中考数学专题总复习 专题七 与几何测量有关的应用试题
2024年中考数学复习(全国版)第五讲 几何测量问题(原卷版)
→➌题型突破←→➍专题训练←题型一全等测距1．如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为m．2．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B两点的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A，B两点的C，连接AC并延长AC到点D，使CD＝CA，连结BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出的长就等于AB的长．这是因为可根据方法判定△ABC≌△DEC．3．小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽AB无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与AB垂直的岸边BF上取两点C、D使CD＝CB，再引出BF的垂线DG，在DG上取一点E，并使A、C、E在一条直线上，这时测出线段DE的长度就是AB的长．（1）按小明的想法填写题目中的空格；（2）请完成推理过程．4．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．5．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10(3海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60 的方向上，当海监船行驶里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45 方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？题型二相似测距6.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，某一高楼的影长为60m ，那么这幢高楼的高度是（）A．18m B．20m C．30m D．36m7.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m 时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm ，当测试距离为3m 时，最大的“”字高度为（）mmA．4.36B．29.08C．43.62D．121.178.如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE ；（2）量得测角仪的高度CD a ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b ．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．tan a b B．sin a b C．tan ba D．sin ba9．一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G 处放置一个小平面镜，当一位同学站在F 点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A 的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m 后到达点D，在D 处安置一高度为1m 的测角仪CD，此时测得树顶A 的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F 在同一水平直线上，且AB，CD，EF 均垂直于BF，求这棵古树AB 的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）10.如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A 处测得小岛P 位于其西北方向（北偏西45 方向），2小时后轮船到达B 处，在B 处测得小岛P 位于其北偏东60 方向．求此时船与小岛P 1.414 1.732 ）．11．如图，小华遥控无人机从点A 处飞行到对面大厦MN 的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A 测得大厦底部N 的俯角为31°，两楼之间一棵树EF 的顶点E 恰好在视线AN 上，已知树的高度为6米，且12FN FB ，楼AB，MN，树EF 均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM 约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）题型三锐角三角函数测距12．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i ，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（）C．D．40mA． 20m B． 10m13．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧出界N处俯角为43 ，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35 ，则M，N 之间的距离为（参考数据：tan430.9，结果，sin430.7，cos350.8，tan350.7保留整数）（）A．188m B．269mC．286m D．312m14．小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为___m．（结果精确到 1.73）15．某校数学社团开展“探索生活中的数研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37 ，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE项端A处的俯角是42.6 ．试求大楼BC的高度．（参考数据：3sin375，4cos375，3tan374，17sin42.625，34cos42.645，9tan42.610）16．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度1:4i ，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD 顶部D的仰角为60 ，求树高CD．（结果保留根号）17．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°18.如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上CD 的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60 ，从点C走到点D，测得5米，从点D测得天线底端B的仰角为45 ，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB 米．25（1）求A与C之间的距离；，结果保留整数）（2）求天线BE的高度．（参考数据： 1.7319．如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）AB CD两楼地面距离BC为楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得20.如图，,楼CD顶部点D的仰角为45度．的大小；（1）求CAD（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．。
中考数学 几何测量问题 重点考点解析
中考数学几何测量问题注：第20题常考与锐角三角函数、相似三角形有关的几何测量问题．类型一与锐角三角函数有关的几何测量(2017、2012、2010.20)【类型解读】与锐角三角函数有关的几何测量应用题近10年在第20题考查3次，分值为7分．命题特点：题干给出两个角度，至少含一个非特殊角，设问均为测量距离，且都要通过作辅助线构造直角三角形来解决．另外2019题型示例给出含两个特殊角题目，应引起重视．【满分技法】链接至P79“微专题锐角三角函数的实际应用”．针对训练1.(2019陕西定心卷)某公园中有条东西走向的小河，河宽固定，小河南岸边上有一块石墩A，北岸边上有一棵大树P，小杨想利用它们测量小河的宽度，于是，他去了河边．如图，他从河的南岸石墩A处测得大树P在其北偏东30°方向，然后他沿正东方向步行60米到达点B处，此时测得大树P在其北偏西60°方向，请根据以上所测得的数据，计算小河的宽度．(结果保留根号)第1题图2.(2019海南改编)如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，已知码头A到小岛C的距离AC为10海里，求观测站B到AC的距离BP.(结果保留根号)第2题图3. (2019黄冈)如图，两座建筑物的水平距离BC为40 m，从A点测得D点的俯角α为45°，测得C点的俯角β为60°.求这两座建筑物AB，CD的高度．(结果保留小数点后一位，2≈1.414，3≈1.732.)第3题图4.(2019陕师大附中模拟)某校在“建设特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌(AB)，放置在教学楼的顶部(如图所示)．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C处测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E处测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM＝17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第4题图5.(2019遵义)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的长．(结果保留根号)第5题图6.王顺山位于陕西省蓝田县，古称玉山，“天下名山此独奇，望中风景画中诗”是明朝诗人刘玑笔下的王顺山风光．王顺山森林公园内奇峰耸立、怪石嶙峋、清潭点点，是出游的好去处．如图，小延同学欲借助无人机在空中探测王顺山森林公园中某座小山的高度，当无人机向前飞行到A点时，测得飞行高度AF 为370米，此时山顶上C点的俯角为45°，无人机保持相同的高度继续向前飞行60米到达B点，此时测得山顶上C点的俯角是60°.已知DF表示水平地面，CD表示小山的高度，且图上各点均在同一平面内，求这座小山的高度C D.(结果保留根号)第6题图7. (2019衡阳)如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°.已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1∶3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，求楼房AB高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)第7题图8.某校航模设计小组制作了一个飞机模型准备参加航模大赛，该飞机模型的一个机翼形状近似于如图的四边形ABCD，其中∠A＝40°，∠C＝52°，AB＝8.5 cm，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为12.5 cm，请根据以上数据，求出CD的长度．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)第8题图类型二与相似三角形有关的几何测量(2018～2019、2013～2016、2011.20)【类型解读】与相似三角形有关的几何测量应用题近10年在第20题考查7次，分值为7分．命题特点：以利用“标杆”测高、中心投影、平行投影、镜面反射或固定视角等问题为背景，设问多为测量高度．其中，2019年结合锐角三角函数考查，2016年解题需2次运用相似，其余均为1次．1.大唐芙蓉园位于陕西省西安市城南的曲江开发区大雁塔东南侧，园内的紫云楼是全园最主要的仿唐建筑之一，也是全园的点睛楼．小蓉和爸爸周天去紫云楼游玩，如图，正方形EFGH可以近似看作紫云楼的底部，A处为北门中点，爸爸从A处往正北方向走30米到达B处，C处为西门中点，小蓉从C处往正西方向走72米到达D处，此时正好看到B处的爸爸，则紫云楼底部的边长EF为多少米？(结果保留根号)第1题图2. (2019陕师大附中模拟)随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C处射进房间的地板F处，中午阳光恰好从窗户的最低点D处射进房间的地板E处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝3m.请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB 的高度．第2题图3.(2019荆门)如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)．测得AC＝2 m，BD＝2.1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG 为1.6 m，试确定楼的高度OE.第3题图4.一座桥繁荣一座城．为了加快城市发展，保障市民出行畅通，某市在流经该市的河流上架起一座彩虹桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算彩虹桥AP的长．他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点E、F，使得EF∥B C.经测量，∠ABP＝60°，BC＝120米，BE＝60米，EF＝200米．已知AP⊥BC于点P，请你根据提供的数据，帮助他们计算彩虹桥AP的长度．第4题图5.在一个阳光明媚的上午，陈老师组织学生测量小山坡上一棵大树CD的高度，山坡OM与地面ON 的夹角为30°(∠MON＝30°)，站立在水平地面上身高AB为1.7米的小明在地面的影长BP为1.2米，此刻大树CD在斜坡的影长DQ为5米，求大树的高度．(结果保留根号)第5题图6.晚饭后，小华陪父亲到广场散步，小华抬头看到一路灯，小华问父亲路灯臂MQ有多长，父亲说你已学过测量的知识，现在我们测量一下．如图所示，父亲背对路灯站在距路灯底座N点9 m的B处，小华站在父亲前面1 m的C处，此时小华通过父亲头顶A处刚好看到路灯臂的Q点，小华后退0.2 m到达F处，又恰好通过父亲头顶A处看到灯臂的M点，已知父亲身高AB＝1.8 m，小华身高CD＝EF＝1.4 m，MN⊥NF，MQ⊥MN，请你帮助小华计算灯臂MQ的长度．(眼睛到头顶的距离忽略不计)第6题图7.某天，小明和小亮利用一个直角三角形纸板结合所学的几何测量知识来测量学校旗杆的高度．测量方案如下：如图，小明拿着三角形纸板，使得三角形纸板较长的一条直角边保持水平，然后调整自己的位置，使得眼睛看到的旗杆顶端M恰好在三角形纸板斜边所在的直线上，此时小明的眼睛到地面的高度AB 为1.5 m；然后用同样的方法，小亮利用此三角形纸板在旗杆的另一侧测得当他距离小明8.0 m时，眼睛看到的旗杆顶端M也恰好在三角形纸板斜边所在的直线上，且小亮的眼睛到地面的高度CD为1.45 m．已知三角形纸板的较长直角边为0.4 m，较短直角边为0.3 m，点B、N、D在同一条直线上，求旗杆MN的高度．(结果精确到0.1 m)第7题图8. (2019西安交大附中模拟) 如图，在相对的两座楼中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在楼上观察这堵墙，视线所及示意图如图①.根据实际情况画出平面图形(如图②)，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5米，DF＝100米，BG＝10米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差．图①图②第8题图参考答案类型一与锐角三角函数有关的几何测量1.解：如解图，过点P作PQ⊥AB于点Q，根据题意，在△ABP中，∵∠P AB＝90°－30°＝60°，∠PBA＝90°－60°＝30°，∴∠APB＝180°－60°－30°＝90°.∴在Rt△APB中，AP＝AB·sin∠ABP＝60×sin30°＝30(米)．在Rt△APQ中，PQ＝AP·sin∠P AQ＝30×sin60°＝153(米)，∴小河的宽度为15 3 米．第1题解图2.解：设BP＝x海里，由题意得BP⊥AC，∴∠BPC＝∠BP A＝90°，∴∠BAC＝90°－60°＝30°，∴∠ABP＝60°，∴∠CBP＝45°，又∵∠BPC＝90°，∴∠C＝∠CBP＝45°，∴CP＝BP＝x海里．在Rt△ABP中，AP＝BP·tan∠ABP＝BP·tan60°＝(3x)海里，∴3x＋x＝10，解得x＝53－5.∴BP＝(53－5)海里．答：观测站B到AC的距离BP为(53－5)海里．3.解：如解图，过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE为矩形．第3题解图∵∠α＝45°，∠β＝60°，∴∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，∴△AED为等腰直角三角形，∵四边形BCDE为矩形，∴AE＝DE＝BC＝40 m，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠CAB＝40tan30°＝403≈40×1.732≈69.3 m.