§4.3 两立体相交求相贯线
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相贯线的特殊情况两曲面立体相交
二、相贯线的主要性质
★ 表面性 相贯线位于两立体的表面上，是两个立体的表面分界线。 ★ 封闭性 相贯线一般是封空间曲线，有时则为平面曲线。
★ 共有性 相贯线是两立体表面的共有线。 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的
投影。
三、相贯线的特殊情况
两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线，但 特殊情况下可能是平面曲线或直线。
1、两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直 轴线的圆，该圆的正面投影为一直线段，水平面投影 为圆的实形。
2、两回转体轴线相交且公切于一圆球时，相贯线是椭圆， 该椭圆的正面投影为一直线段，水平面投影为类似形 （圆或椭圆）。
3、两圆柱轴线平行或两圆锥共顶相贯时，相贯线是直线。
四、相贯线的画法—辅助平面法
例：求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。
解题步骤
1' 4' 3' 5' 2'
y
1"
P1 P2 P3
2"
y
4" 3" 5"
1 分析 2 求特殊点 3 求一般点 4 光滑且顺 次地连接各 点，并且判 别可见性； 5 整理轮廓 线
2 5 3
1 4
y
y
五 相贯线的近似画法:
如对相贯线的准确性无特殊要求，当两圆柱正交且有一定 直径差时，可采用圆弧代替相贯线的近似画法。用大圆柱 的半径作圆弧来代替。
第四节 相贯线
一 、相贯线的基本知识
1、 两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯 线。
2、相贯的形式
平面体与回转体相贯
回转体与回转体相贯
多体相贯
3、立体表面相贯有三种形式,一种是立体的外表 面相贯;一种是外表面与内表面相贯;一种是内表 面与内表面相贯。
第四章 相贯线
相贯线
相交
辅助平面
交点
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辅助平面与立体B的截交线
2 辅助平面法
工程图学与计算机绘图
K N M 1、辅助平面法的实质
求辅助平面分别截两立体所得截交线的交点
2、辅助平面的选取原则
使辅助平面分别截两立体所得截交线的形状 最简单（非直线即圆）
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5 多体相贯-求相贯线
工程图学与计算机绘图
●
● ● ●
● ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
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例：补全水平投影。
5 多体相贯-求相贯线
工程图学与计算机绘图
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例：补全正面投影。
工程图学与计算机绘图
作 业
4-6 4-11 4-12 4-13 4-14 4-15
空间分析： 四棱柱的四个棱面分别与 投影分析：
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工程图学与计算机绘图
4.2 平面立体与曲面立体相交
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工程图学与计算机绘图
4.2 曲面立体相交
1. 利用积聚性法
2. 辅助平面法
3. 影响相贯线形状的因素 4. 相贯线的特殊情况
5. 多体相贯
2. 辅助平面法
3. 影响相贯线形状的因素 4. 相贯线的特殊情况
5. 多体相贯
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3 影响相贯线形状的因素-两立体形状
工程图学与计算机绘图
立体几何之两平面立体相交
6
平面立体相贯
