二次函数图象的几何变换

一、二次函数图象的平移变换
（1）具体步骤：
先利用配方法把二次函数化成2
()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2
y ax =的图像，将抛物线2
y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.
二、二次函数图象的对称变换
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
知识点拨
二次函数图象的几何变换
一、二次函数图象的平移变换
【例1】 函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（ ）
A. 右移两个单位，下移一个单位
B. 右移两个单位，上移一个单位
C. 左移两个单位，下移一个单位
D. 左移两个单位，上移一个单位
【例2】 函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤
是（ ）
A. 右移三个单位，下移四个单位
B. 右移三个单位，上移四个单位
C. 左移三个单位，下移四个单位
D. 左移四个单位，上移四个单位
【例3】 二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到2
2y x =-的图象（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位.
【例4】 将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例5】 把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．
【例6】 对于每个非零自然数n ，抛物线()()2211
11n y x x n n n n +=-+
++与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++…的值是（ ）
A ． 20092008
B ．20082009
C ．20102009
D ．2009
2010
【例7】 把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为
A ．()2
13y x =--- B ．()2
13y x =-+- C ．()2
13y x =--+
D ．()2
13y x =-++
【例8】 将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A ．()2
21y x =+
B ．()2
21y x =-
C ．221y x =+
D ．221y x =-
【例9】 将抛物线2
3y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（ ）
A. 232y x =-
B. 23y x =
C. 23(2)y x =+
D. 232y x =+
【例10】 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的
解析式为________________．
【例11】 已知二次函数5632
+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式：
（1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称
例题精讲
【例12】 如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经
过x 轴上的点A ，B ．
⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．
⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．
【例13】 抛物线254y ax x a =-+与x 轴相交于点A B 、，且过点()54C ，
． ⑴ 求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．
⑵ 请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
二、二次函数图象的对称变换
【例14】 函数2y x =与2
y x =-的图象关于______________对称，也可以认为
2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．
【例15】 已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函
数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．
【例16】 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y
轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++
【例17】 已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1c ．
⑴ 求1c 关于()10R ，
成中心对称的图象2c 的函数解析式； ⑵ 设曲线12c c 、与y 轴的交点分别为A B ，，当18AB =时，求a 的值．
【例18】 已知抛物线265y x x =-+，求
⑴ 关于y 轴对称的抛物线的表达式；
⑵ 关于x 轴对称的抛物线的表达式； ⑶ 关于原点对称的抛物线的表达式．
【例19】 设曲线C 为函数()20y ax bx c a =++≠的图象，C 关于y 轴对称的曲线为1C ，1C
关于x 轴对称的曲线为2C ，则曲线2C 的函数解析式为________________．
【例20】 对于任意两个二次函数：()2211112222120y a x b x c y a x b x c a a =++=++≠，，当12a a =时，
我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM ∆，()()1010A B -，
，，，记过三点的二次函数抛物线为“C
”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．
⑴ 若已知()01M ，，ABM ABN ∆∆≌（图1），请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；
⑵ 在图2中，以A B M 、、三点为顶点，画出平行四边形．
① 若已知()0M n ，
，求抛物线ABM C 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．
② 若已知()M m n ，
，当m n 、满足什么条件时，存在抛物线ABM C ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C
”；若不存在，请说明理由．
【例21】 已知：抛物线2:(2)5f y x =--+． 试写出把抛物线f 向左平行移动2个单位后，所得的新抛物
线1f 的解析式；以及f 关于x 轴对称的曲线2f 的解析式．画出1f 和2f 的略图， 并求：
⑴ x 的值什么范围，抛物线1f 和2f 都是下降的；
⑵ x 的值在什么范围，曲线1f 和2f 围成一个封闭图形；
⑶ 求在1f 和2f 围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值．。