第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
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第二学期期末高数(下)考试试卷及答案1
一、 填空题(每空 3 分,共 15 分)
1.设()=⎰2
2
t x
F
x e dt ,则()F x '=-2
2x xe
.
2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫
⎪⎝⎭
1442ππ处
的切平面方程是--+=210x y z .
3.交换累次积分的次序:
()(),,-+⎰⎰⎰⎰12330010
x
dy f x y dx dy f x y dx
=
(),-⎰⎰2302
x
x
dx f x y dy
.
4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则:
使得格林公式:
⎛⎫
∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭
⎰⎰⎰D L Q P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是:
()(),,和在D上具有一阶连续偏导数
P x y Q x y .
其中L 是D 的取正向曲线;
5.级数
∞
=-∑
1n
n 的收敛域是
(]
,-33.
二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1.当→0x ,→0y 时,函数
+242
3x y
x y 的极限是
()D
A.等于0;
B. 等于1
3;
C. 等于1
4
; D. 不存在.
2.函数(),=z
f x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ,
(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()C
A.充分必要条件;
B.充分但非必要条件;
C.必要但非充分条件;
D. 既非充分又非必要条件. 3.设()cos sin =+x z
e y x y ,则==10
x y dz
()=B
A.e ;
B. ()+e dx dy ;
C.
()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .
4.若级数
()
∞
=-∑1
1n
n n a x 在=-1x 处收敛,
则此级数在=2x
处()A
A.绝对收敛;
B.条件收敛;
C.发散;
D.收敛性不确定. 5.微分方程
()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()D
A. 3x ae ;
B. ()+3x ax b e ;
C.
()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .
三.(8分)设一平面通过点
(),,-312,而且通过
直线
-+==43521
x y z
,求该平面方程. 解:
()(),,,,,--312430A B
(),,∴=-142AB 平行该平面
∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为:()()()----+=83912220x y z
即:---=8922590x
y z
四.(8分)设(
),=y
z f xy e
,其中
(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z
x
和
∂∂∂2z
x y
.
解:令=u
xy ,=y v e
∂=∂u z
yf x ()()
∂∂
==++∂∂∂2y u u uu uv
z yf f y xf e f x y y
五.(8
分)计算对弧长的曲线积分
⎰L
其中L 是圆周+=2
22x
y R 与直线,==00x y
在第一象限所围区域的边界. 解:=
++123L L L L
其中: 1L :(),+=≥≥22200x y R x y 2L :()=≤≤00x y R
3L : ()=≤≤00y x R
∴===⎰⎰⎰⎰1
2
3
L
L L L
而
Re ==
⎰⎰1
202
R R L e Rdt π
π
==-⎰⎰2
01R
y R L e dy e
==-⎰⎰3
01R
x R L e dx e
故:
()
Re =
+-⎰21
2
R R L
e π
六、(8分)计算对面积的曲面积分∑⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭⎰⎰423z x y dS ,
其中∑为平面
++=1234
x y z
在第一卦限中的部分. 解:
xy D :≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩02
3032
x y x
=
3
∑⎛
⎫
∴++
== ⎪⎝
⎭⎰⎰⎰⎰42433xy
D
z x y dS dxdy
-==⎰⎰3
2
3200
x dx
七.(8分)将函数()=++2
1
43
f x x x ,展开成x 的幂级数.
解:()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪
+++⎝⎭+1111111
21321613
f x x
x x x , 而
()∞=⋅=-+∑0
1111212n n n x x , (),-11
()∞
=-⋅=+∑0111
63
13
n
n n n x x , (),-33 ()()∞
+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10
111123n
n
n n f x x , (),-11
八.(8分)求微分方程:
()()
+-+-+=4
2322253330x
xy y dx x y xy y dy 的通解.
解:
∂∂==-∂∂263P Q
xy y y x
, ∴原方程为: