(完整版)二次函数与几何图形综合题.doc
(新)中考数学二次函数与几何综合典型试题(附答案解析)
解：（1）当x=0时，y=3，即A（0，3），
设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），
把A（0，3）入得：3=-3a，
a=-1，
∴y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3，
1．（1）m2；（2）m1=-3，m2=1；（3） 或 ；（4）-3＜m≤-1或m＞1
【分析】
（1）根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x=m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标；
（2）把点A代入二次函数解析式，列出方程，然后解方程即可；
（3）根据等量关系AB=2和两点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值；
∴线段AB的长度随m的增大而增大时，-3＜m≤-1．
当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1．
综上所述，m的取值范围是-3＜m≤-1或m＞1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合题，注重培养二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
所以方程组的解为： 或 ，
∴
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，求解一次函数与二次函数的交点坐标，作出适当的辅助线构建全等三角形，再利用全等三角形的性质证明相等的线段，再得到点的坐标是解本题的关键.
4．（1） （2）P（4，5）（3）（-2，5）或（4，5）．
【详解】
解：（1）将A（－1，0），B（3，0）代入抛物线解析式得
解得
∴抛物线的解析式为
（2）∵抛物线的解析式为 ，A（－1，0），B（3，0）
专题六 二次函数与几何图形的综合
若不存在,请说明理由.
+ + = ,
【解析】(1)由题意得:ቐ
−
= ,
= ,
解得ቊ
= −,
故抛物线的表达式为y=x2-5x+4①;
(2)对于y=x2-5x+4,令y=x2-5x+4=0,解得x=1或4,令x=0,则y=4,
= − +
= −
得:ቐ
,解得ቐ = ,
=
= + +
=
∴抛物线的表达式为:y=-x2+2x+3;
(2)∵正方形OBDC,∴∠OBC=∠DBC,BD=OB,
∵BF=BF,∴△BOF≌△BDF,∴∠BOF=∠BDF;
(3)存在.∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,
设AB的中点为J,连接PJ,则J(-2,-2),
∴PJ= AB=2
,∴12+(n+2)2=(2 )2,解得n= -2或n=- -2,
∴P3(-1, -2),P4(-1,- -2),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(-1,3)或(-1,-5)或(-1, -2)或(-1,- -2).
在Rt△BOM中,BM=tan 30°·OB= ,∴ME=BE-BM=2- ,
综上所述,ME的值为:3 -2或2- .
考点二直角三角形的存在性问题
解答二次函数中直角三角形存在性问题的方法:
(1)假设其存在,画出相应的图形.
(2)分情况讨论:当所给条件不能确定直角顶点时,应分情况讨论.分别令三角形三个
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第十节 二次函数与几何综合题
(2)若点 B 是抛物线对称轴上的一点，且点 B 在第一象限，当△OAB 的面积 为 15 时，求点 B 的坐标；
如答图①，∵点 B 是抛物线对称轴上的一点，且点 B 在第一象限， ∴设 B(2，m)(m＞0)，设直线 OA 的解析式为 y＝kx， 则 5k＝5，解得 k＝1， ∴直线 OA 的解析式为 y＝x，设直线 OA 与抛物线对称 轴交于点 H，则 H(2，2)，∴BH＝m－2，
2．(2022·北部湾)已知抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)． (1)求点 A，点 B 的坐标；
解：当 y＝0 时， －x2＋2x＋3＝0， ∴x1＝－1，x2＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)．
(2)如图，过点 A 的直线 l：y＝－x－1 与抛物线的另一个交点为 C，点 P 为抛物线对称轴上的一点，连接 PA，PC，设点 P 的纵坐标为 m，当 PA＝ PC 时，求 m 的值；
点 E 的坐标为(－1，0)，
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
1
1
∴S△BCE＝S△ABE－S△ACE＝2AE·OB－2AE·CD
＝12×4×3－12×4×2＝2，
∴△BCE 的面积为 2.
3．(2022·广东)如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c(b，c 是常数)的顶点为 C， 与 x 轴交于 A，B 两点，A(1，0)，AB＝4，点 P 为线段 AB 上的动点， 过点 P 作 PQ∥BC 交 AC 于点 Q.
第十节 二次函数与几何 综合题
类型一：二次函数与线段 问题
1．(2022·齐齐哈尔)如图，某一次函数与二次函数 y＝x2＋mx＋n 的图象 交点为 A(－1, 0)，B(4, 5)． (1)求抛物线的解析式；
解答题压轴题二次函数与几何图形综合(解析版)
周日解答题压轴题二次函数与几何图形综合一模块一2022中考真题集训类型一二次函数中的最值问题(1)自变量范围与最值问题1.(2022•绍兴)已知函数y =-x 2+bx +c (b ，c 为常数)的图象经过点(0，-3)，(-6，-3)．(1)求b ，c 的值．(2)当-4≤x ≤0时，求y 的最大值．(3)当m ≤x ≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．思路引领：(1)将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；(2)根据x 的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y 的最大值即可；(3)根据对称轴为x =-3，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m 的取值范围即可．解：(1)把(0，-3)，(-6，-3)代入y =-x 2+bx +c ，得b =-6，c =-3．(2)∵y =-x 2-6x -3=-(x +3)2+6，又∵-4≤x ≤0，∴当x =-3时，y 有最大值为6．(3)①当-3<m ≤0时，当x =0时，y 有最小值为-3，当x =m 时，y 有最大值为-m 2-6m -3，∴-m 2-6m -3+(-3)=2，∴m =-2或m =-4(舍去)．②当m ≤-3时，当x =-3时y 有最大值为6，∵y 的最大值与最小值之和为2，∴y 最小值为-4，∴-(m +3)2+6=-4，∴m =-3-10或m =-3+10(舍去)．综上所述，m =-2或-3-10．总结提升：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m 的取值范围是解题关键．2.(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点(1，1)，12，12 ，(-2，-2)，⋯⋯都是和谐点．(1)判断函数y =2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点52，52．①求a ，c 的值；周日②若1≤x ≤m 时，函数y =ax 2+6x +c +14(a ≠0)的最小值为-1，最大值为3，求实数m 的取值范围．思路引领：(1)设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，可得2x +1=x ，求解即可；(2)将点52，52代入y =ax 2+6x +c ，再由ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，Δ=25-4ac =0，两个方程联立即可求a 、c 的值；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，则3≤m ≤5时满足题意．解：(1)存在和谐点，理由如下，设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，∴2x +1=x ，解得x =-1，∴和谐点为(-1，-1)；(2)①∵点52，52是二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的和谐点，∴52=254a +15+c ，∴c =-254a -252，∵二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点，∴ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，∴Δ=25-4ac =0，∴a =-1，c =-254；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，∴抛物线的对称轴为直线x =3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，∵函数的最大值为3，最小值为-1；当3≤m ≤5时，函数的最大值为3，最小值为-1．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．(2)胡不归问题3.(2022•淮安)如图(1)，二次函数y =-x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)，直线l 经过B 、C 两点．(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)点P 为直线l 上的一点，过点P 作x 轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M ，再过点M 作y 轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N ，当PM =12MN 时，求点P 的横坐标；(3)如图(2)，点C 关于x 轴的对称点为点D ，点P 为线段BC 上的一个动点，连接AP ，点Q 为线段AP 上一点，且AQ =3PQ ，连接DQ ，当3AP +4DQ 的值最小时，直接写出DQ 的长．