∴CD＝BE＝AB－AE＝403－40≈29.3 m.答：建筑物AB的高度约为69.3 m，建筑物CD的高度约为29.3 m.4.解：如解图，过点C作CN⊥BM于点N，则四边形CDMN和四边形CDFE是矩形，且点E在线段CN上，∴MN＝CD＝1米，CE＝DF＝4米，∴BN＝BM－MN＝17－1＝16米．∵在Rt△BCN中，BN＝16米，∠BCN＝37°，∴CN＝BNtan37°≈21.33米．∵在Rt△AEN中，EN＝CN－CE≈17.33米，∠AEN＝45°，∴AN ＝EN ≈17.33米，∴AB ＝AN －BN ≈17.33－16≈1.3(米)． 答：宣传牌AB 的高度约为1.3米．第4题解图5. 解：如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥AC 于点F ， ∴四边形DECF 为矩形， ∴DE ＝CF ，根据题意可得，在Rt △BDE 中， DE ＝BD ·sin30°＝168×12＝84(米)，∵DE ＝FC ，∴AF ＝AC －FC ＝AC －DE ＝154－84＝70(米)， ∴在Rt △ADF 中，AD ＝2AF ＝702米， 答：电动扶梯DA 的长为70 2 米．第5题解图6. 解：如解图，过点C 作CE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，易得D 、C 、E 三点共线，由题意得∠EAC ＝45°， ∠EBC ＝60°，AB ＝60米，DE ＝AF ＝370米，设EC ＝x 米，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝EC BE，则BE＝ECtan∠EBC＝xtan60°＝3x3米，在Rt△ACE中，∵∠EAC＝45°，∴AE＝EC＝x米，∵AB＋BE＝AE，∴60＋3x3＝x，解得x＝90＋303，∴CD＝DE－EC＝370－90－303＝(280－303)米．答：这座山的高度CD为(280－303)米．第6题解图7.解：如解图，过点D作BC的垂线，交直线BC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，则四边形DGBF为矩形，∴DF＝GB，DG＝F B.∵山坡的坡度i＝1 ∶3，∴DF∶FC＝1 ∶3，∴DF∶FC∶CD＝1 ∶ 3 ∶2.∵CD＝10米，∴DF＝5米，FC＝5 3 米．∵CE＝10米，∴BE＝DG－FC－CE＝(DG－53－10)米．∵∠ADG＝30°，∴DG ＝AGtan30°＝3AG .∵∠AEB ＝60°， ∴tan ∠AEB ＝tan60°＝AB EB. ∵AB ＝AG ＋GB ＝AG ＋DF ＝(AG ＋5)米， ∴3＝AG ＋5EB ＝AG ＋5DG －53－10＝AG ＋53AG －53－10.解得AG ＝53＋10.∴AB ＝AG ＋GB ＝53＋10＋5≈23.7(米)． 答：楼房AB 的高度约为23.7米．第7题解图8. 解：如解图，分别过点C 、D 作CE ⊥AB 、DF ⊥AB ，交AB 的延长线于点E 、F ， ∵AE ∥CD ，∴四边形DFEC 为矩形，∴CD ＝EF ，∠EBC ＝∠DCB ＝52°， ∵CE ⊥AE ，DF ⊥AF ， ∴在Rt △BCE 中，BE ＝CEtan ∠EBC≈9.77 cm ，在Rt △ADF 中，AF ＝DFtan A ≈14.88 cm ，∵AE ＝AB ＋BE ≈8.5＋9.77＝18.27 cm ， ∴CD ＝EF ＝AE －AF ≈18.27－14.88≈3.4 cm. ∴CD 的长度约为3.4 cm.第8题解图类型二与相似三角形有关的几何测量1.解：设紫云楼底部的边长EF为x米，则AE＝CE＝12x米，∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴ABCE＝AECD，即3012x＝12x72，∴x＝2415.答：紫云楼底部的边长EF为2415 米．2.解：如解图，连接CD，由题可得△COF∽△ABF，△DOE∽△ABE，则COAB＝OFBO＋OF，DOAB＝OEBO＋OE，∵OD＝1 m，CO＝CD＋OD＝2.5 m，OE＝1 m，OF＝3 m，∴2.5AB＝3BO＋3，1AB＝1BO＋1，∴BO＝9 m，AB＝10 m.答：环保宣传牌AB的高度是10 m.第2题解图3.解：如解图，作点E关于OD的对称点M，由光的反射定律可知，延长F A、GC相交于点M.、第3题解图连接GF并延长，交OE于点H.∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，△MAO∽△MFH，∴ACFG＝MAMF＝MOMH，即ACBD＝OEMH＝OEMO＋OH＝OEOE＋BF，∴OEOE＋1.6＝22.1，∴OE＝32.答：楼的高度OE为32 m.4. 解：∵BC ∥EF ， ∴∠ABC ＝∠AEF ， ∠ACB ＝∠AFE ， ∴△ABC ∽△AEF ， ∴AB AE ＝BC EF ，即AB AB ＋60＝120200， 解得AB ＝90.∵AP ⊥BC ，∠ABP ＝60°，∴在Rt △APB 中，AP ＝AB ·sin60°＝90×32＝453， ∴彩虹桥AP 的长度为45 3 米．5. 解：如解图，过点Q 作QE ⊥DC 于点E ， 由题意可得△ABP ∽△CEQ ， 则AB BP ＝EC EQ ，即1.71.2＝EC EQ， 由作图可得EQ ∥NO ， 则∠1＝∠2＝30°， ∵DQ ＝5米，∴DE ＝52米，EQ ＝532米，∴1.71.2＝EC 532， ∴EC ＝85324米，∴CD ＝EC ＋DE ＝85324＋52＝853＋6024 米．答：大树的高度为853＋6024米．第5题解图6.解：如解图，过点A作AG⊥MN于点G，则有AG＝BN＝9 m，根据题意，易得CF＝DE＝0.2 m，BF＝PE＝1.2 m，∵MN⊥NF，AB⊥NF，EP⊥AB，∴AG∥PE，∴∠MAG＝∠AEP，又∵∠MGA＝∠APE＝90°，∴Rt△MAG∽Rt△AEP，∴MAAE＝AGEP.∵MQ⊥MN，∴AG∥MQ，MQ∥PE，∴∠MQA＝∠EDA，∠QMA＝∠DEA，∴△AMQ∽△AED，∴AMAE＝MQED，∴AGEP＝MQED，即91.2＝MQ0.2，∴MQ＝1.5 m.∴灯臂MQ的长度为1.5 m.第6题解图7. 解：如解图，过点A 作AE ⊥MN 于点E ，过点C 作CF ⊥MN 于点F ， 则AE ＝BN ，CF ＝DN ，EF ＝AB －CD ＝1.5－1.45＝0.05 m ， 设ME ＝x m ，则MF ＝(x ＋0.05)m ，∵∠AGH ＝∠AEM ＝90°，∠HAG ＝∠MAE ， ∴△AGH ∽△AEM ， ∴AG AE ＝HG ME ，即0.4AE ＝0.3x， ∴AE ＝43x m ，∵BD ＝8.0 m ，∴CF ＝DN ＝(8.0－43x )m ，∵∠CQP ＝∠CFM ＝90°， ∠PCQ ＝∠MCF ， ∴△CQP ∽△CFM ， ∴CQ CF ＝PQ MF，即0.48.0－43x＝0.3x ＋0.05，解得x ＝2.975，∴MN ＝ME ＋EN ＝2.975＋1.5≈4.5 m.答：旗杆MN 的高度约为4.5 m.第7题解图8. 解：由题意可知∠ABG ＝∠CDG ＝90°，又∵∠AGB ＝∠CGD ，∴△ABG ∽△CDG ，∴AB CD ＝BG DG .∵DF ＝100米，点B 是DF 的中点，∴BD ＝BF ＝50米，∵AB ＝5米，BG ＝10米，∴5CD ＝1050＋10，∴CD ＝30米，同理可求得EF ＝10米，CD－EF＝30－10＝20(米)，∴甲、乙两人的观测点到地面的距离之差为20米．。
2024年中考数学复习(全国版)第五讲 几何测量问题(原卷版)
№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第5讲几何测量→➊考点精析←→➋真题精讲←考向一全等测距考向二中位线测距考向三相似测距考向四锐角三角函数测距第5讲几何测量→➋真题精讲←题型一全等测距1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA 、BB 的中点，只要量出A B 的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D．两点之间线段最短2.（2020•陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN ．他俩在小明家的窗台B 处，测得商业大厦顶部N 的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B 处测得商业大厦底部M 的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C 处测得大厦底部M 的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A ，B ，C 三点共线，CA ⊥AM ，NM ⊥AM ，AB ＝31m ，BC ＝18m ，试求商业大厦的高MN ．3.要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED ＝AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．题型二中位线测距4．（2023·云南·统考中考真题）如图，A B 、两点被池塘隔开，、、A B C 三点不共线．设AC BC 、的中点分别为M N 、．若3MN 米，则AB （）A ．4米B ．6米C ．8米D ．10米5．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条OA OB ，的一个端点连在一起，点C D ，分别是OA OB ，的中点．若4cm CD ，则该工件内槽宽AB 的长为__________cm ．题型三相似测距6．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为（）A ．6.4mB ．8mC ．9.6mD ．12.5m7．（2023·江西·统考中考真题）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，ABC 和AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得40cm 20cm 12m AB BD AQ ，，，则树高PQ ______m ．8.（2022年陕西中考）（6分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，OA 的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．9.（2019·陕西）（7分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）题型四锐角三角函数测距10．（2023·河南·统考中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD 为正方形，30cm AB ，顶点A 处挂了一个铅锤M ．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D ，A 与树顶E 在一条直线上，铅垂线AM 交BC 于点H ．经测量，点A 距地面1.8m ，到树EG 的距离11m AF ，20cm BH ．求树EG 的高度（结果精确到0.1m ）．11．（2023·辽宁·统考中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ．D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30 ，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53 （换乘登山缆车的时间忽略不计）(1)求登山缆车上升的高度DE ；(2)若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33 ，，）12.（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC 、53BAD ，18m AB ．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62 ，cos 380.79 ，tan 380.78 ，sin 530.80 ，cos530.60 ，tan 53 1.33 ）12．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72 方向，距离灯塔100nmile 的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东40 方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？（参考数据：sin 720.95,cos720.31,tan 72 3.08,sin 400.64,c os 400.77,tan 400.84 ．）14．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知,,AE BE BC BE CD BE ∥，10.4m, 1.26m AC BC ，点A 关于点C 的仰角为70 ，则楼AE 的高度为多少m（结果保留整数．参考数据：sin700.94,cos700.34,tan70 2.75 ）15．（2023·四川成都·统考中考真题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为5米，与水平面的夹角为16 ，且靠墙端离地高BC 为4米，当太阳光线AD 与地面CE 的夹角为45 时，求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin160.28,cos160.96,tan160.29 ）16．（2023·内蒙古·统考中考真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A 点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B 点和C 点，行进路线(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角(2)求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）17．（2023·山东·统考中考真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无18．（2023·四川内江·统考中考真题）长度为30米，在坡顶B处测得教学楼处有一个花台，在E处测得C的仰角19．（2023·天津·统考中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B为27 ．(1)求DE的长；(2)设塔AB的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）(1)求步道DE的长度．(2)点D处有一个小商店，某人从点也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：sin580.85,cos58。
(名师整理)最新中考数学《几何测量问题》专题考点精讲精练
解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB， ∴BECF＝DDCE. ∵DE＝40 cm＝0.4 m，EF＝30 cm＝0.3 m，AC＝1.5 m， CD＝10 m， ∴B0.C3＝01.04， ∴BC＝7.5， ∴AB＝AC＋BC＝1.5＋7.5＝9(m)． 答：树高 AB 为 9 m.
∴AD＝ 2AF＝70 2(米)．
答：电动扶梯 DA 的长为 70 2米．
4.仰俯角[2018 陕师大附中三模]如图，一根电线杆 PQ 直 立在山坡上，从地面的点 A 看，测得杆顶端点 P 的仰角为 45°， 向前走 6 m 到达点 B，又测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰 角分别为 60°和 30°，求电线杆 PQ 的高度(结果保留根号)．
第 4 题图
解：如答图，延长 PQ 交地面于点 C.
第 4 题答图 由题意可得 AB＝6，∠PCA＝90°，∠PAC＝45°，∠PBC ＝60°，∠QBC＝30°，
设 CQ＝x，则在 Rt△BQC 中，BC＝ 3QC＝ 3x， ∴在 Rt△PBC 中，PC＝ 3BC＝3x. ∵在 Rt△PAC 中，∠PAC＝45°，则 PC＝AC， ∴3x＝6＋ 3x，解得 x＝3－6 3＝3＋ 3， ∴PQ＝PC－CQ＝3x－x＝2x＝6＋2 3， 答：电线杆 PQ 的高为(6＋2 3)米．
12. 投影模型 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一 时刻测得 1 米长的竹竿竖直放置时影长 2 米，在同时刻测量 旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上(BC)，另一部 分落在斜坡上(CD)，他测得落在地面上的影长为 10 米，留在 斜坡上的影长为 2 米，∠DCE 为 45°，则旗杆的高度约为多 少米(参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)?
