河南省2019届中考数学专题复习专题八二次函数综合题训练

专题八 二次函数综合题类型一 新定义问题(2017·河南)如图，直线y ＝－23x ＋c 与x 轴交于点A(3，0)，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝－43x 2＋bx ＋c 经过点A ，B.(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m ，0)为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N. ①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标；②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M ，P ，N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值．例1题图备用图【分析】 (1)把A 点坐标代入直线解析式可求得c ，则可求得B 点坐标，由点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)①由M 点坐标可表示点P ，N 的坐标，从而可表示出MA ，MP ，PN ，PB 的长，分∠NBP＝90°和∠BNP＝90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m 的方程，可求得m 的值；②用m 可表示出点M ，P ，N 的坐标，由题意可知有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点，可分别得到关于m 的方程，即可求得m 的值． 【自主解答】解：(1)∵y＝－23x ＋c 过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，∴0＝－2＋c ，解得c ＝2，∴B(0，2)．∵抛物线y ＝－43x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ，⎩⎪⎨⎪⎧－12＋3b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝103，c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－43x 2＋103x ＋2.(2)①由(1)可知直线的解析式为y ＝－23x ＋2，∵M(m，0)为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N.∴P(m，－23m＋2)，N(m ，－43m 2＋103m ＋2)，∴PM＝－23m ＋2，AM ＝3－m ，PN ＝－43m 2＋103m ＋2－(－23m ＋2)＝－43m 2＋4m ，∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN＝∠APM， ∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°. 当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN， ∴N 点的纵坐标为2，∴－43m 2＋103m ＋2＝2，解得m ＝0(舍去)或m ＝2.5，∴M(2.5，0)；当∠NBP＝90°时，过点N 作NC⊥y 轴于点C ，例1题解图则∠NBC＋∠BNC＝90°，NC ＝m ，BC ＝－43m 2＋103m ＋2－2＝－43m 2＋103m ，∵∠NBP＝90°， ∴∠NBC＋∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BNC， ∴Rt△NCB～Rt△BOA， ∴NC OB ＝CBOA， ∴m 2＝－43m 2＋103m 3，解得m ＝0(舍去)或m ＝118. ∴M(118，0)；综上可知，当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为(2.5，0)或(118，0)；②由①可知M(m ，0)，P(m ，－23m ＋2)，N(m ，－43m 2＋103m ＋2)，∵M，P ，N 三点为“共谐点”，∴当P 为线段MN 的中点时，则有2(－23m ＋2)＝－43m 2＋103m ＋2，解得m ＝3(三点重合，舍去)或m ＝12；当M 为线段PN 的中点时，则有－23m ＋2＋(－43m 2＋103m ＋2)＝0，解得m ＝3(舍去)或m ＝－1；当N 为线段PM 的中点时，则有－23m ＋2＝2(－43m 2＋103m ＋2)，解得m ＝3(舍去)或m ＝－14.综上可知，当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时，m 的值为12或－1或－14.1．(2015·河南)如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点(含端点)，过点P 作PF⊥BC 于点F ，点D ，E 的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD ，PE ，DE. (1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P 的位置发现：当P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．第1题图备用图2．(2018·崇仁一中二模)如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线L1，L2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．(1)抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与抛物线L2是“伴随抛物线”，且抛物线L2的顶点B的横坐标为4，求抛物线L2的表达式；(2)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的表达式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由；(3)在图②中，已知抛物线L1：y＝mx2－2mx－3m(m＞0)与y轴相交于点C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线L2与y轴相交于点D.