例：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
3”(4”) 5”
(6”)
1”(2”)
解题步骤： 1、分析两立体的空间关系， 根据积聚性，确定相贯线 的已知投影。 2、求相贯线上的贯穿点。 3、先判断可见性，依次连 接贯穿点。 4、补全棱线
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7
平面立体相贯
例：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
3”(4”) 5”
(6”)
1”(2”)
解题步骤： 1、分析两立体的空间关系， 根据积聚性，确定相贯线 的已知投影。 2、求相贯线上的贯穿点。 3、先判断可见性，依次连 接贯穿点。 4、补全棱线
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8
例9－1： 两个三棱柱相贯，补全其正面投影。
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9
空间分析:
两平面立体相交，交 线为封闭的空间折线。
两平面立体相交
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1
相贯及相贯线的概念
相贯：两平面立体相交
相贯线：两平面立
体表面的相交线
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2
平面立体相贯种类及相贯线的特点
➢相贯种类： 全贯 互贯 ➢相贯线的特点
也可为平面折线
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一般为封闭的空折线
3
相贯线 的特性及求法 可见
相贯点：相贯线上折线的端点 －－－贯穿点
’)
(41’)4’
11
(41) 31
1
3
2 (4)
解题方法
11” 1” (31”)
2” (3”)
41”
4”
解题步骤： 1、分析两立体的
空间关系，确定相
求2面、从面已交知线投贯影线出的发已，知确投定影相。贯
第4章 截交线与相贯线
截平面倾斜于轴线, 截平面通过锥顶， 且θ ＜φ，或平行 交线为通过锥顶 于轴线(θ =0°),交 的两条相交直线。 线为双曲线。
第4章 截交线和相贯线
4.2 回转体的截交线
上一页
下一页
求圆锥截交线的方法
1. 求特殊点；
2. 求一般位置的点；
3. 判断可见性；
4. 光滑连线。
求截交线上一般位置的点方法通常采用纬圆法： 在圆锥表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与 截平面的交点。
4.2 回转体的截交线
截平面倾斜于轴线， 交线为椭圆。
4.2.1 圆柱体的截交线
上一页
下一页
2. 求圆柱截交线上点的方法
表面取点法：在圆柱表面取若干条素线，并求出这些素 线与截平面的交点；当圆柱的轴线处于特殊位置时，可 利用圆的积聚性直接求得截交线上的点的投影。
4.2 回转体的截交线
4.2.1 圆柱体的截交线
a"
c" b"
3．求出一般点B ； 4．光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5．整理轮廓线。
A C
b
c
a
4.2 回转体的截交线
B
4.2.2 圆锥的截交线 上一页 下一页
4.2.3
圆球的截交线
任何位置的截平面截切 圆球时，截交线都是圆。当 截平面平行于某一投影面时， 截交线在该投影面上的投影 为圆，在另外两投影面上的 投影为直线；当截平面为投 影面垂直面时，截交线在该 面上的投影为直线，而另外 两投影为椭圆。
8
4
5．整理轮廓线。
6
Ⅵ Ⅳ
2
Ⅱ
1 7 3 5
Ⅷ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅶ Ⅲ
4.2 回转体的截交线
两立体表面相交
(a)Leabharlann (b)(c)(d)
图3.31 圆柱与圆锥正交的相贯线
（3）顺序连接各点并判别可见性
依次光滑连接各点的正面投影，由于相贯线前后对称，可见与不可见投影重合， 画一段粗实线，即得到相贯线的正面投影。如图3.25d所示。 2. 两正交圆柱相贯线的三种形式 如表3-4所示，圆柱相贯线有两外表面相贯、外表面与内表面相贯（垂直圆柱轴 线穿孔）、两内表面相贯三种形式。相贯线的形状和求作方法是完全相同的。