周日思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，则PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，由题意可得方程|t2-3t|=12|2-2t|，求解方程即可；(3)由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4DQ+34AP=4 (DQ+AQ)≥4A'D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A'(2，3)，求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=-x+2y=3x-3，可求点Q54，34，再求DQ=5104．解：(1)将点B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，∴-9+3b+c=0c=3，解得b=2c=3，∴y=-x2+2x+3，∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点坐标(1，4)；(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，∴3k+b=0b=3，解得k=-1b=3，∴y=-x+3，设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，∴PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，∵PM=12MN，∴|t2-3t|=12|2-2t|，解得t=1+2或t=1-2或t=2+3或t=2-3，∴P点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；(3)∵C(0，3)，D点与C点关于x轴对称，∴D(0，-3)，令y=0，则-x2+2x+3=0，解得x=-1或x=3，周日∴A (-1，0)，∴AB =4，∵AQ =3PQ ，∴Q 点在平行于BC 的线段上，设此线段与x 轴的交点为G ，∴QG ∥BC ，∴AQ AP =AG BA ，∴34=AG 4，∴AG =3，∴G (2，0)，∵OB =OC ，∴∠OBC =45°，作A 点关于GQ 的对称点A '，连接A 'D 与AP 交于点Q ，∵AQ =A 'Q ，∴AQ +DQ =A 'Q +DQ ≥A 'D ，∴3AP +4DQ =4DQ +34AP =4(DQ +AQ )≥4A 'D ，∵∠QGA =∠CBO =45°，AA '⊥QG ，∴∠A 'AG =45°，∵AG =A 'G ，∴∠AA 'G =45°，∴∠AGA '=90°，∴A '(2，3)，设直线DA '的解析式为y =kx +b ，∴b =-32k +b =3，解得k =3b =-3 ，∴y =3x -3，同理可求直线QG 的解析式为y =-x +2，联立方程组y =-x +2y =3x -3 ，解得x =54y =34，∴Q 54，34 ，∴DQ =5104．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．4.(2022•梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线y =-43x -4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，抛物线y =518x 2+bx +c 恰好经过这两点．周日(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C 的坐标是(0，6)，将△ACO 绕着点C 逆时针旋转90°得到△ECF ，点A 的对应点是点E ．①写出点E 的坐标，并判断点E 是否在此抛物线上；②若点P 是y 轴上的任一点，求35BP +EP 取最小值时，点P 的坐标．思路引领：(1)根据直线解析式可得点A 、B 的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；(2)①由旋转的性质可得E (6，3)，当x =6时，y =518×62-12×6-4=3，可知点E 在抛物线上；②过点E 作EH ⊥AB ，交y 轴于P ，垂足为H ，sin ∠ABO =AO AB=HP BP =35，则HP =35BP ，得35BP +EP =HP +PE ，可知HP +PE 的最小值为EH 的长，从而解决问题．解：(1)∵直线y =-43x -4分别与x ，y 轴交于点A ，B ，∴当x =0时，y =-4；当y =0时，x =-3，∴A (-3，0)，B (0，-4)，∵抛物线y =518x 2+bx +c 恰好经过这两点．∴518×(-3)2-3b +c =0c =-4，解得b =-12c =-4，∴y =518x 2-12x -4；(2)①∵将△ACO 绕着点C 逆时针旋转90°得到△ECF ，∴∠OCF =90°，CF =CO =6，EF =AO =3，EF ∥y 轴，∴E (6，3)，当x =6时，y =518×62-12×6-4=3，∴点E 在抛物线上；②过点E 作EH ⊥AB ，交y 轴于P ，垂足为H ，周日∵A(-3，0)，B(0，-4)，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵sin∠ABO=AOAB =HPBP=35，∴HP=35BP，∴35BP+EP=HP+PE，∴当E，P，H三点共线时，HP+PE有最小值，最小值为EH的长，作EG⊥y轴于G，∵∠GEP=∠ABO，∴tan∠GEP=tan∠ABO，∴PG EG =AO BO，∴PG6=34，∴PG=92，∴OP=92-3=32，∴P0，-32．总结提升：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将35BP转化为HP的长是解题的关键．5.(2022•济南)抛物线y=ax2+114x-6与x轴交于A(t，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，直线y=kx-6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式和t，k的值；(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ+12PQ的最大值．思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解；周日(2)作PM ⊥x 轴交于M ，可求PM =14m 2-114m +6，AM =m -3，通过证明△COA ∽△AMP ，利用OA OC =PMAM，求m 的值即可求P 点坐标；(3)作PN ⊥x 轴交BC 于N ，过点N 作NE ⊥y 轴交于E ，通过证明△PQN ∽△BOC ，求出QN =35PN ，PQ =45PN ，再由△CNE ∽△CBO ，求出CN =54EN =54m ，则CQ +12PQ =CN +PN =-14m -132 2+16916，即可求解．解：(1)将B (8，0)代入y =ax 2+114x -6，∴64a +22-6=0，∴a =-14，∴y =-14x 2+114x -6，当y =0时，-14t 2+114t -6=0，解得t =3或t =8(舍)，∴t =3，∵B (8，0)在直线y =kx -6上，∴8k -6=0，解得k =34；(2)作PM ⊥x 轴交于M ，∵P 点横坐标为m ，∴P m ，-14m 2+114m -6 ，∴PM =14m 2-114m +6，AM =m -3，在Rt △COA 和Rt △AMP 中，∵∠OAC +∠PAM =90°，∠APM +∠PAM =90°，∴∠OAC =∠APM ，∴△COA ∽△AMP ，∴OA OC =PM AM，即OA •MA =CO •PM ，3(m -3)=614m 2-114m +6 ，解得m =3(舍)或m =10，∴P 10，-72；(3)作PN ⊥x 轴交BC 于N ，过点N 作NE ⊥y 轴交于E ，∴PN =-14m 2+114m -6-34m -6 =-14m 2+2m ，∵PN ⊥x 轴，∴PN ∥OC ，∴∠PNQ =∠OCB ，周日∴Rt△PQN∽Rt△BOC，∴PN BC =NQOC=PQOB，∵OB=8，OC=6，BC=10，∴QN=35PN，PQ=45PN，由△CNE∽△CBO，∴CN=54EN=54m，∴CQ+12PQ=CN+NQ+12PQ=CN+PN，∴CQ+12PQ=54m-14m2+2m=-14m2+134m=-14m-1322+16916，当m=132时，CQ+12PQ的最大值是16916．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．类型二二次函数中的面积问题1.(2022•内蒙古)如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3，0)，D-2，-52两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动(与点B，C不重合)，求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；(请在图1中探索)(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．(请在图2中探索)思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M m，-12m2+m+32，则N m，-12m+32，可得S△MBC=12•MN•OB=-34m-322+2716，再求解即可；(3)设Q(0，t)，P m，-12m2+m+32，分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．解：(1)将B(3，0)，D-2，-5 2代入y=ax2+x+c，周日∴9a +3+c =04a -2+c =-52，解得a =-12c =32 ，∴y =-12x 2+x +32，令x =0，则y =32，∴C 0，32；(2)作直线BC ，过M 点作MN ∥y 轴交BC 于点N ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴3k +b =0b =32，解得k =-12b =32 ，∴y =-12x +32设M m ，-12m 2+m +32 ，则N m ，-12m +32 ，∴MN =-12m 2+32m ，∴S △MBC =12•MN •OB =-34m -32 2+2716，当m =32时，△MBC 的面积有最大值2716，此时M 32，158；(3)令y =0，则-12x 2+x +32=0，解得x =3或x =-1，∴A (-1，0)，设Q (0，t )，P m ，-12m 2+m +32，①当AB 为平行四边形的对角线时，m =3-1=2，∴P 2，32；②当AQ 为平行四边形的对角线时，3+m =-1，解得m =-4，∴P -4，-212；③当AP 为平行四边形的对角线时，m -1=3，解得m =4，Y our Text07周日∴P 4，-52；综上所述：P 点坐标为2，32 或-4，-212 或4，-52．