中考总复习数学专题习题课件专题七：几何综合问题
2．(2015·珠海)如图，折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 C 落在 OA 边
的点 D 处，已知折痕 BE＝5 5，且OODE＝43，以 O 为原点，OA 所在的直 线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线 l：y＝－116x2＋12x＋c 经过点 E，且与 AB 边相交于点 F. (1)求证：△ABD∽△ODE； (2)若 M 是 BE 的中点，连接 MF，求证：MF⊥BD； (3)P 是线段 BC 上一动点，点 Q 在抛物线 l 上，且始终满足 PD⊥DQ， 在点 P 运动过程中，能否使得 PD＝DQ？若能，求出所有符合条件的 Q 点坐标；若不能，请说明理由．
解：(1)作 ME⊥x 轴于点 E，则∠MEP＝∠POC＝90°，∵PM⊥CP，∴ ∠CPM＝90°，∴∠OPC＋∠MPE＝90°，∵∠OPC＋∠PCO＝90°，∴ ∠MPE＝∠PCO，又∵PM＝CP，∴△MPE≌△PCO，∴PE＝CO＝4，ME ＝PO＝t，∴OE＝4＋t，∴点 M 的坐标为(4＋t，t) (2)线段 MN 的长度不变，理由：由题意知 OA＝AB＝4，∴点 B 坐标为(4， 4)，∴直线 OB 的解析式为 y＝x，∵MN∥OA，点 M 为(4＋t，t)，点 N 的坐标为(t，t)，∴MN＝|(4＋t)－t|＝4，即线段 MN 的长度不变 (3)由(1) 知：∠MPE＝∠PCO，又∠DAP＝∠POC＝90°，∴△DAP∽△POC，∴ AODP＝OACP，∵OP＝t，OC＝4，∴AP＝4－t，∴AtD＝4－4 t，∴AD＝t（44－t）， ∴BD＝4－t（44－t）＝t2－44t＋16，∵MN∥OA，AB⊥OA，∴MN⊥BD， ∴四边形 BNDM 的面积 S＝12MN·BD＝12t2－2t＋8＝21(t－2)2＋6，∵12＞0， ∴S 有最小值，当 t＝2 时，S 的值最小，∴当 t＝2 时，四边形 BNDM 的 面积最小
中考数学总复习《几何动态与函数图象问题》专项测试卷及答案
中考数学总复习《几何动态与函数图象问题》专项测试卷及答案题型解读｜模型构建｜通关试练学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力．函数的学习需要学生真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型．本专题主要对函数与几何图形结合的相关题型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型．几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现．命题方式常涉及三种题型：①分析实际问题判断函数图象；①结合几何图形中的动点问题判断函数图象；①分析函数图象判断结论正误；①根据函数性质判断函数图象．题目难度中等，属于中考热点题型．模型01 动点问题动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题，是单动点还是双动点问题．在几何中的动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变量与因变量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题．模型02 线动问题线动问题的函数图象题，该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，①自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，①自变量变化函数值也变化的增减变化情况，①函数图象的最低点和最高点．根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．模型03 函数图象判断函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，①自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，①自变量变化函数值也变化的增减变化情况，①函数图象的最低点和最高点．模型01 动点问题考｜向｜预｜测动点问题的函数图象题本题型主要考查的是动点问题的函数图象，确定函数的表达式是解本题的关键．这类问题需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力及分类讨论的解题思想．本题型主要是以选择、填空为主，具有一定的难度，是学生主要的失分题型之一．答｜题｜技｜巧例1．（2024·河南南阳·一模）1．如图1，在ABC 中，AB=BC ，BD AC ⊥于点()D AD BD >．动点M 从A 点出发，沿折线AB BC →方向运动，运动到点C 停止．设点M 的运动路程为x ，AMD 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2，则AC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．13例2．（2023•北京） 2．如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（ ）A．B．C．D．模型02 线动问题考｜向｜预｜测线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．该题型一般以选择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识．答｜题｜技｜巧例1．（2024·河南许昌·一模）3．如图1，在Rt ABC △中90C ∠=︒，30B ∠=︒点P 从点A 出发运动到点B 时停止，过点P 作PQ AB ⊥，交直角边AC （或BC ）于点Q ，设点P 运动的路程为x ，APQ △的面积为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当5x =时，APQ △的面积为（ ）A B ．C D ．例2．（2023•海南）4．如图，Rt ABC 中90C ∠=︒，AB=5，BC =D 在折线ACB 上运动，过点D 作AB 的垂线，垂足为E ．设AE x = ADE S y =则y 关于x 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．模型03 函数图象判断考｜向｜预｜测函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，①自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，①自变量变化函数值也变化的增减变化情况，①函数图象的最低点和最高点．答｜题｜技｜巧例1．（2024·山东聊城·一模）5．如图，在矩形ABCD 中6cm AD = 3cm AB =，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点4cm AE =，点P 从点B 出发沿折线B E D --运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是0.5cm/s ，现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），BPQ 的面积为2cm y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A ．B ．C ．D ．例2．（2023•吉林） 6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B ，C 都不重合），现将①PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作①BPF 的角平分线交AB 于点E ，设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在Rt ABC ∆中，点D 为AC 边中点，动点P 从点D 出发，沿着D A B →→的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B 点，在此过程中线段CP 的长度y 随着运动时间x 的函数关系如图2所示，则BC 的长为( )．A B ．C D （2023•山东）8．如图（1），Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD 是中线，点P 从点D 出发，沿D C B →→的方向以1cm/s 的速度运动到点B ．图（2）是点P 运动时，ADP △的面积()2cm y 随时间()s x 变化的图象，则a 的值为（ ）A ．2B ．52C D9．如图1，点F 从四条边都相等的ABCD 的顶点A 出发，沿A D B →→以1cm /s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，FBC 的面积()2cm y 随时间()s x 变化的关系图象，则a 的值为（ ）A B ．2 C ．52 D ．（2023•江苏） 10．如图①，在正方形ABCD 中，点M 是AB 的中点，设DN x =，AN MN y +=已知y 与x 之间的函数图象如图①所示，点(,E a 是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．（2023•贵州） 11．把两个全等的等腰直角三角形透明纸片ABC FGH 、如图1放置（点C 与点H 重合），若将FGH 绕点C在平面内旋转，HG HF 、分别交边AB 于点E D 、（点D E 、均不与点A B 、重合）．设,AE x BD y ==，在旋转过程中，y 与x 的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．a =B ．245y x x =--C ．2222AD BE DE +=D ．8xy =12．如图，ABC 中90C ∠=︒，AC=15，BC=20．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ．设点D 运动的路径长为x ，BDE △的面积为y ，若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．48（2023•上海） 13．如图，ABC 中ACB 90∠= A 30∠= AB=16，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC(或边CB)于点Q ，设AP x =，APQ △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．（2023•广西）14．如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B ，C 重合），现将①PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落下点C 1处；作①BPC 1的平分线交AB 于点E ．设BP =x ，BE =y ，那么y 关于x 的函数图象大致应为（ ）A．B．C．D．（2023•内蒙古）15．如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，PByPC=，如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形ABC的边长是（）A．B．4C．6D．（2023•杭州）16．如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，PByPC=图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A ．6B ．3C ．D ．17．如图1，在ABC 中CA CB =，直线l 经过点A 且垂直于AB ．现将直线l 以1cm/s 的速度向右匀速平移，直至到达点B 时停止运动，直线l 与边AB 交于点M ，与边AC （或CB ）交于点N ． 设直线l 移动的时间是(s)x ，AMN 的面积为． ()cm?y ，，若y 关于x 的函数图象如图2所示，则 ABC 的周长为（ ）A ．16cmB ．17cmC ．18cmD ．20cm（2024·河南安阳·一模）18．如图1，Rt ABC △中，点P 从点C 出发，沿折线C B A --匀速运动，连接AP ，设点P 的运动距离为x ，AP 的长为y ，y 关于x 的函数图象如图2所示，则当点 P 为BC 的中点时，AP 的长为（ ）A B ．C D ．5（2024·四川广元·二模）19．如图，在梯形 ABCD 中90B ∠=︒，AB=4，CD=3，AD = P ，E 分别为对角线AC 和边 BC 上的动点，连接 .PE 点 P 在 CA 上以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 运动到点A ，在这个过程中始终保持 .PE BC ⊥设CPE 的面积为y ，则y 与点P 的运动时间x 的函数关系图象大致可以表示为( )A ．B ．C ．D ． （2024·河南信阳·一模）20．如图1，已知ABCD 的边长AB 为 30B ∠=︒ AE BC ⊥于点E ．现将ABE 沿BC 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的ABE 与ABCD 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象如图2，则当t 为9时，S 的值是（ ）A B ．C D ．（2023·广西）21．如图，在Rt ABC 中90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ AB = CD AB ⊥垂足为点D ，动点M 从点A 出发沿AB 的速度匀速运动到点B ，同时动点N 从点C 出发沿射线DC 方向以1cm/s 的速度匀速运动．当点M 停止运动时，点N 也随之停止，连接MN ，设运动时间为s t ，MND 的面积为2cm S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．（2023·辽宁）22．如图，矩形ABCD 中8cm AB = 12cm AD = AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B C D →→方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm /s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与OPQ △的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．（2024·山东淄博·一模）23．如图1，点P 从ABC 的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，M 为最低点，则ABC 的面积是（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15（2023·山东） 24．如图，在 Rt ABC △中，10AB =cm ，3sin 5A = 90ACB ∠=︒过点C 向AB 作垂线，垂足为D ．直线,m n 垂直于AB ，直线m 分别与,AB AC 相交于点,M N ，直线n 分别与,AB BC 相交于点P 、Q ．直线m 从点A 出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动；同时，直线n 从点B 出发，沿BA 方向以相同的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动．若运动过程中直线m 、n 及ABC 围成的多边形MNCQP 的面积是()2cm y ，直线m 的运动时间是x （s ），则y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．（2024·山东聊城·一模）25．如图，在ABC 中，AB=10，BC=6，AC=8，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM AC ⊥于点M ，作PN BC ⊥于点N ，连结MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t (秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为 ．26．如图①，在菱形ABCD 中120D ∠=︒，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC 的长度为x ，PE 与PB 的长度之和为y ，图①是y 关于x 的函数图象，则图象上最低点H 的坐标为 ．（2024·山东枣庄·一模）27．如图1，在ABC 中，点P 从点A 出发向点C 运动，在运动过程中，设x 表示线段AP 的长，y 表示线段BP 的长，y 与x 之间的关系如图2所示，则m n -= ．28．如图1，在平行四边形ABCD 中=60B ∠︒，2BC AB =动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿折线B C D --运动到点D 停止．图2是点P Q 、运动时，BPQ 的面积S 与运动时间t 函数关系的图象，则a 的值是 ．（2024·福建福州一模）29．如图（1），点D 为等边三角形ABC 的边AB 的延长线上一点，且BD a =，点E 在线段BC 上运动，点F 在AC 的延长线上运动，连接DE EF DEF ∠，，恒为120︒，设BE 的长为x ，CF 的长为y ，且y 与x 之间的函数关系的图象如图（2）所示（当点E 与点C 重合时，不妨设0y =），已知点Q 为该图象的最高点，则a 的值为 ．（2023·江苏连云港·二模）30．如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以1v 的速度沿折线A B C ——向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发以2v 的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD的中点，连接PE ,PQ ，记EPQ △的面积为S ，其函数图象为折线MN NF —和曲线FG （图①），已知ON=4 NH=1 点G 的坐标为()8,0．(1)点P 与点Q 的速度之比12V V 的值为 ；AB AD的值为 ； (2)如果15OM =． ①求线段NF 所在直线的函数表达式；①求FG 所在曲线的函数表达式；①是否存在某个时刻t ，使得154S ≥若存在，请说明理由．参考答案例1．（2024·河南南阳·一模）1．如图1，在ABC 中，AB=BC ，BD AC ⊥于点()D AD BD >．动点M 从A 点出发，沿折线AB BC →方向运动，运动到点C 停止．设点M 的运动路程为x ，AMD 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2，则AC 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．13例2．（2023•北京） 2．如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点M ，A ，C ，N 依次在同一直线上，且AM CN =．现有两个机器人（看成点）分别从M ，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M A D C N →→→→和N C B A M →→→→．若移动时间为x ，两个机器人之间距离为y ，则y 与x 关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．模型02 线动问题考｜向｜预｜测线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方．该题型一般以选择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识．答｜题｜技｜巧例1．（2024·河南许昌·一模）3．如图1，在Rt ABC △中90C ∠=︒，30B ∠=︒点P 从点A 出发运动到点B 时停止，过点P 作PQ AB ⊥，交直角边AC （或BC ）于点Q ，设点P 运动的路程为x ，APQ △的面积为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当5x =时，APQ △的面积为（ ）A B ．C D ．例2．（2023•海南）4．如图，Rt ABC 中90C ∠=︒，AB=5，BC =D 在折线ACB 上运动，过点D 作AB 的垂线，垂足为E ．设AE x =，ADE S y =则y 关于x 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．模型03 函数图象判断考｜向｜预｜测函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示，①自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，①自变量变化函数值也变化的增减变化情况，①函数图象的最低点和最高点．