若CD＝4m，求抛物线L2的对称轴．图①图②3．(2018·郑州模拟)如图，已知点C(0，3)，抛物线的顶点为A(2，0)，与y轴交于点B(0，1)，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M.(1)求抛物线的解析式；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，连接PF，PC，CF，求证：对于任意点P，PF与PM的差为常数．(3)记(2)中的常数为a，若将“使△PCF面积为2a”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF 的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．4．(2017·焦作一模)如图①，直线y ＝34x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－1)，抛物线y ＝12x2＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4. (1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图②，点D 在抛物线上，DE∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A ，O ，B 的对应点分别是点A 1，O 1，B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标．图①图②类型二 线段、角度数量关系探究(2016·河南)如图①，直线y ＝－43x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标．图①图② 例2题图备用图【分析】 先确定出点A 的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)由△BDP 为等腰直角三角形，判断出BD ＝PD ，建立m 的方程计算出m ，从而求出PD ；(3)分点P′落在x 轴和y 轴两种情况计算即可．①当点P′落在x 轴上时，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，先利用互余和旋转角相等得出∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′，进而表示出ND′的长度，通过构造方程求解；②的思路同①. 【自主解答】解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－43x ＋n 上，∴n＝4，∴y＝－43x ＋4.当y ＝0时，0＝－43x ＋4，解得x ＝3，∴A(3，0)．∵抛物线y ＝23x 2＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＋3b ＋c ＝0，c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－43，c ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－43x －2.(2)∵点P 为抛物线上一个动点，且横坐标为m ， ∴P(m，23m 2－43m －2)，D(m ，－2)，∴BD＝|m|，PD ＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－43m|.∵△BDP 为等腰直角三角形，且PD⊥BD， ∴BD＝PD.①当点P 在直线BD 上方时，PD ＝23m 2－43m.(i)若点P 在y 轴左侧，则m<0，BD ＝－m. ∴23m 2－43m ＝－m ， 解得1＝0(舍去)，m 2＝12(舍去)．(ii)若点P 在y 轴右侧，则m>0，BD ＝m. ∴23m 2－43m ＝m ， 解得3＝0(舍去)，m 4＝72.②当点P 在直线BD 下方时，m>0，BD ＝m ，PD ＝－23m 2＋43m.∴－23m 2＋43m ＝m ，解得5＝0(舍去)，m 6＝12.综上所述，m ＝72或12.即当△BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为72或12.(3)P 1(－5，45＋43)，P 2(5，－45＋43)，P 3(258，1132)．提示：∵∠PBP′＝∠OAC，OA ＝3，OC ＝4， ∴AC＝5，∴sin∠PBP′＝45，cos∠PBP′＝35.①当点P′落在x 轴上时，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为点N ，交BD 于点M ，∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′. 如解图①，例2题解图①∵ND′－MD′＝2， 即35(23m 2－43m)－(－45m)＝2； ∴m＝5(舍去)或m ＝－5； 如解图②，例2题解图②∵ND′＋MD′＝2，即35(23m 2－43m)＋45m ＝2，∴m＝5或m ＝－5(舍去)，∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)．②当点P′落在y 轴上时，如解图③，过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于点M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ，例2题解图③∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′.∵P′N＝BM ， 即45(23m 2－43m)＝35m ， ∴m＝258，∴P(258，1132)．1．(2014·河南)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y ＝－34x ＋3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)若PE ＝5EF ，求m 的值；(3)若点E′是点E 关于直线PC 的对称点，是否存在点P ，使点E′落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．(2018·洛阳一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为(0，－1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t＞0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2018·新野一模)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A(－1，0)，B(2，0)，C 三点．直线y ＝mx ＋12交抛物线于A ，Q 两点，点P 是抛物线上直线AQ 上方的一个动点，作PF⊥x 轴，垂足为F ，交AQ 于点N. (1)求抛物线的解析式；(2)如图①，当点P 运动到什么位置时，线段PN ＝2NF ，求出此时点P 的坐标；(3)如图②，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为D ，点M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②4．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．第4题图备用图类型三 特殊图形判定问题(2018·河南)如图，抛物线y ＝ax 2＋6x ＋c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线y ＝x －5经过点B ，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点A 的直线交直线BC 于点M.①当AM⊥BC 时，过抛物线上一动点P(不与点B ，C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q.若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．例3题图备用图【分析】 (1)利用一次函数解析式确定C(0，－5)，B(5，0)，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； (2)①先解方程－x 2＋6x －5＝0得A(1，0)，再判断△OCB 为等腰直角三角形得到∠OBC＝∠OCB＝45°，则△AMB 为等腰直角三角形，所以AM ＝22，接着根据平行四边形的性质得到PQ ＝AM ＝22，PQ⊥BC，作PD⊥x 轴交直线BC 于D ，如解图①，利用∠PDQ＝45°得到PD ＝2PQ ＝4.设P(m ，－m 2＋6m －5)，则D(m ，m －5)，讨论：当P 点在直线BC 上方时，PD ＝－m 2＋6m －5－(m －5)＝4；当P 点在直线BC 下方时，PD ＝m －5－(－m 2＋6m －5)，然后分别解方程即可得到P 点的横坐标；②作AN⊥BC 于N ，NH⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如解图②，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM 1B ＝2∠ACB，再确定N(3，－2)，AC 的解析式为y ＝5x －5，E 点坐标为(12，－52)，利用两直线垂直的问题可设直线EM 1的解析式为y ＝－15x ＋b ，把E(12，－52)代入求出b 得到直线EM 1的解析式为y ＝－15x －125，则解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －5，y ＝－15x －125，得M 1点的坐标；在直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，如解图②，利用对称性得到∠AM 2C ＝∠AM 1B ＝2∠ACB，设M 2(x ，x －5)，根据中点坐标公式得到3＝136＋x 2，然后求出x 即可得到点M 2的坐标，从而得到满足条件的点M 的坐标．【自主解答】解：(1)当x ＝0时，y ＝x －5＝－5； 当y ＝x －5＝0时，x ＝5 ∴B(5，0)，C(0，－5)．将B ，C 两点的坐标代入y ＝ax 2＋6x ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝25a ＋30＋c ，c ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－5， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋6x －5.(2)①解方程－x 2＋6x －5＝0得x 1＝1，x 2＝5，则A(1，0)， ∵B(5，0)，C(0，－5)， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°. ∵AM⊥BC，∴△AMB 为等腰直角三角形， ∴AM＝22AB ＝22×4＝2 2. ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ ∴PQ＝AM ＝22，PQ⊥BC，作PD⊥x 轴交直线BC 于D ，如解图①，则∠PDQ＝45°， ∴PD＝2PQ ＝4，设P(m ，－m 2＋6m －5)，则D(m ，m －5)． 当P 点在直线BC 上方时，PD ＝－m 2＋6m －5－(m －5)＝－m 2＋5m ＝4，解得m 1＝1，m 2＝4. 当P 点在直线BC 下方时；PD ＝m －5－(－m 2＋6m －5)＝m 2－5m ＝4，解得m 1＝5＋412，m 2＝5－412.综上所述，P 点的横坐标为4或5＋412或5－412.②作AN⊥BC 于N ，NH⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如解图②. ∵M 1A ＝M 1C ， ∴∠ACM 1＝∠CAM 1， ∴∠AM 1B ＝2∠ACB.∵△ANB 为等腰直角三角形，∴AH＝BH ＝NH ＝2， ∴N(3，－2)，易得AC 的解析式为y ＝5x －5，E 点坐标为(12，－52)，设直线EM 1的解析式为y ＝－15x ＋b ，把E(12，－52)代入，得110＋b ＝－52，解得b ＝－125，∴直线EM 1的解析式为y ＝－15x －512，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －5，y ＝－15x －125，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝136，y ＝－176，，则M 1(136，－176)； 作直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M ，如解图②，则∠AM 2C ＝2∠ACB， 设M 2(x ，x －5)， ∵3＝136＋x 2，∴x＝236，∴M 2(236，－76)．图①图② 例3题解图1．(2013·河南)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋2交于C ，D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为(3，72)，点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE⊥x 轴于点E ，交CD 于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由； (3)若存在点P ，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P 的坐标．第1题图备用图2．(2017·河南名校模拟)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)和B(3，0)两点，且交y 轴于点C，M为抛物线的顶点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若将该二次函数图象向上平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△BOC的内部(不包含边界)，求m的取值范围；(3)点P是抛物线上一动点，PQ∥BC交x轴于点Q，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B两点，其顶点为(1，－4)，直线y＝x－2与x轴交于点D，与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点，过P点作PF⊥x 轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE＝3EF，求m的值；(3)连接PC，是否存在点P，使△PCE是以PE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．参考答案类型一 针对训练1．解：(1)∵边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ， ∴C(0，8)，A(－8，0)，设抛物线的解析式为：y ＝ax 2＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝8，64a ＋c ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，c ＝8，故抛物线的解析式为：y ＝－18x 2＋8.(2)正确，理由：设P(a ，－18a 2＋8)，则F(a ，8)，∵D(0，6)， ∴PD＝a 2＋（18a 2－2）2＝（18a 2＋2）2＝18a 2＋2. ∵PF＝8－(－18a 2＋8)＝18a 2，∴PD－PF ＝2；(3)在点P 运动时，DE 大小不变，则PE 与PD 的和最小时，△PDE 的周长最小， ∵PD－PF ＝2，∴PD＝PF ＋2， ∴PE＋PD ＝PE ＋PF ＋2，第1题解图①∴如解图①，当P 、E 、F 三点共线时，PE ＋PF 最小， 此时点P ，E 的横坐标都为－4， 将x ＝－4代入y ＝－18x 2＋8，得y ＝6，∴P(－4，6)，此时△PDE 的周长最小，且△PDE 的面积为12，点P 恰为“好点， ∴△PDE 的周长最小时“好点”的坐标为(－4，6) 由(2)得：P(a ，－18a 2＋8)，∵点D 、E 的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，第1题解图②①如解图②，当－4≤a＜0时，S △PDE ＝S △PEO ＋S △POD －S △DOE ＝12×4×(－18a 2＋8)＋12×6×(－a)－12×4×6＝－14a 2－3a ＋4＝－14(a ＋b)2＋13，∴4＜S △PDE ≤12. ②当a ＝0时，S △PDE ＝4；第1题解图③③如解图③，过点P 作PN⊥x 轴于点N ， 当－8＜a ＜－4时， S △PDE ＝S 梯形PNOD －S △PNE －S △DOE＝(－18a 2＋8＋6)×(－a)×12－12×4×6－(－a －4)×(－18a 2＋8)×12＝－14a 2－3a ＋4＝－14(a ＋b)2＋13，∴12＜S △PDE ≤13；④当a ＝－8时，S △PDE ＝12，∴△PDE 的面积可以等于4到13的所有整数，在面积为12时，a 的值有两个，∴面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，∴“好点”共有11个． 综上所述，共有11个，“好点”，P(－4，6)．2．解：(1)由y ＝－x 2＋4x －3可得点A 的坐标为(2，1)， 将x ＝4代入y ＝－x 2＋4x －3，得y ＝－3， ∴B 点的坐标为(4，－3)，设抛物线L 2的解析式为y ＝a(x －4)2－3.将A(2，1)代入，得1＝a(2－4)2－3，解得a ＝1， ∴抛物线L 2的表达式为y ＝(x －4)2－3； (2)a 1＝－a 2，理由如下：∵抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 在抛物线L 1上，∴可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ＝a 2（m －h ）2＋k ，k ＝a 1（h －m ）2＋n ， 整理，得(a 1＋a 2)(m －h)2＝0. ∵“伴随抛物线”的顶点不重合， ∴m≠h，∴a 1＝－a 2.(3)抛物线L 1：y ＝mx 2－2mx －3m 的顶点坐标为(1，－4m)，设抛物线L 2的顶点的横坐标为h ，则其纵坐标为mh 2－2mh －3m ，∴抛物线L 2的表达式为y ＝－m(x －h)2＋mh 2－2mh －3m ， 化简，得y ＝－mx 2＋2mhx －2mh －3m ， ∴点D 的坐标为(0，－2mh －3m)， 又∵点C 的坐标为(0，－3m)，∴|(－2mh －3m)－(－3m)|＝4m ，解得h ＝±2， ∴抛物线L 2的对称轴为直线x ＝±2.3．