量子力学的统计解释
2020年高中物理竞赛名校冲刺讲义—第十二章 量子物理：波函数和统计解释
2020高中物理竞赛江苏省苏州高级中学竞赛讲义第十二章量子物理第三次课：2学时1 题目：§12－5 波函数及统计解释§12－6 薛定谔方程2 目的：1．了解波函数及其统计解释。
2．了解薛定谔方程（选讲）。
一、引入课题：二、讲授新课：§12－5 波函数及统计解释历史上两种典型的看法，很容易把微观粒子看作是经典粒子和经典波的混合体。
“粒子是由波组成的”：把粒子看作是由很多波组成的波包，但波包在媒质中要扩散、消失(和粒子性矛盾)。
“波是由粒子组成的”：认为波是大量粒子组成的；但这和单个粒子就具有波动性相矛盾。
一、波函数和概率波统计性把波和粒两个截然不同的经典概念联系了起来1 概率波德布罗意提出的波的物理意义是什么？他并没有给出明确的回答，只是说它是虚拟的和非物质的。
对光辐射(电磁波)，爱因斯坦1917年引入统计性概念；波动观点：光强∝ E 2粒子观点：光强∝某处光子数∝某处发现一个光子的概率∴ E 2 ∝ 某处发现一个光子的概率当前得到公认的关于德布罗意波的实质的解释是玻恩在1926年提出的概率波的概念。
玻恩发展了爱因斯坦的思想，保留了粒子的微粒性，认为物质波描述了粒子在各处被发现的概率。
德布罗意波是概率波。
2 波函数(wave function)为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入波函数，并用ψ ( r , t ) 或 ψ (x , y , z , t )表示。
薛定谔认为具有波粒二象性的微观粒子，也可以像机械波或电磁波那样用波函数来描述它的波动性。
我们从机械波的波函数出发，写出物质波的波函数。
平面机械波的波（方程）函数将其写成复数形式前式是后式的实数部分。
按照德布罗意的物质波假设，一个不受外力作用的自由粒子，它的能量和动量都不改变，与这样的粒子相关的德布罗意波就是一个单色平面波，则有将ν＝E/h 和λ＝h/P 代入上式则有称上式为德布罗意波的波函数，其中为波函数的振幅，又称概率幅。
物质波函数
a A2 sin2 x dx A2a 1
0
a
2
A
2 a
0
2
2 a
sin2 x
a
(x 0, x a) (0 x a)
15-8 量子力学简介
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887—1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学，并建立 了量子力学的近似方法 .
t时刻在(x,y,z)附近小体积dV中出现微观粒子的概率为
2 dV dV dV dxdydz
2 dxdydz 1 波函数归一化条件 V
如果波函数不是归一化函数， 2 仍然和几率 成比例，称为相对几率密度
3 、波函数的标准条件：单值、有限和连续
Ⅰ.波函数的单值性
dV
1
归一化条件
若
A r 2d3r A
则
1 A
Ar2d Nhomakorabea3
r
1
( 全空间)
Ⅳ.波函数的连续性
1 归一化因子
A
势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数 是连续的
以上要求称为波函数的标准化条件
物质波与经典波的本质区别
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义， 一般是不可测量的。 2 可测量，具有物理意义
波函数物理意义
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义，一般 是不可测量的。
波函数模的平方 2 可测量，具有物理意义
经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。
（2）归一化波函数模的平方表征了t 时刻，空间 (x,y,z)处出现的概率(几率）密度
量子力学 第1章-1-2(第3讲)
越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理 概念，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。
量子波函数的概率解释有不足
玻恩的概率解释：“波函数的振幅的平方是粒 子被发现的概率” 。不是完整诠释，只关注 所谓的可观察量（振幅），忽略了相位（因为 不属于可观察量）。
杨振宁说，规范场论就是相位场。相位是其根 本。振幅与相位合起来用复数表示。
x=0
dx
由于
d 2(x,t)
dx2
0
x0
故 x 0 处，粒子出现概率最大。
注意
（1）归一化后的波函数
(r , t
)
仍有一个模为一的因
子 ei 不定性（ δ为实函数）。
若 r,t 是归一化波函数，那末， r,tei 也是
归一化波函数，与前者描述同一概率波。
（2）只有当概率密度 (r,t) 对空间绝对可积时，才
2
(r,t) dx
A2
ea2x2 dx
A2
1
a2
归一化常数
1/ 2
A a/
归一化的波函数1/ 2Fra bibliotek1a2x2 i t
(r,t) a / e 2 2
（2）概率分布： (x, t) (x, t) 2 a ea2x2