(a)
(b)
(c)
(d)
图3.26 正交两圆柱相贯线的弯曲趋向
4.相贯线的近似画法 两不等直径的圆柱体（或圆孔）轴线垂直相交，当两圆柱正交且直径相差较大 （直径之比>=1.5），并且对交线形状的准确度要求不高时，允许用大圆柱的半 径作圆弧来代替相贯线，或用直线代替非圆曲线。如图3.27所示。
(a) 用圆弧代替相贯线
(b) 用直线代替相贯线
图3.27 相贯线的近似画法（一）
在不致引起误解时，如图3.28a所示两圆柱偏交的相贯线，可用直线代替，如图3.28b所示。
(a)
(b)
图3.28 相贯线的近似画法（二）
3.29
也可采用模糊画法表示相贯线。如图3.29a所示的圆柱与圆锥相交的相贯线，可按如图 3.29b所示的形式画出。
图
相 贯 线 的 近 似 画 法 （ 三 ）
(a)
(b)
1.2利用辅助平面法求相贯线 当两相交回转体的投影都没有积聚性时，相贯线需要用辅助平面法求解。 1.辅助平面法的作图原理 辅助平面法主要是根据三点共面的原理。如图3.30所示，当圆柱与圆锥相交时， 为求得公有点，可假想用一个平面P（辅助平面）截切圆柱和圆锥。平面P与圆
图3.31 圆柱与圆锥正交的相贯线
（3）顺序连接各点并判别可见性
依次光滑连接各点的正面投影，由于相贯线前后对称，可见与不可见投影重合， 画一段粗实线，即得到相贯线的正面投影。如图3.25d所示。 2. 两正交圆柱相贯线的三种形式 如表3-4所示，圆柱相贯线有两外表面相贯、外表面与内表面相贯（垂直圆柱轴 线穿孔）、两内表面相贯三种形式。相贯线的形状和求作方法是完全相同的。
(a)
(b)
(c)
(d)
图3.26 正交两圆柱相贯线的弯曲趋向
4.相贯线的近似画法 两不等直径的圆柱体（或圆孔）轴线垂直相交，当两圆柱正交且直径相差较大 （直径之比>=1.5），并且对交线形状的准确度要求不高时，允许用大圆柱的半 径作圆弧来代替相贯线，或用直线代替非圆曲线。如图3.27所示。
(a) 用圆弧代替相贯线
(b) 用直线代替相贯线
图3.27 相贯线的近似画法（一）
在不致引起误解时，如图3.28a所示两圆柱偏交的相贯线，可用直线代替，如图3.28b所示。
(a)
(b)
图3.28 相贯线的近似画法（二）
3.29
也可采用模糊画法表示相贯线。如图3.29a所示的圆柱与圆锥相交的相贯线，可按如图 3.29b所示的形式画出。
图
相 贯 线 的 近 似 画 法 （ 三 ）
(a)
(b)
1.2利用辅助平面法求相贯线 当两相交回转体的投影都没有积聚性时，相贯线需要用辅助平面法求解。 1.辅助平面法的作图原理 辅助平面法主要是根据三点共面的原理。如图3.30所示，当圆柱与圆锥相交时， 为求得公有点，可假想用一个平面P（辅助平面）截切圆柱和圆锥。平面P与圆
相贯线
两轴线垂直相交 两轴线垂直交叉 全 贯 互 贯 两轴线平行
27
28
29
30
31
32
例2
求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 5' 1' 8' 3'
y
4' 6' 2' 7'
4"
5“(6 1“(2“) “) 8“(7“) 3“
4 5 1 8 3 7
33
6 2
y
例3：补全主视图 ：
确定交线 的范围 确定交线的 弯曲趋势
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
利用表面取点法求作相贯线
如果两回转体相交， 如果两回转体相交，其中 有一个是轴线垂直 轴线垂直于投影面 有一个是轴线垂直于投影面 圆柱， 的圆柱，则相贯线在该投影 面上的投影积聚在圆柱面上。 面上的投影积聚在圆柱面上。 利用回转体表面取点的方法 可以作出相贯线的其余投影。 可以作出相贯线的其余投影。 按已知曲面立体表面上点 的投影求其它投影的方法， 的投影求其它投影的方法， 称为表面取点法。 称为表面取点法。
41
两个回转体具有公共轴线时， 两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆
42