答｜题｜技｜巧例1．（2024·山东聊城·一模）5．如图，在矩形ABCD 中6cm AD =，AB=3cm ，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，AE=4cm,，点P 从点B 出发沿折线B E D --运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是0.5cm/s ，现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），BPQ 的面积为2cm y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A ．B ．C ．D ．例2．（2023•吉林）6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B ，C 都不重合），现将①PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作①BPF 的角平分线交AB 于点E ，设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在Rt ABC ∆中，点D 为AC 边中点，动点P 从点D 出发，沿着D A B →→的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B 点，在此过程中线段CP 的长度y 随着运动时间x 的函数关系如图2所示，则BC 的长为( )．A B ．C D （2023•山东）8．如图（1），Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD 是中线，点P 从点D 出发，沿D C B →→的方向以1cm/s 的速度运动到点B ．图（2）是点P 运动时，ADP △的面积()2cm y 随时间()s x 变化的图象，则a 的值为（ ）A ．2B ．52CD （2023•广西） 9．如图1，点F 从四条边都相等的ABCD 的顶点A 出发，沿A D B →→以1cm /s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，FBC 的面积()2cm y 随时间()s x 变化的关系图象，则a 的值为（ ）A B ．2 C ．52 D ．（2023•江苏） 10．如图①，在正方形ABCD 中，点M 是AB 的中点，设DN x =，AN MN y +=已知y 与x 之间的函数图象如图①所示，点(,E a 是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）A．2B ．C ．4D ．（2023•贵州） 11．把两个全等的等腰直角三角形透明纸片ABC FGH 、如图1放置（点C 与点H 重合），若将FGH 绕点C在平面内旋转，HG HF 、分别交边AB 于点E D 、（点D E 、均不与点A B 、重合）．设,AE x BD y ==，在旋转过程中，y 与x 的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（ ）A．a =B ．245y x x =--C ．2222AD BE DE +=D ．8xy =（2023•北京） 12．如图，ABC 中90C ∠=︒，AC=15，BC=20．点D 从点A 出发沿折线A C B --运动到点B 停止，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ．设点D 运动的路径长为x ，BDE △的面积为y ，若y 与x 的对应关系如图所示，则a b -的值为（ ）A ．54B ．52C ．50D ．48（2023•上海） 13．如图，ABC 中ACB 90∠= A 30∠=，AB =16，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC(或边CB)于点Q ，设AP x =，APQ △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．（2023•广西）14．如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 不与点B ，C 重合），现将①PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落下点C 1处；作①BPC 1的平分线交AB 于点E ．设BP =x ，BE =y ，那么y 关于x 的函数图象大致应为（ ）A．B．C．D．（2023•内蒙古）15．如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B，设点P运动的路程为x，PByPC=如图2所示为点P运动时y随x变化的函数关系图象，则等边三角形ABC的边长是（）A．B．4C．6D．（2023•杭州）16．如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，PByPC=图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为（）A ．6B ．3C ．D ．（2024·河南·一模）17．如图1，在ABC 中CA CB =，直线l 经过点A 且垂直于AB ．现将直线l 以1cm/s 的速度向右匀速平移，直至到达点B 时停止运动，直线l 与边AB 交于点M ，与边AC （或CB ）交于点N ． 设直线l 移动的时间是(s)x ，AMN 的面积为． ()cm?y ，若y 关于x 的函数图象如图2所示，则 ABC 的周长为（ ）A ．16cmB ．17cmC ．18cmD ．20cm（2024·河南安阳·一模）18．如图1，Rt ABC △中，点P 从点C 出发，沿折线C B A --匀速运动，连接AP ，设点P 的运动距离为x ，AP 的长为y ，y 关于x 的函数图象如图2所示，则当点 P 为BC 的中点时，AP 的长为（ ）A B ．C D ．5（2024·四川广元·二模）19．如图，在梯形 ABCD 中90B ∠=︒，AB =4，CD =3，AD = 点 P ，E 分别为对角线AC 和边 BC 上的动点，连接 .PE 点 P 在 CA 上以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 运动到点A ，在这个过程中始终保持 .PE BC ⊥设CPE 的面积为y ，则y 与点P 的运动时间x 的函数关系图象大致可以表示为( )A ．B ．C ．D ． （2024·河南信阳·一模）20．如图1，已知ABCD 的边长AB 为 30B ∠=︒ AE BC ⊥于点E ．现将ABE 沿BC 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的ABE 与ABCD 重叠部分的面积S 与运动时间t 的函数图象如图2，则当t 为9时，S 的值是（ ）A B ．C D ．（2023·广西）21．如图，在Rt ABC 中90ACB ∠=︒ 30A ∠=︒ AB = CD AB ⊥垂足为点D ，动点M 从点A 出发沿AB 的速度匀速运动到点B ，同时动点N 从点C 出发沿射线DC 方向以1cm/s 的速度匀速运动．当点M 停止运动时，点N 也随之停止，连接MN ，设运动时间为s t ，MND 的面积为2cm S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．（2023·辽宁）22．如图，矩形ABCD 中8cm AB = 12cm AD = AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B C D →→方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm /s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与OPQ △的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．（2024·山东淄博·一模）23．如图1，点P 从ABC 的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，M 为最低点，则ABC 的面积是（ ）A ．6B ．9C ．12D ．15（2023·山东） 24．如图，在 Rt ABC △中，10AB =cm ，3sin 5A = 90ACB ∠=︒过点C 向AB 作垂线，垂足为D ．直线,m n 垂直于AB ，直线m 分别与,AB AC 相交于点,M N ，直线n 分别与,AB BC 相交于点P 、Q ．直线m 从点A 出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动；同时，直线n 从点B 出发，沿BA 方向以相同的速度向点D 运动，到达点D 时停止运动．若运动过程中直线m 、n 及ABC 围成的多边形MNCQP 的面积是()2cm y ，直线m 的运动时间是x （s ），则y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．（2024·山东聊城·一模）25．如图，在ABC 中，AB=10，BC=6，AC=8，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM AC ⊥于点M ，作PN BC ⊥于点N ，连结MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t (秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为 ．26．如图①，在菱形ABCD 中120D ∠=︒，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC 的长度为x ，PE 与PB 的长度之和为y ，图①是y 关于x 的函数图象，则图象上最低点H 的坐标为 ．（2024·山东枣庄·一模）27．如图1，在ABC 中，点P 从点A 出发向点C 运动，在运动过程中，设x 表示线段AP 的长，y 表示线段BP 的长，y 与x 之间的关系如图2所示，则m n -= ．28．如图1，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒ 2BC AB =动点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB 运动到点B 停止，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿折线B C D --运动到点D 停止．图2是点P Q 、运动时，BPQ 的面积S 与运动时间t 函数关系的图象，则a 的值是 ．（2024·福建福州一模）29．如图（1），点D 为等边三角形ABC 的边AB 的延长线上一点，且BD a =，点E 在线段BC 上运动，点F 在AC 的延长线上运动，连接DE EF DEF ∠，，恒为120︒，设BE 的长为x ，CF 的长为y ，且y 与x 之间的函数关系的图象如图（2）所示（当点E 与点C 重合时，不妨设0y =），已知点Q 为该图象的最高点，则a 的值为 ．（2023·江苏连云港·二模）30．如图①，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，以1v 的速度沿折线A B C ——向终点C 运动；同时，一动点Q 从点D 出发以2v 的速度沿DC 向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点E 为CD的中点，连接PE ,PQ ，记EPQ △的面积为S ，其函数图象为折线MN NF —和曲线FG （图①），已知4ON = 1NH = 点G 的坐标为()8,0．(1)点P 与点Q 的速度之比12V V 的值为 ；AB AD的值为 ； (2)如果15OM =． ①求线段NF 所在直线的函数表达式；①求FG 所在曲线的函数表达式；①是否存在某个时刻t ，使得154S ≥若存在，请说明理由． 参考答案1．A【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，判断出AB M 和点B 重合时，AMD 的面积为3是解本题的关键．先根据AB BC =结合图2得出AB = 2213AD BD += 再由运动结合AMD 的面积的变化，得出点M 和点B 重合时，AMD 的面积最大，其值为3，即132AD BD ⋅=，进而建立方程组求解，即可得出结论． 【详解】解：由图2知AB BC +=AB BC =AB ∴=AB BC = BD AC ⊥2AC AD =∴ 90ADB ∠=︒在Rt △ABD 中 22213AD BD AB +==①设点M 到AC 的距离为hΔ12ADM S AD h ∴=⋅ 动点M 从A 点出发 沿折线AB BC →方向运动∴当点M 运动到点B 时 AMD 的面积最大 即h BD =由图2知 AMD 的面积最大为3 ∴132AD BD ⋅= 6AD BD ∴⋅=①①2+⨯①得 222132625AD BD AD BD ++⋅=+⨯=2()25AD BD ∴+=5AD BD ∴+=（负值舍去）5BD AD ∴=-①将①代入①得 (5)6AD AD -=3AD ∴=或2AD =AD BD >3AD ∴=26AC AD ∴==故选：A ．2．D【分析】设圆的半径为R 根据机器人移动时最开始的距离为2AM CN R ++ 之后同时到达点A C 两个机器人之间的距离y 越来越小 当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时 此时两个机器人之间的距离是直径2R 当机器人分别沿C N →和A M →移动时 此时两个机器人之间的距离越来越大．【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M N 两点同时出发设圆的半径为R①两个机器人最初的距离是2AM CN R ++①两个人机器人速度相同①分别同时到达点A C①两个机器人之间的距离y 越来越小 故排除A C ；当两个机器人分别沿A D C →→和C B A →→移动时 此时两个机器人之间的距离是直径2R 保持不变 当机器人分别沿C N →和A M →移动时 此时两个机器人之间的距离越来越大 故排除C故选：D ．【点睛】本题考查动点函数图像 找到运动时的特殊点用排除法是关键．3．C【分析】本题考查了解直角三角形 动点函数的知识．根据图2知 8AB = 利用正切函数的定义求得PQ 的长 利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：根据图2知 8AB =当5x =时 5AP = 3BP =①30B ∠=︒①tan30PQ BP =⨯︒12APQ S AP PQ =⨯=△故选：C ．4．A【分析】分点D 在,AC BC 上 分别求得y 与x 的函数关系式 进而根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：如图所示 过点D 作DF AB ⊥于点F①Rt ABC 中 90C ∠=︒ 5AB = BC =①AC ①1tan 2CB A AC == ①DE AE ⊥ ①1tan 2DE CF A AE AF ===①2AC BC CF AB ⨯=== ①4AF =当点D 在AC 上时 即04x <<时①AE x = ADE Sy = ①12DE x = 21124y AE DE x =⨯= 当点D 在CB 上时 即45x ≤<时如图所示 连接AD①5EB AB AE x =-=- tan 2AC DE B CB EB=== ①()225DE EB x ==-①()225210y x x x x =-=-+, 综上所述 当04x <<时 抛物线开口向上 当45x ≤<时 抛物线开口向下故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象 解直角三角形 二次函数的图象与性质 熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．5．C【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、二次函数的图象、一次函数的图象、锐角三角函数 理解题意 分类讨论以及求得各段函数解析式是关键．先求得BE 的长 再分010t ≤<、1012t ≤≤、1214t <≤三种情况 分别求得对应的y 与t 的函数关系时 进而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可．【详解】解：在矩形ABCD 中 3cm AB = 6cm AD = AD BC ∥ 点E 在AD 上 且4cm AE =则在直角ABE 中 根据勾股定理得到5cm BE ===①当010t ≤< 即点P 在线段BE 上 点Q 在线段BC 上时 过点P 作PF BC ⊥于F①AD BC ∥①AEB PBF ∠=∠①3sin sin 5AB PBFAEB BE 则3sin 10PF BP PBF t ①2111332221040y BQ PF t t t 此时 该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；②当1012t ≤≤ 即点P 在线段DE 上 点Q 在线段BC 上时 此时111332224yBQ CD t t 此时该函数图象是直线的一部分； ③当1214t <≤ 即点P 在线段DE 上 点Q 在点C 时BPQ 的面积21639cm 2此时该三角形面积保持不变；综上所述 C 正确．故选：C ．6．C 【分析】先证明①BPE①①CDP 再根据相似三角形对应边成比例列出式子变形可得.【详解】由已知可知①EPD=90°①①BPE+①DPC=90°①①DPC+①PDC=90°①①CDP=①BPE①①B=①C=90°①①BPE①①CDP①BP ：CD ＝BE ：CP 即ｘ：3＝ｙ：（5-ｘ）①ｙ＝253x x -+（0＜ｘ＜5）； 故选C ．考点：1．折叠问题；2．相似三角形的判定和性质；3．二次函数的图象．7．C【分析】根据图象和图形的对应关系即可求出CD 的长 从而求出AD 和AC 然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP ①AB 时AP 的长 然后证出①APC ①①ACB 列出比例式即可求出AB 最后用勾股定理即可求出BC ．【详解】解：①动点P 从点D 出发 线段CP 的长度为y 运动时间为x 的 根据图象可知 当x =0时 y =2 ①CD =2。
中考数学回归教材重难点07 几何最值问题(解析版)
回归教材重难点07 几何最值问题几何最值问题是初中几何章节的重点内容，考查的范围比较广，把几何图形性质与平移、翻折等图形变换结合起来。
在中考数学中，主要是以压轴题形式出现。
通过熟练的几何模型的应用，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。
