ln211xf x ex =--- D ． ()()222ln212x f x e x =---15．若曲线ln 1y x =+的一条切线是y ax b =+，则4ba e +的最小值是（ ）A ． 2B ．C ． 4D ． 16．若曲线 与曲线 在交点 处由公切线，则 （ ）A ． -1B ． 0C ． 2D ． 117．设 为曲线 上的点，且曲线 在点 处的切线的倾斜角的取值范围是，则点 的横坐标的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．18 P 是()y f x =图象上任意一点，过点P 作直线y x =和y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，又过点P 作曲线()y f x =的切线，交直线y x =和y 轴于点,G H .给出下列四个结论：②PA PB ⋅是定值；（O 是坐标原点）是定值；④PG PH ⋅是定值. 其中正确的是（ ）A ． ①②B ． ①③C ． ①②③D ． ①②③④19．如果曲线 在点 处的切线方程为 ,那么（ ） A ． B ． C ． D ． 在 处不存在 20．已知函数212y x =的图象在点2001,2x x ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线为l ，若l 也为函数()l n 01y x x =<<的图象的切线，则0x 必须满足（ ）A ．012x << B ． 01x < C ． 0x < D ． 02x <21．已知直线 是曲线 与曲线 的一条公切线， 与曲线 切于点 ，且 是函数 的零点，则 的解析式可能为（ ） A ． B ． C ． D ．22．若曲线 在P 点处的切线平行于直线 ，则P 点的坐标为（ ） A ． （1，1） B ． （ ，1） C ． D ． (1,0)23．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ． －1B ． 0C ． 2D ． 424． 为曲线 上一动点, 为直线 上一动点, 则 的最小值为 ( ) A ． 0 B ．C ．D ． 225．设直线 、 分别是函数 图像上点 、 处的切线， 与 垂直相交于点 ，则点 横坐标的取值范围为（ ）A ．B ．C ． （D ． 26．在曲线（ ）上任取一点作切线，若所作切线的斜率的取值范围为 ，则 的值为A ．B ．C ．D ．27．设P 为曲线C ： 223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P 横坐标的取值范围为()A ． 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B ． []10-，C ． []01， D ． 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，28．已知()y f x =的图象如图所示,则()A f x '与()B f x '的大小关系是A ． ()()AB f x f x >'' B ． ()()=A B f x f x ''C ． ()()A B f x f x <''D ． ()A f x '与()B f x '大小不能确定29．已知()y f x =的图象如图所示，则()'A f x 与()'B f x 的大小关系是( )A ． ()()''AB f x f x > B ． ()()''A B f x f x =C ． ()()''A B f x f x <D ． ()'A f x 与()'B f x 大小不能确定30．若曲线()y h x =在点()(),P a h a 处的切线方程为210x y ++=，那么( ) A ． ()'0h a = B ． ()'0h a < C ． ()'0h a > D ． ()'h a 不确定 31．设函数在x ＝1处存在导数，则)()103x f x x+-→＝( )A ． f ′(1)B ． 3f ′(1)C ．′(1) D ． f ′(3) 32上任一点(),x y 处的切线斜率为()g x ，则函数()2y x g x =的部分图象可以为（ ）A ．B ．C ．D ．33．若()42f x ax bx c =++满足()12f '=，则()1f '-=A ． 1-B ． 2-C ． 2D ． 034．若关于 的方程有唯一的实数解，则正数 （ ）A ．B ．C ．D ．35．函数 的图象在点( )处的切线的倾斜角为( ) A ．B ．C ． 锐角D ． 钝角36．对任意的0x >，总有，则a 的取值范围是（ ） A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ． ()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D ． ()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，37．曲线311y x =+在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ）A ． 12B ． 3C ． 4D ． 1138，则()1f '=（ ） A ． 2 B ． -2 C ． 5 D ． 5-39．抛物线22y x =在第一象限内图象上一点()2,2i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i N ∈，若216a =，则246a a a ++等于（ ） A ． 16 B ． 21 C ． 32 D ． 4240．已知曲线f(x)3－x 2＋ax －1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值范围为( )A ． (3，＋∞)B ．C ．D ． (0,3)41．已知函数()f x 在R 上可导，其部分图象如图所示，设不等式正确的是（ ）A ． ()()'2'4a f f <<B ． ()()'2'4f a f <<C ． ()()'4'2f f a <<D ． ()()'2'4f f a << 42．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D．43．下面说法正确的是（）A．若不存在，则曲线在点处没有切线B．若曲线在点处有切线，则必存在C．若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D．若曲线在点处没有切线，则有可能存在44．函数在处的导数的几何意义是（）A．在点处的斜率B．在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值C．曲线在点处切线的斜率D．点与点连线的斜率45．函数在某一点的导数是（）A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率46．若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）A．B．C ．D ．47．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为（ ）A ．B ．C ．D ．48．下面说法正确的是（ ） A ． 若不存在，则曲线在点处没有切线 B ． 若曲线在点处有切线，则必存在C ． 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在D ． 若曲线在点处没有切线，则有可能存在49．已知曲线的一条切线斜率是，则切点的横坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．50．函数在处的导数的几何意义是（ ）A ． 在点处的斜率B ． 在点处的切线与轴所夹的锐角的正切值C ． 曲线在点处切线的斜率D ． 点与点连线的斜率51．已知函数()21x f x e -=，直线l 过点()0,e -且与曲线()y f x =相切，则切点的横坐标为（ ）A ． 1B ． 1-C ． 2D ． 1e -52．若定义在 上的函数 在 处的切线方程 则f (2)+f’(2)= A ． B ． C ． 0 D ． 153．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，设函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意0x >都有()()20f x xf x '+>成立，则A ． ()()4293f f -<B ． ()()4293f f ->C ． ()()2332f f >-D ． ()()3322f f -<- 54．曲线在点处的切线方程为=A ．B ． 2-C ． 2D ． 355．曲线y ＝x 3－2在点x=－1处切线的斜率为( ) A ． -1 B ． 1 C ． -2 D ． 256．已知函数f （x ）=x 3+x 2+e x，则曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是（ ） A ． x+2y+1=0 B ． x ﹣2y+1=0 C ． x+y ﹣1=0 D ． x ﹣y+1=0二、填空题57．若曲线 在点 处的切线方程为_________.58．设函数 图象上不同两点 ， 处的切线的斜率分别是 ， ，规定（ 为线段 的长度）叫做曲线 在点 与点 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数 图象上两点 与 的横坐标分别为1和 ，则 ； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点 ， 是抛物线 上不同的两点，则 ；④设曲线 （ 是自然对数的底数）上不同两点 ， ，则 ． 其中真命题的序号为__________．（将所有真命题的序号都填上）59．已知 ,过点 作函数 图像的切线,则切线方程为__________.60．曲线 在点 处切线方程是________61．若曲线 在点 处的切线的斜率为3，则点 的坐标为__________． 62．曲线 ： 在点 处的切线方程为__________．63．如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则__________．64．曲线在 处的切线方程为__________． 65．过曲线C ：y = 上点（1， ）处的切线方程为____．66．定义在区间[a ，b]上的连续函数y=f(x)，如果 ，使得 ，则称 为区间[a,b]上的“中值点”．