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．2.(2022•淄博)如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，顶点D(1，4)在直线l ：y =43x +t 上，动点P (m ，n )在x 轴上方的抛物线上．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥l 于点N ，当1<m <3时，求PM +PN 的最大值；(3)设直线AP ，BP 与抛物线的对称轴分别相交于点E ，F ，请探索以A ，F ，B ，G (G 是点E 关于x 轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着P 点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．思路引领：(1)利用顶点式求解，可得结论；(2)如图，设直线l 交x 轴于点T ，连接PT ，BD ，BD 交PM 于点J ．设P (m ，-m 2+2m +3)．四边形DTBP 的面积=△PDT 的面积+△PBT 的面积=12×DT ×PN +12×TB ×PM =52(PM +PN )，推出四边形DTBP 的面积最大时，PM +PN 的值最大，求出四边形DTBP 的面积的最大值，可得结论；(3)四边形AFBG 的面积不变．如图，设P (m ，-m 2+2m +3)，求出直线AP ，BP 的解析式，可得点E ，F 的坐标，求出FG 的长，可得结论．解：(1)∵抛物线的顶点D (1，4)，∴可以假设抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x 2+2x +3；(2)如图，设直线l 交x 轴于点T ，连接PT ，BD ，BD 交PM 于点J ．设P (m ，-m 2+2m +3)．点D (1，4)在直线l ：y =43x +t 上，∴4=43+t ，∴t =83，周日∴直线DT 的解析式为y =43x +83，令y =0，得到x =-2，∴T (-2，0)，∴OT =2，∵B (3，0)，∴OB =3，∴BT =5，∵DT =32+42=5，∴TD =TB ，∵PM ⊥BT ，PN ⊥DT ，∴四边形DTBP 的面积=△PDT 的面积+△PBT 的面积=12×DT ×PN +12×TB ×PM =52(PM +PN )，∴四边形DTBP 的面积最大时，PM +PN 的值最大，∵D (1，4)，B (3，0)，∴直线BD 的解析式为y =-2x +6，∴J (m ，-2m +6)，∴PJ =-m 2+4m -3，∵四边形DTBP 的面积=△DTB 的面积+△BDP 的面积=12×5×4+12×(-m 2+4m -3)×2=-m 2+4m +7=-(m -2)2+11∵-1<0，∴m =2时，四边形DTBP 的面积最大，最大值为11，∴PM +PN 的最大值=25×11=225；解法二：延长MP 交直线l 与点H ，易得直线l ：y =43x +83，∴H m ，43m +83设直线l 交x 轴于点C ，交y 轴于点L ，∴C (-2，0)，L 0，83，∴CL =103，∴sin ∠CLO =35，由LO ∥HM ，∴∠NHM =∠CLO ，∴sin ∠NHM =35，∴PH =43m +83+m 2-2m -3=m 2-23m -13，∴PN =35PH ，周日∴PM +PN =-m 2+2m +3+35m 2-23m -13 =-25(m -2)2+225，∵-25<0，∴m =2时，PM +PN 的值最小，最小值为225；(3)四边形AFBG 的面积不变．理由：如图，设P (m ，-m 2+2m +3)，∵A (-1，0)，B (3，0)，∴直线AP 的解析式为y =-(m -3)x -m +3，∴E (1，-2m +6)，∵E ，G 关于x 轴对称，∴G (1，2m -6)，∴直线PB 的解析式y =-(m +1)x +3(m +1)，∴F (1，2m +2)，∴GF =2m +2-(2m -6)=8，∴四边形AFBG 的面积=12×AB ×FG =12×4×8=16．∴四边形AFBG 的面积是定值．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．类型三二次函数与角度问题1.(2022•菏泽)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A (-2，0)、B (8，0)两点，与y 轴交于点C (0，4)，连接AC 、BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将△ABC 沿AC 所在直线折叠，得到△ADC ，点B 的对应点为D ，直接写出点D 的坐标，并求出四边形OADC 的面积；(3)点P 是抛物线上的一动点，当∠PCB =∠ABC 时，求点P 的坐标．思路引领：(1)利用待定系数法解答即可；(2)过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，利用轴对称的性质和三角形的中位线的性质定理求得线段OE ，DE ，则点D 坐标可得；利用四边形OADC 的面积=S △OAC +S △ACD ，S △ADC =S △ABC ，利用三角形的面积公式即可求得结论；周日(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下方时，设PC交x 轴于点H，设HB=HC=m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标；解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-2，0)、B(8，0)两点，与y轴交于点C(0，4)，∴4a-2b+c=064a+8b+c=0c=4，解得：a=-14b=32c=4．∴抛物线的表达式为y=-14x2+32x+4；(2)点D的坐标为(-8，8)，理由：将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵A(-2，0)、B(8，0)，C(0，4)，∴OA=2，OB=8，OC=4．∵OA OC =12，OCOB=12，∴OA OC =OC OB．∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO=∠CBO．∵∠CBO+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠ACB=90°，∵将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，∴点D，C，B三点在一条直线上．由轴对称的性质得：BC=CD，AB=AD．∵OC⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥OC，∴OC为△BDE的中位线，∴OE=OB=8，DE=2OC=8，∴D(-8，8)；由题意得：S△ACD=S△ABC，∴四边形OADC的面积=S△OAC+S△ADC=S△OAC+S△ABC=12×OC•OA+12×AB•OC=12×4×2+12×10×4=4+20 =24；周日(3)①当点P在BC上方时，如图，∵∠PCB=∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，令y=4，则-14x2+32x+4=4，解得：x=0或x=6，∴P(6，4)；②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB=∠ABC，∴HC=HB．设HB=HC=m，∴OH=OB-HB=8-m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2=CH2，∴42+(8-m)2=m2，解得：m=5，∴OH=3，∴H(3，0)．设直线PC的解析式为y=kx+n，∴n=43k+n=0，解得：k=-43n=4．∴y=-43x+4．∴y=-43x+4y=-14x2+32x+4，解得：x1=0y1=4，x2=343y2=-1009．∴P343，-100 9．综上，点P的坐标为(6，4)或343，-1009．总结提升：本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．2.(2022•鞍山)如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接BC．(1)求抛物线的解析式．(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，若点E是线段BC上点，连接OE，将△OEB沿直线OE翻折得到△OEB'，当直线周日EB'与直线BP相交所成锐角为45°，时，求点B'的坐标．思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为(0，-4)，再由待定系数法求出直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求；(3)当B'在第一象限时，由∠ODB=45°，可知EB'∥CD，求出直线BC的解析式，可设E t，-12t+2，在Rt△OHB'中，B'H=16-t2，则BE=16-t2+12t-2，在Rt△BHE中，由勾股定理得16-t2+12t-22=(4-t)2+-12t+22，求出t的值即可求B'坐标；当B'在第二象限时，B'G∥x轴，可得四边形B'OBE是平行四边形，则B't-4，-12t+2，由折叠的性质可判断平行四边形OBEB'是菱形，再由BE=OB，可得(4-t)2+-12t+22=4，求出t的值即可求B'坐标．