组合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。 三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时 相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理组合相贯线，关键在于分析， 处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
27
28
29
30
31
32
例2
求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 5' 1' 8' 3'
y
4' 6' 2' 7'
4"
5“(6 1“(2“) “) 8“(7“) 3“
4 5 1 8 3 7
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6 2
y
例3：补全主视图 ：
确定交线 的范围 确定交线的 弯曲趋势
10
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12
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14
15
16
17
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利用表面取点法求作相贯线
如果两回转体相交， 如果两回转体相交，其中 有一个是轴线垂直 轴线垂直于投影面 有一个是轴线垂直于投影面 圆柱， 的圆柱，则相贯线在该投影 面上的投影积聚在圆柱面上。 面上的投影积聚在圆柱面上。 利用回转体表面取点的方法 可以作出相贯线的其余投影。 可以作出相贯线的其余投影。 按已知曲面立体表面上点 的投影求其它投影的方法， 的投影求其它投影的方法， 称为表面取点法。 称为表面取点法。
41
两个回转体具有公共轴线时， 两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆
42
组合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。 三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时 相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理组合相贯线，关键在于分析， 处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。 体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
机械制图第四章 立体第四节 相贯线
三、 作图
当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
⑴ 找点 ☆ 先找特殊点 特殊点包括：最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、 轮廓线上的点等 ☆ 补充若干中间点 至少找一个或一对一般点 ⑵ 光滑连线 ⑶ 完整图形
特别注意检查回转体轮廓线的投影
（4'） 2' （6'）3'
5'
过锥顶 侧平面 4" （2"） 3"
6" 1" 5"
过锥顶 正平面
1'
作图步骤：
1.分析相贯线的形状和条数 2.选水平面、过锥顶正平面 和侧平面作辅助平面
6 1 5
4 2 3
3.求各点投影 4.光滑连线并判断可见性 5.完整轮廓线
找特殊点 ☆ 补充中间点
☆
三、相贯线的特殊形式：
9 1 7 3 11 6 5
10 2 8 4 12
9(10) 1 （2） 7 (8) 3 （4） 6 11 (12) 5
7 1 （3） (11) 9
8
（4） 2
(12) 10
例2、两圆柱互贯，求相贯线
（6）5
求圆锥与圆柱体的相贯线
求圆锥与圆柱体的相贯线
求圆锥与圆柱孔的相贯线
二、辅助平面法求相贯线 （通用方法）
1、同轴回转体，相贯线 为垂直于轴线的圆；
2、等直径两圆柱正交， 相贯线为两个椭圆；
3、轴线平行两圆柱相交， 相贯线为直线；
两圆柱正交时相贯线的弯曲趋势
z x o' x z o' x o'
x
o y
x
o y
x
o
y