下列函数：① ；② ；③ ；④中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为_________．（写出所有．．满足条件的函数的序号）67．分别在曲线 与直线 上各取一点 与 ，则 的最小值为__________． 68．已知直线 与曲线 相切，则 的值为__________．69．已知曲线 在 处的切线经过点 ，则 __________．70．已知函数f(x)，x ∈ (0,+ ∞)的导函数为()f x '，且满足()()32xx f x f x x e -=',f(1)=e-1,则f(x)在()()2,2f 处的切线为____71．如图,函数 的图象在点 处的切线方程是 则 ___.72．若函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程则()()22f f +'的值为______．73．对正整数n ，设曲线y ＝(2－x )x n 在x ＝3处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数n 项和等于________． 74．已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在点e x =处切线的倾斜角的余弦值为__________．75．设函数f (x )的导数为f′(x)，且f(x)＝f′( )sinx ＋cosx ，则f′( )＝_________. 76．曲线 在点 处的切线方程为________. 77．曲线()ln f x x x =在点()10P ，处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是__________.78．曲线()3241f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-，则P 点的坐标为__________.79．已知曲线1C ： x y e =与曲线2C ： ()2y x a =+，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数a 的值为__________.80________. 81．若函数()ln f x x ax =+的图象上存在与直线310x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是__________．82．若直线y kx b =+为函数()ln f x x =图象的一条切线，则k b +的最小值为__________．83．若曲线()2ln f x x ax b =-+a 等于______.84．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间存在函数关系，则瞬时速度为的时刻是_________. 85．定义在区间[],a b 上的连续函数()y f x =，如果[],a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，则称ξ为区间[],a b 上的“中值点”，下列函数：①()32f x x =+；②()21f x x x =-+；③()()ln 1f x x =+中，在区间[]0,1上“中值点”多于一个的函数序号为__________．（写出所有满足条件的函数的序号）86．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则()()44f f -'=__________．87．已知曲线()ln f x x x =⋅在点()(),e f e 处的切线与曲线2y x a =+相切，则a =____．88．若直线l 与曲线()(),f x g x 都相切，则直线l 的斜率为__________．89．抛物线C 1： 的焦点与双曲线C 2： 的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.90．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________． 91．已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在点1x =处切线的倾斜角为__________．三、解答题92．已知点M 是曲线y ＝x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围.93．已知函数. （Ⅰ）求函数 在点 处的切线方程；（Ⅱ）求过点 的函数 的切线方程.94．已知点M 是曲线上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求： (1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角 的取值范围.95．如图，在平面直角坐标系内从点P 1（0,0）作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1（0,1），曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记 点的坐标为（ ,0）（k ＝1,2，…，n ）.（1）试求 与 的关系（k ＝2，…，n ）；（2）求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.96．已知函数f (x )3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．97．已知函数()()ln ,R f x g x a x a ==∈，若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有共同的切线，求a 的值和该切线方程；98．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程.99(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．100．设函数()22ln 1f x x mx =-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当()f x 有极值时，若存在0x ，使得()01f x m >-成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】由题意结合导函数研究函数的性质即可确定点A的坐标.【详解】设点A的坐标为，，则函数在处切线的斜率为：，切线与直线x﹣y+1=0平行，则，解得：，切点坐标为，即.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线，直线平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D【解析】【分析】根据求导公式，求得导函数即切线斜率，由点在曲线上代入求得参数的值。
变化率导数练习题
变化率导数练习题在微积分中，变化率导数是指函数在某一点的斜率或者趋势。
通过求解导数，我们可以得到函数在不同点的变化率，并进一步分析函数的增长或减小情况。
本文将提供一些变化率导数的练习题，以帮助读者进行练习和加深对变化率导数的理解。
1. 求下列函数在给定点处的导数：题目1：计算函数 f(x) = x^2 在 x = 2 处的导数。
解答：我们可以使用导数的定义来求解。
根据导数的定义，导数 f'(x) 可以表示为极限：f'(x) = lim (h->0) [(f(x + h) - f(x)) / h]将 f(x) = x^2 代入上式，并计算得到：f'(2) = lim (h->0) [((2 + h)^2 - 2^2) / h]= lim (h->0) [(4 + 4h + h^2 - 4) / h]= lim (h->0) [(4h + h^2) / h]= lim (h->0) (4 + h)= 4所以，函数 f(x) = x^2 在 x = 2 处的导数为 4。
2. 求下列函数的导数：题目2：计算函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 1 的导数。
解答：我们可以使用导数的定义来求解。
根据导数的定义，导数 f'(x) 可以表示为极限：f'(x) = lim (h->0) [(f(x + h) - f(x)) / h]将 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 1 代入上式，并计算得到：f'(x) = lim (h->0) [(3(x + h)^4 - 2(x + h)^3 + 5(x + h)^2 - 7(x + h) + 1 - (3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 1)) / h]= lim (h->0) [(3(x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4) - 2(x^3 +3x^2h + 3xh^2 + h^3) + 5(x^2 + 2xh + h^2) - 7(x + h) + 1 - 3x^4 + 2x^3 -5x^2 + 7x - 1) / h]= lim (h->0) [(12x^3h + 18x^2h^2 + 12xh^3 + 3h^4 - 6x^2h - 6xh^2 - 2h^3 + 10xh + 5h^2 - 7h) / h]= lim (h->0) [12x^3 + 18x^2h + 12xh^2 + 3h^3 - 6x^2 - 6xh - 2h^2 + 10x + 5h - 7]= 12x^3 - 6x^2 + 10x - 7所以，函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 1 的导数为 f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x - 7。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试题(答案解析)