1.将军饮马模型；2.瓜豆模型；3.隐圆模型1．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝23AD＝2点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________【答案】42【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．△四边形ABCD 是矩形，△△RAT ＝90°，△AR ＝DR 2AT ＝2AB ＝3△RT 2222(2)(43)52AR AT ++△A ，A′关于DP 对称，△AA′△DP ，△△AMD ＝90°， △AR ＝RD ，△RM ＝12AD 2△MT ≥RT −RM ，△MT 2， △MT 的最小值为2△QA ＋QM ＝QT ＋QM ≥MT ，△QA ＋Q M 2，△QA ＋QM 的最小值为2．故答案为：2【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT 的最小值，属于中考常考题型．2．（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为'B ，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．【答案】 1 5【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE 35从而求得OA 及OC ；由AD △BC ，易得△AOE △△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值；第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F '和Rt △ EA N '中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’△EF ， 3A E AE '==△四边形ABCD 是矩形△△ADC =90°，CD =AB =4 ，AD △BC△△AOE =△ADC ，△OAE =△DAC △△AOE △ADC ，△12OE CD OA AD == ，△OA =2OE ， 在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE += ，△OE 35，△OA 65， 在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC 224845+=，△OC =6514545 令BF =x ，则FC =8-x ，△AD △BC ，△△AOE △△COF ，△37OA AE OC FC == ，即7AE =3FC △3(8-x )=7×3解得：1x =,△BF 的长为1． 连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN △EF ，NF =NE ，设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+- ，解得：m =3，则NF 10，△EF 222425+=△MF 5△MN 5故答案为：15【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．【答案】3133【分析】根据正方形的性质得到△ADC ＝90°，推出△DFC ＝90°，点F 在以DC 为直径的半圆上移动，，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ，连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△△ADC ＝90°，△△ADF ＋△CDF ＝90°，△ADF =DCF ∠∠，△△DCF ＋△CDF ＝90°，△△DFC ＝90°，△点F 在以DC 为直径的半圆上移动，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ， 连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，OF ＝3，△△G ＝90°，PG ＝DG ＝AB ＝6，△OG ＝9，△OP 222269313PG OG +=＋△FP ＝3133， △BE ＋FE 的长度最小值为3133，故答案为：3133．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．4．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，B ，D 两点坐标分别为B （﹣4，6），D （0，4），线段EF 在边OA 上移动，保持EF ＝3，当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标为__________．【答案】()0.4,0-【分析】先得出D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF 的周长的最小值转化为求FG +BF 的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小，用待定系数法求出直线BG 的解析式后，令y =0，即可求出点F 的坐标，最后得到点E 的坐标．【详解】解：如图所示，△D （0，4），△D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），△ED =EH ，将点H 向左平移3个单位，得到点G （-3，-4），△EF =HG ，EF △HG ，△四边形EFGH 是平行四边形，△EH =FG ，△FG =ED ，△B （-4，6），△BD ()()224064=25--+-又△EF ＝3，△四边形BDEF 的周长=BD +DE +EF +BF =25FG +3+BF ,要使四边形BDEF 的周长最小，则应使FG +BF 的值最小，而当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小， 设直线BG 的解析式为：()0y kx b k =+≠△B （-4，6），G （-3，-4），△4634k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩，△1034k b =-⎧⎨=-⎩，△1034y x =--， 当y =0时， 3.4x =-，△()3.4,0F -，△()0.4,0E -，故答案为：()0.4,0-．【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．5．（2021·广东·中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____． 52-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =，1AN BN ==，22112AO ∴=+112ON OM AB ===,3BC =，221(31)5OC ∴=+-=52CO OD ∴-=CD 长度的最小值为52-52-【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．6．（2021·河南周口·三模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在BC ，AB 上移动，AF ＝BE ，AE 和DF 交于点P ，点M 为边AB 上一动点，点N 为平面上一动点，CN ＝1，则NM +MP 的最小值是 ___．【答案】133【分析】首先证明△APD =90°，推出点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，R L ，ML ．根据RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，求出CR ，可得结论．【详解】解：如图，△四边形ABCD 是正方形，△△B =△DAF =90°，AD =AB ，在△AB E 和△DAF 中，AB DA B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DAF （SAS ），△△BAE =△ADF ，△△BAE +△DAP =90°，△△ADP +△DAE =90°，△△APD =90°，△点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，RL ，ML ．△CN =1，△点N 在以C 为圆心，半径为1的△C 上运动，在Rt △CD R 中，CR 22DR CD +2264+13△RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，△PM +MN 132-1，△PM +MN 133，△PM +MN 的最小值为133．【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．7．（2021·河南郑州·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），连接PD ，过点B 作BM △PD 交DP 的延长线于点M ，连接AM ，过点A 作AN △AM 交PD 于点N ，连接BN ，CN ，则△BNC 面积的最小值为________．【答案】1242-【分析】点N 在正方形内部，所以S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，由BM △PD 可得点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，先证明△AMB 与△ADN 全等，然后求△ABM 最大面积即可求出△BNC 的最小面积．【详解】解：△四边形ABCD 为正方形， △AD ＝AB ，△BAD ＝△BAN +△NAD ＝90°，△△MAB +△BAN ＝△MAN ＝90°，△△MAB ＝△NAD ，△△BMP +△BPM +△MBP ＝△P AD +△PDA +△APD ＝180°，△MPB ＝△APD ，△BMP ＝△DAP ＝90°，△△MBP ＝△ADP ， 在△AMB 和△AND 中，MAB NAD MBA NDA AB AD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝，△△AMB △△AND （ASA ）．△S △AMB ＝S △AND ， △S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，△当S △AMB 面积最大时，S △BNC 面积最小， △△BMD ＝90°，△点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，当△ABM面积最大时，OM △AB ，如图，△点O 为BD 中点，OM △AD ，△OK ＝12AD ＝2，△BD 2＝42△OM ＝12BD ＝22△MK ＝OM ﹣OK ＝222，△S △AMB ＝12AB •MK ＝424， △S △BNC ＝8﹣S △AMB ＝8﹣（424）＝1242-故答案为：1242-【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理等知识点，将求△BNC 的最小面积转化为求△ABM 最大面积并找出M 点运动轨迹是解题关键．8．（2021·河南·三模）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，点E ，F 分别为边AB ，AD 上的动点，且EF ＝6，点G ，M 分别为边BC ，CD 的中点，连接BM ，DG 交于点O ．将△EF A 沿EF 折叠得到△EF A '，点H 是边EF 上一动点，连接A 'H ，HO ，OA '．当A 'H +HO 的值最小时，OA '的长为 __________________．16216- 【分析】连接AH 、AO ，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，则可得当A 、H 、O 三点共线时，A 'H +HO 的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，可知四边形AF A 'E 是正方形，△ACB ＝45°，设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，可证明△BON △△BMC ，可求出CN ＝83，CO ＝823，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝2A 'O ＝AC ﹣AA '﹣OC 162． 【详解】解：连接AH 、AO ，如图，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，AH A H '∴= A H HO AH HO AO '∴+=+≥A H O ∴、、三点共线时，A H HO '+的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，如图2，∴四边形AFA E '是正方形，6AA EF '∴==，A O C 、、三点共线，45ACB ∴∠=︒M 是DC 中点，4MC ∴=设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，BNO BCM ∠=∠，BON BMC ∴~，ON MC BN BC ∴=即488x x =-，83x ∴=，83CN ∴= 822CO CN ∴==在Rt ABC 中，由勾股定理得，2282AC AB BC =+=8216282616A O AC AA OC ''∴=--== 16216-． 【点睛】本题考查相似的判定与性质、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．（2021·四川绵阳·一模）等边△ABC 的边长为6，P 是AB 上一点，AP ＝2，把AP 绕点A 旋转一周，P 点的对应点为P ′，连接BP ′，BP ′的中点为Q ，连接CQ ．则CQ 长度的最小值是_____．【答案】331【分析】取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，利用等边三角形求出CD＝33根据三角形中位线定理得到DQ＝1，利用三角形三边关系得出结果．【详解】解：如图，取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，△AP＝2，把AP绕点A旋转一周，△AP'＝2，△等边△ABC的边长为6，点D是AB中点，△BD＝AD＝3，CD△AB，△CD22226333BC BD--△点Q是BP'是中点，△BQ＝QP'，又△AD＝BD，△DQ＝12AP'＝1，在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，△CQ的最小值为31，故答案为331．【点睛】本题考查最短路径、中位线、等边三角形等知识，解决问题的关键是已知中点的常见思路：等腰三角形中构造三线合一，一般三角形中构造中位线．10．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ykx=（k＞0）的图象与半径为5的△O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是______．【答案】2【详解】设点M（a，b），N（c，d），先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，即可得出ac﹣bc＝0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，设点M（a，b），N（c，d），△ab＝k，cd＝k，△点M，N在△O上，△a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），△MN'即为PM+PN的最小值△S△OMN12=k12+（b+d）（a﹣c）12-k＝3.5，△ad﹣bc＝7，△kc kaa c-=7，△ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，△ac﹣bc()()2222777k c a k b d k--=-=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，△M（a，b），N'（c，﹣d），△MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，△MN'＝2故答案为：2【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式，判断出ac-bd=0是解本题的关键．11．（2021·广东·雷州市第八中学一模）如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若tan△AGE7BF＝8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为_____．【答案】10【分析】如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．首先证明△EGD△△FGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再证明PF=PE，推出PF+PC=PE+PC≥EC，想办法求出EC即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．由题意，EF 垂直平分线段BD ，△EB =ED ，BG =GD ，△四边形ABCD 是矩形，△AD △BC ，△△EDG =△FBG ，△△EGD =△FGB ，△△EGD △△FGB （ASA ），△BF =DE =8，EG =FG ，△DB △EF ，△PE =PF ，△PF +PC =PE +PC ≥EC ，△△BAE =△BGE =90°，OB =OE ，△OA =OB =OE =OG ，△A ，B ，G ，E 四点共圆，△△ABE =△AGE ，△tan△ABE =tan△AGE 7AE AB ， 设AE 7，AB =3k ，△AB 2+AE 2=BE 2，BE =DE =8，△7k ）2+（3k ）2=82，△k =2，△AB =CD =6，△△EDC =90°，△EC 222268CD DE ++，△PF +PC ≥10，△PF +PC 的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强． 12．（2022·上海·一模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC 22BC =ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到DEC ，连接AD ，BE ，直线AD ，BE 相交于点F ，连接CF ，在旋转过程中，线段CF 的最大值为__________．10【分析】取AB 的中点H ，连接CH 、FH ，设EC ，DF 交于点G ，在△ABC 中，由勾股定理得到AB 10由旋转可知：△DCE △△ACB ，从而△DCA =△BCE ，△ADC =△BEC ，由△DGC =△EGF ，可得△AFB =90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=12AB10△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF10【详解】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，△ACB=90º，△AC2，BC2△AB2210AC BC+由旋转可知：△DCE△△ACB，△△DCE=△ACB，DC=AC，CE=CB，△△DCA=△BCE，△△ADC=12(180º-△ACD) ，△BEC=12(180º-△BCE)，△△ADC=△BEC，△△DGC=△EGF，△△DCG=△EFG=90º，△△AFB=90º，△H是AB的中点，△FH=12AB，△△ACB=90º，△CH=12AB，△FH=CH=12AB10在△FCH中，FH+CH>CF，当F、C、H在一条直线上时，CF 101010=△线段CF10.10【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.13．（2022·重庆·一模）如图，已知ABC ，外心为O ，18BC =，60BAC ∠=︒，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是______．【答案】933-【分析】由ABD △与ACE 是等腰直角三角形，得到90BAD CAE ∠=∠=︒，DAC BAE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到ADC ABE ∠=∠，求得在以BC 为直径的圆上，由ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，得到120BOC ∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD 与ACE 是等腰直角三角形，90BAD CAE ∴∠=∠=︒，DAC BAE ∴∠=∠，在DAC △与BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAC ∴△()BAE SAS ，ADC ABE ∴∠=∠，90PDB PBD ∴∠+∠=︒， 90DPB ∴∠=︒，P ∴在以BC 为直径的圆上，ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，18BC =，9BH CH ∴==，12OH OB =，223BH OB OH OH ∴- 33OH ∴=9PH =，933OP ∴=-OP 的最小值是933-，故答案为：933-【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
2019安徽初中数学中考07 专题七
