变化率与导数
高中数学变化率和导数
⑴求 的解析式；
⑵证明：曲线 的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
⑶证明：曲线 上任一点的切线与直线 和直线 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
【例74】已知抛物线 ： 和 ： ，如果直线 同时是 和 的切线，称 是 和 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
⑵若 为线段 的中点，求证： 为此抛物线的切线；
⑶试问⑵的逆命题是否成立？请说明理由．
【例79】证明如下命题：
命题：设 是 轴正半轴上的一动点，过 的动直线与抛物线 交于 两点，则过 的抛物线的两切线的交点的轨迹方程为 ，且轨迹上任一点的横坐标一定是该点对应的切点弦 中点的横坐标．
【变式1】设 为直线 上任意一点，过 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，
A． B． C． D．
【例57】曲线 在点 处的切线与 轴、直线 所围成的三角形的面积为 ，则 ．
【例58】曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）
A． B． C． D．
【例59】求曲线 的斜率等于 的切线方程．
【例60】若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_____________．
由导数意义可知，曲线 过点 的切线的斜率等于 ．
（二）典例分析：
【例25】已知曲线 上一点 ，用斜率定义求：
⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．
【变式】已知曲线 上一点 ，用斜率定义求：
⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．
【例26】 函数 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【例27】求函数 的图象上过点 的切线方程．
导数与函数的变化率关系解析与归纳
导数与函数的变化率关系解析与归纳在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
函数的变化率是指函数的输出值随着输入值变化而变化的快慢程度。
导数不仅对于研究函数的性质和特征有着重要的作用，还在物理学、经济学等多个领域中具有广泛的应用。
本文将解析导数与函数的变化率之间的关系，并对导数的性质进行归纳和总结。
1. 导数的定义在数学中，函数f(x)在x点处的导数可以通过极限的概念定义为：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，h表示自变量的增量。
导数可以理解为函数在该点附近的平均变化率。
2. 变化率与导数的关系函数的变化率与导数密切相关。
导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，即函数在该点处的瞬时变化速度。
具体来说，如果函数在某点的导数为正，说明函数在该点处递增；如果函数的导数为负，说明函数在该点处递减；如果函数的导数为零，说明函数在该点处取得极值。
3. 导数与函数的性质导数具有许多重要的性质，这些性质对于研究函数的变化率和特征非常有用。
以下是几个常见的导数性质：- 导数的可导性：几乎所有常见的函数都具有导数。
只有在某些特殊的情况下，函数可能不可导。
例如，函数在某一点处的导数不存在，当且仅当该点存在间断、角点或垂直切线。
- 导数的线性性质：导数具有线性运算的性质。
即，对于任意常数a 和b，以及函数f(x)和g(x)，有以下成立：- [af(x) + bg(x)]' = af'(x) + bg'(x)- 导函数的乘积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其乘积的导数可以通过以下公式计算：- [f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- 链式法则：对于复合函数，可以使用链式法则计算导数。
链式法则是导数运算中的一种基本规则。
函数的导数与变化率
函数的导数与变化率函数的导数是微积分中的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
在实际问题中，我们经常需要了解一个函数在某一点的变化情况，以便更好地理解问题的本质和解决方法。
本文将详细介绍函数的导数的概念、性质以及在实际应用中的意义和计算方法。
一、导数的概念函数的导数是函数变化率的度量，表示了函数在某一点上的变化速度。
形式上，设函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，则导数被定义为：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量x的变化量。
导数的定义是一个极限的概念，表示了自变量逐渐接近某一点时，函数变化的趋势。
二、导数的性质1. 导数的存在性函数在某一点上的导数存在的充分条件是函数在该点附近连续，并且左右导数相等。
2. 导数与函数图像的关系函数的导数可以反映函数图像的一些特征，比如导数正值表示函数在该点上升，导数负值表示函数在该点下降，导数等于零表示函数在该点取得极值。
3. 导数的计算法则导数具有一组计算法则，可以用于计算各种复杂函数的导数。
常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商数法则等。
三、变化率与导数的关系函数的导数即为函数在某一点上的变化率。
当自变量的变化量很小时，导数可以近似地表示函数的变化率。
函数的变化率可以分为平均变化率和瞬时变化率两种。
平均变化率是指函数在两个点之间的变化率，可以通过函数的增量和自变量的增量来计算。