一、选择题1．函数()21cos 6f x x x =-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．2．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）A ．3B ．0C ．2D ．4 3．设点P 是曲线()233x f x e x =-+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 4．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（ ） A ．cos sin x x -- B ．cos sin x x - C ．sin cos x x + D ．cos sin x x -+ 5．设P 为曲线2:2C y x x =+上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则点P 横坐标的取值范围为( )A．1,2⎫++∞⎪⎣⎭ B．1,2⎫-+∞⎪⎣⎭ C．122⎤-+⎥⎣⎦ D．,12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 6．已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( ) A ．2- B ．3-C ．4-D ．1- 7．已知函数ln ,0()3,0x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图像上有两对关于y 轴对称的点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),0e -B ．-21,02e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,0e -D ．()22,0e - 8．已知函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直，若数列{1()f n }的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( )A ．20102011B ．20112012C ．20122013D ．201320149．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）ABCD10．已知定义在()0+∞，上的函数()()26ln 4x m g x f x x x =+=-，，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．5- 11．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos sin αα+的值为（ ） A．5 B．10 C．5 D12．已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3二、填空题13．求26100lim 3110045n n n n n n →∞⎧≤⎪⎪⎨+⎪>⎪+⎩（*n N ∈）=________ 14．函数()2x f x e x =-的图象在点()()0,0f 处的切线为_____．15．已知函数1()11f x x a x =++-+的图象是以点(1,1)--为中心的中心对称图形，2()xg x e ax bx =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线互相垂直，则a b +=__________．16．已知函数()cos2f x x =的图象与直线()4400kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则()()2113tan x x x x -=-________. 17．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线方程是__________．18．若对()0,,x ∀∈+∞都有ln x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围为__________ 19．已知函数y=f （x ）的图象在点M （2，f （2））处的切线方程是y=x+4，则f （2）+f′（2）=__．20．若以曲线()y f x =上任意一点(,)M x y 为切点作切线l ，曲线上总存在异于M 的点11(,)N x y ，以点N 为切点作线1l ，且1//l l ，则称曲线()y f x =具有“可平行性”，下列曲线具有可平行性的编号为__________．（写出所有的满足条件的函数的编号） ①1y x= ②3y x x =- ③cos y x = ④2(2)ln y x x =-+ 三、解答题21．已知函数2()ln f x ax x =-(a 为正实数)．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程；（Ⅱ）若方程()0f x =在区间[1,e]上有两个不相等的实数根，求a 的取值范围． 22．已知函数()2ln f x x ax ax =+- ，其中a R ∈ . （1）当1a = 时，求函数()f x 在1x = 处的切线方程；（2）若函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a 的取值范围.23．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.24．已知函数()323611f x ax x ax =+--，()23612g x x x =++和直线m ：9y kx =+，且()'10f -=．()1求a 的值；()2是否存在k 的值，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是曲线()y g x =的切线？如果存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．25．设函数()ln 2f x x ax =-.（I ）若函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线为直线l ，且直线l 与圆()2211x y ++=相切，求a 的值；（II ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间.26．已知函数（）在2x =时有极值，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=平行．(1)求m ，n 的值； (2)求函数()f x 的单调区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】求导得到()1'sin 3f x x x =+，根据函数为奇函数排除B ，证明()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立，排除CD ，得到答案.【详解】()21cos 6f x x x =-，则()1'sin 3f x x x =+，()()1'sin '3f x x x f x -=--=-， 导函数()'f x 为奇函数，排除B ；当()0,x π∈时，()1'sin 03f x x x =+>；当[),x π∈+∞时，()1'sin 1sin 03f x x x x =+>+≥， 故()0,x ∈+∞时，()1'sin 03f x x x =+>恒成立，排除CD. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数奇偶性和()0,x ∈+∞时，()'0f x >恒成立是解题的关键.2．A解析：A【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．3．B解析：B【分析】先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可.【详解】由()23xf x e =+，所以()'=x f x e又P 是曲线()23x f x e =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，所以点P 处的切线的斜率为tan α==x k e 0x e >，所以tan α>所以角α的取值范围为20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 . 4．A解析：A【分析】根据归纳推理进行求解即可．【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+，[]'23()()cos sin f x f x x x ==--，[]'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键． 5．B解析：B【分析】根据倾斜角范围可求得切线斜率的范围，根据导数的几何意义可利用导函数构造不等式求得所求横坐标的取值范围.【详解】设切线的倾斜角为θ，则,32ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ∴切线斜率)k ∈+∞ 22y x '=+22x ∴+≥2122x ≥=- 即P点横坐标的取值范围为1,⎫-+∞⎪⎣⎭故选：B【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系、导数的几何意义的应用；关键是能够根据直线斜率与倾斜角的关系确定切线斜率的取值范围.6．A解析：A【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.【详解】1()f x x'=， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=，∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切， ∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=，得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去），故选A【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.7．C解析：C【分析】把函数()f x 的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()y x =-在0x <时有两个交点，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，即可求解．