传染病模型中作图与计算
关于数学建模之传染病模型.docx
第五章微分方程模型如果象的某特性是随（或空）化的，那么分析它的化律，它的未来性，通常要建立此象的模型，就是微分方程模型.§1传染病模型建立染病的数学模型来描述染病的播程，分析受感染人数的化律，染病高潮的到来等，一直是各国有关家和官关注的.考某地区的染病的染情况，地区人口数N ，既不考生死，也不考迁移，以天量位.一. SI模型假条件：1.人群分易感染者 ( Susceptible ) 和已感染者 ( Infective ) 两人，称健康人和病人，在刻t 两人在人数中所占比例分作s t 和 i t .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是( 常数 ) ，称日接触率，当病人与健康人有效接触，使健康者受感染病人.建立描述 i t化的数学模型 .解：s t i t1s t N i t N N由假 2 知，每个病人每天可使s t 个健康者病人，又由于病人数N i t ，每天共有s t N i t个健康人被感染 .于是N si 就是病人数 N i的增加率，即有N di N si ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)dtdi1.si 而s i又记初始时刻 ( t0 ) 病人的比例为 i 0 ，则dii 1idti 0 i 0这就是 Logistic模型，其解为i t1 111 e ti 0［结果分析］作出 i t ~ t 和di~ i 的图形如下：dtdi idtdi 1 dt m2t mt1i21. 当 i1 时， di取到最大值 di ，此时刻为2 dtdtmt m1ln 11i 02. 当 t时， i 1即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二 . SIS 模 型在前面假设 1、2 之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型 .假设 1、 2 同 SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率. 病人治愈后成为易感染者（健康人）. 显然1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、 3 之下，模型（ 1）修正为N diN iNsidtdiii 1 i于是dti 0i0解得1i 0 i t11e－1t,t,i 0［结果分析］1. 令.＝注意到和 1的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数 .111i1i i11i 01111 i00t0t当1，病人比例i t越来越小，最于零.1，i t的增减性取决于i0的大小，其极限 i 1当1.3. SI 模型是 SIS 模型中0 的情形.三 . SIR模型大多数染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很的免疫力，所以病愈的人既非健康者, 也非病人 , 他已退出染系，此模型的假1. 人群分健康者、病人和病愈免疫的移出者三，称SIR 模型 . 三人在人数N 中占的比例分作s i 、 i t和 r t .1. 病人的日接解率，日治愈率（与 SIS模型相同），染期接触数＝.解：由假1，有s t i t r t1ds di dr0 dt dt dt由假2，得N drN idisi N i N dtNdtdridt又 s 0s0 , i 0i0 , r 00 disi idt于是disi idtdssi⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2) dti 0i0 , s 0s0我在相平面上来解的性.精选文库相的定域D s, i s0, i0,s i 1由 (2) 式消去dt，得di11ds s里i s s0i 0解得 i s0i 0- s 1 ln s⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)s0在定域 D 内，(3)式表示的曲即相.。
传染病问题数学公式
传染病问题数学公式
传染病问题通常涉及到传染率、接触率、疾病治愈率、死亡率等参数。
在数学上，这些参数可以通过一系列模型和公式来描述和计算。
以下是一些常见的传染病问题的数学公式：
1. 基本复制数（Basic Reproduction Number, R0）：
R0 = β× D
其中，β表示传染率，D表示传染时间。
基本复制数表示一个感染者在人群中能够传染的人数。