（3）由概率密度的极值条件
d(x, t) a 2a2 xea2x2 0
相位是复杂性之源，相位导致纠缠，纠缠导致 记忆与电子相干。自由度的纠缠和相干，往往 会造就许多意想不到的结果。
作业题
1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并指出每
个状态由哪几个波函数描写。
1 ei2x / , 4 ei3x / ,
2 ei2x/ , 5 ei2x / ,
量子物理2
三、波函数的标准化条件
归一化条件：整个空间内，粒子在各处出现的几率 之和为1。
total
2
d
2
dxdydz 有限值
| | d
2
粒子在d中出现的概率
| |
total
2
d
可令 : A, 使
A d 3r 1
归一化的波函数
2
total
归一化因子
r n
应用德布罗意公式
t )
即 即
的自由粒子的波函数为
p (r , t ) Ae
i ( r P Et )
即
自由粒子的波函数 自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布 罗意波是平面波。 对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量 不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也 不相同。 微观客体的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学 的一个基本假设。
2 2 i (r , t ) [ U (r )]ψ (r , t ) t 2m
哈密顿算符： ˆ (能量算符) H 从而可得薛定谔方程(波动方程)的普遍形式：
ˆ i Hψ t
3.关于薛定谔方程的一些说明
① 揭示了微观世界中物质运动的基本规律；
此式即自由粒子的薛定谔方程。
2.势场中粒子的薛定谔方程
对于在势场U(r)中运动的粒子，其能量关系式：
p2 E U r 2m
则对波函数求导后可得：
2 2 i (r , t ) [ U (r )]ψ (r , t ) t 2m
量子力学的学派
量子力学的学派量子力学是二十世纪初物理学上的一次革命，科学家们采用了新的思维方式和实验方法，这种革命的思想渗透到了自然科学的各个领域。
虽然量子力学的基础思想已经在一个多世纪中保持不变，但在过去几十年中，学者们仍在不断尝试解释其意义和在物理学中的应用。
这篇论文将简要介绍量子力学的历史，并讨论其主要学派。
量子力学的历史始于20世纪初期，当时几个科学家开始研究黑体辐射和原子光谱。
研究者发现，原子的发射谱线并不是连续的，而是离散的。
这种离散性质表明自然界的微观粒子并不遵循经典物理学的规律。
1913年，波尔通过引入能量量子化假设来解释氢原子的线谱，将经典物理学的理论与实验数据联系起来。
但这种假设的物理意义并没有牢固地建立起来。
1925年，德国物理学家海森堡和英国物理学家玻恩提出了矩阵力学理论，从而奠定了量子力学的数学基础，具体表现为数学中的算符，这种算符代表了量子力学中的物理量。
稍后，斯海格尔等物理学家发展出波动力学来解释粒子波动性的现象，其中最重要的就是著名的薛定谔方程。
由于20世纪90年代，量子力学的一些理论概念越来越受到人们的关注，因此在这一时期，产生了几个主要的学派。
第一派：哥本哈根学派哥本哈根学派由波尔、海森堡、玻恩和迈克尔逊等一批量子力学的创立者建立。
该学派主张，量子物理学的最终目标是研究微粒子的观察结果和测量方法，因此关注的是实验现象和结果。
他们强调观测者在实验中的重要性，认为量子物理学的描述是基于观测，观测结果应与量子系统的状态相对应。
哥本哈根学派强调量子力学的统计解释，即量子力学的概率性解释。
他们认为，只有在大量试验的情况下，才可以预测量子系统的未来状态。
然而，哥本哈根学派的研究方法遭到了批评，其中一些学者认为，这种方法限制了深入理解量子世界的可能性。
第二派：波动力学学派波动力学学派强调的是物理实体的本质，这与哥本哈根学派的观测者地位有所不同。
波动力学学派主张，粒子是物理实体，因此需要进行实体的描述。
量子力学教案2
§2.1 波函数的统计解释一．波动－粒子二重性矛盾的分析物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。
到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。
传统对波粒二象性的理解：（1）物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。
（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。
电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。
疏密波说夸大了粒子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。
在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