【详解】，由题意，当0x >时，()ln f x x =，则()ln f x x =关于y 轴的对称函数ln()y x =-(0)x <，由题意可得3y kx =-与ln()yx =-在0x <时有两个交点， 设3y kx =-与ln()yx =-相切于(,)m n ， 因为ln()y x =-的导数1y x '=，所以1k m=， 又由ln()3m km -=-，即1ln()32m m m -=⨯-=-，解得21m e =-， 所以2k e =-，由图象可得，当20e k -<<时，函数3y kx =-与ln()yx =-在0x <上有两个交点， 即当20e k -<<时，函数ln ,0()3,0x x f x kx x >⎧=⎨-≤⎩的图象上有两对关于y 轴的对称点， 故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的图象上有两对关于y 轴的对称点，转化为3y kx =-与ln()y x =-在0x <时有两个交点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．8．D解析：D【解析】【分析】利用导数的几何意义求b ，然后通过数列{()1f n }的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出S 2013的值．【详解】∵f(x)=x 2-ax ，∴f′(x)=2x -a ，根据导数的几何意义，∴y=f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率k=f′(1)=2-a ，∵函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直，∴()1213a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，∴a=-1，∴f(x)=x 2+x ， ∴f(n)=n 2+n=n(n+1)，∴()()111111f n n n n n ==-++ , ∴20131111112013112232013201420142014S =-+-++-=-=. 故选D ．【点睛】 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．考查学生的综合能力．属于中档题．9．B解析：B【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0， 当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，∴d min故选B.【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题．10．D解析：D【分析】分别求得()f x 和()g x 的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入()f x 求得m 的值.【详解】()()2,64f x x g x x ''==-，令624x x=-，解得1x =，这就是切点的横坐标，代入()g x 求得切点的纵坐标为4-，将()1,4-代入()f x 得14,5m m +=-=-.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.11．A解析：A【解析】【分析】 求出曲线2ln y x x =-在1x =处切线斜率，从而可得进而得到cos sin αα+. 【详解】函数的定义域为()0,∞+ ，212,y x x =+' 1x =时，3,y '=，即tan 3,α= 且α为锐角，则cos αα===cos sin αα∴+== 故选A.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查斜率与倾斜角之间的关系，考查同角三角函数基本关系式，确定tan 3,α=是解题的关键． 12．B解析：B【分析】 根据切线的斜率的几何意义可知0003|21x x y x x ='=-=-，求出切点，代入切线即可求出m . 【详解】设切点为00(,)x y因为切线y x m =-+，所以0003|21x x y x x ='=-=-， 解得0031,2x x ==-（舍去） 代入曲线23ln y x x =-得01y =，所以切点为1,1（）代入切线方程可得11m =-+，解得2m =.故选B.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，函数的切线方程，属于中档题.二、填空题13．【分析】分和两种情况讨论综合可得【详解】解：综上故答案为：【点睛】本题考查了极限的计算问题也考查了转化思想是基础题解析：0【分析】分lim n →+∞和lim n →-∞两种情况讨论，综合可得. 【详解】 解：26100lim 3110045n n n n n n →∞⎧≤⎪⎪⎨+⎪>⎪+⎩ 31310044lim lim 05451014n n n n n n n →+∞→∞⎛⎫∴⎛⎫+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===+++ 26lim 0n n →-∞=∴ 综上26100lim 03110045n n n n n n →∞⎧≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪+⎩ 故答案为：0【点睛】本题考查了极限的计算问题，也考查了转化思想，是基础题．14．【解析】【分析】求出原函数的导函数得到f′（0）为切线斜率再求得f(0)即可求解切线方程【详解】f （x ）＝ex ﹣x2f′（x ）＝ex ﹣2x ∴k ＝f′（0）＝1又切点坐标为（01）∴函数f （x ）＝ex 解析：10x y -+=【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到f ′（0）为切线斜率，再求得f(0)，即可求解切线方程． 【详解】f （x ）＝e x ﹣x 2，f ′（x ）＝e x ﹣2x ， ∴k ＝f ′（0）＝1， 又切点坐标为（0，1），∴函数f （x ）＝e x ﹣x 2图象在点（0，f （0））处的切线方程是y ﹣1＝x ﹣0， 即x- y +1=0． 故答案为x- y +1=0． 【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，在曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．15．【分析】由中心对称得可解得再由两切线垂直求导数得斜率令其乘积为-1即可得解【详解】由得解得所以又所以因为由得即故答案为【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性考查了导数的几何意义即切线斜率属于中档题 解析：43-【分析】由中心对称得()()022f f +-=-，可解得a ，再由两切线垂直，求导数得斜率，令其乘积为-1，即可得解. 【详解】由()()022f f +-=-，得11121242a a a +---+-=-=-， 解得1a =，所以()11f x x x =++. 又()()21'11f x x =-++，所以()3'14f =.因为()2xg x e x bx =++，()'2xg x e x b =++，()'01g b =+，由()3114b +=-，得413b +=-，即43a b +=-. 故答案为43- 【点睛】本题主要考查了函数的中心对称性，考查了导数的几何意义即切线斜率，属于中档题.16．【分析】求解直线恒过定点（0）k ＞0恰有三个公共点其直线必过f （x ）的对称点（0）其它两点是直线与f （x ）的切点那么x1+x3=由导函数几何意义：f′（2x ）=-sin2=k 再由切线方程即可求出【详 解析：12-【分析】求解直线 440(0)kx y k k π--=>恒过定点（4π，0），k ＞0恰有三个公共点，其直线必过f （x ）的对称点（4π，0），其它两点是直线与f （x ）的切点，那么x 1+x 3=2π，31x =-x 2π由导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k ，再由切线方程即可求出.【详解】由题意，直线440(0)kx y k k π--=>可得y=k(x-4π)恒过定点（4π，0），即x 2=4π∵k ＞0恰有三个公共点，其直线必与（x ）的相切，因为f （x ）关于（4π，0）对称，所以x 1+x 3=2π．∴31x =-x 2π，导函数几何意义：f′（2x 1）=-sin21x =k所以切线方程：y-111cos2x =-2sin2x x-x （） 过（4π，0） 所以112-x tan2x =14（）π，()2113tan x x x x --=11x 4tan 22x ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=111tan242x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 故答案为12- 【点睛】本题考查了直线方程的定点和三角函数图象的交点问题．灵活判断定坐标值和对称点的和为定值是关键，再利用切线方程找到等式，求出结果即可，属于中档题.17．【解析】分析：先求导再求切线的斜率再写出切线的方程详解：由题得因为切点为（12）所以切线方程为即切线方程为故答案为：点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法意在考查学生对这些知识的掌握 解析：1y x =+【解析】分析：先求导，再求切线的斜率，再写出切线的方程. 详解：由题得1212112, 1.1x y k x x -⨯-=-=∴=='因为切点为（1,2）， 所以切线方程为21,y x -=-即切线方程为1y x =+.故答案为：1y x =+.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-18．【解析】分析：将原问题转化为函数图象之间的关系数形结合即可求得实数的取值范围详解：在区间上绘制函数和函数的图象满足题意时对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方如图所示为临界条件直线过坐标原点与对解析：1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】分析：将原问题转化为函数图象之间的关系，数形结合即可求得实数a 的取值范围. 详解：在区间()0,∞+上绘制函数ln y x =和函数y ax =的图象， 满足题意时，对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方， 如图所示为临界条件，直线过坐标原点，与对数函数相切， 由ln y x =可得1'y x =，则在切点()00,ln x x 处对数函数的切线斜率为01k x =，切线方程为：()0001ln y x x x x -=-， 切线过坐标原点，则：()00010ln 0x x x -=-， 解得：0x e =，则切线的斜率011k x e==. 