当R0大于1时，疾病将继续传播；当R0小于1时，疾病将逐渐消失。
2. SEIR模型
SEIR模型用于描述一次传染病流行的过程。
该模型包括四类人群：易感人群（Susceptible）、潜伏期人群（Exposed）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）。
该模型的微分方程如下：
dS/dt = -βSI
dE/dt = βSI - αE
dI/dt = αE - γI
dR/dt = γI
其中，S、E、I、R分别表示四类人群的人数，β表示接触率，α表示潜伏期转化为感染期的概率，γ表示感染者恢复的概率。
3. SEIRD模型
SEIRD模型加入了死亡人群（Dead），用于描述一次传染病流行中的死亡情况。
该模型的微分方程如下：
dS/dt = -βSI
dE/dt = βSI - αE
dI/dt = αE - (γ+μ)I
dR/dt = γI
dD/dt = μI
其中，S、E、I、R、D分别表示五类人群的人数，β、α、γ、μ的含义与SEIR模型中相同，μ表示感染者死亡的概率。
基本数学模型-传染病模型
• 现有数据显示，天花的 值较小，麻疹等传染
病的 值较大，目前全世界已消灭天花疾病
17
模型验证
•
孟买某岛（1905.12.17-1906.7.21）
（
Kermack,McKendrick,1926）
• 该岛上80%－90%的感染者死亡，
dS dt dI dt
SI SI
I
视为移出者
• 在疾病传播期内所考察地区总人数 N 保持不变
• t 时刻易感者和感染者人数所占比例分别为 S(t)
和 I (t) ，S(t) I (t) 1 • 每个感染者单位时间内可使数量为 N 的人受到
感染，其中易感者数量为 NS ， 称为有效接触率
3
SI模型
N dI NSI dI I (1 I ) 1 dI dt
Jules Henri
Aleksandr
Poincaré
Mikhailovich
（1854－1912） 法国数学家、
Lyapunov （1857－1918）
物理学家
苏联数学家、 物理学家
11
自治系统
• 记 x (x1, x2 )T，F(t, x) ( f1(t, x), f2 (t, x))T，一阶常 微分方程组 dx F(t, x)称为自治（autonomous）
• III. Further Studies of the Problem of
电磁场理论，DNA双
Endemicity, 141, 94-122, 1933
螺旋结构等重要论文
均发表在该刊上
2
基本假设
• 人群分类
• 易感者（Susceptible）：易受疾病感染但尚未发病 • 感染者（Infective）：已感染且具传染性
离散传染病模型公式
离散传染病模型公式一、离散传染病模型简介离散传染病模型是一种描述传染病在人群中传播过程的数学模型。
它主要通过公式来描述感染率、恢复率、死亡率等关键参数，从而为防控传染病提供理论依据。
离散传染病模型主要包括SIR模型、SIRS模型和SEIR模型等。
二、离散传染病模型公式及参数解释1.感染率公式：感染率是指单位时间内感染者数量与易感者数量之比。
公式为：R0 = β·N·I/γ其中，R0为基本感染率，β为感染者与易感者接触后的感染概率，N 为总人口数，I为感染者数量，γ为恢复率。
2.恢复率公式：恢复率是指单位时间内恢复者数量与感染者数量之比。
公式为：gamma = γ·I其中，gamma为恢复率，γ为恢复概率，I为感染者数量。
3.死亡率公式：死亡率是指单位时间内死亡者数量与感染者数量之比。
公式为：gamma_d = δ·I其中，gamma_d为死亡率，δ为死亡概率，I为感染者数量。
4.传播速度公式：传播速度是指传染病在人群中的传播速度。
公式为：dI/dt = β·I·(1-I/N)其中，dI/dt为感染者数量的变化率，β为感染者与易感者接触后的感染概率，I为感染者数量，N为总人口数。
5.模型参数解释：- β：感染者与易感者接触后的感染概率，与传染病的传播能力有关。
- γ：恢复概率，表示感染者恢复为免疫者的概率。
- δ：死亡概率，表示感染者死亡的概率。
- N：总人口数，包括易感者、感染者和康复者。
三、离散传染病模型的应用案例1.SIR模型：该模型仅考虑感染、恢复和免疫三个状态，适用于研究免疫期较短的传染病。
2.SIRS模型：在SIR模型的基础上，增加了感染后再次感染的可能性，适用于研究免疫期较长的传染病。
3.SEIR模型：该模型在SIR模型的基础上，考虑了潜伏期对传染病传播的影响，适用于研究具有潜伏期的传染病。
四、离散传染病模型在疫情防控中的应用离散传染病模型在疫情防控中具有重要作用。
传染病模型
