算法分析考试题

算法分析考试题1. )(n T给定数组a[0:n-1],试设计一个算法,在最坏情况下用n+[logn]-2次比较找出a[0:n-1] 中的元素的最大值和次大值. (算法分析与设计习题2.16 ) （分治法）a、算法思想用分治法求最大值和次大值首先将问题划分，即将划分成长度相等的两个序列，递归求出左边的最大值次大值，再求出右边的的最大值次大值，比较左右两边，最后得出问题的解。

b、复杂度分析：把问题划分为左右两种的情况，需要分别递归求解，时间复杂度可如下计算：有递推公式为：T(n)=1 n=1T(n)= 2T(n/2)+1 n>1所以，分治算法的时间复杂度是n+[logn]-2，当n为奇数时，logn取上线，当n为偶数时，logn 取下线。

//不知道为什么会-2！C、代码实现：#include <stdio.h>int a[100];void maxcmax(int i,int j,int &max,int &cmax){int lmax,lcmax,rmax,rcmax; int mid;if (i==j){m ax=a[i];c max=a[i];}else if (i==j-1)i f (a[i]<a[j]){max=a[j];cmax=a[i];}e lse{max=a[i];cmax=a[j];}else{m id=(i+j)/2;m axcmax(i,mid,lmax,lcmax);m axcmax(mid+1,j,rmax,rcmax);i f(lmax>rmax)if(lcmax>rmax){max=lmax;cmax=lcmax;}else{max=lmax;cmax=rmax;}e lseif(rcmax>lmax){if(rmax==rcmax){max=rmax;cmax=lmax;}else{max=rmax;cmax=rcmax;}}else{max=rmax;cmax=lmax;}}}int main(){int n;int max,cmax;printf("输入数组长度"); scanf("%d",&n);printf("输入数组:\n"); for(int i=0;i<n;i++) {scanf("%d",&a[i]);}maxcmax(0,n-1,max,cmax);printf("最大数为%d\n",max);printf("次大数为%d\n",cmax);return 0;}C、运行结果为2.求数列的最大子段和(要求时间复杂为nlogn) (算法设计与分析吕国英清华大学出版社135页4..3.3 二分法变异) （分治法）（也可用动态规划算法参看递归王晓东计算机算法设计与分析第三版p61页）a、基本思想：用分治法求最大子段和首先将问题划分，即将一直序列划分成长度相等的两个序列，这时会出现3种情况，即①最大子段和在第一个序列，②最大子段和在第二个序列和③最大子段和在第一个序列与第二个序列之间。

然后，将3种情况的最大子段和合并，取三者之中的最大值为问题的解。

b、复杂度分析：对应划分得到的情况①和②，需要分别递归求解，对应情况③，两个并列的for循环的时间复杂度是O(n)，所以有递推公式为：T(n)=1 n=1T(n)= 2T(n/2)+n-1 n>1所以，分治算法的时间复杂度是O(nlogn)c、代码实现#include<iostream.h>#define m 10int MaxSubSum(int a[],int left,int right){int sum=0;if(left==right) sum=a[left]>0?a[left]:0;else{i nt i=(left+right)/2;i nt max1=MaxSubSum(a,left,i);i nt max2=MaxSubSum(a,i+1,right);i nt sum1=0,sum2=0;f or(int j=i;j>=left;j--) {sum1=sum1+a[j];if(sum1>sum2)sum2=sum1;}i nt sum3=0,sum4=0;f or(j=i+1;j<=right;j++) {sum3=sum3+a[j];if(sum3>sum4)sum4=sum3;}s um=sum2+sum4;i f(sum<max1)sum=max1;i f(sum<max2)sum=max2;r eturn sum;}void main(){int a[m],d;cout<<"请输入元素个数"<<endl;cin>>d;cout<<"请输入元素"<<endl;for(int i=0;i<d;i++)c in>>a[i];cout<<"最大子段和为:"<<MaxSubSum(a,0,d-1)<<endl;}运行结果为：3.设X[0：n-1] 和Y[0：n-1]为两个数组，每个数组中含有n个已排好序的数。

试设计一个O时间算法，找出X和Y的2n个数的中位(log n)数。

(分治法)a、基本思想：解决问题的核心：找出将大问题分割成较小规模的相同问题的切割点，并递归定义大问题与子问题之间的关系。

确定切割点：对于两个数组，我们可以从他们中分别选取出一个中位数，称为x,y，并将两个数组的左右边界称之为aLeft,aRight,bLeft,bRight。

对比两个中位数，如果X数组中的中位数大于Y数组中的中位数，且X数组中的元素个数为偶数个，则X数组被切割为X[aLeft,x-1]，Y被切割为Y[y,bRight]，如果X数组的元素个数不为偶数个的话，则直接将X切割为X[aLeft,x]。