据此可得：实数a 的取值范围为1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：本题主要考查切线方程的求解，数形结合解题，转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．7【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率可得再由切点在切线上可得进而得到所求值详解：的图象在点处的切线方程是可得则所以答案是点睛：该题考查的是有关导数的几何解析：7 【解析】分析：运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得'(2)1f =，再由切点在切线上，可得(2)6f =，进而得到所求值.详解：()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线方程是4y x =+，可得(2)246f =+=，'(2)1f =，则(2)'(2)617f f +=+=，所以答案是7.点睛：该题考查的是有关导数的几何意义，利用函数在某点处的导数等于该点处切线的斜率，再者就是切点在切线上，从而求得结果.20．①③【解析】因为；因为不存在异于的点；因为总存在异于的点满足条件；因为不存在异于的点；所以选①③解析：①③ 【解析】 因为122111y x x x x x =-=-∴=-'≠取 ； 因为231,0y x x =-='时不存在异于M 的点N ；因为1sin sin y x x =-=-'∴总存在异于M 的点N 满足条件；因为212412(2)x x y x x x ='-+=-+，2x =不存在异于M 的点N ；所以选①③三、解答题21．(Ⅰ)310x y --=；(Ⅱ)211[,)e 2e. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再根据点斜式求得切线方程即可．（Ⅱ）通过求导可得函数()y f x =在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎭上单调递增．所以要使方程()0f x =在区间[]1,e上有两个不相等的实数根，需满足()1e 1000f f e f ⎧<<⎪⎪≥⎪⎨≥⎪⎪<⎪⎩，解不等式可得a 的取值范围．试题（Ⅰ）当2a =时，()22ln f x x x =-，∴()1'4f x x x=-， ∴()'13f =． 又()12f =，∴曲线()y f x =在点()1,2P 处的切线方程为()231y x -=-， 即310x y --=．（Ⅱ）∵()2ln (0)f x ax x a =->，∴()2121'2(0,0).ax f x ax x a x x -=-=>>令()221'0ax f x x-==，即2210ax -=，得10x =>，20x =<（舍去）． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：由上表可得，函数()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎭上单调递增．∵方程()0f x =在区间[]1,e 上有两个不相等的实数根， ∴()()21e 10e 10112022f a f ae f ln a ⎧<<⎪⎪=≥⎪⎨=-≥⎪⎪=+<⎪⎩，解得211e 2e a ≤<． 故实数a 的取值范围是211,e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 点睛：已知方程在区间上根的个数求参数范围的方法（1）通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值以及函数的变化趋势等； （2）根据题目要求，画出函数图象的草图，标明函数极(最)值的位置；（3）借助数形结合的方法，将方程在区间上的根的个数问题用区间端点值、函数极值的正负来表示的不等式组；（4）解不等式组可得所求的范围． 22．(1)1y x =- ；(2)0a < . 【解析】 试题分析：(1)首先利用导函数求得切线的斜率为1，然后利用点斜式可得切线方程为1y x =-； (2)求解函数的导数，然后讨论函数()221t x ax ax =-+的性质可得实数a 的取值范围是0a < .试题（1）当()0,ln a f x x ==则()10f = 又()1,f x x'=则切线的斜率1k =， 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-．（2）()2ln f x x ax ax =+-，0x >，则()221ax ax f x x'-+=，令()221t x ax ax =-+，①若0a =，则()22110t x ax ax =-+=>，故()'0f x >，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故0a =不符题意，舍去； ②若0a <，()2211212148t x ax ax a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，该二次函数开口向下，对称轴14x =，111048t a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()0t x =在()0+∞，上有且仅有一根0x =()0'0f x =， 且当00x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()00x ，上单调递增； 当0x x >时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()0x +∞，上单调递减；所以0a <时，函数()f x 在定义域上有且仅有一个极值点0x =意；③若0a >，()2211212148t x ax ax a x a ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，该二次函数开口向上，对称轴14x =．（ⅰ）若111048t a ⎛⎫=-≥⎪⎝⎭，即08a <≤，()104t x t ⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，故()'0f x ≥，函数()f x 在()0+∞，上单调递增，所以函数()f x 在()0+∞，上无极值点，故08a <≤不符题意，舍去； （ⅱ）若111048t a ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，即8a >，又()010t =>，所以方程()0t x =在()0+∞，上有两根1x =2x =()()12''0f x f x ==，且当10x x <<时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()10x ，上单调递增； 当12x x x <<时，()0t x <，()'0f x <，函数()f x 在()12x x ，上单调递减； 当2x x >时，()0t x >，()'0f x >，函数()f x 在()2x ，+∞上单调递增； 所以函数()f x 在()0+∞，上有两个不同的极值点，故8a >不符题意，舍去， 综上所述，实数a 的取值范围是0a <．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．23．（1）20x y +-=（2）当0a ≤时增区间()0,+∞，当0a >时增区间(),a +∞，减区间()0,a 【解析】试题分析：（1）当2a =时，()2ln f x x x =-，求得切点为()1,1A ，2()1f x x=-'，求得斜率为()11f '=-，故切线方程为1(1)y x -=--；（2）函数的定义域为()0,+∞，()1a x a f x x x-=-='，当0a ≤时，∵0x >，∴()0f x '>恒成立，函数单调递增，当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.试题（1）∵2a =，∴()2ln f x x x =-，∴(1)12ln11f =-=，即(1,1)A2()1f x x=-'，(1)121f ='-=-， 由导数的几何意义可知所求切线的斜率(1)1k f '==-， 所以所求切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.（2）()1a x a f x x x-=-='， 当0a ≤时，∵0x >，∴()0f x '>恒成立，∴()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，∵0x >，∴()0f x '>，得x a >；()0f x '<得0x a <<； ∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增. 考点：导数与切线、单调区间． 24．(1) a=-2 (2) 公切线是y=9,此时k=0 【分析】（1）计算f′(x)，进而由f′(－1)＝0可得解；（2）直线m 是曲线y ＝g(x)的切线，设切点为(x 0,320x ＋6x 0＋12)，由导数得切线斜率，进而得切线方程，带入(0,9) 得x 0＝±1，再分别计算当f′(x)＝0或f′(x)＝12时的切线，进而找到公切线. 【详解】(1)f′(x)＝3ax 2＋6x －6a ，f′(－1)＝0. 即3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2. (2)存在．∵直线m 恒过定点(0,9)，直线m 是曲线y ＝g(x)的切线，设切点为(x 0,320x ＋6x 0＋12)，∵g′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(320x ＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将点(0,9)代入，得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由f′(x)＝0，得－6x 2＋6x ＋12＝0. 