变化率与导数、导数的计算

第十一节变化率与导数、导数的计算

[备考方向要明了]

考什么怎么考

1.了解导数概念的实际背景．

2.理解导数的几何意义．

3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常

数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，

y＝

1

x的导数．

4.能利用基本初等函数的导数公式和

导数的四则运算法则求简单函数的导

数.

1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择

题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题，

如2012年广东T12，辽宁T12等．

2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数

函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导

数及求导法则的正确利用.

[归纳·知识整合]

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx＝lim

Δx→0

Δy

Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即

f′(x0)＝lim

Δx→0

Δy

Δx＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

(2)导数的几何意义：

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数：

称函数f ′(x )＝lim Δx →0

f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

为f (x )的导函数．

[探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？

提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？

提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数

3．导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

[自测·牛刀小试]

1．(教材习题改编)f ′(x )是函数f (x )＝1

3x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )

A ．0

B ．3

C ．4

D ．－73

解析：选B ∵f (x )＝1

3x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.

∴f ′(－1)＝3.

2．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0

D ．x －y －2＝0

解析：选A ∵f (x )＝2x －x 3，∴f ′(x )＝2－3x 2. ∴f ′(－1)＝2－3＝－1. 又f (－1)＝－2＋1＝－1，

∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0. 3．y ＝x 2cos x 的导数是( ) A ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x B ．y ′＝2x cos x －x 2sin x C ．y ＝2x cos x D ．y ′＝－x 2sin x

解析：选B y ′＝2x cos x －x 2sin x .

4．(教材习题改编)曲线y ＝sin x

x 在点M (π，0)处的切线方程是________．

解析：∵f (x )＝sin x

x ，∴f ′(x )＝x ·cos x －sin x x 2，

∴f ′(π)＝－ππ2＝－1

π

.

∴切线方程为y ＝－1

π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.

答案：x ＋πy －π＝0

5．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.

解析：由题意知f ′(5)＝－1， f (5)＝－5＋8＝3， ∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2

导数的计算

[例1] 求下列函数的导数 (1)y ＝(1－x )⎝

⎛⎭

⎫1＋

1x ； (2)y ＝ln x x ；

(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x －2x ＋e.

[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1

x

－x ＝x 1

2-－x 1

2，

∴y ′＝(x

1

2

-)′－(x 1

2

)′＝－12x 32-－12

x 1

2-

.

(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2

＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2.

(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′

cos 2x

＝

cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1

cos 2x

.