瞬时变化率是指函数在某一点上的瞬时变化率，可以通过函数的导数来求得。
四、导数在实际应用中的意义导数在实际问题中有着广泛的应用。
以物理学为例，速度即为位移对时间的导数，加速度即为速度对时间的导数。
在经济学中，边际成本和边际收益也可以通过导数来计算和分析。
导数还可以用于优化问题、曲线拟合和图像处理等领域。
五、导数的计算方法为了计算导数，我们可以利用导数的定义进行计算，也可以利用导数的运算法则简化计算过程。
变化率与导数
变化率与导数
变化率与导数是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们准确地表达和计算特定函数在特定点的斜率。
变化率可以定义为一个函数在某一点的变化量与该点前后变化量之比。
其定义式如下:
变化率 = 变化量/原始量
其中，变化量就是位于某一点处曲线上的一段段区域的变化量，而原始量则是位于曲线前后的一段段区域的变化量。
变化率的单位一般用“%”或者“1/X”表示，其中X 代表原始量。
变化率是一个值，用来估计特定函数在特定点处的变化情况。
当我们想要更加精确地表达函数变化情况时，就需要使用导数。
导数是变量x的函数y在x处的一阶微分，也就是某一点处函数的斜率。
它可以用下面的公式来表示:
dy/dx=f'(x)
其中，f'(x) 是函数y关于x的导数，它可以表示函数y在x处的斜率，也就是函数y在x处的变化速率。
因此，导数有助于我们更精确地表达函数的变化情况，它可以表示函数在特定点处的变化速度。
总之，变化率与导数都是微积分中重要的概念，它们都是用来表示函数在特定点处的变化情况。
变化率用来表
示函数在特定点处的变化量与原始量之比，而导数则是根据函数的一阶微分来表示函数在特定点处的斜率，从而表示函数在特定点处的变化速率。
变化率与导数的概念、导数的运算
03 高阶导数及其应用
高阶导数的定义与计算
高阶导数的定义
函数一阶导数的导数称为二阶导数，二阶导 数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶 导数的导数称为n阶导数。
高阶导数的计算
高阶导数的计算可以通过连续求导得到，每 求一次导，阶数增加一阶。对于常见的基本 初等函数，其高阶导数有特定的公式或规律 可循。
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。当函数在某一点处的导数大于0时，表示函数在该点处单调增加； 当导数小于0时，表示函数在该点处单调减少；当导数等于0时，表示函数在该点处可能达到极值点或拐点。
可导与连续的关系
可导必连续
如果一个函数在某一点处可导，则该函数在该点处必定连续。这是因为可导的定义中已经包含了函数 在该点处的极限存在且等于函数值这一条件。
成本最小化
企业在给定产量下追求成本最小化时，需要找到使得边际 成本等于平均成本的产量，即求解成本函数的一阶导数等 于零的点。
效用最大化
消费者追求效用最，即求解效用函数的一阶导数等于 零的点。
05 导数在工程学中的应用
曲线拟合与最小二乘法中的导数应用
工程优化问题中的导数应用
优化算法
在工程设计和制造过程中，经常需要解决各种优化问 题，如最小化成本、最大化效率等。导数在这些优化 算法中发挥着重要作用，它们被用来计算目标函数的 梯度或方向导数，以确定搜索方向或步长。
敏感性分析
在工程经济学中，敏感性分析是一种评估项目风险的 方法。它通过计算项目效益指标（如净现值、内部收 益率等）对于各个不确定因素的导数或偏导数，来量 化各因素对项目效益的影响程度。
变化率与导数的概念、导数的运算
目 录
• 变化率与导数的基本概念 • 导数的运算规则 • 高阶导数及其应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程学中的应用 • 数值计算中的导数逼近方法
变化率与导数导数的计算
变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。
而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。
在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。
那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。
这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。
变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。
平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。
而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。
二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。
导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。
导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。
1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。
（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。
（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。
（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。
（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。
2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