即有x ＝－1或x ＝2，当x ＝－1时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝－18； 当x ＝2时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝9. ∴公切线是y ＝9.又令f′(x)＝12，得－6x 2＋6x ＋12＝12， ∴x ＝0或x ＝1.当x ＝0时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝12x －11； 当x ＝1时，y ＝f(x)的切线方程为y ＝12x －10， ∴公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述公切线是y ＝9，此时k ＝0. 【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为： ()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 25．（I ）12a =；（II ）在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数.【分析】（I ）利用导数求出切线斜率，利用圆心到直线距离等于半径列方程可得12a =；（II ）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；【详解】（I ）依题意有1()2f x a x=-'， 所以切线斜率为 12a -， 切线方程()()2121y a a x +=-- 即()2110a x y -++=又已知圆的圆心为()1,0-，半径为1，依题意，21211(21)1a a -+=-+解得12a =（II ）依题意知()ln 2f x x ax =-的定义域为()0,∞+ 又知1()2f x a x=-' 因为0,0a x >>，令120a x-> 由120ax ->，得102x a<<； 由120ax -<，得12x a>所以在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭是增函数在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是减函数 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.26．解：（Ⅰ）（）在2x =时有极值，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=平行7分14分【解析】（1）先求出函数的导数，有导数的几何意义得 (2)01{,{(1)33f m f n ==∴=-'=-' （2）由（1）得2()36,f x x x -'=令2()360f x x x -'=>，得增区间； 令2()360f x x x -'=<，得减区间．解：（Ⅰ） （）在2x =时有极值，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=平行 7分 14分。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（ ） A ．150! B ．150 C ．50 D ．50!2．直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知()x f x e =，()ln 2g x x =+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则直线l 的方程为（ ）A ．1y x e =或1y x =-B ．y ex =-或1y x =--C ．y ex =或1y x =+D ．1y x e=-或1y x =-+ 3．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）A ．3B ．0C ．2D ．44．若曲线()x f x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ）A ．12e +B ．12e -C ．12D ．2e 5．函数()2221sin cos 622x x f x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知()ln 1x f x x =+，则()0f '等于（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14- 7．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．设函数()ln f x x =，且()012,,0,x x x ∈+∞，下列命题：①若12x x <，则()()122121f x f x x x x ->-； ②存在()012,x x x ∈，12x x <，使得()()120121f x f x x x x -=-； ③若11x >，21>x ，则()()12121f x f x x x -<-； ④对任意的1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭. 其中正确的命题个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－210．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（ ） A ．e B ．1e - C ．1- D ．e -11．已知函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直，若数列{1()f n }的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( ) A ．20102011 B ．20112012 C ．20122013 D ．2013201412．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．0x y +=B ．1x =C ．20x y --=D ．1y =-二、填空题13．函数()ln(32)f x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为_______14．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．15．已知1()2(1)f x xf x=+'，则(2)f '=______． 16．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是28y x =-+，则(3)(3)f f '+=__________．17．已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.18．某物体作直线运动，其位移S 与时间t 的运动规律为2S t t =+t 的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为__________米/秒.19．设函数y=-x 2+l 的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________.20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf ，则(3)f '=_______．三、解答题21．已知函数，，曲线在处的切线方程为． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对，恒有成立，求的取值范围． 22．定义在R 上的函数()()313,3f x x cx f x =++在0x =处的切线与直线2y x =+垂直. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）设()()4ln g x x f x =-'，（其中f x 是函数()f x 的导函数），求()g x 的极值. 23．已知函数()31132f x x =+. （1）求曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求过点122A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作曲线y =f （x ）的切线方程.24．求下列函数的导函数.（1）()521y x =+（2）1log 32a y x =+ 25．已知平面向量(sin 2,cos2),(sin 2,cos2)a x xb ϕϕ==，设函数()f x a b =⋅（ϕ为常数且满足0πϕ-<<），若函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的一条对称轴是直线8x π=. （1）求ϕ的值；（2）求函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值： （3530x y -+=与函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象不相切． 26．已知函数()()1ln 1x f x x ++=和()()1ln 1g x x x =--+（1）若()f x '是()f x 的导函数，求(1)f '的值（2）当0x >时，不等式()()0g x f x k x'->恒成立，其中()g x '是()g x 导函数,求正整数k 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】求出()1f '-和()0f ，可得出n a 的表达式，进而可计算得出50a 的值.【详解】()()()()()123f x x x x x n =++++，其中2n ≥且n *∈N ，()()()()()()()2313f x x x x n x x x n '∴=++++++++()()()121x x x n ++++-，()()11231f n '∴-=⨯⨯⨯⨯-，()()01231f n n =⨯⨯⨯⨯-⨯，则()()110n f a f n'-==， 因此，50150a =. 故选：B.【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题. 2．C解析：C【分析】首先设出切点坐标，根据导数的几何意义列出等量关系，解出切点坐标，从而得到切点方程.【详解】设()f x ，()g x 的切点分别为11(,)x x e ，22(,ln 2)x x +，()x f x e '=，1()g x x '=. 