北师大版初中数学九年级上册《黄金分割》 优质课导学案_0

黄金分割

教材分析：

“黄金分割”是北师大版数学八年级下第四章第二节的内容，学习黄金分割不仅仅是实现比例线段学习的要求，更是体现了数学的文化价值，体现黄金分割是数学与建筑学、艺术等学科的纽带，让学生认识到数学不是孤立的、枯燥的数学，而是文化的一部分，同时数学也促进了文化的发展.黄金分割美学价值和实用价值方面有着重要的地位，本节课主要围绕这两方面进行设计，通过创设丰富的现实情境，让学生直观感受到黄金分割的美学价值的同时展现了知识的发生、发展过程。

学情分析

学生学过了线段的比和成比例的线段，已经有了坚实的基础，本节课教学难点的突破对学生来说并不很困难。教学中要充分利用黄金分割与生活的紧密联系，体会黄金分割的黄金价值。

教学目标：

知识目标： 1.使学生了解黄金分割的定义。

2.会作一条线段的黄金分割点。

3.熟悉黄金分割的广泛应用。

情感目标：从美丽的几何图案五角星入手，以身边的书本为着手点，让学生感到事物的美，那么美从何而来，通过本节课的直观教学，学生从中能感悟到一些，那

就是来源于生活中的0.618(黄金比)。

教学重点： 1.了解黄金分割的定义。

2.会运用它进行分析，解释一些现象。

教学难点：精确地找到一条线段的黄金分割点。

设计思路：（分三个层次）

第一层次：从国旗的五角星入手，研究黄金分割的定义。

第二层次：观察生活中有关黄金分割的图片，使学生对它产生兴趣，让学生感悟到凡是符合黄金分割的总是美的。并应用于实际问题中。

第三层次：通过学生的实际动手，探索线段上黄金分割点的做法

教学过程：

一创设教学情境：

黄金分割教学实录

师：同学们，首先请大家欣赏几组图片，请大家找到你认为身材最美的几组。（展示图片）虽然每一个卡通人物，我们都觉的很可爱，但从身材比例上来考虑，我们觉得还是这几组很美，很协调，请同学们考虑这是为什么？其实，这其中的道理我们可以从数学角度、用数学的道理去解释。我们再看几组图片，是不是觉得很赏心悦目？在我们身边还有许多常见的图形中也体现出了和谐的美，比如我们常见的国旗上的五角星。看起来就很美，但是不是只要是五角星就美的呢？（看课件）我们发现不是所有的五角星都体现了和谐的美，而是和五角星中每一条边上的点所分成的线段的比值有关，当比值为0.618时的五角星才是最完美，此时线段上的两个分点就显得尤为重要了，象黄金一样珍贵，而此时图形显现出来的美则是除了对称美以外的又一种美——黄金分割美，这节课我们就来研究这个数学问题！。（板书课题）

二、讲解新课：

五角星中到底有什么奥秘，让我们动手进行测量：

1、 请你测量五角星上C 点到A 、B 点的距离。

(2)请你再计算一下AB AC 和AC

BC 的值分别是多少? 它们相等吗？

(3)结合图形观察比例式AB AC ＝AC

BC 有什么特点？你发现了什么？ （通过学生亲自动手操作、计算，最终发现了AB AC ＝AC

BC ，即部分与部分之比等于部分与

整体之比，符合毕达哥拉斯的审美观点，很自然地就引出了黄金分割的概念.）

师：我们规定：一个点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC ：AB=BC ：AC ，则称

线段AB 被C 黄金分割，这个点C 叫做线段AB 的黄金分割点，这个比叫黄金比 师：大家想一想，除了AB

AC ＝AC BC ，还有什么形式也可表示线段 AB 被点 C 黄金分割？

生：AC ：BC=AB ：AC ， AC 2=AB ·BC

师：如果我们令AB=1设较长的线段AC=X 则BC=（1-X ），由 AC 2=AB ·BC 我们就可以

得到方程X 2=1·（1-X ）即X 2-X+1=0 等到以后我们学完一元二次方程就可以得到方程的解为X==215- 即AC= =215- 也就是AC ：AB= 215-:1＝2

15- =0.618 2、想一想：

（1）线段AB 有没有除点C 以外的黄金分割点呢？ A D C B

（2）点D 应满足怎样的条件？

（3）在五角星中点D 是线段AB 的黄金分割点吗？

（4）你还发现了什么？

（想一想设置的这四个问题是有层次性的，问题1的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；

问题2进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题3、4的结论很容易得出，这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.）

AC的值叫做黄金比

师：我们把

AB

为什么起这个名字呢？数学史上是这样记载的：黄金分割，当然不是指怎样分黄金，这是一个比喻的说法，就是说分割的比例像黄金一样珍贵，如果符合这一比例的话，就会显得更美，更好看，更协调。

这种黄金分割美在生活中几乎无处不在！学习了黄金分割的定义，我们就不难解释我们前面提出的问题了。（课件再现前面出现过的芭蕾舞演员的图片，并对前面提出的问题加以解释）（出示四组照片，找到小鹿位置最合适的一张，解释其中的道理。在摄影中我们常用黄金分割来照出完美的照片。）

师：除了上述这些图片以外，很多矩形中也存在黄金比，如我们的教科书就是这样的矩形，请同学们测量一下数学书的宽和长，再算一下宽与长的比？

学生：学生测量、计算、说出结果。（结果接近0.618）

师：这就是由黄金分割演变而来的黄金矩形

黄金矩形是一个宽和长的比有特殊比例的矩形，即宽与长的比为黄金比（0.618）

我们再看美术史上的神话——蒙娜丽莎，就是因为它拥有无处不在的黄金矩形！还有巴台农神庙中也多处体现出黄金矩形。

再说我们的国旗为什么美得无可挑剔？就是因为，它也是一个黄金矩形

师：既然黄金分割如此的美，我们必须学会精确地做出一条线段的黄金分割点。

如果我们假设线段AB＝2，那么较长线段长呢？（用无理数表示）.

5 .

生：1

师：你能作出长度5的线段吗？

生：直角边为2和1的Rt△，根据勾股定理得斜边就是5

师：长度5-1的线段会做吗？

生：会，只要截去长度为1的线段就行了.

师：让我们根据刚才讨论的结果动手做一做.

（在老师的引导下，师生共同操作）

总结黄金分割点的画法

（1）经过点B作BD⊥AB,使BD=AB/2。

（2）连接AD,在AD上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.

三：知识梳理，形成系统：

师：今天的学习你有什么收获？谁能总结一下，这节课我们应该掌握些什么内容？