二次函数与几何图形
备战2024年中考数学一模高频考点微专题靶向培优：二次函数与几何图形综合题-与线段有关的问题
备战2024年中考数学一模高频考点微专题靶向培优二次函数与几何图形综合题-与线段有关的问题题型一：二次函数+求线段长度、最值1.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC 的距离最大时，求点P的坐标；2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．(2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y 轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．3.如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y=−x2+ bx+c经过A，C(4,−5)两点，且与直线DC交于另一点E．(1)求抛物线的解析式：(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；x+c与x轴交于点A(−4,0)，B(1,0)，与y轴交4.如图，已知抛物线y=ax2−32于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；题型二：二次函数+固定结论1.综合与探究如图，二次函数y＝－14x2＋32x＋4的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是第一象限内．．．．．二次函数图象上的一个动点，设点P 的横坐标为m.过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E.(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．2.孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时，如图将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：(1)如图1，若测得OA=OB=2√2，求a的值；(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，求此时点A、B的坐标；(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2，0)，顶点C的坐标是(0，4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G.(1)求该抛物线的解析式；(2)如图①，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2.当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；(3)如图②，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH－OG＝7.若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，抛物线y＝－x2+bx+c经过A（4，0），C（－1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ 的面积为S2．求S1－S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，2EN，求m的值．且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若MN=2题型三：二次函数+线段和、比值综合1.抛物线y＝x2－2x－3交x轴于A，B两点(A在B的左边)，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P.(1)直接写出A，B两点的坐标；(2)如图①，当OP＝OA时，在抛物线上存在点D(异于点B)，使B，D两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；(3)如图②，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m.求FPOP的值(用含m的式子表示)。
第八讲 二次函数与几何图形的综合运用1(含答案)
第八讲 二次函数与几何图形的运用一、知识梳理二次函数与三角形的综合运用：1、求面积及最值2、与三角形的综合运用3、与相似三角形的综合运用4、与四边形的综合运用二、例题例1：如图，已知抛物线y=﹣x 2+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．变式 1 如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0). （1）求该抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标.例2、如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．例3：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．例4：已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B 两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP：PD=2：3（1）求A、B两点的坐标；（2）若tan∠PDB=，求这个二次函数的关系式．例5、如图1，二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴l与x轴交于点C，它的顶点为点D．（1）写出点D的坐标．（2）点P在对称轴l上，位于点C上方，且CP=2CD，以P为顶点的二次函数y2=ax2+bx+c （a≠0）的图象过点A．①试说明二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点B；②点R在二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象上，到x轴的距离为d，当点R的坐标为时，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于2d；③如图2，已知0＜m＜2，过点M（0，m）作x轴的平行线，分别交二次函数y1=（x﹣2）（x ﹣4）、y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象于点E、F、G、H（点E、G在对称轴l左侧），过点H 作x轴的垂线，垂足为点N，交二次函数y1=（x﹣2）（x﹣4）的图象于点Q，若△GHN∽△EHQ，求实数m的值．三、课堂练习1、如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是 ( )A．y＝32x2 B．y＝3x2 C．y＝23x2 D．y＝33x22、已知抛物线y=2x2+bx+c与直线y=﹣1只有一个公共点，且经过A（m﹣1，n）和B（m+3，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足记为M，N，则四边形AMNB的周长为．3、直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB 恒过一个定点，该定点坐标为．4、如图，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（2，9），与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点E 、B ． （1）求二次函数y=ax 2+bx+c 的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行与y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，使得以A 、E 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 、N 的坐标．六、课后作业1、已知抛物线y=ax 2﹣3x+c （a ≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c ﹣1= ．2、a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b c （用“＞”或“＜”号填空）3、已知二次函数n mx x y ++=2的图像经过点()1,3-P ，对称轴是经过()0,1-且平行于y轴的直线。
如何解答与二次函数有关的几何图形证明题
数学篇与二次函数有关的几何图形证明题通常较为复杂，需灵活运用数形结合思想，才能顺利解题.这类问题主要考查同学们综合运用二次函数和平面几何图形知识的能力.下面结合几个例题，探讨一下如何求解与二次函数有关的几何图形证明题.一、证明直线平行在解答与二次函数有关的几何图形证明题时，经常会遇到证明两条线段或直线平行的题目，要先根据二次函数的解析式和图象来确定直线上点的坐标，以确定两条直线的位置；然后结合两直线平行的判定定理：如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，则两条直线平行，来证明两条直线平行.例1如图1所示，点P 是双曲线y =k 1x上的一动点（x <0，k 1<0），过点P 作y 轴和x轴的垂线，分别交y 轴和x 轴于B 、A 两点，且和双曲线y =k 2x交于F 、E 两点（0<k 1<k 2）.（1）图1中的四边形FOEP 的面积S 1为？（用k 1、k 2表达）（2）图2中，设P 点坐标为（-4,3），求证EF 和AB 平行.图1图2解：（1）略；（2）由题可得E （-4，-k 24），F （k 23，3），∴PA =3，PE =3+k 24，PB =4，PF =4+k 23，∴PA PE =33+k 24=1212+k 2，PB PF =44+k 23=1212+k 2，∴PA PE =PB PF ，又∵∠BPA =∠FPE ，∴△BPA ∽△FPE ，∴∠BAP =∠FEP ，∴EF ∥AB .二、证明三角形全等解答与二次函数有关的全等三角形证明题，大多需要先设出未知数，如二次函数的解析式、点的坐标、角的度数等，并根据二次函数的解析式建立这些未知数之间的关系式，求得两个三角形的边长、内角的大小；再利用勾股定理以及全等三角形的判定定理进行解题.例2如图3所示，在直角坐标系中，正方形CBAO 的边长为2，O 为坐标原点，A 点落在x 轴的正半轴上，C 点落在y 轴的正半轴上.一条抛物线以D 点为顶点并且经过A 点，其中D 点为OC 的中点.（1）求此抛物线的解析式；（2）正方形CBAO 的对角线BO 和抛物线相交于E 点，并且FG 经过E 点且和x 轴垂直，并且交x 轴于F 点，交BC 于G 点.请证明EG 和OB 的长度关系；（3）点H 为抛物线上在正方形CBAO 中的任意一点，线段I J 过点H 和x 轴垂直，并且交x 轴于点I ，交BC 于点J ，点K 在y 轴的正半轴上，并且OH =OK ，求证△IHO ≌△CKJ.图3学思导引如何解答与二次函数有关的几何图形证明题江苏省如皋初级中学杨扬30数学篇解：（1）由题意可得，抛物线的解析式是y =ax 2+b ，把D 点的坐标（0,1）以及A 点的坐标（2,0）代入解析式，便可得出a =-14，b =1.∴抛物线解析式为y =-14x 2+1（2）首先设E 点的坐标为（m ,m ）（0<m <2），因为E 点在正方形CBAO 的对角线BO 上，同时也在抛物线上，由此可得m =-14m 2+1.∴m 1=22-2，m 2=-22-2（舍去）.∴EO =2m =4-22，∴EG =GF -EF =2-m =2-22+2=4-22.∴OE =EG .（3）设点H 的坐标为(p ,q )(0<p <2,0<q <1).