解：(1)将A(-1，0)，C(0，2)代入y=-12x2+bx+c，∴c=2-12-b+c=0 ，解得b=32c=2 ，∴y=-12x2+32x+2；(2)令y=0，则-12x2+32x+2=0，解得x=-1或x=4，∴B(4，0)，∴OB=4，∴S△BCD=12×4×(2+OD)=12，∴OD=4，∴D(0，-4)，设直线BD的解析式为y=kx+b，∴b=-44k+b=0 ，周日解得k =1b =-4 ，∴y =x -4，联立方程组y =x -4y =-12x 2+32x +2，解得x =-3y =-7 或x =4y =0 ，∴P (-3，-7)；(3)如图1，当B '在第一象限时，设直线BC 的解析式为y =k 'x +b '，∴b '=24k '+b '=0，解得k '=-12b '=2，∴y =-12x +2，设E t ，-12t +2 ，∴OH =t ，EH =-12t +2，∵D (0，-4)，B (4，0)，∴OB =OD ，∴∠ODB =45°，∵直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45°，∴EB '∥CD ，由折叠可知，OB '=BO =4，BE =B 'E ，在Rt △OHB '中，B 'H =16-t 2，∴B 'E =16-t 2--12t +2 =16-t 2+12t -2，∴BE =16-t 2+12t -2，在Rt △BHE 中，16-t 2+12t -2 2=(4-t )2+-12t +2 2，解得t =±455，∵0≤t ≤4，∴t =455，∴B '455，855 ；如图2，当B '在第二象限，∠BGB '=45°时，∵∠ABP =45°，∴B 'G ∥x 轴，周日∵将△OEB 沿直线OE 翻折得到△OEB '，∴BE =B 'E ，OB =OB '，∠BOE =∠B 'OE ，∴∠BOE =∠B 'EO ，∴B 'E ∥B 'O ，∵B 'E =BO ，∴四边形B 'OBE 是平行四边形，∴B 'E =4，∴B 't -4，-12t +2 ，由折叠可知OB =OB '=4，∴平行四边形OBEB '是菱形，∴BE =OB ，∴(4-t )2+-12t +2 2=4，解得t =4+855或t =4-855，∵0≤t ≤4，∴t =4-855，∴B '-855，455；综上所述：B '的坐标为455，855 或-855，455．方法2：在Rt △BCO 中，BC =25，CO ：OB ：BC =1：2：5，∵BP 与x 轴和y 轴的夹角都是45°，BP 与B 'E 的夹角为45°，∴B 'E ∥x 轴或B 'E ∥y 轴，当B 'E ∥y 轴时，延长B 'E 交x 轴于F ，∴B 'F ⊥OB ，∵∠CBA =∠OB 'E ，∴△OB 'F ∽△CBO ，∴OF ：FB '：B 'O =1：2：5，∵OB =OB '=4，∴FO =455，B 'F =855，∴B '455，855 ；当B 'E ∥x 轴时，过B '作B 'F ⊥x 中交于F ，∴B 'F ⊥OF ，B 'E ∥OB ，∵B 'E 和BE 关于OE 对称，OB 和OB '关于OE 对称，∴BE ∥OB '，∵∠FOB '=∠OBC ，∴△OB 'F ∽△BCO ，∴B 'F ：FO ：OB '=1：2：5，∵OB =OB '=4，周日∴B 'F =455，OF =855，∴B '-855，455；综上所述：B '坐标为455，855 或-855，455．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键．类型四二次函数与圆综合1.(2022•扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB 在x 轴上，且AB =8dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y 轴，高度OC =8dm ．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB 上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB 上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm 的圆，请说明理由．思路引领：(1)先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大，先根据GH =2OG 计算H 的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；(2)由(1)知：设H t ，-12t 2+8 (t >0)，表示矩形EFGH 的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可；(3)解法一：设半径为3dm 的圆与AB 相切，并与抛物线相交，设交点为N ，求出点N 的坐标，并计算点N 是圆M 与抛物线在y 轴右侧的切点即可．解法二：计算MN 2，配方法可得结论．解法三：同解法二得MN 2，利用换元法可解答．解：(1)如图1，由题意得：A (-4，0)，B (4，0)，C (0，8)，设抛物线的解析式为：y =ax 2+8，把B (4，0)代入得：0=16a +8，∴a =-12，∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+8，∵四边形EFGH 是正方形，∴GH =FG =2OG ，设H t ，-12t 2+8 (t >0)，周日∴-12t2+8=2t，解得：t1=-2+25，t2=-2-25(舍)，∴此正方形的面积=FG2=(2t)2=4t2=4(-2+25)2=(96-325)dm2；(2)如图2，由(1)知：设H t，-12t2+8(t>0)，∴矩形EFGH的周长=2FG+2GH=4t+2-12t2+8=-t2+4t+16=-(t-2)2+20，∵-1<0，∴当t=2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；(3)解法一：若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，则MN=OM=3，NQ⊥MN，设N m，-12m2+8，由勾股定理得：PM2+PN2=MN2，∴m2+-12m2+8-32=32，解得：m1=22，m2=-22(舍)，∴N(22，4)，∴PM=4-3=1，∵cos∠NMP=PMMN =MNQM=13，∴MQ=3MN=9，∴Q(0，12)，设QN的解析式为：y=kx+b，∴b=1222k+b=4 ，∴k=-22 b=12，∴QN的解析式为：y=-22x+12，-1 2x2+8=-22x+12，12x2-22x+4=0，Δ=(-22)2-4×12×4=0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆．解法二：如图3，取点M(0，3)，在抛物线上取点N m，-12m2+8，且0<m<4，周日则MN 2=m 2+-12m 2+8-3 2=14(m 2-8)2+9，∴当m =22时，MN 有最小值为3，此时抛物线上除了点N ，N '(点N ，N '关于y 轴对称)外，其余各点均在以点M (0，3)为圆心，3dm 为半径的圆外(铁皮底部边缘中点O 也在该圆上)，∴若切割成圆，能切得半径为3dm 的圆．解法三：如图3，取点M (0，m )，在抛物线上取点N a ，-12a 2+8 ，且0<a <4，则MN 2=a 2+-12a 2+8-m 2，令y =a 2，则MN 2=y +-12y +8-m 2=14(y +2m -14)2+15-2m ，∴MN 2的最小值是15-2m ，当MN 的最小值=OM =m 时，⊙O 与抛物线相切，此时⊙M 最大，∴15-2m =m ，∴m =-5(舍)或3，∴若切割成圆，能切得半径为3dm 的圆．总结提升：本题是二次函数与圆，四边形的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，圆的切线的性质，矩形和正方形的性质，二次函数的最值问题，综合性较强，并与方程相结合解决问题是本题的关键．2.(2022•盐城)【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O 为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O 为原点，过点O 的横线所在直线为x 轴，过点O 且垂直于横线的直线为y 轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为(-3，4)或(3，4)．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P (0，m )，m 为正整数，以OP 为直径画⊙M ，是否存在所描的点在⊙M 上．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．周日思路引领：【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；【解决问题】设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为(n -1)，利用勾股定理可得出该点的坐标为(-2n -1，n -1)或(2n -1，n -1)，结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y =12x 2-12的图象上，进而可证出小明的猜想正确；【深度思考】设该点的坐标为(±2n -1，n -1)，结合⊙M 的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n 的代数式表示出m 的值，再结合m ，n 均为正整数，即可得出m ，n 的值．【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y =5-1=4，∵横坐标x =±52-42=±3，∴点的坐标为(-3，4)或(3，4)．【解决问题】证明：设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上，则该点的纵坐标为(n -1)，∴该点的横坐标为±n 2-(n -1)2=±2n -1，∴该点的坐标为(-2n -1，n -1)或(2n -1，n -1)．∵(±2n -1)2=2n -1，n -1=2n -1-12，∴该点在二次函数y =12(x 2-1)=12x 2-12的图象上，∴小明的猜想正确．【深度思考】解：设该点的坐标为(±2n -1，n -1)，⊙M 的圆心坐标为0，12m ，∴(±2n -1-0)2+n -1-12m 2=12m ，∴m =n 2n -1=(n -1+1)2n -1=(n -1)2+2(n -1)+1n -1=n -1+2+1n -1．又∵m ，n 均为正整数，∴n -1=1，∴m =1+2+1=4，∴存在所描的点在⊙M 上，m 的值为4．总结提升：本题考查了勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，解题的关键是：【分析问题】利用勾股定理，求出该点的横坐标；【解决问题】根据点的横、纵坐标间的关系，找出点在二次函数y =12x 2-12的图象上；【深度思考】利用勾股定理，用含n 的代数式表示出m 的值．周日类型五二次函数中的定值问题1.(2022•巴中)如图1，抛物线y =ax 2+2x +c ，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，F 为抛物线顶点，直线EF 垂直于x 轴于点E ，当y ≥0时，-1≤x ≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BE 上的动点(除B 、E 外)，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点D ．①当点P 的横坐标为2时，求四边形ACFD 的面积；②如图2，直线AD ，BD 分别与抛物线对称轴交于M 、N 两点．