导数的任意性及存在性问题

恒成立问题及存在性问题 2015.02.09 知识方法总结：

恒成立问题及存在性问题重要结论：

（1）对于任意的1[,]∈x a b ，总存在2[,]∈x m n ，使得121max 2max ()()()()≤⇔≤f x g x f x g x ； （2）对于任意的1[,]∈x a b ，总存在2[,]∈x m n ，使得121min 2min ()()()()≥⇔≥f x g x f x g x ； （3）若存在1[,]∈x a b ，对任意的2[,]∈x m n ，使得121min 2min ()()()()≤⇔≤f x g x f x g x ； （4）若存在1[,]∈x a b ，对任意的2[,]∈x m n ，使得121max 2max ()()()()≥⇔≥f x g x f x g x ； （5）对于任意的1[,]∈x a b ， 2[,]∈x m n ，使得121max 2min ()()()()≤⇔≤f x g x f x g x ； （6）对于任意的1[,]∈x a b ， 2[,]∈x m n ，使得121min 2max ()()()()≥⇔≥f x g x f x g x ； （7）若存在1[,]∈x a b ，总存在2[,]∈x m n ，使得121min 2max ()()()()≤⇔≤f x g x f x g x ； （8）若存在1[,]∈x a b ，总存在2[,]∈x m n ，使得121max 2min ()()()()≥⇔≥f x g x f x g x ；

1. [2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝1

2

(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，

f (x －1)≤ f (x )，则实数a 的取值范围为( )

A.⎣⎡⎦⎤－16，16

B.⎣⎡⎦⎤－66，66

C.⎣⎡⎦⎤

－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－33，33

2. [2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数

φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：

①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；

③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；

④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x

x 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有 ．(写出所有真命题的序号)

3. （2013年高考四川卷（理））设函数()f x =a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在

00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )

(A)[1,]e (B)1[,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1[-1,1]e e -+ 4.

已知函数].1,0[,27

4)(2∈--=

x x

x x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；

（Ⅱ）设1≥a ，函数32

()32,[0,1].g x x a x a x =--∈若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得)

()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.

5、 已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x =

-++ , 27

()28

g x x bx =-+. （Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）当1a <时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）当1

4

a =时，函数()f x 在(0,2]上的最大值为M ，若存在[1,2]x ∈，使得()g x M ≥成立，求实数

b 的取值范围.

6、已知函数2

()4ln(1)f x ax x =--，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）已知点(1,1)P 和函数()f x 图象上动点(,())M m f m ，对任意[2,e 1]m ∈+，直线PM 倾斜角都是钝角，

求a 的取值范围.

7、 [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.

(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2

8.已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).a

g x a x

+=-

∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； (Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.

9.已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+

-()a R ∈. （Ⅰ）当1

2

a ≤时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2

()2 4.g x x bx =-+当1

4

a =

时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.