相贯线的投影表现为一段弯曲的线，向着大圆柱的轴线鼓出来
第4章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交
图4-7 辅助平面法作图原理
例：求作如图所示部分球体与圆锥台的相贯线。
(1) 空间分析及投影分析：
部分球体为 1／4 球前后对称地切去两块而成，圆锥台的轴 线垂直于水平面但不通过球心，其相贯线为前后对称的封闭空 间曲线。因为球与锥台的各投影都没有积聚性 , 故需用辅助平 面法求作相贯线。
(2) 作图：
② 作一般位置点。 在点I、III的高度范围 内 , 选取水平面 R 为辅助平 面,平面R与球及圆锥台的截 交线分别是以r2、r3为半径 的圆弧, 它们的交点Ⅴ、Ⅵ 就是相贯线上的点。先求出 水 平 投 影 5 、 6, 然 后 找 到 5′、 6′和 5" 、 6", 如图 (d)所示。
③ 依次光滑连接各点的 投影, 并判别可见性, 完 成相贯线的投影。最后 注意，圆锥台左视轮廓 素线画到2"、4"两点， 球体左视轮廓素线上有 一段虚线, 如图 (e)所示。
① 辅助平面法的实质， 是求辅助平面分别截两立 体所得截交线的交点。
② 辅助平面位置选取的原则，是使辅助平面分别 截两立体所得截交线的形状最简单(直线和圆)，以便用 工具作图。
例：求轴线正交的水平圆柱与直立圆锥的相贯线。
解题步骤：
1'
4' 3'
1"
PV1 PV2
PV3
2" y y
4" PW1
PW2
g"(h")
c"
y
d e a g c h f b
y
2、利用辅助平面法求相贯线
作图原理 ：
如图，为了求作部分球 体与圆锥台相交的表面共有 点，假想用一平面P （称为 辅助平面）截切两立体。平 面P 与部分球体的截交线为 一个圆LA，平面P 与圆锥台 的截交线也为一个圆LB。 LA 与LB的交点K1和K2 即为辅助 平面P、球体和圆锥台三个表 面的共有点，因此也是相贯 线上的点。 这种利用三面共点的原 理求相贯线上的点的方法叫 做辅助平面法。
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共有性——相贯线是两立体表面的共有线，相关线上
的点是相贯两立体表面上的共有点。
作图实质：找两立体表面的若干共有点的投影。
相贯线的形状由两立体的形状和它们的相对位置所确 定。当一个立体全部贯穿另一个立体时，称为全贯，有两 组相贯线；但当一个立体全部穿进另一立体后，不穿出来 了，虽属全贯，便只有一组相贯线。当两个立体互相贯穿
空间分析： 具有同坡屋面屋顶的楼房。
同坡屋面屋顶立体图。
平脊 斜脊 屋面交线交点 屋檐多边形
斜沟
同坡屋面特点：
（1）坡屋面如前后檐口线平行
且等高时，前后坡面必相交成 水平的屋脊线，屋脊线的H投影， 必平行于檐口线的H 投影，且与檐口线等距。 （ 2 ）同坡屋面的正投影和侧面投影中斜脊线和斜沟线与 水平线的角度反映出同坡屋面和地面的坡度。 （3）三个相交的坡面的三条交线必交于一点。 作同坡屋面的投影图，可根据同坡屋面的投影特点， 直接求得水平投影，再根据各坡面与水平面的倾角求得 V 面投影以及W 面投影。
立体可见表面上的点才是可见的。
当立体表面的投影有积聚性时，则可利用投影的积聚 性求作相贯线。
[例题1] 两平面立体相贯,完成相贯线投影
1.相贯线为一组闭合折线，相贯线的正面 投影未知，水平投影已知；相贯线的投影 前后、左右对称; 2.求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ等;
2' 1' 3'
3.顺次地连接各点，作出相贯线，并且判 别可见性; 4.整理;
屋顶：平屋顶和坡屋顶。 为了排水需要，屋面均要有坡度，当坡度大于10％ 时称为坡屋面。如果同一屋面上各个坡面与水平面的 倾角α 相等，称为同坡屋面。
坡屋面的交线可以看成是平面立体被不同的截平
面切割后的截平面的截断线，也可以认为是两平面体 相贯的工程实例。 。
（a）立体图
（b）投影图
同坡屋面
α α
§4-3
两立体相交求相贯线
相贯体——两个相交的形体称为相贯体。
相贯线
相贯线 —— 两个相交的物体表面的交线。
两立体的相贯（两立体表面相交）
两平面立 体的相贯 平面立体 与曲面立 体相贯
两曲面立体相 贯
基本概念
两立体的相交叫相贯，其表面产生的交线叫相 贯线。
相贯线性质：
表面性——相贯线位于两立体的表面上。 封闭性——相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况 下，可以是平面曲线或直线段。
从平面图开始作图解题，补出俯视图和主视图:
30° 30° 30°
补出同坡屋面的左视图：
答案：
已知四坡屋面的倾角α=30°及檐口线的H 投影，求屋面交线的V/H投影。
首先作出平面图投影
30°
答案：
求小房与门斗及烟囱与屋面的表面交线。
空间分析： 1.在屋檐多边形平面上作辅助线。
W
V 2. 根据已知投影，求屋面交线交点
时，称为互贯，两立体互贯时，线在一般情况下是一条封闭线
由于两立体的相对位置不同，相交线可能由一个或几个 部分的交线组成。折线的各个顶点是一个平面立体的棱与 另一个平面立体的交点，折线的各段是两平面立体各侧面 的交线。
两平面立体求相贯线： （1）求相贯点； （2）连接相贯点，得相贯线（必须同时位于同一立体 的同一侧面才可以连接）； （3）判断可见性。 相贯线可见性的判别：只有同时位于两
平面立体与曲面立体的相贯线，一般是由若 干段平面曲线或直线所组成的空间封闭曲线。
求平面立体与曲面立体的相贯线，可归结为求平面 立体的表面与曲面立体的截交线，以及求平面立体的轮 廓线与曲面立体的贯穿点。 平面与曲面立体求相贯线： （1）求相贯点； （2）连接各点，得相贯线； （3）判断可见性。
E
A
D C
相贯线投影 a` b` d`(f`) e``(f``) a``(b``) c``(d``)
c`(e`)
e a c
f b d
D C
E
A
1. 相贯线为圆弧和双曲 线的组合 ; 相贯线的侧 面投影已知 , 可利用表 面取点法求共有点;
2. 求相贯线上的特殊点 Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ; 3.求一般点Ⅲ; 4. 光滑顺次连接各点 , 作相贯线 , 且判别可见 性; 5.整理;
如图a所示，求作三棱柱与圆锥的相 贯线，补全相贯体的三面投影。
［解］
①作出未求作相贯线时的相贯体 的侧面投影轮廓
②作相贯线的水平投影和侧面投 影 ③补全相贯体的水平投影
（完成作图） (a) 已知条件 (b) (c) 用纬圆法求解 用素线法求解
图2.189 作三棱柱与圆锥的相贯线，补全三面投影
三、同坡屋面
同坡屋面屋顶平面图的画法。
1. 檐线相交的两个屋平面的交线，必通过这两 檐线的交点，其水平投影，则是这两檐线水平投影
夹角的平分线。
2.檐线平行的两个屋平面的交线，必平行于这两
条檐线，其水平投影，则是这两檐线水平投影的等
距平行线。 3.通过两条屋面交线的已知交点，至少还有第三 条屋面交线，其投影也是如此。该交点称为同坡屋 面的顶点，也可简称顶点。
1
2 3
【例】如图a所示，求作两三棱柱的相贯线，并补全相贯 体的正面投影。
［解］
①补全棱线的正 面投影 ②作出诸棱线与 另一三棱柱的贯 穿点 ③连相贯线的正 面投影，并表明 可见性 ④补全相贯体的 正面投影
（完成作图） (b)解题分析 (c) (d) 作图过程和结果 清理图面后的投影图 (a)已知条件 图2.185 作两三棱柱的相贯线，并补全相贯体的正面投影
作图步骤： 1.求烟囱的交线；
2 . 求同坡屋面的交线
答案：即求平面立体与平面立体的交线。
第4章 总结
平面立体
曲面立体
表面取点
相切 相贯
［解］
①作未开孔时的 三棱锥的侧面投 影
②作前后两组孔 口线的水平投影 和侧面投影 ③画出孔壁交线 的投影，补全水 平投影和侧面投 影 （完成作图） (b)解题分析 (c) (d) 作图过程和结果 清理图面后的投影图 (a)已知条件 图2.187 补全具有三棱柱孔的三棱锥的投影
二、平面立体与曲面立体相交
【例】如图a所示，求作三棱柱与三棱锥的相贯线，并补 全相贯体的水平投影和侧面投影。
［解］
①作诸棱线的贯 穿点和两立体的 相贯线
②补全相贯体的 水平投影和侧面 投影 （完成作图）
(c) (d) 作图过程和结果 清理图面后的投影图 (a)已知条件
(b)解题分析
【例】如图a所示，三棱锥被前后穿通了一个正三棱柱形状 的贯通孔，求作孔口线的水平投影，补全这个具有三棱柱贯 通孔的三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影。