试问，EM +EN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．思路引领：(1)由当y ≥0时，-1≤x ≤3，可知x 1=-1，x 2=3是ax 2+2x +c =0的两根，代入方程可得a ，c ，从而得解；(2)①把x =2代入抛物线解析式可得D 点坐标，再将x =0代入抛物线解析式可得C 点坐标，从而得知线段CD ∥x 轴，利用配方法可知点F 坐标，从而利用S 四边形ACFD =S △FCD +S △ACD =12CD (y F -y A )求面积；②设D (m ，-m 2+2m +3)(1<m <3)，用待定系数法求出直线AD 与直线BD 的解析式，再令x =1得y M ，y N ，从而得出ME ，NE 的长，从而得到NE +ME 是定值8．解：(1)∵当y ≥0时，-1≤x ≤3，∴x 1=-1，x 2=3是ax 2+2x +c =0的两根，A (-1，0)，B (3，0)，∴a -2+c =09a +6+c =0，解得：a =-1c =3 ，∴抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3；(2)①把x =2代入y =-x 2+2x +3得：y =3，∴D (2，3)．又当x =0，y =3，∴C (0，3)，∴线段CD ∥x 轴．∵y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，∴F (1，4)，S 四边形ACFD =S △FCD +S △ACD =12CD (y F -y A )=4；②设D (m ，-m 2+2m +3)(1<m <3)，周日直线AD ：y =k 1x +b 1，BD ：y =k 2x +b 2，因此可得：0=-k 1+b 1-m 2+2m +3=k 1m +b 1或0=3k 2+b 2-m 2+2m +3=k 2m +b 2，解得：k 1=3-m b 1=3-m 或k 2=-1-mb 2=3m +3 ，∴直线AD ：y =(3-m )x +(3-m )，BD ：y =-(m +1)x +3(m +1)．令x =1得y M =6-2m ，y N =2m +2，∴ME =6-2m ，NE =2m +2，∴NE +ME =8．总结提升：本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．类型六二次函数中几何图形的存在性问题1.(2022•枣庄)如图①，已知抛物线L ：y =x 2+bx +c 经过点A (0，3)，B (1，0)，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当△OPE 面积最大时，求出P 点坐标；(3)将抛物线L 向上平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE 内(包括△OAE 的边界)，求h 的取值范围；(4)如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P ，使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．思路引领：(1)利用待定系数法可得抛物线的解析式；(2)过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，设P (m ，m 2-4m +3)，根据OE 的解析式表示点G 的坐标，表示PG 的长，根据面积和可得△OPE 的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；(3)求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE 的交点坐标、与AE 的交点坐标，用含h 的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h 的取值范围；(4)存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP ≌△PNF ，根据|OM |=|PN |，列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P 的坐标．解：(1)∵抛物线L ：y =x 2+bx +c 经过点A (0，3)，B (1，0)，∴1+b +c =0c =3，解得b =-4c =3 ，周日∴抛物线的解析式为：y =x 2-4x +3；(2)如图，过P 作PG ∥y 轴，交OE 于点G ，设P (m ，m 2-4m +3)，∵OE 平分∠AOB ，∠AOB =90°，∴∠AOE =45°，∴△AOE 是等腰直角三角形，∴AE =OA =3，∴E (3，3)，∴直线OE 的解析式为：y =x ，∴G (m ，m )，∴PG =m -(m 2-4m +3)=-m 2+5m -3，∴S △OPE =S △OPG +S △EPG=12PG •AE =12×3×(-m 2+5m -3)=-32(m 2-5m +3)=-32m -52 2+398，∵-32<0，∴当m =52时，△OPE 面积最大，此时，P 点坐标为52，-34；(3)由y =x 2-4x +3=(x -2)2-1，得抛物线l 的对称轴为直线x =2，顶点为(2，-1)，抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为F (2，-1+h )．设直线x =2交OE 于点M ，交AE 于点N ，则E (3，3)，∵直线OE 的解析式为：y =x ，∴M (2，2)，∵点F 在△OAE 内(包括△OAE 的边界)，∴2≤-1+h ≤3，解得3≤h ≤4；(4)设P (m ，m 2-4m +3)，分四种情况：①当P 在对称轴的左边，且在x 轴下方时，如图，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∴∠OMP =∠PNF =90°，∵△OPF 是等腰直角三角形，∴OP =PF ，∠OPF =90°，周日∴∠OPM +∠NPF =∠PFN +∠NPF =90°，∴∠OPM =∠PFN ，∴△OMP ≌△PNF (AAS )，∴OM =PN ，∵P (m ，m 2-4m +3)，则-m 2+4m -3=2-m ，解得：m =5+52(舍)或5-52，∴P 的坐标为5-52，1-52 ；②当P 在对称轴的左边，且在x 轴上方时，同理得：2-m =m 2-4m +3，解得：m 1=3+52(舍)或m 2=3-52，∴P 的坐标为3-52，5+12 ；③当P 在对称轴的右边，且在x 轴下方时，如图，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN =FM ，则-m 2+4m -3=m -2，解得：m 1=3+52或m 2=3-52(舍)；P 的坐标为3+52，1-52 ；④当P 在对称轴的右边，且在x 轴上方时，如图，同理得m 2-4m +3=m -2，解得：m =5+52或5-52(舍)，P 的坐标为：5+52，5+12；综上所述，点P 的坐标是：5-52，1-52或3-52，5+12或3+52，1-52 或5+52，5+12 ．方法二：作直线DE ：y =x -2，E (1，-1)是D 点(2，0)绕O 点顺时针旋转45°并且OD 缩小2倍得到，易知直线DE 即为对称轴上的点绕O 点顺时针旋转45°，且到O 点距离缩小2倍的轨迹，联立直线DE 和抛物线解析式得x 2-4x +3=x -2，周日解得x 1=5+52，x 2=5-52，同理可得x 3=3+52或x 4=3-52；综上所述，点P 的坐标是：5-52，1-52 或3-52，5+12 或3+52，1-52 或5+52，5+12 ．总结提升：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想解决问题的关键．2.(2022•攀枝花)如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于O (O 为坐标原点)，A 两点，且二次函数的最小值为-1，点M (1，m )是其对称轴上一点，y 轴上一点B (0，1)．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连结PA ，PB ，设点P 的横坐标为t ，△PAB 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N 的坐标，若不存在，请说明理由．思路引领：(1)根据题意知，二次函数顶点为(1，-1)，设二次函数解析式为y =a (x -1)2-1，将点B (0，0)代入得，a -1=0，即可得出答案；(2)连接OP ，根据题意得点A 的坐标，则S =S △AOB +S △OAP -S △OBP ，代入化简即可；(3)设N (n ，n 2-2n )，分AB 或AN 或AM 分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求出n =的值，进而得出答案．解：(1)∵二次函数的最小值为-1，点M (1，m )是其对称轴上一点，∴二次函数顶点为(1，-1)，设二次函数解析式为y =a (x -1)2-1，将点O (0，0)代入得，a -1=0，∴a =1，∴y =(x -1)2-1=x 2-2x ；(2)连接OP ，。
二次函数与几何图形综合题
二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题一、二次函数与直角三角形1、抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1,0）、B点，与y轴交于C（0，-3）顶点为D。
（1）求抛物线解析式；（2）点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求所有相应的点N的坐标。
2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4,0），且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上。
（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否还存在点P'，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。
3、如图，抛物线y=ax²-2ax-3a交y轴于A点，交x轴于B、C两点（B在C右边），顶点为D（1）写出B、C、A、D四点的坐标（其中A、D两点的坐标用含a的式子表示）；（2）当OA=OB时，求抛物线的解析式；（3）若以A、B、D为顶点的三角形为直角三角形，求a的值。
作业：1、如图，已知抛物线y=ax²+bx-3(a≠0)与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1,0），C点的坐标是（4，-3）。