专题七几何图形综合题类型一与全等三角形有关的探究(2014·安徽)如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P点作PM∥AB交AF于点M，作PN∥CD交DE于点N.(1)①∠MPN＝________°；②求证：PM＋PN＝3a；(2)如图2，点O是AD的中点，连接OM，ON.求证：OM＝ON；(3)如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．例1题图【分析】(1)①∵正六边形的每个内角均为120°，且PM∥AB，PN∥CD，∴∠BPM＝∠CPN＝60°，问题解决：②作A G⊥MP交MP于点G，作B H⊥MP交MP 于点H，作D K⊥NP交NP于点K，作C L⊥NP交NP于点L，得GH＝AB＝a，KL＝CD＝a，再利用正六边形内角的关系和性质可求出HP＋PL和MG＋KN的值，再根据PM＋PN＝MG＋GH＋HP＋PL＋LK＋KN计算PM＋PN的值即可证明；(2)根据题意，先证明△O A M≌△OEN，即可证得OM＝ON；(3)先证明△GOE≌△NO D得OG＝ON，再证明△GON和△OMG是等边三角形，得到OM＝MG＝GN＝NO，即可得到四边形OMGN是菱形．【自主解答】【方法点拨】本题是压轴题，综合性较强，每个小问都需作出辅助线，然后利用数形结合、转化思想进行求解，如(1)中的②，将证明PM＋PN＝3a转化为AB ＋CD＋GM＋PH＋PL＋NK＝3a，(3)中将问题转化为证明△MGO与△NGO都为等边三角形，对学生的思维能力要求较高．【难点突破】本题的难点是第(3)问，突破口是作辅助线OE，既可利用(2)的结论及已知推出∠MON＝120°，又可以证明△GOE≌△NO D达到证明OG＝ON的目的，从而使问题解决．1．(2018·阜新)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图1，点E，F在AB，AC上，且∠E DF＝90°.求证：BE＝AF；(2)点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°.①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB＋AN＝2AM；②当点M在点A，D之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM的长．第1题图2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE.(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE；②AC＝CE＋CD；(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．第2题图3．(2018·长春)在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C、D重合)，连接BE.【感知】如图1，过点A作A F⊥BE交BC于点F，易证△AB F≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.(1)求证：BE＝FG.(2)连接CM.若CM＝1，则FG的长为______．【应用】如图3，取BE的中点M，连接CM.过点C作C G⊥BE交AD于点G，连接EG、MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为______．第3题图类型二与相似三角形有关的探究(2012·安徽)如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a、AC＝b、AB＝c.例2题图(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分∠E DF；(3)连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：B G⊥CG.【分析】 (1)根据△BDG与四边形ACDG的周长相等和D是BC的中点，可知BG ＝AC＋AG.根据等量代换即可求得BG的长．(2)由题可知DF、BF的长，根据等边对等角的性质，可知∠F DG＝∠FG D，由三角形中位线定理可知D E∥AB，根据角的基本运算和角平分线的定义即可得证．(3)根据相似三角形对应角相等的性质和等量代换，可知∠FG D＝∠B，根据等角对等边的性质的等量代换，可知DG＝BD＝CD，根据圆内接三角形的性质，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆上，根据直径所对的圆周角是直角的性质即可证得B G⊥CG.【自主解答】【方法点拨】本题中涉及线段长度的求解有两个思路：一是直接求；二是通过等量代换来求．而证明角平分线常用到角平分线定义或判定定理，证明两直线垂直常用到勾股定理或圆中直径所对的圆周角是直角的性质．【难点突破】结合图形可以发现如果B G⊥CG，则B、G、C三点共圆，故只需证明DG＝BD＝CD即可突破难点．1．(2018·芜湖繁昌县一模)如图1，点D为正△ABC的BC边上一点(D不与点B，C重合)．点E、F分别在边AB、AC上，且∠E DF＝∠B.(1)求证：△BD E∽△CFD；(2)设BD＝a，CD＝b，△BDE的面积为S1，△CDF的面积为S2，求S1·S2(用含a，b的式子表示)；(3)如图2，若点D为BC边的中点，求证：DF2＝EF·F C.2．(2018·安庆二模)在△ABC中．∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点C为等边△DEF 的边DE 的中点．(1)如图1，当DE 与BC 在一条直线上时，已知CF AF ＝12，求EDDB的值；(2)如图2.当DE 与AC 在同一条直线上时，分别连接AF ，BD ，试判断BD 和AF 的位置关系并说明理由；(3)如图3，当DE 与△ABC 的边均不在一条直线上时，分别连接AF ，BD.求证：∠F AC ＝∠CBD.第2题图3．(2018·枣庄)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边上的点E 处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．第3题图4．(2018·咸宁)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等．．．)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．第4题图理解：(1)如图1，已知Rt△ABC，在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺．．．．．．在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹，找出3个即可)；(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：(3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的面积为23，求FH的长．类型三与全等和相似三角形有关的探究(2017·安徽)已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．(1)如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.①求证：BE＝CF；②求证：BE2＝BC·CE.例3题图【分析】(1)①由互余及等量代换可证∠BAE＝∠CBF，再证明△AB E≌△BCF即可得出结论，②由已知先证∠G AM＝∠AGM，再证△C GE∽△CBG，可推CG2＝BC·CE，结合①下面只需证明CF＝CG，BE＝CG.【自主解答】(2)如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．【分析】 (2)两个思路：一是延长AE，DC交于点N，先证△C EN∽△BEA，可得B E·CN ＝AB ·CE ，再证FC ＝CN ＝BE ，令BE ＝x ，BC ＝1，根据BE 2＝BC ·CE 求出x ，而tan ∠CBF ＝CF BC ＝BEBC ＝BE 即可求；二是作GN∥BC ，令BE ＝x ，BC ＝1，根据BE 2＝BC ·CE 求出x ，再令MN ＝y ，易得GN ＝2y ，由GN BE ＝AN AB 可求y ，从而GM ＝12＝MA ＝MB ，说明G 点在以AB 为直径的圆上，∴∠AGB ＝90°，由(1)知BE ＝CF ，∴tan ∠CBF ＝CF BC ＝BEBC ＝BE 即可求．【自主解答】【方法指导】本题以正方形为载体，往往要用到正方形的直角及边的平行且相等，从而可以应用三角形全等及三角形相似的判定与性质．注意，在这样的压轴题中往往需要作辅助线才可以用上全等或相似．【难点突破】证明BE ＝CF 是本题的关键，第(2)问的突破口是作辅助线并利用相似三角形的性质和M是AB的中点．1．(2018·安徽)如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，D E⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.(1)求证：CM＝EM；(2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；(3)如图2，若△DA E≌△CEM，点N为CM的中点，求证：A N∥EM.2．(2018·庐阳区一模)已知四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作C E⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，连接DF.(1)求证：CD＝CF；(2)连接DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；(3)若点H 为线段DG 上一点，连接AH ，若∠ADC ＝2∠H AG ，AD ＝3，DC ＝2，求FGGH 的值．第2题图3．(2018·海南)已知，如图1，在▱ABCD 中，点 E 是AB 中点，连接DE 并延长，交CB 的延长线于点 F. (1)求证：△AD E≌△BFE ；(2)如图2，点G 是边BC 上任意一点(点G 不与点B 、C 重合)，连接AG 交DF 于点H ，连接HC ，过点A 作A K∥H C ，交DF 于点K.①求证：HC＝2AK；②当点G是边BC中点时，恰有 HD＝n·HK(n为正整数)，求n的值．第3题图4．(2018·禹会区二模)如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF 与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G.(1)求证：△D OK≌△BOG；(2)求证：AB＋AK＝BG；(3)如图2，若KD＝KG＝2，点P是线段KD上的动点(不与点D、K重合)，PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD＝x，S△PMN＝y，求出y与x的函数关系式．第4题图5．(2018·瑶海区三模)如图1，点O为正方形ABCD的中心，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△E BF的周长等于BC的长．(1)求∠EOF的度数；(2)连接OA、OC(如图2)．求证：△A OE∽△CFO；(3)若OE＝52OF，求AECF的值．第5题图6．(2018·资阳)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD＝CM，D E⊥AB于点E，连接AD、CD.(1)求证：△ME D∽△BCA；(2)求证：△AMD≌△CMD；(3)设△M DE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2＝175S1时，求cos∠ABC的值．第6题图参考答案类型一【例1】 (1)①解：60；②证明：如解图1，作AG⊥MP 交MP 于点G ，作BH⊥MP 交MP 于点H ，作DK⊥NP 交NP 于点K ，作CL⊥NP 交NP 于点L ，PM ＋PN ＝MG ＋GH ＋HP ＋PL ＋LK ＋KN ， ∵正六边形各个角都等于120°，且PM∥AB，PN∥CD， ∴GH＝AB ＝a ，KL ＝CD ＝a ，且∠BPM＝∠CPN＝60°， ∴HP＝BP·cos 60°＝12BP ，PL ＝PC·cos 60°＝12PC ，∴HP＋PL ＝12(BP ＋PC)＝a2，∵六边形ABCDEF 是正六边形，且PM∥AB，PN∥CD，∴四边形ABPM 和四边形CDNP 均为等腰梯形，根据等腰梯形的性质MG ＝HP ，KN ＝LP ，∴MG＋KN ＝HP ＋LP ＝a2，∴PM＋PN ＝MG ＋GH ＋HP ＋PL ＋LK ＋KN ＝a ＋a ＋a 2＋a2＝3a.例1题解图(2)证明：如解图2，连接OE ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，且PM∥AB，PN∥CD，则可得四边形ABPM 和四边形CDNP 为等腰梯形，则AM ＝BP ，CP ＝ND ， 又∵BC＝ED ，则AM ＝BP ＝EN ， ∵点O 是AD 的中点，∴OA＝OE ，∠OAM＝∠OEN＝60°， 在△OAM 和△OEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝EN ，∠OAM＝∠OEN，OA ＝OE ，∴△OAM≌△OEN(SAS )．∴OM＝ON ； (3)解：四边形OMGN 是菱形， 理由如下：如解图3，连接OE ，由(2)得△OAM≌△OEN，∴∠AOM＝∠EON， ∵EF∥AD，AF∥OE，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∵∠F＝120°，∴∠AOE＝120°，∠DOE＝60°，∵∠AOM＝∠EON，∴∠MON＝120°， ∵OG 平分∠MON，∴∠GON＝∠MOG＝60°， ∵∠GOE＝∠GON－∠EON＝60°－∠EON， ∠NOD＝∠DOE－∠EON＝60°－∠EON， ∴∠GOE＝∠NOD，在△GOE 和△NOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GOE＝∠NOD OE ＝OD∠OEG＝∠ODN， ∴△GOE≌△NOD(ASA )，∴OG＝ON ，∵∠GON＝60°，∴△GON 是等边三角形，∴GN ＝ON ， ∵OM＝ON ，∴OM＝OG ，∵∠MOG＝60°，∴△OMG 是等边三角形， ∴OM＝MG ＝GN ＝NO ， ∴四边形OMGN 是菱形． 针对训练1．证明：(1)∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，∴∠B＝∠C＝45°， ∵AD⊥BC，∴BD＝CD ，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠CAD＝∠B，AD ＝BD ， ∵∠EDF＝∠BDA＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF(ASA )， ∴BE＝AF ；第1题解图(2)①证明：如解图，过点M 作MP⊥AM，交AB 的延长线于点P ， ∴∠AMP＝90°，∵∠PAM＝45°， ∴∠P＝∠PAM＝45°， ∴AM＝PM ，∵∠BMN＝∠AMP＝90°， ∴∠BMP＝∠AMN，∵∠DAC＝∠P＝45°，∴△AMN≌△PMB(ASA )， ∴AN＝PB ，∴AP＝AB ＋BP ＝AB ＋AN ， 在Rt △AMP 中，∠AMP＝90°，AM ＝MP ， ∴AP＝2AM ，∴AB＋AN ＝2AM ； ②解：AM ＝2－63.2．解：(1)∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE. ∵BC＝BD ＋CD ，AC ＝BC ，∴AC＝CE ＋CD ；(2)AC ＝CE ＋CD 不成立，AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是：AC ＝CE －CD. 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC ＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE ， ∴C E －CD ＝BD －CD ＝BC ＝AC ， ∴AC＝CE －CD ； (3)补全图形(如解图)，第3题解图AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是：AC ＝CD －CE. 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE. ∵BC＝CD －BD ， ∴AC＝CD －CE.3．【探究】(1)证明：如解图，过点A 作AH∥GF，交BC 于点H ，则AH ＝FG ，第3题解图∵FG⊥BE，∴AH⊥BE， ∴∠ABE＋∠BAH＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC＝∠BCE＝90°，AB ＝BC ， ∴∠ABE＋∠EBC＝90°， ∴∠BAH＝∠EBC. 在△ABH 和△BCE 中，∵∠BAH＝∠EBC，AB ＝BC ，∠ABC＝∠BCE， ∴△ABH≌△BCE(ASA )，∴AH＝BE. 又∵AH＝FG ，∴BE＝FG ； (2)解：FG ＝2. 【应用】S 四边形CEGM ＝9. 类型二【例2】 (1)∵△BDG 与四边形ACDG 的周长相等， ∴BD＋BG ＋DG ＝AC ＋CD ＋DG ＋AG.∵D 是BC 的中点，∴BD＝CD ，则BG ＝AC ＋AG ， ∵BG＋AG ＝AB ，∴BG＝AC ＋AB －BG ， 即BG ＝12(AB ＋AC)＝12(b ＋c)；(2)∵点D 、F 分别是BC 、AB 的中点， ∴DF＝12AC ＝12b ，BF ＝12AB ＝12c.∵FG＝BG －BF ＝12(b ＋c)－12c ＝12b ，∴DF＝FG ，则∠FDG＝∠FGD， ∵点D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴DE∥AB，故∠EDG＝∠FGD， ∴∠FDG＝∠EDG，即DG 平分∠EDF； (3)当△BDG∽△DFG 时，则∠B＝∠FDG， 由FD ＝FG ＝12b 可得∠FDG＝∠FGD，∴∠FGD＝∠B，故DG ＝BD. ∵BD＝CD ，BD ＝GD ，∴DG＝BD ＝CD ，则B 、G 、C 三点在以D 为圆心、BC 为直径的圆上，故∠BGC＝90°，即BG⊥CG. 针对训练1．(1)证明：在△BDE 中，∠BDE＋∠DEB＋∠B＝180°， 又∵∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∴∠BDE＋∠DEB＋∠B＝∠BDE＋∠EDF＋∠FDC ， ∵∠EDF＝∠B，∴∠DEB＝∠FDC， 又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD；第1题解图(2)解：分别过E ，F 作EG⊥BC 于点G ，FH⊥BC 于点H ，如解图， S 1＝12BD·EG＝12a·BE·sin 60°＝34a·BE，S 2＝12CD·FH＝34b·CF，∴S 1·S 2＝316ab·BE·CF，由(1)得△BDE∽△CFD，∴BD BE ＝FCCD ，即BE·FC＝BD·CD＝ab ，∴S 1·S 2＝316a 2b 2；(3)证明：由(1)得△BDE∽△CFD，∴BD DE ＝FCDF ，又∵BD＝CD ，∴CD DE ＝FCDF，又∵∠EDF＝∠C＝60°，∴△DFE∽△CFD， ∴EF DF ＝DFFC ，即DF 2＝EF·FC. 2．(1)解：易得DF∥AB， ∵CF AF ＝12，∴CD DB ＝12， ∵ED＝2CD ，∴EDDB的值为1；(2)解：如解图1，连接CF ，延长BD 交AF 于点G ，则BD⊥AF 于G.第2题解图1理由：∵tan 60°＝CF CD ＝ACCB ＝3，∠ACF＝∠BCD＝90°， ∴AC CF ＝CB CD， ∴△ACF∽△BCD，∴∠FAC＝∠CBD，∵∠BDC＋∠DBC＝90°，∴∠ADG＋∠DAG＝90°， 即BD⊥AF 于G ；(3)证明：连接CF ，如解图2，易得∠FCD＝90°，第2题解图2∵∠FCA＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°， ∴∠FCA＝∠BCD，∵tan 60°＝CF CD ＝ACCB ＝3，∴△ACF∽△BCD，∴∠FAC＝∠CBD.3．(1)证明：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG.由翻折的性质可知GD ＝GE ，DF ＝EF ，∠DGF＝∠EGF， ∴∠DGF＝∠DFG.∴GD＝DF.∴DG＝GE ＝DF ＝EF.∴四边形EFDG 为菱形； (2)解：EG 2＝12GF·AF.理由：如解图1所示，连接DE ，交AF 于点O.第3题解图1∵四边形EFDG 为菱形， ∴GF⊥DE，OG ＝OF ＝12GF ，∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA， ∴△DOF∽△ADF.∴DF AF ＝FODF，即DF 2＝FO·AF. ∵FO＝12GF ，DF ＝EG ，∴EG 2＝12GF·AF；(3)解：如解图2：过点G 作GH⊥DC，垂足为H.第3题解图2∵EG 2＝12GF·AF.AG＝6，EG ＝25，∴20＝12FG·(FG＋6)，整理得：FG 2＋6FG －40＝0. 解得FG ＝4，FG ＝－10(舍去)． ∵DF＝GE ＝25，AF ＝10， ∴AD＝AF 2－DF 2＝45， ∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD. ∴△FGH∽△FAD.∴GH AD ＝FGAF，即GH 45＝410.∴GH＝855.∴BE＝AD －GH ＝45－855＝1255.4．解：(1)如解图1所示(找出D 1，D 2，D 3，D 4中任意3个即可)；第4题解图(2)证明：∵∠ABC＝80°，BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°，∴∠A＋∠ADB＝140°. ∵∠ADC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°. ∴∠A＝∠BDC.∴△ABD∽△DBC. ∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； (3)解：∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， ∴△EFH 与△HFG 相似．又∠EFH＝∠HFG， ∴△FEH∽△FHG，∴FE FH ＝FHFG .即FH 2＝FE·FG.过点E 作EQ⊥FG，垂足为Q.如解图2， 则EQ ＝FE·sin 60°＝32FE. ∵12FG·EQ＝23，∴12FG·32FE ＝23， ∴FG·FE＝8，∴FH 2＝FE·FG＝8，∴FH＝2 2. 