正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

正比例函数、一次函数和反比例函数知识点归纳

正比例函数：

解析式：y=kx(k为常数，k≠0) ,k叫做函数的比例系数;(注意：x的指数为1) 图像：过原点的直线;

必过点：（0,0）和（1，k）；

走向：k>o,图像过一三象限，k<0,图像过二四象限；

y

x

倾斜度：|k|越大，倾斜度越大，也就是越靠近y轴，|k|越小，倾斜度越小，也就是越靠近x

x

增减性:k>0,y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；

一次函数：

解析式：y=kx+b(k，b为常数，k≠0)，k叫做函数的比例系数,(注意：x的指数为1,b为直

线与y轴交点的纵坐标) ；

正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0时的一种情况；

图像：一条直线；

必过点：（0，b）（-b/k，0）；

走向：k>o，b>0,图像过一二三象限，k>0,b<0,图像过一三四象限；

y

k0,图像过一二四象限 k0,图像过二三四象限

x

倾斜度：|k|越小，倾斜度越小，也就是越靠

近x轴；如图：

x

增减性:k>0,y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小；

平移：y=kx+b,向上平移m个单位：y=kx+b+m;向下平移n个单位：y=kx+b-n;

向左平移m个单位：y=k(x+m)+b;向右平移n个单位：y=k(x-n)+b;

简称：上加下减，左加右减；（注：上加下减到代数式后面，左加右减到x后面，直接与x 进行加减，与系数和指数都没关系）；

反比例函数：

解析式：y=k/x(k为常数，k≠0)

图像：双曲线（图像无限靠近坐标轴，但永不相交。）

所在象限：k>0图像经过一三象限；k<0图像经过二四象限。

k

x

增减性：k>0,y随x的增大而减小；k<0,y随x的增大而增大；

反比例函数知识点归纳

一、基础知识

（一）反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．

（二）反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）．

（三）反比例函数及其图象的性质

1．函数解析式：（）

2．自变量的取值围：

3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．

当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．

图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y

轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

图1 图2 5．说明：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．

（2）直线与双曲线的关系：

当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．

（3）反比例函数与一次函数的联系．

（四）实际问题与反比例函数

1．求函数解析式的方法：

（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．

2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．