∵点H 在抛物线y =-14x 2+1上，∴p 2=4-4q ，∵OH 2=OI 2+HI 2=p 2+q 2=4-4q +q 2=(2-q )2，∴OH =2-q ，OK =OH =2-q ，∴CK =2-(2-q )=q =IH ，∵CJ =OI ，∠HIO =∠JCK =90°，∴△IHO ≌△CKJ .三、证明特殊四边形解答与二次函数有关的特殊四边形证明题，需先根据二次函数的解析式求得四边形各个点的坐标，根据两点间的距离公式求得四边形的边长，并结合二次函数的图象确定各个点的位置；然后根据两直线平行的判定定理判定四边形的对边是否平行，若四边形的对边平行且相等，则该四边形为平行四边形；若该四边形的四条边相等，邻边互相垂直，且对角线互相垂直，则该四边形为正方形；若该四边形的四条边相等，对角线互相垂直，则该四边形为菱形.例3如图4，在直角坐标系xOy 中，点P 是函数y =14x 2在第一象限内的任意一点，A点坐标是（0，1），直线l 交y 轴于点B（0，-1）且和x 轴平行，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点C ，交直线l 于点Q ，连接QA 交x 轴于点H ，直线PH 交y 轴于R .（1）求证点H 是AQ 的中点；（2）求证四边形RQPA 是平行四边形；（3）证明平行四边形RQPA 是菱形.图4解：（1）已知A （0,1），B （0，-1），∴OA =OB ，又∵BQ 和x 轴平行，∴HQ =HA ，由此可得H 是AQ 的中点.（2）根据（1）可知AH =QH ，∠RHA =∠QHP ，∵PQ ∥AR ，∴∠HAR =∠HQP ，∴△HAR ≌△HQP ，∴AR =PQ ，∴四边形RQPA 是平行四边形.（3）设P 的坐标为（m ，14m 2），∵PQ 和y 轴平行，可得Q （m ，-1），PQ =1+14m 2,过P 作PG 垂直于y 轴，垂足为G ，在Rt△GPA 中，AP =AG 2+PG 2===14m 2+1=PQ .RQPA 是菱形.总之，解答与二次函数有关的几何图形证明题，需能够将所学的函数知识、平面几何知识等融会贯通起来，通过数形结合，将问题转化为几何图形的长度、角度问题，以及直线和图形的位置关系问题.学思导引31。
专题二次函数与几何图形
yA xB OCD 专题：二次函数与几何图形 一、二次函数与平行四边形1．已知抛物线c bx ax y ++=2)0(≠a 过点A （-3，0），B （1,0），C （0,3）三点 (1)求抛物线的解析式；(2) 若抛物线的顶点为P ，求∠PAC 正切值；(3)若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形， 求点M 的坐标.2．已知一次函数1y x =+的图像和二次函数2y x bx c =++的图像都经过A 、B 两点，且点A 在y 轴上，B 点的纵坐标为5. （1）求这个二次函数的解析式；（2）将此二次函数图像的顶点记作点P ，求△ABP 的面积； （3）已知点C 、D 在射线AB 上，且D 点的横坐标比C 点 的横坐标大2，点E 、F 在这个二次函数图像上，且CE 、 DF 与y 轴平行，当CF ∥ED 时，求C 点坐标.二、二次函数与相似三角形3.如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标； （2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．【2014徐汇区】12345-1-1-2123456xyO 图8xyOO NC MBA4.已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线21()2y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。
（1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；（2015杨浦区） （2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值； （3）在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称轴于点P ，使得∠DCP=∠CAD ，求点P 的坐标。
二次函数在几何图形中的应用
15 7 r r 1 1 设窗户的面积为 S，则 S＝ π r2＋2ry＝ π r2＋2r× ＝－3.5r2＋7.5r， 2 2 4
因为－3.5＜0，所以 S 有最大值。 －（7.5）2 7.5 当 r＝－ ≈1.07（m）时，S 最大值＝ ≈4.02（m2）。 2×（－3.5） 4×（－3.5） 即当半径约为 1.07m 时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为 4.02m2。 点拨：二次函数与几何图形相结合时，往往题目并未明确表示二次函数的关系式，二 次函数的关系式可能隐藏在几何图形中，这时我们需要根据题中所给的信息设出自变量和 函数，推导出函数关系式，再求出相应最值。 三、 二次函数与几何图形的实际应用 首先，能够根据几何图形的特点建立二次函数模型。其次，会利用二次函数解决与几 何图形相关的实际应用问题。建立三角形或四边形的面积与边长之间的二次函数关系时， 关键是找出三角形或四边形的高，用面积公式建立二次函数关系，当所给几何图形的边长 与高之间的关系不明显时，常常把几何图形分割成三角形或四边形，或利用等积式将问题 转化。 例题 3 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽度为 AB（单位：米），现以 AB 所在
二次函数在几何图形中的应用 一、 二次函数与三角形的综合应用 在三角形或一般四边形中，通常设一边为自变量，用自变量表示这条边上的高，则其 面积是这一边长的二次函数。 例题 1 如图所示，有一块直角三角形的铁板，要在其内部作一个长方形 ABCD，其中 ） B. 3m C. 2m D. 5 m 2