类型三【例3】 (1)证明：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，又∵∠AGB＝90°，∴∠BAE＋∠ABG＝90°，又∵∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF.∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BE＝CF；②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，∴MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM.又∵∠CGE＝∠AGM，从而∠CGE＝∠CBG，又∵∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG.∴CECG＝CGCB，即CG2＝BC·CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF，得CF＝CG. 由①知，BE＝CF，∴BE＝CG，∴BE2＝BC·CE；(2)解：(方法一)延长AE，DC交于点N(如解图1)，例3题解图1 ∵四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.∴∠N＝∠EAB，又∠CEN＝∠BEA，∴△CEN∽△BEA.∴CE BE ＝CN BA ，即BE·CN＝AB·CE，∵AB＝BC ，BE 2＝BC·CE，∴CN＝BE ，由AB∥DN，知CN AM ＝CG GM ＝CF MB .又∵AM＝MB ，∴FC＝CN ＝BE ，不妨假设正方形边长为1.设BE ＝x ，则由BE 2＝BC·CE，得x 2＝1·(1－x)．解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)，∴BE BC ＝5－12.∴tan ∠CBF＝FC BC ＝BE BC ＝5－12；(方法二)不妨假设正方形边长为1，设BE ＝x ，则由BE 2＝BC·CE，得x 2＝1·(1－x)．解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)，即BE ＝5－12.作GN∥BC 交AB 于点N(如解图2)，则△MNG∽△MBC，例3题解图2∴MN NG ＝MBBC ＝12.∵GN BE ＝AN AB ，即2y 5－12＝y ＋121， 解得y ＝510，∴GM＝12， 从而GM ＝MA ＝MB ，此时点G 在以AB 为直径的圆上．∴△AGB 是直角三角形，且∠AGB＝90°.由(1)知BE ＝CF ，∴tan ∠CBF＝FC BC ＝BE BC ＝5－12. 针对训练1．(1)证明：∵∠ACB＝90°，点M 为BD 的中点，∴CM＝12BD ，同理EM ＝12BD ， ∴CM＝EM ；(2)解：方法一：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，由(1)得CM ＝DM ＝BM ＝EM ，∴点B ，C ，D ，E 在以点M 为圆心，BD 为直径的⊙M 上，∴∠CME＝2∠ABC＝80°，∴∠EMF＝180°－80°＝100°；方法二：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵DE⊥AB，∴∠CDE＝∠A＋∠DEA＝140°，由(1)得CM ＝DM ＝EM ，∴∠MCD＝∠MDC，∠MED＝∠MDE，∴∠DCM＋∠DEM＝∠MDC＋∠MDE＝140°，∴∠CME＝360°－140°－140°＝80°，∴∠EMF＝180°－80°＝100°.(3)证明：方法一：∵△DAE≌△CEM，∴∠CME＝∠DEA＝90°，DE ＝CM ，AE ＝EM ，又∵CM＝DM ＝EM ，∴DM＝DE ＝EM ，∴△DEM 是等边三角形，∴在Rt △EMF 中，∠EMF＝90°，∠MEF＝∠DEF－∠DEM ＝30°，∴MF EF ＝12，又∵NM＝12CM ＝12EM ＝12AE ，∴FN＝FM ＋NM ＝12EF ＋12AE ＝12(AE ＋EF)＝12AF.∴MF EF ＝NF AF ＝12.∵∠AFN＝∠EFM，∴△AFN∽△EFM，∴∠NAF＝∠MEF，故AN∥EM.方法二：如解图，连接AM ，则∠EAM＝∠EMA＝12∠MEF＝15°，第1题解图∴∠AMC＝∠EMC－∠EMA＝75°，①又∠CMD＝∠EMC－∠EMD＝30°，且MC ＝MD ，∴∠ACM＝12(180°－30°)＝75°.② 由①②可知AC ＝AM ，又N 为CM 的中点，∴AN⊥CM，而EM⊥CM，∴AN∥EM.2．(1)证明：AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC ∠DAC＝∠BAC AD ＝AB，∴△ADC≌△ABC(SAS )，∴CD＝CB ，∵CE⊥AB，EF ＝EB ，∴CF＝CB ，∴CD＝CF ；(2)证明：∵△ADC≌△ABC，∴∠ADC＝∠B，∵CF＝CB ，∴∠CFB＝∠B，∴∠ADC＝∠CFB，∴∠ADC＋∠AFC＝180°，∵四边形AFCD 的内角和等于360°，∴∠DCF＋∠DAF ＝180°，∵CD＝CF. ∴∠CDG＝∠CFD，∵∠DCF＋∠CDF＋∠CFD＝180°，∴∠DAF＝∠CDF＋∠CFD＝2∠CDG，∵∠DAB＝2∠DAC，∴∠CDG＝∠DAC，∵∠DCG＝∠ACD，∴△DGC∽△ADC；(3)解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC＝∠ADC，∠CDG＝∠DAC ，CG CD ＝DG AD， ∵∠ADC＝2∠HAG，AD ＝3，DC ＝2，∴∠HAG＝12∠DGC，CG 2＝DG 3， ∴∠HAG＝∠AHG，CG DG ＝23，∴HG＝AG ， ∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，∴△DGC∽△AGF，∴GF AG ＝CG DG ＝23，∴FG GH ＝23. 3．(1)证明：在▱ABCD 中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠F，∵E 是AB 的中点，∴AE＝BE ，又∵∠AED＝∠BEF(对顶角相等)，∴△ADE≌△BFE(AAS )；(2)①证明：如解图1，第3题解图1在▱ABCD 中，AB∥CD，AB ＝CD ，∴∠AEK＝∠CDH，∵AK∥HC，∴△AEK∽△CDH.∴AE CD ＝AK CH， 又∵E 是边AB 的中点，∴2AE＝AB ＝CD ，∴HC＝2AK ；②解：当点G 是BC 的中点时，如解图2，第3题解图2在▱ABCD 中，AD∥BC，AD ＝BC ，∴△AHD∽△GHF，∴AD GF ＝HD HF， 由(1)得，△ADE≌△BFE，∴AD＝BF ，又∵G 是BC 的中点，∴2BG＝AD ＝BF ，∴AD GF ＝23，∴HD＝23HF ， 如解图3，第3题解图3∵AD∥FC，∴∠ADK＝∠F，∵AK∥HC，∴∠AKH＝∠CHK，∴∠AKD＝∠CHF(等角的补角相等)，∴AD CF ＝KD HF ＝12，∴KD＝12HF ，∴HK＝HD －KD ＝16HF ，∴HD HK ＝23HF16HF＝4，∴HD＝4HK ，∴n＝4.4．(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD∥BC，∴∠KDO＝∠GBO，∠DKO＝∠BGO，∵点O 是BD 的中点，∴DO＝BO ，∴在△DOK 和△BOG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠KDO＝∠GBO，∠D KO ＝∠BGO，DO ＝BO ，∴△DOK≌△BOG(AAS )；(2)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，又∵AF 平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∴∠BAF＝∠BFA，∴AB＝BF ，∵OK∥AF，AK∥FG，∴四边形AFGK 是平行四边形，∴AK＝FG ，(3)解：如解图，过点G 作GI⊥KD 于点I ，由(2)知，四边形AFGK 是平行四边形，△ABF 为等腰直角三角形．第4题解图∴AF＝KG ＝2，AB ＝22AF ＝2， ∵四边形ABCD 是矩形，∴GI＝AB ＝2，S △KDG ＝12KD·GI＝12×2×2＝ 2. ∵PD＝x ，∴PK＝2－x ，∵PM∥DG，PN∥KG，∴四边形PMGN 是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN ，∴S △DPN S △DGK ＝(x 2)2＝x 24，即S △DPN ＝x 24S △DKG ＝24x 2. 同理，S △KPM ＝2（2－x ）24， S ▱PMGN ＝S △DKG －S △DPN －S △KPM ＝2－24x 2－2（2－x ）24. 则S △PMN ＝12S ▱PMGN ＝－24x 2＋22x.(0<x<2) 5．(1)解：如解图，在BC 上取一点G ，使得CG ＝BE ，连接OB 、OC 、OG. ∵点O 为正方形ABCD 的中心，第5题解图∴OB＝OC ，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°. ∴△OBE≌△OCG(SAS )．∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE ＝OG.∴∠EOG＝90°，∵△BEF 的周长等于BC 的长，∴EF＝GF.∴△EOF≌△GOF(SSS )．∴∠EOF＝∠GOF＝45°.(2)证明：如解图，∵点O 为正方形ABCD 的中心， ∴∠OAE＝∠FCO＝45°.∵∠BOE＝∠COG，∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°.∴∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO.∴△AOE∽△CFO.(3)解：∵△AOE∽△CFO，∴AO CF ＝OE FO ＝AE CO. 即AE ＝OE FO ·CO，CF ＝AO÷OE FO. ∵OE＝52OF ，∴OE FO ＝52. ∴AE＝52CO ，CF ＝25AO. AE 56．(1)证明：∵MD∥BC，∴∠DME＝∠CBA， ∵∠ACB ＝∠MED＝90°，∴△MED∽△BCA；(2)证明：∵∠ACB＝90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB＝MC ＝AM ，∴∠MCB＝∠MBC，∵∠DMB＝∠MBC，∴∠MCB＝∠DMB＝∠MBC， ∵∠AMD＝180°－∠DMB，∠CMD＝180°－∠MCB－∠MBC＋∠DMB＝180°－∠MBC， ∴∠AMD＝∠CMD，在△AMD 与△CMD 中，⎩⎪⎨⎪⎧MD ＝MD ，∠AMD ＝∠CMD，AM ＝CM ，∴△AMD≌△CMD(SAS )；(3)解：∵MD＝CM ，∴AM＝MC ＝MD ＝MB ，∴MD＝12AB.由(1)可知：△MED∽△BCA，∴S 1S △ACB＝(MD AB )2＝14，∴S △ACB ＝4S 1，∵CM 是△ACB 斜边AB 上的中线，∴S △MCB ＝12S △ACB ＝2S 1，∴S △EBD ＝S 2－S △MCB －S 1＝25S 1，∵S 1S △EBD ＝ME EB ，∴S 125S 1＝ME EB ， ∴ME EB ＝52， 设ME ＝5x ，EB ＝2x ， ∴MB＝7x ，∴AB＝2MB ＝14x ， ∵MD AB ＝ME BC ＝12，7x 14x ＝5x BC ， ∴BC＝10x ，∴cos ∠ABC＝BC AB ＝10x 14x ＝57.。
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷(附答案)
中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62】2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：√2≈1.414，√3≈ 1.732)3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO= 3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：√2=1.414，√3=1.73）5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC 的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节(AB)时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈35，tan53°≈4 3，tan37°≈34）7．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD间的距离．9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：sin53°≈45,cos53°≈35，tan53°≈43）【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm四边形ABFE是矩形，GH是法线．【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF= ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为84°．(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin84∘≈0.995，cos84∘≈0.105，tan84∘≈9.514，√15.93≈3.99，17.5222≈307.02，√315.43≈17.76，结果精确到0.1cm）.13．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）14．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向800√2米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距400√5米(∠ABK<90°)，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：√2≈1.41，√5≈2.24，√6≈2.45）(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1P=2米），圆锥底面离地面的高度为3米（即O1O2=3米）．(1)若OO1=2米，求圆锥的侧面积；(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B两点间的距离为m米（即AB=MN=m米），已知测角仪的高为1米（即MA=NB=QO2=1米），求亭盖的外部面积（用含m的代数式表示）．16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，√3≈1.7，结果保留整数）18．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B 两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上）(1)求索道AB的长（结果精确到1m）；(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26cos15°≈0.97tan15°≈0.27√2≈1.41）19．春天是踏青的好季节小明和小华决定去公园出游踏青．如图已知A为公园入口景点B位于A点东北方向400√2米处景点E位于A点南偏东30°方向景点B在景点E的正北方向景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向又位于景点D的正南方向．DF=400米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin37.5°≈35，cos37.5°≈45，tan37.5°≈34）(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/分小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图是一种家用健身卷腹机由圆弧形滑轨⌒AB可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨⌒AB支撑杆AC与手柄AD在点A处连接其中D A B三点在一条直线上．(1)如图① 固定∠DAC=120°,若BC=30√6cm,AC=60cm,求∠ABC的度数；(2)如图② 固定∠DAC=100°若AC=50cm,∠ABC=30°时圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC 相切于点B求滑轨⌒AB的长度．（结果精确到0.1 参考数据：π取3.14 sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得BE⊥CD于EBE=AC=22米∠DBE=32°在Rt△DBE中DE=BE⋅tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米）CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米）答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G设EG=x∵AD∥BF，EF⊥BF∵AG⊥EF∵∠B=∠F=∠AGF=90°∵四边形ABFG是矩形∠AGE=90°∵∠EAG=45°∵∠AEG=90°−∠EAG=45°∵AG=EG=x∵AD=7∵DG=x−7∵∠EDG=60°=√3∵tan∠EDG=EGDG=√3∵xx−7∵x=7(3+√3)2∵EG=7(3+√3)2∵GF=AB=1.68∵EF=EG+GF=7(3+√3)2+1.68≈7(3+1.732)2+1.68 =16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m．3．解：过B作BH⊥AC于H设AH=xm∵∠BAC=60°∵∠ABH=90°−60°=30°∵AB=2AH=2xm∵tanA=tan60°=BHAH=√3∵BH=√3xm∵∠BCA=45°∠BHC=90°∵△BHC是等腰直角三角形∵CH=BH=√3xm∵AH+CH=√3x+x=AC=1640≈600.7∵x=√3+1∵AB=2x≈1201(m)．答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m．4．解：过点B作BC⊥OH交OH于点C延长AD交BC于点E∵四边形DECH是矩形∵DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°在Rt△ABE中AB=2.4m∵sin∠BAE=BEAB即sin45°=BE2.4=1.2×1.41=1.692．解得BE=2.4×√22在Rt△BOC中BO=3m∵sin∠BOC=BCBO即sin60°=BC3=1.5×1.73=2.595解得BC=3×√32∵DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M过点B作BN⊥AM交AM于点N过点D作DH⊥BN 交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°∠A=90°∠CDM=60°．∵四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD中∵∠CDM=60°CD=2900米∵DM=12DC=1450米CM=√3DM=1450√3米∵AB=MN=300米∵CN=CM−MN=(1450√3−300)米在Rt△CBN中∠CBN=45°∵CB=√2CN=(1450√6−300√2)米≈3127米答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=(300+1450√6−300√2)米≈3427米∵AM=BN=CN=(1450√3−300)米∵AD=AM−DM=(1450√3−1750)米∵路线二：AD+CD=(1450√3+1150)米≈3361米∵3427<3361∵路线二较近．6．解：如图1 作AF⊥CG垂足为F设AB=xcm则AC=60+x∵sin53°=AFAC =AF60+x∴AF=(60+x)⋅sin53°如图2 作AH⊥CG垂足为H则AC=60+2x∴AH=(60+2x)⋅sin37°∵AF=AH∴(60+x)⋅sin53°=(60+2x)⋅sin37°∴4(60+x)5=3(60+2x)5解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∵DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∵由题意得四边形NFDE是矩形∵FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∵FD=MF=(x−0.15)m∵NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∵tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P由题意知∠BAD=45∘∠CBD=75∘∴∠ADB=30∘∠ABP=45∘=∠A∴BD=2BP AP=BP在Rt△ABP中AB=240米∴AP=BP=AB=120√2（米）sin45∘∴BD=2BP=240√2≈339.4（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M由（1）得BD=2BP=240√2（米）∵∠CDB=180∘−60∘−75∘=45∘∠CBD=75∘∠DCB=60∘∴∠DBM=45∘=∠CDB∴BM=DM在Rt△BDM中BD=240√2sin45∘=BMBD∴BM=DM=BD⋅sin45∘=240√2×√2=240（米）2在Rt△BCM中∠CBM=75∘−45∘=30∘∴CM=BM⋅tan30∘=80√3（米）∴DC=DM+CM=240+80√3（米）．