2.传染病模型 一、S-I 模型（不考虑病人治愈的传染模型）1、 模型假设（1）人群分为易感染者()s t ,已感染者()i t ，()()s t i t N +=,(N 为常数)（2）每个病人每天接触的平均人数为常数λ，λ：日接触率。
2、模型建立由假设（2），在第t 天，每个病人可使s Nλ⋅个健康人变成病人，共有()()s t i t N λ⋅个健康人被感染：d i s i d t N λ=⋅ 又因为：()()s t i t N +=，记0(0)i i =，则：(1)(0)dii i dtN i i λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ （1） 方程（1）为Logistic 模型，解为1()(1(1))t N i t N e i λ--=+- （2） 2、 模型检验t →∞时，i N →，即最后全为病人。
说明模型有缺点（未考虑病人可以治愈）二、S-I-S 模型（病人可治愈，但无免疫力的传染模型） 1、模型假设（1）人群分为健康者()s t ,病人()i t ，()()s t i t N +=,(N 为常数)（2）每个病人每天接触的平均人数为常数λ，λ：日接触率。
（3）每天被治愈的病人与病人总数的比为μ：日治愈率。
病人治愈后成为可被感染的健康者。
2、模型建立由假设（3）：di s i i dt Nλμ=⋅-，得到： 0(1)(0)d ii i i dtN i i λμ⎧=--⎪⎨⎪=⎩（1） 解得：()110(()),()(),t N N e i i t N N t i λμλλλμλμλμλλμ----⎧+-≠⎪--⎪=⎨⎪+=⎪⎩（2）定义：λσμ=，由（2）得：1(1),1()0,1N i σσσ⎧->⎪∞=⎨⎪≤⎩ （4） 3、 模型检验由（4）知，1σ=为临界值：1,σ≤ ()i t 单调下降，0→1,σ> ()i t 增减性与0i 有关，1(1)N σ→-1(1)N σ-为σ的增函数，即σ越大，稳定状态下，病人数越多。
流行病学疾病传播的模型与算法
流行病学疾病传播的模型与算法流行病学是研究疾病在人群中传播和控制的科学领域。
在理解和应对疾病传播过程中，搭建数学模型和使用计算机算法是必不可少的工具。
本文将探讨流行病学疾病传播的模型和算法，并介绍常用的一些方法。
一、传染病的基本传播模型传染病的传播过程可以用基本的数学模型来描述。
最基本的传播模型是SIR模型，指的是将人群分为三个互相转化的类别：易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）。
该模型假设人群总量不变，且人群之间的传播只发生在易感者和感染者之间。
SIR模型的基本方程如下：dS/dt = - βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，S是易感者数目，I是感染者数目，R是康复者（也包括被隔离、死亡等）数目，β是感染率，γ是康复率。
该模型构建了易感者和感染者之间的传染关系，以及感染者向康复者的状态转变。
二、改进的传播模型虽然SIR模型在描述传染病传播的基本趋势方面具有一定的效果，但实际的传染病传播过程往往更为复杂。
因此，学者们对SIR模型进行了改进，引入了更多影响因素，以提高模型的准确度。
1. SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上，引入了潜伏期（Exposed）的概念。
潜伏期是指感染者从被感染到出现临床症状之间的时间段，期间感染者虽然不具有传染性，但仍可能在潜伏期内传播病原体。
因此，SEIR模型通过增加一个潜伏者类别，更准确地描述了传染病的传播过程。
SEIR模型的基本方程如下：dS/dt = - βSIdE/dt = βSI - αEdI/dt = αE - γIdR/dt = γI其中，S、E、I和R分别表示易感者、潜伏者、感染者和康复者的数目，α是潜伏期的逆转换速率。
通过引入潜伏者的类别，SEIR模型能够更好地描述人群中传染病的传播过程。
2. 模型参数的估计与拟合在使用传染病传播模型之前，需要对模型的参数进行估计和拟合。
传染病模型PPT
02
03
时间序列分析
通过对历史病例数据进行 时间序列分析，预测未来 一段时间内的病例数量。
机器学习算法
利用机器学习算法对历史 数据进行训练，预测未来 疾病的传播趋势。
贝叶斯推断
基于贝叶斯定理，利用历 史数据和先验知识，推断 未来疾病传播的概率分布 。
模拟与预测的应用场景
政策制定
通过模拟和预测，为政府和卫生部门提供决策依据， 制定有效的防控策略。
公共卫生管理
模拟和预测有助于公共卫生机构评估防控措施的效果 ，优化资源配置。
疫情预警