AB 和 BC 分别在两直角边上， 设 AB＝x m， 长方形的面积为 y m2， 要使长方形的面积最大， 其边长 x 应为（ A. 4m
料总长（图中所有黑线的长度和）为 15m．当半圆的半径等于多少时，窗户通过的光线最 多？（结果精确到 0.01m）此时，窗户的面积是多少？（精确到 0.01m2）
二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函 数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几 何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的 最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面 积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数 的变量，然后根据二次函数的性质， 找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量 ，利用二次函数的性质求圆的最大面 积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量 ，然后根据二次函数的性质，找到使 面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三 角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时 对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现 在二次函数最值处，可以通过求导数 或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面 积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值 。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表 示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积 可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
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2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
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2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
二次函数与几何图形综合题解题技巧
二次函数与几何图形综合题解题技巧一、求二次函数解析式。
根据y=mx+b，把一元二次方程mx+b=0化为ax+by+c=0的系数a=b，然后通过解方程得出y=mx+b的值，由于不知道b、 a的具体值，可以通过函数与几何图形的综合分析来得到它们的大致范围。
例如，已知点（ 1， 1），（ 3， -3），直线（ x， -3），（ 4， 2）;在(-3， 4)、(-1， 1)处画出一个坐标平面内关于坐标轴对称的二次函数解析式;（ 5， 2）处画出一个关于坐标轴对称的抛物线，使其解析式为y=x+b。
求这些二次函数的表达式。
1。
设二次函数解析式为y=mx+b。
分析：二次函数与一元二次方程有密切联系，解一元二次方程是解二次函数的基础。
设一元二次方程为x+b=0，则根据对称性可得，函数解析式为x+b=mx+c。
2。
设二次函数解析式为y=ax+by+c。
分析： a、 b、 c都是实数，且a>0，b>0。
设函数解析式为x+b=ax+by+c，代入上式可得， y=x+b/c=mx+c/c。
求出二次函数的解析式，即可求出a、 b、 c的值。
3。
设二次函数解析式为y=ax+by+c。
分析：根据对称性，可得y=bx+c， a、 b、c均为实数，且a>0， b>0。
设函数解析式为x+b=bx+c，代入上式可得， y=x+b/c=mx+c/c。
4。
设二次函数解析式为y=ax+by+c。
分析：解方程得y=mx+c，由对称性，得x+c=y+b，代入上式，可得， y=x+b/c。
二、用几何图形解题。
二、用几何图形解题，最好能画出这些图形的图像，再列式解答。
因为几何图形看似复杂，但并不难，常见的如圆的周长、扇形面积、矩形的面积等等。
以下是应用这两种方法解二次函数综合题的例子，供同学们参考： 1。
求出二次函数的解析式，画出抛物线y=mx+b。
分析：首先将点（ 1， 1），（ 3， -3），直线（ x， -3），（ 4， 2） ;在(-3， 4)、(-1， 1)处画出一个坐标平面内关于坐标轴对称的二次函数解析式；再设函数解析式为x+b=mx+c，代入上式得y=mx+c/c。
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学生姓名：年级: 辅导
老
师：上课日期：上课时间：教学主管：
二次函数与线段
二次函数与几何图形
【2018年河南】23．（11分）（2017•河南）如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），
与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
二次函数与三角形一、面积问题
等腰三角形
直角三角形
平行四边形
【河南2017】（11分）如图，抛物线y =ax 2+6x +c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y =x -5经过点B ，C ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ． ①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；
y
x
O C
B A。