9．解：（1）作BE⊥AD于点E由题意知AB=60∠A=45°∠ABD=90°+15°=105°∠CBA=90°+30°=120°在Rt△ABE中在Rt△BDE中ED=√3BE=30√6BD=2BE=60√2∴小山B与亭台D之间的距离60√2米（2）延长AB作DF⊥BA于点F作CG⊥BA于点G则∠CBG=180°−∠CBA=60°由题意知CD∥AB∵四边形CDFG是矩形∵CG=DF,CD=FG．∵AE=30√2ED=30√6∴AD=30√2+30√6在Rt△AFD中DF=AF=√2=30+30√3CG=DF=30+30√3米在Rt△BCG中BG=√3=10√3+30∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20√3∴S玲=AD+CD=30√2+30√6+60−20√3≈141.2米S明=AB+BC=60+60+20√3≈154.6米∵141.2<154.6且两人速度一致∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H则四边形CMBH为矩形∴CM=HB=20在Rt△ACH中∠AHC=90°∠ACH=18.4°∴tan∠ACH=AH CH∴CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33在Rt△ECH中∠EHC=90°∠ECH=37°∴tan∠ECH=EH CH∴CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75设AH=x．∵AE=9∴EH=x+9∴x0.33=x+90.75解得x≈7.1∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1 ∵GH∥FB∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12cm,DF=16cm,∴tan∠DBF=DFBF=1612=43,∵tan53°≈4 3∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2 作DM⊥AB于点T在Rt△BDF中BF=12cm,DF=16cm∴BD=√DF2+BF2=20cm,在Rt△DTC中TC=DF−BC=16−7=9cm,DT=BF=12cm∴CD=√DT2+TC2=√122+92=15cm,∴光线从空气射入水中的折射率∴光线从空气射入水中的折射率n=43．12．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D过点C作CQ⊥AD于点Q延长BC到点R ∵四边形BCQP是矩形∵BC=QP BP=CQ∵AB=13.6cm杯底直径BC=5.8cm杯壁与直线l的夹角为84°点A B C D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形∵AD∥BC CD=AB=13.6cm QP=BC=5.8cm∵∠A=∠D=∠DCR=84°∵BP=CQ CD=AB∵Rt△ABP≌Rt△DCQ(HL)∵AP=DQ∵AP=DQ=CDcosD=13.6×0.105=1.428(cm)CQ=CDsinD=13.6×0.995=13.532(cm)∵AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656(cm)AD=4.328≈4.3(cm)∵OD=12故杯口半径OD的长为4.3cm．（2）解：连接GO并延长交BC于点N∵G为EF的中点EF=1.6(cm)∵GO⊥EF,EG=FG=12连接FD∵ AF=ED，∵∠EFD=∠ADF,∵AD∥EF∵GO⊥AD∵ AD∥BC∵GO⊥BC∵NO=13.532(cm)∵GO=√(4.3)2−(1.6)2≈4.0(cm)∵GN≈17.532(cm)∵GB=√(17.532)2+(2.9)2≈17.77(cm)∵GH=BH−GB=22−17.77≈4.2(cm)13．（1）解：过点C作CF⊥l于点F过点B作BM⊥CF于点M∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°∴四边形ABMF为矩形∴MF=AB=2cm∠ABM=90°．∵∠ABC=150°∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin60°=18×√32=9√3(cm)．∴CF=CM+MF=(9√3+2)cm．答：支点C离桌面l的高度为(9√3+2)cm；（2）解：过点C作CN∥l过点E作EH⊥CN于点H∴∠EHC=90°．∵DE=24cm CD=6cm∴CE=18cm．当∠ECH=30°时EH=CE⋅sin30°=18×12=9(cm)；当∠ECH=70°时EH=CE⋅sin70°≈18×0.94=16.92(cm)；∴16.92−9=7.92≈7.9(cm)∴当α从30°变化到70°的过程中面板上端E离桌面l的高度是增加了增加了约7.9cm．14．（1）解：由题意得∠DAK=30°∠BAD=75°∠D=90°AK=800√2米BK=400√5米∵∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°过点K作KH⊥AB于H则∠AHK=∠BHK=90°∵△AHK为等腰直角三角形∵AH=KH=√22AK=√22×800√2=800米∵BH=√BK2−KH2=√(400√5)2−8002=400米∵AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=800√2∠DAK=30°∠D=90°∵DK=12AK=400√2米AD=AK·cos30°=800√2×√32=400√6米∵路线②K−D−A的路程为KD+AD=400√2+400√6≈1544米∵小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=400√5+1200≈2096米∵小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟∵6.43<6.55∵小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO1P=90°．∵OO1=2米O1P=2米∴OP=2√2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√2×2=4√2π（米2)．答：圆锥的侧面积为4√2π平方米；（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tanα=1 2∴MQ=2x米．∵MN=m米∴NQ=(m+2x)米．∵tanβ=2 5∴xm+2x =25．解得：x=2m．∵O1O2=3米QO2=1米∴OO1=2m+1−3=(2m−2)米．∵O1P=2米∠OO1P=90°．∴OP=√22+(2m−2)2=√4m2−8m+8=2√m2−2m+2（米)．∴圆锥的侧面积=π×2√m2−2m+2×2=4π√m2−2m+2（米2)．答：亭盖的外部面积为4π√m2−2m+2平方米．16．（1）解：∵∠MDE=45°∴∠DEC=45°∵DC⊥BC∴△DCE是等腰直角三角形∴DC=CE=1.5m 在Rt△DCF中∠DFC=36.9°DC=1.5m∴DF=DCsin36.9°=1.50.60=2.5(m)∴CF=√DF2−DC2=√2⋅52−1⋅52=2(m)；故答案为：1.52；（2）∵∠DEC=45°∴∠AEB=45°∴∠BAE=45°∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)∴BF=163.3−0.5=162.8(m)在Rt△BFG中BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)∴AG=163.3−122.1=41.2(m)即“美”字的高度AG约为41.2m．17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF∵∠E=90°∵坡比i=3:4∵DE EF =34设DE=3xm则EF=4xm ∵坡面DF长10m∵(3x)2+(4x)2=102解得：x=2（负值舍去）∵DE=6m EF=8m∵MF=25m∵ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°=44m∵OE=ME⋅tan53°≈33×43∵MN=23.5m∵NE=ME+MN=56.5m．由题意得：∠N=30°≈32m∵AE=NE⋅tan30°=56.5×√33∵OA=OE−AE=44−32=12m．（2）如图过点C作CH⊥OE于点M CG⊥NE于G∵∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°∵四边形HEGC是矩形∵EH=CG∵叶片绕点O顺时针转动90°∵∠AOE=90°∵∠AOC=120°∵∠COH=30°由题意得：OC=OA=12m=6√3m∵OH=OCcos∠COH=12×√32∵CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．∵叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．18．（1）解：在Rt△ABE中∠AEB=90°∠A=15°AE=576m∴AB=AEcosA =576cos15°≈594(m)．答：索道AB的长约为594m．（2）延长BC交DF于点G∵BC∥AF DF⊥AF∴DG⊥CG．∵四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m∠DCG=45°∴CG=CD·cos∠DCG≈594×cos45°=297√2(m)．∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋CG≈576+50+297√2≈1045(m)．答：水平距离AF的长约为1045m19．（1）解：如图所示过点A作AH⊥BE于点H∵∠BAH=45°，AB=400√2米∴AH=BH=√22AB=400米∵∠AEB=30°∴HE=√3AH=400√3米AE=2AH=800米∴BE=400+400√3≈1092（米）．∴BE长约1092米．（2）解：小华先到达景点D处理由如下：如图过点C作CN⊥EF于点N过点D作DM⊥BE于点M交CN于点G则四边形BCNE和四边形DFNG都是矩形∴BC=EN BE=CN=(400+400√3)米GN=DF=400米DG=NF∴CG=CN−GN=400√3米∵景点C既位于景点B正东方向310米处又位于景点D的北偏西37.5°方向．∴BC=310（米）∠DCN=37.5°在Rt△CGD中cos∠DCN=CGCD tan∠DCN=DGCG∴CD=CGcos37.5°=400√345≈865（米）DG=CG⋅tan37.5°=400√3×34≈519（米）∴EF=EN+NF=BC+DG≈829（米）∵小明选择了游览路线①：A−B−C−D小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟∴小明的游览时间为400√2+310+86572+10+5≈39（分钟）在Rt△AEH中AH=400米∠EAH=60°∴AE=AHcos60°=40012=800（米）∵小华选择了游览路线②：A−E−F−D小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟∴小华的游览时间为800+829+40096+9+8≈38（分钟）∴小华的游览时间更短先到达景点D处．20．（1）解：如图过点C作CE⊥AB垂足为E∵∠DAC=120°∴∠EAC=180°−∠DAC=60°在Rt△AEC中AC=60cm∴CE=AC⋅sin60°=60×√32=30√3(cm)在Rt△BEC中BC=30√6cm∴sin∠EBC=ECBC=√330√6=√22∴∠ABC=45°∴∠ABC的度数约为45°；（2）解：如图过点A作AF⊥BC垂足为F∵圆弧形滑轨⌒AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B ∴过点B作HB⊥BC作AB的垂直平分线MG交HB于点O连接OA∴OB=OA∴圆弧形滑轨⌒AB所在的圆的圆心为O∵∠DAC=100°∠ABC=30°∴∠ACF=∠DAC−∠ABC=100°−30=70°在Rt△AFC中AC=50cm∴AF=AC⋅sin70°≈50×0.940=47(cm)在Rt△AFB中∠ABC=30°∴AB=2AF=2×47=94(cm)∵OB⊥BC∴∠OBC=90°∴∠OBA=∠OBC−∠ABC=60°∴△OBA为等边三角形∴OB=AB=94cm∠BOA=60°∴滑轨⌒AB的长度=60π×94180≈98.4(cm)∴滑轨AB⌒AB的长度约为98.4cm．。
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专题七 与几何测量有关的应用
(针对四川中考三角函数的应用)
1．(2017·巴中预测)如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)米，
小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端
的坡角是30°，小军的行走速度为22米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行
走速度是多少？
解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A＝45°，
CD⊥AB，∴AD＝CD＝x米，∴AC＝2x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝CDsin30°＝x12＝
2x，∵小军的行走速度为22米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，∴2x22＝2xa，解得a
＝1.答：小明的行走速度是1米/秒
2．(导学号 14952480)(2017·广安预测)如图，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽
度为12 mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°，求长方形卡片的周
长．(精确到1 mm，参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75)
解：
作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F.∵∠α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，
∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝∠α＝36°.根据题意，得BE＝24 mm，DF＝48 mm.在Rt
△ABE中，sinα＝BEAB，∴AB＝BEsin36°≈240.60＝40 mm，在Rt△ADF中，cos∠ADF＝DFAD，∴
AD＝DFcos36°≈480.80＝60 mm.∴矩形ABCD的周长＝2(40＋60)＝200 mm
3．(导学号 14952481)(2016·深圳)如图，河坝横截面背水坡AB的坡角是45°，背
水坡AB的长度为202米，现在为加固堤坝，将斜坡AB改成坡度为1∶2的斜坡AD(备注：
AC⊥CB)．
(1)求加固部分即△ABD的横截面的面积；
(2)若该堤坝的长度为100米，某工程队承包了这一加固的土石方工程，为抢在汛期到
来之前提前完成这一工程，现在每天完成的土石方比原计划增加25%，这样实际比原计划提
前10天完成了，求原计划每天完成的土石方．(提示：土石方＝横截面×堤坝长度)
解：(1)∵∠ABC＝45°，AB＝202，∴AC＝BC＝20.∵AC∶CD＝1∶2，∴CD＝40，BD
＝20，∴△ABD的面积＝200
(2)堤坝的土石方总量＝100×200＝20 000.设原计划每天完成的土石方为x立方米，
则实际每天完成的土石方为(1＋25%)x，由题意可得：20 000x－20 000（1＋25%）x＝10，解得 x
＝400.经检验x＝400是原方程的解．答：原计划每天完成的土石方为400立方米
4.(导学号 14952482)(2016·河南模拟)如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是
安装该热水器的侧面示意图．已知，斜屋面的倾角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平
线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求铁架垂直管CE的长．(结
果精确到0.01米，sin40°≈0.6428，cos40°≈0.7660，tan25°≈0.4663)
解：
如图：过B作BF⊥AD于F.在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝BFAB，∴BF＝ABsin∠BAF＝
2.1sin40°≈1.350.∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米．在Rt△ABF中，∵cos∠BAF
＝AFAB，∴AF＝ABcos∠BAF＝2.1cos40°≈1.609.∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形
BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD.∴AD＝AF＋FD＝1.809，在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝EDAD，
∴ED＝ADtan∠EAD＝1.809×tan25°≈0.844，∴CE＝CD－ED＝1.350－0.844＝
0.506≈0.51.∴安装铁架垂直管CE的长约为0.51米
5．(导学号 14952483)(2016·内江)禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有
一艘可疑船只，测得A，B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行，我渔
政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑
船只航行的平均速度(结果保留根号)．
解：
过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD＝x，则AD＝(200－x)，∵∠ABC＝45°，∴BD＝
CD＝x，∵∠BAC＝30°，∴tan30°＝CDAD，在Rt△ACD中，则CD＝AD·tan30°＝33(200－
x)，则x＝33(200－x)，解得x＝1003－100，即BD＝1003－100，在Rt△BCD中，cos45°
＝BDBC，解得BC＝1006－1002，则(1006－1002)÷4＝25(6－2)，则该可疑船只的
航行速度约为25(6－2)海里/时
6．(导学号 14952484)(2017·宜宾预测)阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsin
β
tan
(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－1×33＝2＋3
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：
(1)计算sin15°；
(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战
士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C
处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为3米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．
解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－
22×12＝6－2
4
(2)在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝75°，DE＝AC＝7米，∴BE
＝DE·tan∠BDE＝DE·tan75°.∵tan75°＝2＋3，∴BE＝7(2＋3)＝14＋73，∴AB＝
AE＋BE＝3＋14＋73＝14＋83(米)．答：纪念碑的高度为(14＋83)米