通过预测方法，提前预警可能的疫情爆发，为及时采 取防控措施提供时间保障。
05
传染病模型的优化与改 进
模型的改进方向
考虑更多影响因素
除了基本的传播方式，还应考虑 人口流动、环境变化、社会经济 因素等对传染病传播的影响。
概率论
传染病模型的预测结果存在不确定 性，因此需要使用概率论知识来评 估预测结果的可靠性和误差范围。
传染病模型的建立过程
数据收集
收集相关数据，包括疾病报告 数据、人口数据、地理信息等 ，用于参数估计和模型验证。
模型验证
使用历史数据对模型进行验证 ，评估模型的准确性和可靠性 。
确定模型目标
根据研究目的确定模型的目标 ，如预测疾病的传播趋势、评 估防控措施的效果等。
提高模型精度
通过增加数据来源和改进模型参 数调整方法，提高模型的预测精 度和可靠性。
动态建模
将传染病模型与时间序列分析、 机器学习等方法结合，实现动态 建模，更好地反映传染病传播的 时变特性。
模型的优化方法与技术
混合模型
结合不同模型的优点，构建混合模型，以提高预 测精度和可靠性。
SI传染病模型
SI传染病模型1.模型的建立由题意知道：在此环境中仅存在健康者（即易感者）和已感者（即病人），且在t时刻人数分别为S(t),L(t),不考虑人口的出生与死亡，此环境中的人口数量不变N即K，于是在单位时间内每天每个病人感染的人数βS（t）L（t），它是病人的增加率，所以有：dL=β*S()t*L()t L()0=L1 (1) dt在t时刻健康者与已感者满足关系式：S()t+L ()t=K(2) 此模型满足Logistic模型，所以它的解为：L（t）=1/1+((1/L1)-1)*exp(-β*t)1.求平衡点syms r S L K yy=r*L*(K-L);solve(y)ans =SIS传染病模型1.模型假设SIS模型的假设条件1.2与SI模型相同，增加的条件为：每天被治愈的病人数占病人的总数为m ，此称为日治愈率。
病人治愈后仍然可以成为被感染的健康者，显然，平均传染期为1/m 。
2. 模型建立 此模型可以修整为：（a 代表β）()()()()***dL t a S t L t m L t dt=- ()()L t S t K+= ()01L L =求平衡点：（s, l ，k 分别代表S ， L ，K ）syms a t s l m k ff=a*l*(k-l)-m*l; solve(f) ans = -a*(-k+l)1.δ大于时的图像,10,0.8a a b b δ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2.δ小于1时的图像)(0.2,0.8a b ==模型假设：在SIS 模型中我们增加：人群可分为健康者，病人，病疫免疫的移出者，且三种人群的数量分别为S ()t ，L ()t ，R ()t ；病人的日接触率和日治愈率分别为β，m 所以传染期为mβδ=1. 模型建立()()()()***dL t a S t L t m L t dt=- ()()L t S t K+= ()01L L = (1) ()()()**dS t a S t L t dt=- ()()00S K L =- (2) 求平衡点syms a t s l m k[s,l]=solve('a*l*(k-l)-m*l','-(a*s*(k-s))') s = a*k-a*l a*k-a*l l = 0 k健康者与病人数量在总人数中的比例()s t ，()i t 对时间的变化关系图为：健康者与病人各自占总人数的比例间的相互关系：。
《传染病数学模型》PPT课件
反向计算法中有许多不确定性来源：
• 首先是潜伏期分布中的不确定性，潜伏期分布的 估计受流行病学研究中的误差和不确定性的影响， 常用灵敏度分析来评价这些不确定性 。
• 另一问题是报告的疾病发病资料，不同的国家有 不同的传染病报告系统，其中有些可能不可靠， 报告滞后或不完整时有发生。
得在年龄a、时间t时各个变量S(a,t)、 L(a,t)、T(a,t)、C(a,t)和I(a,t)的函数
值。这些数值既可描述疫苗接种前人群中 HBV的动态传播过程，也可以预测不同接种
覆盖率VC(a,t)时免疫后人群HBV的变化趋
势，从而评价乙肝疫苗免疫的远期效果。
10
大规模免疫接种人群中HBV携带率动态变化图
传染病数学模型的应用
中国疾病预防控制中心 性病艾滋病预防控制中心
汪宁
1
概述
20世纪以来，传染病的防制工作取得重大进 展，但理解和控制传染病的传播仍是公共卫生的 重要问题。目前，传染病研究面临的挑战包括：
（1）如何评估传染病在人群中的流行； （2）如何理解疾病感染和传播的机制； （3）如何评价干预措施的效果。 运用数学模型的方法，准确评价和预测传染 病的流行动态有利于卫生保健部门提前作出正确 的决策，合理分配资源，有效地预防和控制疾病 的传播，同时也可以警示某传染病的严重程度， 引起公众对疾病危险性的认识。