（1）求抛物线解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由。
二、二次函数与等腰三角形1、如图，已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0，-3）三点，直线l是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的函数关系式；（2）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；2、作业：如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直线为x=-x+3.（1）求该二次函数的关系式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标。
二次函数与几何图形综合题
【例1】如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋a－4与x轴交于A，B两点(A在B的 左侧)，交y轴于点C(0，－3)，顶点为M，连接CB. (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)若点P是抛物线上不同于点C的一点，S△ABC＝S△ABP，求点P的坐标；
图14-4
练习 如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴. (3)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小 时,求点P的坐标.
(3)如图,连接 BC,交直线 l 于点 P,
则点 P 为使△PAC 的周长最小的点, 设直线 BC 的解析式为 y=kx+n,
解：作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P， 如图①，∴PO＝PC，此时 P 点即为满足条件的点，∵C(0，－4)， ∴D(0，－2)，∴P 点纵坐标为－2，代入抛物线解析式 可得 x2－3x－4＝－2，解得 x＝3＋2 17(小于 0，舍去)或 x＝3＋2 17，
图14-4
将
B(3,0),C(0,3)代入得
3������ + ������ ������ = 3,
=
0,解得
������ ������
= =
-31, ,∴直线
BC
的解析式为
y=-x+3,
∵对称轴为直线 x=1,∴当 x=1 时,y=2,即点 P 的坐标为(1,2).
练习 如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴. (4)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形? 若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在, 请说明理由.
九年级数学人教版(上册)小专题8 二次函数与几何图形的小综合
解：在 y＝－x2－2x＋3 中，令 y＝0，得 －x2－2x＋3＝0， 解得 x＝1 或 x＝－3， ∴A(－3，0)，B(1，0)． 在 y＝－x2－2x＋3 中，当 x＝0 时，y＝3， ∴C(0，3)．
①当 AC 为平行四边形的边时，PQ∥AC，且 PQ＝AC，
如图 1，过点 P 作对称轴的垂线，垂足为 G，设 AC 交对称轴于
入，得 － n＝3k3＋，n＝0，解得kn＝＝13，. ∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3. 设 P(t，－t2－2t＋3)(－3<t<0)，则 K(t，t＋3)， ∴PK＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t. ∴S△PBC＝S△PBK＋S△PCK＝12PK·(t＋3)＋12PK·(0－t)＝32PK＝32(－t2
－3t)．
∵S△ABC＝12AB·OC＝12×4×3＝6， ∴S 四边形 PBAC＝S△PBC＋S△ABC＝32(－t2－3t)＋6＝－32(t＋32)2＋785. ∵－32＜0， ∴当 t＝－32时，四边形 PBAC 的面积最
大，此时点 P 的坐标为(－32，145)．
类型 2 线段和、周长最值问题 3．(2021·通辽节选)如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，动点 P 在抛物线的对称轴上，当以 P，B， C 为顶点的三角形周长最小时，求点 P 的坐标及△PBC 的周长． 解：在 y＝－x2＋2x＋3 中，令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得 x＝－1 或 x＝3， ∴A(3，0)，B(－1，0)． 在 y＝－x2＋2x＋3 中，令 x＝0，得 y＝3， ∴C(0，3)．
②当 AC 为平行四边形的对角线时，
如图 2，设 AC 的中点为 M， ∵A(－3，0)，C(0，3)，
二次函数与几何图形综合压轴题(原卷版)
22.4二次函数与几何图形综合压轴题1．（2021·江苏中考真题）如图，点,A B 在函数214y x =的图像上．已知,A B 的横坐标分别为－2、4，直线AB 与y 轴交于点C ，连接,OA OB ． （1）求直线AB 的函数表达式； （2）求AOB ∆的面积； （3）若函数214y x =的图像上存在点P ，使得PAB ∆的面积等于AOB ∆的面积的一半，则这样的点P 共有___________个．2．（2021·湖北中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于(1,0)A -，(3,0)B 两点，交y 轴于点(0,3)C -，点Q 为线段BC 上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）求||||QO QA +的最小值；（3）过点Q 作//PQ AC 交抛物线的第四象限部分于点P ，连接P A ，PB ，记PAQ △与PBQ △的面积分别为1S ，2S ，设12S S S =+，求点P 坐标，使得S 最大，并求此最大值．3．（2021·黑龙江中考真题）抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 经过点A （﹣3，0）和点C （0，3）． （1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点D 的坐标；（2）若过顶点D 的直线将△ACD 的面积分为1：2两部分，并与x 轴交于点Q ，则点Q 的坐标为 ． 注：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标（24,24b ac b a a）4．（2021·湖南中考真题）如图，一次函数333y x =-图象与坐标轴交于点A 、B ，二次函数233y x bx c =++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．5．（2021·河北九年级二模）如图，抛物线21:42G y x kx =-++（k 为常数）与x 轴和y 轴的正半轴分别交于点A 和B ，直线:6L y =，L 交y 轴于点C ，交G 于点M ，N （M 在N 的左侧）．（1）当1k =时，△直接写出抛物线G 的对称轴和顶点坐标，并求AB 的长；△当05x ≤≤时，求2142y x kx =-++的最大值和最小值的差．（2）是否存在k ，使1CM =？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）当12x k ≥时，抛物线G 的最高点到L 的距离为1，请直接写出此时k 的值．6．（2020·江西赣州市·九年级期末）我们知道，二次函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0）的图象是一条抛物线，现定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y ′，再将抛物线y ′向上平移m （m ＞0）个单位，得到新的抛物线y m ，我们称y m 叫做二次函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0）的m 阶变换．（1）已知：二次函数y ＝2（x +2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为 ，这个抛物线的2阶变换的表达式为 ．（2）若二次函数M 的6阶变换的关系式为y 6＝（x ﹣1）2+5． △二次函数M 的函数表达式为 ．△若二次函数M 的顶点为点A ，与x 轴相交的两个交点中左侧交点为点B ，动点P 在抛物线y 6上，作PD △直线AB ，请求出PD 最小时P 点的坐标．7．（2021·湖南娄底市·九年级期末）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣2x＋3经过点C，与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△PCD的面积的最大值及此时点P的坐标．8．（2021·广西九年级期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A(﹣3，0)和B(1，0)，交y轴于点C(0，﹣3)．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E在抛物线上且S△BOC＝14S△AOE，求点E的坐标；（3）如图2，设点F是线段AC上的一动点，作DF△x轴，交抛物线于点D，求线段DF的最大值．9．（2021·吉林真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点70,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求此二次函数的解析式；（2）当22x -≤≤时，求二次函数2y x bx c =++的最大值和最小值；（3）点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作//PQ x 轴，点Q 的横坐标为21m -+．已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小． △求m 的取值范围；△当7PQ ≤时，直接写出线段PQ 与二次函数2123y x bx c x ⎛⎫=++-≤< ⎪⎝⎭的图象交点个数及对应的m 的取值范围．10．（2021·湖南中考真题）如图，已知抛物线24y ax bx =++经过(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，求直线BC 的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP PC +的值最小，求点P 的坐标，并求出此时AP PC +的最小值；（4）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021·广西中考真题）如图，已知抛物线y ＝a （x ﹣3）（x +6）过点A （﹣1，5）和点B （﹣5，m ）与x 轴的正半轴交于点C ．