函数的导数与变化率
函数的导数与变化率函数的导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在本文中，我们将探讨函数的导数与变化率之间的关系以及它们在实际问题中的应用。
一、导数的概念与运算法则导数的定义是函数在某一点的斜率，表示函数在该点处的变化率。
对于给定的函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的运算法则包括加减法则、乘法法则、除法法则和链式法则等，这些法则可以方便地求出复杂函数的导数。
二、导数与函数的单调性导数还与函数的单调性密切相关。
当导数大于零时，函数是递增的；当导数小于零时，函数是递减的。
利用导数可以确定函数的单调区间和极值点。
三、导数与函数的凹凸性函数的导数还能帮助判断函数的凹凸性。
当导数递增时，函数在该区间上是凹的；当导数递减时，函数在该区间上是凸的。
通过分析导数的变化情况，可以确定函数的拐点以及凹凸区间。
四、变化率与导数的关系导数不仅仅表示函数在某一点的变化率，还可以表示函数在整个定义域上的变化趋势。
具体来说，导数的绝对值越大，函数的变化越剧烈；导数为零时，函数处于极值点；导数的正负表示函数递增和递减的情况。
五、导数在实际问题中的应用函数的导数在物理、经济等实际问题中有广泛应用。
例如，求导可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产过程或寻求最优解。
导数还可以用来描述物理量的变化速率，例如速度和加速度。
六、结论函数的导数与变化率密切相关，它不仅仅是微积分中的一个概念，还是其它学科中应用最广泛的工具之一。
通过对函数的导数的分析，我们可以研究函数的单调性、凹凸性以及变化趋势，并将其应用于实际问题中。
掌握导数的概念与运算法则，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
通过本文的介绍，我们希望读者能够对函数的导数与变化率有更深入的理解，并在实际问题中灵活应用这一概念，以提升问题的解决能力和分析能力。
对于想深入学习微积分和应用数学的读者来说，掌握函数的导数是一个重要的里程碑。
导数与函数的变化率
导数与函数的变化率函数是数学中的重要概念，在解决实际问题中经常用到。
而了解函数的变化率对于我们理解函数的性质、以及进一步研究函数的应用具有重要意义。
在这篇文章中，我们将探讨导数与函数的变化率之间的联系，并且阐述导数与函数变化率的定义与计算方法。
一、导数的定义与计算方法导数可以看作是函数在某一点处的变化率。
如果我们考虑一个函数f(x)，并且在区间[a, a+h]上的平均变化率为：\[ \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h} \]而当h趋近于0时，这个平均变化率就趋近于某个值，这个值便是函数f(x)在点a处的导数。
导数用f'(a)或者\[\frac{{df}}{{dx}}(a)\]来表示。
那么如何计算导数呢？一般来说，我们可以使用几种方法来计算函数的导数：1. 使用函数的定义式来计算。
根据导数的定义，我们可以将函数的表达式代入到导数的定义式中，然后求解极限，从而得到导数的值。
2. 使用导数的性质来计算。
根据导数的性质，我们可以利用一些常见函数的导数公式，比如多项式函数的导数公式、幂函数的导数公式等，来计算函数的导数。
3. 使用数值计算方法来近似计算。
当函数的表达式较为复杂时，我们可以使用数值计算方法来近似计算导数的值，比如使用微分方程或者数值微分等方法。
二、了解导数与函数的变化率之间的关系可以帮助我们更好地理解函数的性质。
具体而言，导数可以告诉我们函数在某一点处的变化趋势。
1. 导数的正负性与函数的单调性导数的正负性可以帮助我们判断函数在某一区间上的单调性。
如果函数在某一区间上的导数始终大于0，那么函数在该区间上是递增的；如果函数在某一区间上的导数始终小于0，那么函数在该区间上是递减的。
2. 导数的零点与函数的极值点函数在某一点处导数为0时，这个点称为函数的驻点。
如果函数在驻点的导数存在，那么该点为函数的极值点。
当导数从正数变为负数时，函数在该点取得极大值；当导数从负数变为正数时，函数在该点取得极小值。
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变化率与导数、导数的运算
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1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f (x ),
f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1
=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的 变化率
几何 意义 函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的
物理 意义 若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则Δy
Δx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度
(2)导数:
概念
点x 0处 lim
Δx→0Δy
Δx =lim
Δx→0
f(x 0+Δx)−f(x 0)
Δx
,我们称它为函数y=f (x )在 处的导数,记
为f'(x 0)或y'|x=x 0,即f'(x 0)=lim
Δx→0
Δy
Δx
= lim Δx→0
f(x 0+Δx)−f(x 0)
Δx
区间 (a ,b )
当x ∈(a ,b )时,f'(x )=lim Δx→0Δy
Δx =lim Δx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数
