二次函数与几何综合--面积问题

二次函数与几何综合--面积问题
知识点睛
1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，__________________．
2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________
．
2___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．
3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法：
②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．
例题示范例1：如图，抛物线y =ax 2+2ax -3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点
B 的左侧），与y 轴交于点
C ，且OA =OC ，连接AC ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．
（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，
E ，
F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的
点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
第一问：研究背景图形
【思路分析】
读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A (-3，0)，B (1，0)，对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ，可得C (0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．
再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形．
【过程示范】
解：（1）由2
23y ax ax a =+-(3)(1)
a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，，
∵OA OC =，
∴(03)C -，，
将(03)C -，代入2
23y ax ax a =+-，
第二问：铅垂法求面积
【思路分析】
（1）整合信息，分析特征：
由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在1()2
APB B A S PM x x =⋅⋅-△
直线AC 下方的抛物线上运动，即-3<x P <0；
（2）设计方案：
注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ．
【过程示范】
如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ，易得:3
AC l y x =--设点P 的横坐标为t ，则2(23)P t t t +-，
，∵PQ ∥y 轴，
∴(3)Q t t --，，
∴223(23)3(30)Q P PQ y y t t t t t t =-=---+-=---<<，∴2139()(30)222ACP C A S PQ x x t t t =
⋅-=---<<△∵302
-<，∴抛物线开口向下，且对称轴为直线32t =-
，∴当32t =-时，ACP S △最大，为278
．第三问：平行四边形的存在性
【思路分析】
分析不变特征：
以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素：
要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则AB 既可以作边，也可以作对角线．
画图求解：
先根据平行四边形的判定来确定EF 和AB 之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．
①AB 作为边时，依据平行四边形的判定，需满足EF ∥AB 且EF =AB ，要找EF ，可借助平移．点E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB 拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E 在对称轴上，来找抛物线上的点F ．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F 点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB ，EF 互相平分，先找到定线段AB 的中点，在旋转过程中找到EF 恰好被AB 中点平分的位置，因为E 和AB 中点都在抛物线对称轴上，说明EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F 点坐标．
结果验证：
画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形．
【过程示范】
（3）①当AB 为边时，AB ∥EF 且AB =EF ，
如图所示，设E 点坐标为(-1，m )，
当四边形是□ABFE 时，由(30)A -，，(10)B ，可知，F 1(3，m )，
代入抛物线解析式，可得，m =12，
∴F 1(3，12)；
当四边形是□ABEF 时，
由(30)A -，，(10)B ，可知，F 2(-5，m )，代入抛物线解析式，
可得，m =12，
∴F 2(-5，12)．
②当AB 为对角线时，AB 与EF 互相平分，
AB 的中点D (-1，0)，设E (-1，m )，则F (-1，-m )，代入抛物线解析式，可得，m =4，∴F 3(-1，-4)．综上：F 1(3，12)，F 2(-5，12)，F 3(-1，-4)．
精讲精练
1.如图，抛物线经过A (-1，0)，B (3，0)，C (0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．
（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．
（3）在（2）的条件下，连接MB ，MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及四边形OBMC 的最大面积；若不存在，请说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ，D 在y 轴上且OB =OC =3，OA =OD =1，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点E ．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，求△AME 面积的最大值．
（3）在直线AD 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AEG S =△？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）已知点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，且以A ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．
3.如图，已知抛物线y =ax 2-2ax -b （a >0）与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，且点B 的坐标为(-1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．连接AC ，CD ，∠ACD =90°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 在抛物线上，且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12，设M 的横坐标为m ，求m 的值．
（3）已知点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以A ，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标．
4.如图，抛物线254y ax ax =-+（0a <）经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC =BC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x 轴的另一个交点为点D ，在抛物线上是否存在异于点B 的一点Q ，使△CDQ 的面积与△CDB 的面积相等？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知点F 是抛物线上的动点，点E 是直线y =-x 上的动点，且以O ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的横坐标．。