（1）求a ，m 的值和点C 的坐标；（2）若点P 是x 轴上的点，连接PB ，P A ，当25PB PA =时，求点P 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点M ，使A ，B 两点到直线MC 的距离相等？若存在，求出满足条件的点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021·内蒙古中考真题）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于3,0、()1,0B 两点，对称轴l 与x轴交于点F ，直线m //AC ，过点E 作EH △m ，垂足为H ，连接AE 、EC 、CH 、AH ． （1）抛物线的解析式为 ；（2）当四边形AHCE 面积最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接EF ，点P 在x 轴上，在抛物线上是否存在点Q ，使得以F 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q 的坐标；若不存在请说明理由．13．（2021·长沙麓山国际实验学校九年级其他模拟）如图，已知二次函数()20y x bx c c =-++>的图象与x轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB =OC =3，顶点为M ． （1）求该二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为点Q ，若OQ =m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点P ，使PMC 为等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．14．（2021·上海中考真题）已知抛物线2(0)y ax c a =+≠过点(3,0),(1,4)P Q ．（1）求抛物线的解析式；（2）点A 在直线PQ 上且在第一象限内，过A 作AB x ⊥轴于B ，以AB 为斜边在其左侧作等腰直角ABC ． △若A 与Q 重合，求C 到抛物线对称轴的距离； △若C 落在抛物线上，求C 的坐标．15．（2021·长沙市长郡双语实验中学八年级期末）如图，已知抛物线y ＝14x 2+bx +c 与y 轴交于点B （0，1），顶点为A ．点F （2，1）在抛物线的对称轴上，点C （0，3）是y 轴上一点．点P 在抛物线上运动，过点P 作PM △x 轴于点M ，连接PF 和CF ．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：在点P 运动的过程中，总有PF ＝PM +1；（3）若将“使△PCF 面积为2”的点P 记作“巧点”，则存在多个“巧点”，请求出所有“巧点”的坐标．是否存在使△PCF 的周长最小的“巧点”，若有，请直接写出“巧点”的坐标；若无，请说明理由．16．（2021·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）如图，已知抛物线213y x bx c =++（b ，c 是常数，且0c <）与x 轴分别交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)-．（1）b =________，点B 的横坐标为________（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连接BC ，过点A 作直线//AE BC ，与抛物线213y x bx c =++交于点E ．点D 是x 轴上一点，其坐标为(2,0)，当C ，D ，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式．17．（2020·湖北十堰市·九年级期末）如图，已知抛物线y ＝21322x -x ﹣n （n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A点在B 点的左边），与y 轴交于点C ． （1）若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（2）在（1）的条件下，点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，若以BC 为边，以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D ，E 的坐标．18．（2019·内蒙古九年级二模）如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与y 轴交于点()0,4C ，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为()2,0-，抛物线的对称轴1x =与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．19．（2021·四川九年级期末）如图，抛物线经过A （﹣1，0），B （0，﹣4），D （3，﹣4）三点． （1）求抛物线的解析式．（2）直线AD 交y 轴于点G ，M 是线段GD 上动点，MN //x 轴与抛物线CD 段交于点N ．MF △x 轴于F ，NH △x 轴于H ，当四边形MFHN 是正方形时，求点M 的坐标．（3）探究在抛物线上是否存在点P ，使S △PBC ＝2S △DBC ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．20．（2021·江苏九年级二模）定义：如果二次函数2111y a x b x c =++（10a ≠，1a ，1b ，1c 是常数）与2222y a x b x c =++（20a ≠，2a ，2b ，2c 是常数）满足120a a +=，12b b =，120c c +=，则这两个函数互为“N ”函数．（1）写出21y x x =-+-的“N ”函数的表达式；（2）若题（1）中的两个“N ”函数与正比例函数(0)y kx k =≠的图像只有两个交点，求k 的值；（3）如图，二次函数y 1与y 2互为“N ”函数，A 、B 分别是“N ”函数y 1与y 2图象的顶点，C 是“N ”函数2y 与y 轴正半轴的交点，连接AB 、AC 、BC ，若点(2,1)A -且ABC 为直角三角形，求点C 的坐标．21．（2021·重庆九年级期中）如图，已知抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM △y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当线段PM 的长度最大时，求点M 的坐标；（3）在（2）的条件下，当线段PM 的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q ，使得△CNQ 为直角三角形，直接写出点Q 的坐标．22．（2021·湖北九年级一模）已知抛物线223y x mx m =--与直线1:l y kx b =+有一个交点P ．（1）若点P 的坐标为12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求m 的值，并写出抛物线的顶点坐标； （2）若1k =，点P 在y 轴上，直线1l 与抛物线的另一交点是Q ，当32PQ =时，求抛物线的解析式； （3）设平行于直线1l 且经过原点的直线2l 与抛物线交于A ，B 两点，PAB △的面积33PAB S =△，若对于任意x 的取值，满足223x mx m kx b --≥+恒成立，求b 的值．23．（2021·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A 的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F 的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．24．（2021·辽宁阜新市教育服务中心中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx=+-交x轴于点(1,0)A-，(3,0)B，过点B的直线223y x=-交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求PBC面积的最大值；（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出．．．．点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2021·广西中考真题）已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣12x＋2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．（1）求证：AD＝CD；（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝53S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．。