所以121x x k e ==，即1221ln ln x x x ==-. 又因为122221221ln 2ln 2ln x x x e x k x x x x +-+-==-+，所以222221ln 21ln x x x x x +-=+. 整理得22(1)(ln 1)0x x -+=，解得：21x =或21x e=. 所以()g x 的切点为(1,2)或1(,1)e，1k =或e . 切线为21y x -=-或11()y e x e-=-，即：1y x =+或y ex =.故选：C【点睛】本题主要考查导数的切线问题，利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系进行转化为解题的关键，属于中档题. 3．A解析：A【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．4．A解析：A【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案. 【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A .【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．C解析：C【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.【详解】因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>； 当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>. 所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C.【点睛】本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．C解析：C【分析】首先利用换元法求出函数()f x 的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可；【详解】解：()ln 1x f x x=+， 令ln t x =，t R ∈，则t x e =()1tt e f t e∴=+，t R ∈()1xx e f x e∴=+，x ∈R ()()()()()222111x x x x x x e e e e f x e e +-'∴==++()()0201041e f e '∴==+故选：C【点睛】 本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.7．A解析：A【分析】 根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】 因为()221x sinx f x x =+，()221x sinx f x x -=-+，且定义域关于原点对称， 故()f x 是奇函数，排除选项C ； 因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ； 因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ； 故选：A.【点睛】 本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.8．B解析：B【分析】作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于①，设112x =，21x =，()()121221ln ln1122ln 21112f x f x x x x --==>=--，显然①不正确；作出函数()ln f x x =的图象，取点()()11,C x f x ，点()()22,D x f x ，取线段CD 的中点B ，过B 作垂直于x 轴的直线交函数图象于A ，显然A B y y >，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即④成立. 在弧CD 之间，必存在某点E ，使过该点的切线的斜率等于割线CD 的斜率，所以②对. 对于③，1()f x x'=，()'f x 在()0,∞+上单调递减，(1)1f '=，表示过点()1,0的切线的斜率为1，若11x >，21>x ，则1()1f x '<，2()1f x '<，割线CD 的斜率小于1，所以③对.故选：B.【点睛】本题考查函数的导数、导数的几何意义，考查对数函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于中档题.9．A解析：A【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+， 所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x xb =-+， 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =， 所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10．C解析：C【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案.【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x '='+， 令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e =-+， 令x e =，则()2ln 1f e e e e =-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 11．D解析：D【解析】【分析】利用导数的几何意义求b ，然后通过数列{()1f n }的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出S 2013的值．【详解】∵f(x)=x 2-ax ，∴f′(x)=2x -a ，根据导数的几何意义，∴y=f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率k=f′(1)=2-a ，∵函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直，∴()1213a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，∴a=-1，∴f(x)=x 2+x ，∴f(n)=n 2+n=n(n+1)，∴()()111111f n n n n n ==-++ , ∴20131111112013112232013201420142014S =-+-++-=-=. 故选D ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．考查学生的综合能力．属于中档题．12．D解析：D 【解析】 由题可得11'()1xf x x x-=-=，则切线的斜率为'(1)0f =，又(1)1f =-，所以切线方程为1y =-，故选D ．二、填空题13．【分析】求出该点坐标和导函数该点的导数值即为此处切线斜率利用点斜式写出直线方程化简可得【详解】由题：所以函数在处的切线斜率所以切线方程：即故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义求函数在某点处的切线 解析：330x y --=【分析】求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得. 【详解】由题：(1)ln(32)0f =-=，3()32f x x '=-， 所以函数()f x 在(1,0)处的切线斜率(1)3k f '==，所以切线方程：03(1)y x -=-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=. 【点睛】此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.14．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式 进行解答． 【详解】 因为()()f x g x alnx a'=+， 所以2()a x b g x x a-'=+． 又因为0a >，0b >， 所以g '（b ）22a b b a ab a b b-=+=+， 所以斜率的最小值是2． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本 题的关键．15．【解析】【分析】先求导再求和【详解】由题得所以故答案为：【点睛】（1）本题主要考查导数的求法意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力(2)解答本题的关键是求在求导时知道它是一个常数就可以了解析：74【解析】 【分析】先求导，再求()1f '和()2f '. 【详解】 由题得222111()2(1),(1)2(1),(1)1,()21f x f f f f f x x x =-+∴=-+∴=∴=-'''''+'，所以()2f '=17244-+=. 故答案为：74【点睛】（1）本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解答本题的关键是求(1)f '，在求导时，知道它是一个常数就可以了.16．【解析】分析：根据导数几何意义得再根据函数值得代入即得结果详解：由题意可知故点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化 解析：0【解析】分析：根据导数几何意义得(3)2f '=-，再根据函数值得(3)2382f =-⨯+=，代入即得结果.详解：由题意可知(3)2382f =-⨯+=，(3)2f '=-，故(3)(3)0f f '+=．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.17．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析：2 【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+ ∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ∴2111PM k x =-，2211PNk x =- ∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--，直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+，2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--，22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，222210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根. ∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.18．【解析】由题意可得所以第4秒末的瞬时速度为填解析：32【解析】由题意可得t 2S t t =+（）,1()1s t t=+'所以第4秒末的瞬时速度为13(4)124s '=+=，填32。