如果X数组的中位数小于Y数组的中位数，取值情况刚好相反。

递归关系：根据上面所述，对于原问题X[aLeft , aRight], Y[bLeft, bRight]。

假设切割后的子问题为X[aLeft, x-1],Y[y,bRight]。

则求解X[aLeft , aRight], Y[bLeft, bRight]问题的中位数，归结于求解子问题X[aLeft, x-1],Y[y,bRight]的中位数。

递归结束条件：当切割后得到的子问题的两个数组的长度都为1位时，整个递归结束。

b、复杂度分析：因为数组比较的范围每次缩小一半，所以有递推公式为：T(n)=1 n=1T(n)= T(n/2)+1 n>1易算出时间复杂度为)O(log nc、代码实现#include<iostream>using namespace::std;#define d 10int median(int x[],int y[],int xLeft,int xRight,int yLeft,int yRight){if(xLeft==xRight){return (x[xLeft]+y[yLeft])/2;}int xm=(xLeft+xRight)/2;int ym=(yLeft+yRight)/2;if((xLeft+xRight)%2==0){//为奇数if(x[xm]<y[ym]){median(x,y,xm,xRight,yLeft,ym);}else{median(x,y,xLeft,xm,ym,yRight);}}else{//为偶数if(x[xm]<y[ym]){median(x,y,xm+1,xRight,yLeft,ym);}else{median(x,y,xLeft,xm,ym+1,yRight);}}}int main(){int m;int a[d],b[d];cout<<"Enter dimension m:"<<endl; cin>>m;cout<<"Enter array a:"<<endl;for(int i=0;i<m;i++)cin>>a[i];cout<<"Enter array b:"<<endl;for(int j=0;j<m;j++)cin>>b[j];int mid=median(a,b,0,m-1,0,m-1); cout<<"The median is:"<<mid<<endl; return 0;}运行结果为：4.设计一个O(n*n)时间的算法,找出由n个数组成的序列最长单调递增子序列. P87页(参考P56页) （动态规划算法）a、算法思路：序列X按非递减顺序排列，形成新序列Y，问题就转变成求解X和Y的LCS。

b、时间复杂度：使用快速排序，则排序过程的时间复杂度为O （nlgn），而求两个序列的LCS的时间复杂度为O（n^2）（因为X、Y长度相等），综合可知该解法的时间复杂度为O（n^2）。

c、代码实现#include<iostream.h>#define m 10//快速排序void QuickSort(int R[],int s,int t){int i=s,j=t;int tmp;if(s<t){t mp=R[s];while(i!=j){w hile(j>i&&R[j]>=tmp)j--;R[i]=R[j];w hile(i<j&&R[i]<=tmp)i++;R[j]=R[i];}R[i]=tmp;QuickSort(R,s,i-1);QuickSort(R,i+1,t);}}//找出最长公共子序列void LCSLength(int x[],int y[],int n,int c[m][m],int b[m][m]){int i,j;for(i=0;i<n;i++)c[0][i]=0;c[i][0]=0;}for(i=0;i<n;i++)f or(j=0;j<n;j++){if(x[i]==y[j]){c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;b[i][j]=1;}else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]) {c[i][j]=c[i-1][j];b[i][j]=2;}else{c[i][j]=c[i][j-1];b[i][j]=3;}}void LCS(int i,int j,int *x,int b[m][m]) {if(i<0||j<0)r eturn;if(b[i][j]==1){L CS(i-1,j-1,x,b);c out<<x[i]<<" ";}else if(b[i][j]==2)L CS(i-1,j,x,b);elseL CS(i,j-1,x,b);}void main(){int x[m],y[m],d;cout<<"请输入元素个数"<<endl; cin>>d;cout<<"请输入元素"<<endl;for(int i=0;i<d;i++){c in>>x[i];y[i]=x[i];}int c[m][m]={0},b[m][m]={0};QuickSort(x,0,d-1);LCSLength(x,y,d,c,b);cout<<"最长单调递增子序列为："<<endl; LCS(d-1,d-1,x,b);}结果为：7.礼物分配问题. 两兄弟Alan 和Bob, 共同分配n 个礼物. 每个礼物只能分给其中的一个人,且不能分成两个.每个礼物i 的价值为vi, 为正整数.设 a 和 b 分别表示Alan 和 Bob 所收到的礼物的总价值, V=b a Vn i i +=∑=1, 为所有礼物的总价值. 为使两兄弟高兴,我们希望尽可能地均分这些礼物, 即 |a-b| 打到最小试设计-O(n*V)时间的动态规划算法,使得|a-b| 达到最小, 并求出礼物的分割集合（P77页）(动态规划算法)8.（4.7）多处最优服务问题 P131页 (贪婪算法) (与十人打水的问题一样)a 、算法思想：贪心策略如下：首先对所有服务先按服务时间从小到大进行排序，然后按照排序结果，选出最小的服务站点时间，依次安排服务。