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二次函数与几何图形综合题类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值；(3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积；(3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由．3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？(3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．类型 2二次函数与平行四边形的存在性问题1． (2014 ·靖曲 )如图，抛物线y＝ax2＋bx＋ c 与坐标轴分别交于A(－ 3， 0)， B(1， 0)， C(0， 3)三点， D 是抛物线顶点， E 是对称轴与 x 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)F 是抛物线对称轴上一点，且1，求点 O 到直线 AF 的距离；tan∠ AFE ＝2(3)点 P 是 x 轴上的一个动点，过P 作 PQ∥ OF 交抛物线于点Q，是否存在以点O， F， P，Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．2． (2013 ·明昆 )如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上， OA＝ 4， OC＝3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC 交抛物线于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点 D 的坐标；(3)若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以点A，D ，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3． (2015 昆·明西山区二模 )如图，抛物线 y＝ x2－ 2x－3 与 x 轴交于 A、B 两点 (A 点在 B 点左侧 ) ，直线l 与抛物线交于A、 C 两点，其中 C 点的横坐标为 2.(1)求 A、B、 C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△ PBC 的周长最小，并求出点P 的坐标；(3)点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F ，使 A、C、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由．类型 3二次函数与直角三角形的存在性问题1． (2015 ·南云 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c( a≠0)与 x 轴相交于A、 B 两点，与y 轴相交于点C，直线 y＝ kx＋n( k≠ 0)经过 B、 C 两点，已知 A(1， 0)， C(0， 3)，且 BC＝5.(1)分别求直线BC 和抛物线的解析式(关系式 )；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以 B、C、P 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．2． (2015 ·贡自 )如图，已知抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0) 的对称轴为x＝－ 1，且抛物线经过A(1， 0)，C(0， 3)两点，与x 轴交于点 B.(1)若直线 y＝mx＋ n 经过 B、 C 两点，求线段BC 所在直线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－ 1 上找一点M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出此点M的坐标；(3)设点 P 为抛物线的对称轴x＝－ 1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．3． (2015 益·阳 )已知抛物线 E 1： y ＝ x 2 经过点 A(1， m)，以原点为顶点的抛物线E经过点 B(2， 2)，点2 A 、 B 关于 y 轴的对称点分别为点A ′，B ′.(1)求 m 的值及抛物线E 2 所表示的二次函数的表达式；(2)如图，在第一象限内，抛物线E 1 上是否存在点 Q ，使得以点 Q 、B 、 B ′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图， P 为第一象限内的抛物线E 1 上与点 A 不重合的一点，连接OP 并延长与抛物线E 2 相交于点P ′，求△ PAA ′与△ P ′BB ′的面积之比．类型 4二次函数与等腰三角形的存在性问题1． (2015 ·东南黔 )如图，已知二次函数y 1＝－ x2＋134x＋c 的图象与x 轴的一个交点为A(4，0) ，与 y 轴的交点为 B，过 A、 B 的直线为y2＝ kx＋b.(1)求二次函数y1的解析式及点 B 的坐标；(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x 的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．- 10 -2．如图，抛物线与x 轴交于 A， B 两点，直线y＝kx－ 1 与抛物线交于A， C 两点，其中A(－ 1， 0)，B(3， 0)，点 C 的纵坐标为－ 3.(1)求 k 值；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P，使得△ ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．(2015 ·明官渡区二模昆)如图，已知抛物线y＝ax2＋ bx＋ c(a≠0)交于 x 轴于 A(－ 1，0) ，B(5，0)两点，与 y 轴交于点C(0， 2)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点 M 为抛物线的顶点，连接BC、 CM 、BM ，求△ BCM 的面积；(3)连接 AC，在 x 轴上是否存在点P，使△ ACP 为等腰三角形；若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 5二次函数与图形面积问题1．(2014 ·明昆 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)与x轴交于点A(－ 2，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 从 A 点出发，在线段AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△ PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？(3)当△ PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K，使 S△CBK∶ S△PBQ＝ 5∶ 2，求 K 点坐标．2．(2015 云·南二模 )如图所示，抛物线 y＝ ax2＋ bx(a＜ 0)与双曲线 y＝k相交于点 A、B，点 A 的坐标为x(－ 2， 2)，点 B 在第四象限内，过点 B 作直线 BC∥x 轴，直线 BC 与抛物线的另一交点为点C，已知直线BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线的顶点为 E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)计算△ ABC 与△ ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点 D ，使△ ABD 的面积等于△ABE 的面积的8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型 6 二次函数与最值问题1． (2015 ·明盘龙区一模昆)如图，对称轴为直线x＝ 2 的抛物线经过A(－1， 0)， C(0， 5)两点，与x 轴另一交点为B，已知 M(0， 1)， E(a， 0)，F(a＋ 1， 0)，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当 a＝ 1 时，求四边形MEFP 的面积最大值，并求此时点P 的坐标；(3)若△ PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．2． (2013 ·溪玉 )如图，顶点为 A 的抛物线 y＝a(x＋ 2)2－4 交 x 轴于点 B(1， 0)，连接 AB，过原点 O 作射线OM ∥ AB ，过点 A 作 AD∥ x 轴交 OM 于点 D，点 C 为抛物线与 x 轴的另一个交点，连接 CD .(1)求抛物线的解析式(关系式 )；(2)求点 A，B 所在的直线的解析式(关系式 )；(3)若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着射线OM 运动，设点P 运动的时间为t 秒，问：当 t 为何值时，四边形ABOP 分别为平行四边形？(4)若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿线段OD 向点 D 运动，同时动点Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿线段CO 向点 O 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t 秒，连接PQ.问：当 t 为何值时，四边形CDPQ 的面积最小？并求此时PQ 的长．类型 7二次函数与根的判别式问题1． (2015 ·阳衡 )如图，顶点M 在 y 轴上的抛物线与直线y＝ x＋ 1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为2，连接 AM 、 BM .(1)求抛物线的函数关系式；(2)判断△ ABM 的形状，并说明理由；(3)把抛物线与直线y＝x 的交点称为抛物线的不动点．若将(1)中抛物线平移，使其顶点为(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？类型 8二次函数与圆1．(2015 ·明盘龙区二模昆)如图，已知以E(3 ，0)为圆心，以 5 为半径的⊙ E 与 x 轴交于点A， B 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线y＝ ax2＋ bx＋ c 经过 A， B， C 三点，顶点为 F .(1)求 A， B， C 三点的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点 F 的坐标；(3)已知 M 为抛物线上一动点(不与 C 点重合 )．试探究：①使得以A，B， M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标；②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点 F ，试判断直线MF 与⊙ E 的位置关系，并说明理由．2． (2015 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ⊥ y 轴于点 B(0，－ 2)， A 为 OB 的中点，以 A为顶点的抛物线 y＝ ax2＋ c(a≠0)与 x 轴分别交于 C、D 两点，且 CD＝ 4.点 P 为抛物线上的一个动点，以 P 为圆心， PO 为半径画圆．(1)求抛物线的解析式；(2)若⊙ P 与 y 轴的另一交点为E，且 OE＝ 2，求点 P 的坐标；(3)判断直线l 与⊙ P 的位置关系，并说明理由．。