高三数学变化率与导数练习题.doc
变化率与导数（ 1）一、选择题lim1. 设函数 y=f（x）可导，则△x→0f ( 1+ 3△x)- f (1)等于（）3△xA. B. C. 1 f ′ (1) D. 以上都不对32. y = 2x + 1在( 1,2)内的平均变化率为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 30 ）=2，则 lim ?x→0 f ( x0)- f ( x 0＋?x)3. 若 f' =（（x ? x ）A. - 1B. - 2C. - 1D. 12 24. 质点运动规律 s=t 2+3，则在时间（ 3，3+△t ）中，相应的平均速度是（）A. 6 +△ tB. 6 +△ t + 9△tC. 3 +△ tD. 9 +△ t5.已知函数 f （x） =2x2-4 的图象上一点（ 1，-2 ）及邻近一点（ 1+△x，-2+ △y），则△y 等于（）△xA. 4B. 4 △xC. 4 + 2 △xD. 4 + 2( △x) 26.下列式子中与f′(x0)相等的是()( 1) lim f ( x0)- f ( x0- 2Δx)2Δx ；Δx→0 ( 2) lim f ( x0+Δx)- f ( x0 - Δx)Δx；Δx→0( 3) lim f ( x0+ 2Δx)- f ( x0+Δx)ΔxΔx→0 ( 4) lim f ( x0+Δx)- f ( x0 - 2Δx)Δx．Δx→0A. (1)( 2)B. ( 1)( 3)C. (2)( 3)D. ( 1)( 2)( 3)( 4)7.函数 f （x）=x，g（x）=x2，h（x）=x3在[0 ， 1] 的平均变化率分别记为 m1，m2，m3，则下面结论正确的是（）A. m = m = mB.m > m > mC.m > m > m 123 123 213D. m< m2 < m318. 设函数f(x) 在x= 1处可导，则lim f ( 1+ Δx)- f ( 1) ? 等于Δx→0- 2Δx （）A. B. C. D.9.已知曲线f(x) = x -1x上一点A( 2,32) ,则lim?x→0 f ( 2+? x)- f ( 2) （）? x5 3A. 4B. 4C. 2D. 4f ( 3+ Δxf(3))-= （10. 已知f(x) = x1，则 lin ?Δx ）Δx→0A. - 91B. 3C. 91D. - 3二、填空题11.设函数f(x) 在x= 1处可导，且f′(1) = 2，则当无限趋近于 0 时，等于 _______．12.若某物体运动规律是 S=t3-6t 2+5（t ＞0），则在 t=______时的瞬时速度为 0．三、解答题已知某物体的位移 S（米）与时间 t （秒）的关系是 S（t ）=3t-t 2．（Ⅰ）求 t=0 秒到 t=2 秒的平均速度；（Ⅱ）求此物体在 t=2 秒的瞬时速度．。
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变化率与导数测试题
一、选择题：
1、函数y=x2cosx的导数为()
A、y′=2xcosx－x2sinx B、y′=2xcosx+x2sinx
C、y′=x2cosx－2xsinx D、y′=xcosx－x2sinx
2设曲线11xyx在点(32)，处的切线与直线10axy垂直，则a（）
A．2 B．12 C．12 D．2
3、已知函数2()21fxx的图象上一点(11)，及邻近一点(11)xy，，则yx等于（ ）
Ａ．4 Ｂ．42x Ｃ．4x Ｄ．24()xx
4、曲线3()2fxxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-，则0p点的坐标为（）
A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(－1,－4)D.(2,8)和或(－1,－4)
5、已知32()(6)1fxxaxax，f'(x)=0有不等实根，则a的取值范围为( )
A．12aB．36aC．1a或2aD．3a或6a
6、在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是（）
A．3 B．2 C．1 D．0
7、已知，12132431()cos,()(),()(),()()()(),nnfxxfxfxfxfxfxfxfxfx则2008()fx（??）
A.sinx???B.sinx??C.cosx????D.cosx
8、32()32fxaxx,若(1)4f,则a的值等于（）
A．319 B．316C．313D．310
9、某汽车的路程函数是32212(10m/s)2stgtg，则当2ts时，汽车的加速度是（ ）
Ａ．14m/s2 Ｂ．4m/s2 Ｃ．10m/s2 Ｄ．24m/s
10、已知曲线32114732yxxx在点Q处的切线的倾斜角满足216sin17，则此切线的方程为（ ）
Ａ．470xy或54606xy Ｂ．54606xy
Ｃ．470xy或54606xy Ｄ．470xy
11、若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图象是（）
二、填空题：
12、与直线2x－6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程是___________________
13、设曲线axye在点(01)，处的切线与直线210xy垂直，则a．
14、已知函数3221()3fxxaxaxb，当1x时函数f(x)的导数为零，f(-1)=712，则(2)f．
15、已知直线10xy与抛物线2yax相切，则______.a
16、若曲线32:22Cyxaxax上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数a的值为 ．
17、已知sin(ππ)1cosxyxx，，，当2y时，x ．
三、解答题：
18、已知函数3()2fxxax与2()gxbxc的图象都经过点(20)P，，且在点P处有公共切线，求
()()fxgx，
的表达式．
19、已知曲线y=x3+x－2在点P0处的切线1l平行直线4x－y－1=0，且点P0在第三象限,
⑴求P0的坐标;
⑵若直线1ll,且l也过切点P0,求直线l的方程.
20、求下列函数的导数：
（1）y=xxxlnsin；（2）y=xetanx.
21、已知曲线21:Cyx与22:(2)Cyx，直线l与12CC，都相切，求直线l的方程．
22、设函数3()fxaxbxc是定义在R上的奇函数，且函数()fx的图象在1x处的切线方程为
32yx
．
（Ⅰ）求,,abc的值；
（Ⅱ）若对任意(0,1]x都有()kfxx成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若对任意(0,3]x都有|()|16fxmx成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、 选择题ADBCDDADACA
二、 填空题12．3x+y+2=013、214、5315、a=4116、1 17、2π3
三.解答题：18、解：3()2fxxax∵图象过点(20)P，Ｐ，8a∴，3()28fxxx∴．
由于2()gxbxc图象过点(20)P，，所以可得40bc．
又()2gxbx，(2)4(2)16gbf，4b∴，216()416cgxx，∴．
综上可知32()28()416fxxxgxx，．
19.解：:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.
又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为(－1,－4).
⑵∵直线1ll,1l的斜率为4,∴直线l的斜率为14,
∵l过切点P0,点P0的坐标为(－1,－4)
∴直线l的方程为14(1)4yx即4170xy.
20、(1)'y=2lnsinsinlncosxxxxxxx;(2)'y=xetanx+xex2cos.
21、解：设l与1C相切于点211()Pxx，与2C相切于222((2))Qxx，．
对于1:2Cyx，则与1C相切于点P的切线方程为21112()yxxxx，即2112yxxx，
对于2:2(2)Cyx，则与2C相切于点Q的切线方程为2222(2)2(2)()yxxxx，
即2222()4yxxxx．
∵
两切线重合，1222(2)xx∴，且22124xx．
解得1202xx，或1220xx，．∴直线l方程为0y或44yx．
22、解：（Ⅰ）∵函数3()fxaxbxc是定义在R上的奇函数，∴()()fxfx
∵33()()()axbxcaxbxc∴0c．
又()fx在1x处的切线方程为32yx，由2'()3fxaxb
∴'(1)3f，且(1)5f，∴335abab得16ab
（Ⅱ）3()6fxxx依题意36kxxx对任意(0,1]x恒成立，
∴426xxk对任意(0,1]x恒成立，
即22(3)9kx对任意(0,1]x恒成立，∴5k．
（Ⅲ）解一：|()|16fxmx，即16()16fxmx ∴33616616xxmxxxmx
即22166166mxxmxx对任意(0,3x恒成立，记216()6gxxx，其中(0,3x则
3
22
162
'()2(8)gxxxxx
∴当(0,2)x时，'()0gx，()gx在(0,2)上单调递增，
当(2,3)x时，'()0gx，()gx在(2,3)上单调递减，
∴()gx在(0,3]上的最大值是(2)6g，则6m；
记216()6hxxx，其中(0,3]x则216'()20hxxx
所以()hx在(0,3)上单调递减，
∴即()hx在(0,3]上的最小值是7(3)3h，则73m；
综合上可得所求实数m的取值范围是763m．