3
其基本思想是运用由t时刻的期望累积病例数 A(t) 、s时刻的感染率g(s)和潜伏期分布函数F(t) 构成的卷积方程，即
A(t) 0t g(s) F(t s)ds
如果病例数A(t)已知（可从疾病报告获得）， 且潜伏期分布F(t)可经流行病学研究估计而得， 那么，通过对方程(1)反卷积可估计感染率g(s)； 如果已知感染率g(s)和潜伏期分布F(t)，那么病例 数A(t)可用卷积方程(1)估计或预测。
四种传染病模型的建模分析
对四种传染病模型的讨论与分析模型一(1)模型假设1.初始时，该地区存在一定的病人x0,2.每个病人每天都接触到一定的人数，且每次接触都会造成感染3.病人不被约束，可在一定区域内随机移动(2)建立模型在这个模型中,设时刻t的人数x(t)是连续、可微函数,并且每天每个病人有效接触(足以使人致病的接触)的人数为常数λ,考察到t+△t病人人数的增加,就有x(+△t)-x(t)=λx(t)△t再设t=0时有xo个病人,即得微分方程dx/dt=λxx(0)=x0方程(1)的解为x(t)=x0e^λt(3)代码求解syms λt x0ezplot(y,[0.100])figurey= x0e^λtplot(t,y)随着时间t的增长，病人数x(t)无线增长，与实际不符。
模型二(SI模型)(1)模型假设1.在传播期内所考察地区的总人数N不变,人群分为健康人和病人,时刻t这两类人在总人数中所占比例为s(t)和i(t)2每个病人每天有效接的平均人数是常数a，a为为日接率,当病人与健康者有效接触时,可使患病。
(2)建立模型根据假设,每个病人每天可使as(t)个健康人变成病人,t时刻病人数为Ni(1),所以每天共有aNs(t)i(t)个健康者被感染,即病人的增加率为:Ndi/dt=aNsi。
又因为s(t)+i(t)=1再记时刻t=0时病人的比例为i0则建立好的模型为:di/dt=ai(1-i)，i（0）=i0(3)代码求解syms a I t i0i= dsolve(‘Di=a*i*(1-i)’,’i(0)=i0’,’t’);y=subs(i,{ai0},(0.3,0.02})ezplot(y,[0.100])figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y)由上图可知,在i=0:1内,di/dt总是增大的,且在i=0.5时,取到最大值,即在t>inf时,所有人都将患病。
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河北大学《数学模型》实验 实验报告
一、实验目的
1. 求解微分方程的解析解
2. 求解微分方程的数值解
二、实验要求
三、实验内容
1.用Matlab求解SI和SIS模型的解析解。
0
d(1)d(0)i
iitii
SI模型
程序中a=，y=i
>> y=dsolve('Dy=a*(y-y^2)','y(0)=y0')
y =
1/(1-exp(-a*t)*(-1+y0)/y0)
画图：SI模型的i——t曲线
设=1，i(0)=0.1
>> y=dsolve('Dy=y-y^2','y(0)=0.1')
y =
1/(1+9*exp(-t))
>> x=0:0.01:13;
>> y=1./(1+9.*exp(-x));
>> plot(x,y)
>> title('SI模型的i~t曲线')
>> xlabel('t');
>> ylabel('i');
>> axis([0 13 0 1.1]);
当a=2，同理得图
a代表到达最大点的程度
当y0=1时得
由图知y代表变化曲线
0
d1[(1)]d(0)i
iitii
SIS模型
程序中程序中a=，b即μ，y=i(>1)
得出
=0.51,μ=0.6，i(0)=0.02 (<1)
由上面两个图可知，>1与 <1的图形方向相反。
2. 用Matlab求解SIR模型的数值解。
00
dddd(0),(0)i
siitssitiiss
SIR模型
程序中a==1,b=μ=0.3，i(0)=0.02,s(0)=0.98
.m文件中
命令行中：
绘制健康者,病人和移出者的曲线：
四、实验结果及其分析
模型7-1、7-2、7-3、7-4、7-5分别进行了进一步的讨论和分析，实验作图结果如实验内
容所示。
模型7-2和7-3全面地分析了传染病的传播过程，分析感染人数的变化规律，预测了传染病
高潮到来时刻，度量传染病蔓延的程度并探索蔓延的手段。通过此次实验，我学会了Matlab
的使用，并且能够将数值计算、图形观察和理论分析相结合，用相轨线进行数据分析与比较。