二次函数与几何图形综合教案

第三章 8 二次函数与几何图形综合题

一、教学目标

1、能利用二次函数的图像和性质解决综合数学问题。

2、经历探究利用函数式的模型表示线段长（或面积）等的过程，了解和体

验特殊与一般互相联系和转化以及数形结合等数学思想方法的具体体现和运用。

3、经历探究面积的最值问题，体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性。

二、教学过程

【例1】如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋a－4与x轴交于

A，B两点(A在B的左侧)，交y轴于点C(0，－3)，顶点为M，

连接CB.

(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)若点P是抛物线上不同于点C的一点，S△ABC＝S△

ABP，求点P的坐标；

练习. (2016安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．

(1)求a，b的值；

(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，

横坐标为x(2

于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

师归纳

探究平面直角坐标系中图形的面积问题，主要有以两种考查方式：

1．图形的几个顶点都是定点，求图形的面积的方法：

(1)根据点的坐标求线段的长度；

(2)可利用割补法求不规则图形的面积．

2．图形的几个顶点中有一个顶点是动点，求在某一时刻时，该图形面积的最大值或最小值的方法：(1)设动点的坐标为(t，at2＋bt＋c)；(2)用含t的代数式表示出三角形的底和高；(3)用含未知数t的代数式表示出图形的面积；(4)用二次函数的知识来求最大值或最小值．

【例2】(2017·毕节)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P是直线BC下方抛

物线上一动点．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若

存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

方法归纳

探究等腰三角形的存在性问题，具体方法与直角三角形的类似：

(1)假设结论成立；

(2)找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：

①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，则满足条件的点不存在；

②当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，则满足条件的点不存在．以上方法即可找出所有符合条件的点；

③计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解．

【练习2】如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，

－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且

OC＝3OB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是

否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不

存在，请说明理由．

分析

(2)设点M(a，a2－2a－3)，N(1，n)，①以AB为边，AB∥MN，AB＝MN，如图

②，过M作ME⊥对称轴y于点E，AF⊥x轴于点F，则△ABF≌△NME，∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3，∴|a－1|＝3，∴a＝4或a＝－2，∴M(4，5)或(－2，

5)．

②以AB为对角线，BN＝AM，BN∥AM，如图③，N在x轴上，M与C重合，∴M(0，－3)，综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M(4，5)或(－2，5)或(0，－3)．

三、小结

本节课收获了什么？

你还有哪些疑问？

四、作业布置

二次函数与几何图形综合课时作业

五、板书设计

二次函数与几何图形综合

例一、

例二、