二．波函数的统计解释1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。
波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。
微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。
而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。
描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。
设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体积和强度归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
归一化常数可由归一化条件确定重新定义波函数，叫归一化的波函数。
在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则归一化的波函数还有一不确定的相因子；只有有限时才能归一化为1。
经典波和微观粒子几率波的区别：（1）经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；（3）对经典波，加一相因子，状态会改变，而对几率波，加一相因子不会引起状态改变。
量子力学知识点总结
量子力学期末复习完美总结一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：hE h p k γωλ====； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。
这是量子力学的基本原理之一。
波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。
5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。
6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。
即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。
9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。
10.i ；ˆxi L ；0。
11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。
12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。
自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
15． 为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
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量子力学的统计解释
量子力学是描述微观世界行为的一种物理理论，其统计解释是理解和解释量子
系统行为的一种方法。
在量子力学中，粒子的行为被描述为波函数的演化，而波函数的统计解释则是通过对大量粒子的测量结果进行统计分析来得到。
量子力学的统计解释是基于概率的。
根据量子力学的基本原理，波函数的平方
表示了一个粒子在某个状态下被观测到的概率。
这意味着在同样的实验条件下，重复进行相同的测量，我们将得到不同的结果。
这种不确定性是量子力学的核心特征之一。
在量子力学中，我们使用概率分布来描述粒子的行为。
概率分布是指在一系列
可能结果中，每个结果发生的概率。
在经典物理中，概率分布可以通过精确测量来确定。
然而，在量子力学中，由于不确定性原理的存在，我们无法同时准确测量粒子的位置和动量。
因此，我们只能通过多次测量来获得粒子的位置和动量的概率分布。
量子力学的统计解释还涉及到量子态的描述。
量子态是描述一个量子系统的状
态的数学工具。
在量子力学中，一个量子系统可以处于多个可能的状态中，而这些状态之间的转变是通过量子力学的演化方程来描述的。
通过对量子系统的测量，我们可以得到一个特定的量子态，从而确定粒子的状态。
量子力学的统计解释还包括了对量子系统的集体行为的描述。
在统计物理学中，我们使用分布函数来描述大量粒子的行为。
这些分布函数可以通过对量子态的统计分析得到。
通过统计分析，我们可以得到粒子的平均位置、动量和能量等信息。
量子力学的统计解释还涉及到量子力学的基本原理之一：波粒二象性。
根据波
粒二象性，粒子既可以表现出粒子性质，也可以表现出波动性质。
当我们进行实验时，粒子的行为会表现出波动性质，而当我们进行测量时，粒子的行为又会表现出粒子性质。
这种波粒二象性的存在使得量子力学的统计解释更加复杂而丰富。
总之，量子力学的统计解释是理解和解释量子系统行为的一种方法。
通过对大量粒子的测量结果进行统计分析，我们可以获得粒子的概率分布和集体行为。
量子力学的统计解释是量子力学理论的重要组成部分，对于理解微观世界的行为具有重要意义。