几何 意义 函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0
)就是函数图像在该点处切线的 .曲线
y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是
物理 意义 函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x
时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程
2.导数的运算 常用 导数 公式
原函数
导函数
特例或推广
常数函数 C'=0(C 为常数)
幂函数
(x n
)'= (n ∈Z )
1x
'=-1
x 2
三角函数(sin x)'=,
(cos x)'=
偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数
的导数是周期函数
指数函数(a x)'=(a>0且a≠1) (e x)'=e x
对数函数(log a x)'=(a>0且
a≠1)
(ln x)'=1
x
,
(ln|x|)'=1
x
四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=
(∑
i=1
n
f i(x))'=
∑
i=1
n
f'i(x)
乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法
f(x)
g(x)
'=
(g(x)≠0)
1
g(x)
'=-g′(x)
[g(x)]2
复合
函数
导数
复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”
题组一常识题
1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.
2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位:元)为
c(x)=5284
100−x
(80<x<100),当净化到纯净度为98 %时费用的瞬时变化率为.
3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'=.
4.[教材改编]曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.
题组二常错题
◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x 0)与[f (x 0)]',f'(ax+b )与[f (ax+b )]'的区别.
5.函数f (x )=x 2
在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .
6.已知函数y=sin 2x ,则y'= .
7.已知f (x )=x 2
+3xf'(2),则f (2)= .
8.已知f (x )=x 3,则f'(2x+3)= ,[f (2x+3)]'= .
课堂考点探究
探究点一 导数的运算
1(1)函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足关系式f (x )=x 2
+3xf'(2)-ln x ,则f'(2)的值为( )
A.7
4 B.-7
4 C.9
4 D.-9
4
(2)已知f (x )=-sin x
2(1−2cos 2x
4),则f'(π
3
)= .
[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解
析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.
(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 式题 (1)函数y=
sinx x 的导数为y'= .
(2)已知f (x )=(x+1)(x+2)(x+a ),若f'(-1)=2,则f'(1)= . 探究点二 导数的几何意义
考向1 求切线方程
2 函数f (x )=e x
·sin x 的图像在点(0,f (0))处的切线方程是 .
[总结反思] (1)曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别. 考向2 求切点坐标
3设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是3
2
,则切点的横坐标为( )
A.ln 2
B.-ln 2
C.ln2
2 D.-ln2
2
[总结反思] f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.
考向3求参数的值
4已知曲线C在动点P(a,a2+2a)与动点Q(b,b2+2b)(a<b<0)处的切线互相垂直,则b-a的最小值为( )
A.1
B.2
C.√2
D.-√2
[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.
强化演练
1.【考向1】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )
A.x+y-1=0
B.x-y-1=0
C.x+y+1=0
D.x-y+1=0
2.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
3.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=( )
A.1
B.e
C.1
e
D.0
4.【考向2】若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标
是.
5.【考向1】函数f(x)=xe x的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.。