(1)解：设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2. 将点B 的坐标代入得4a ＝1，解得a ＝14.∴抛物线的解析式为y ＝14(x －2)2，即y ＝14x 2－x ＋1.(2)证明：设点P 的坐标为(m ，14(m －2)2)，∴PM＝14(m －2)2，M(m ，0)．依据两点间的距离公式可知PF ＝（m －2）2＋[14（m －2）2－1]2＝（m －2）2＋116（m －2）4－12（m －2）2＋1＝116（m －2）4＋12（m －2）2＋1＝[14（m －2）2＋1]2＝ 14(m －2)2＋1， ∴PF－PM ＝1.∴对于任意点P ，PF 与PM 的差为常数．(3)解：设直线CF 的解析式为y ＝kx ＋3，将点F 的坐标代入，得2k ＋3＝1，解得k ＝－1， ∴直线CF 的解析式为y ＝－x ＋3. 由两点间的距离公式可知CF ＝2 2. ∵a＝1， ∴2a＝2.设在△PCF 中，边CF 的上的高线长为x ，则12×22x ＝2，解得x ＝ 2.如解图，过点C 作CG⊥CF，取CG ＝ 2.则点G 的坐标为(－1，2)．第3题解图过点G 作GH∥FC，设直线GH 的解析式为y ＝－x ＋b ，将点G 的坐标代入，得1＋b ＝2，解得b ＝1， ∴直线GH 的解析式为y ＝－x ＋1， 令－x ＋1＝14(x －2)2，解得x ＝0，∴△PCF 的一个巧点的坐标为(0，1)．显然，直线GH 在CF 的另一侧时，直线GH 与抛物线有两个交点． ∵F，C 为定点， ∴CF 的长度不变，∴当PC ＋PF 最小时，△PCF 的周长最小． ∵PF－PM ＝1， ∴PC ＋PF ＝PC ＋PM ＋1，∴当C 、P 、M 在一条直线上时，△PCF 的周长最小． ∴此时P(0，1)．综上所述，△PCF 的巧点有3个，△PCF 的周长最小时，“巧点”的坐标为(0，1)． 4．解：(1)∵直线l ：y ＝34x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝34x －1.∵直线l ：y ＝34x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，∴y＝34×4－1＝2.∵抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝43，∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA＝43.在Rt△OAB 中，OB ＝1， ∴AB＝OA 2＋OB 2＝（43）2＋12＝53. ∵DE∥y 轴， ∴∠ABO＝∠DEF，在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos∠DEF＝DE·OB AB ＝35DE ，DF ＝DE·sin∠DEF＝DE·OA AB ＝45DE ，∴l＝2(DF ＋EF)＝2(45＋35)DE ＝145DE.∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t，12t 2－54t －1)，E(t ，34t －1)，∴DE＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∴l＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋285t ，∵l＝－75(t －2)2＋285，且－75＜0，∴当t ＝2时，l 有最大值285.(3)“落点”的个数为4，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．图①图②图③图④ 第4题解图如解图③，设点A 1的横坐标为m ，则点O 1的横坐标为m ＋43，∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1， 解得m ＝712，如解图④，设点A 1的横坐标为m ，则点B 1的横坐标为m ＋43，B 1的纵坐标比点A 1的纵坐标大1，∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或43.类型二 针对训练1．解：(1)将点A ，B 的坐标代入抛物线解析式，得：⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－25＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝5， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5， (2)∵点P 的横坐标为m ，∴P(m，－m 2＋4m ＋5)，E(m ，－34m ＋3)，F(m ，0)，∴PE＝|y P －y E |＝|(－m 2＋4m ＋5)－(－34m ＋3)|＝|m 2＋194m ＋2|，EF ＝|y E －y F |＝|(－34m ＋3)－0|＝|－34m ＋3|，由题意，得PE ＝5EF ，即|－m 2＋194m ＋2|＝5|－34m ＋3|＝|－154m ＋15|.①若－m 2＋194m ＋2＝－154m ＋15，整理，得2m 2－17m ＋26＝0，解得m ＝2或m ＝132；②若－m 2＋194m ＋2＝－(－154m ＋15)，整理，得m 2－m －17＝0，解得m ＝1＋692或m ＝1－692.由题意，得m 的取值范围为－1＜m ＜5，故m ＝132，m ＝1－692这两个解不符合题意，∴m＝2或m ＝1＋692.(3)假设存在．作出示意图如解图：∵点E 、E′关于直线PC 对称， ∴∠1＝∠2，CE ＝CE′，PE ＝PE′. ∵PE 平行于y 轴，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，∴PE＝CE ，∴PE＝CE ＝PE′＝CE′，即四边形PECE′是菱形． 当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD 的解析式y ＝－34x ＋3，可得OD ＝4，OC ＝3，由勾股定理，得CD ＝5，过点E 作EM∥x 轴，交y 轴于点M ，易得△CEM∽△CDO， ∴ME OD ＝CE CD ，即|m|4＝CE 5，解得CE ＝54|m|， ∴PE＝CE ＝54|m|，又由(2)可知：PE ＝|－m 2＋194m ＋2|，∴|－m 2＋194m ＋2|＝54|m|.①若－m 2＋194m ＋2＝54m ，整理，得2m 2－7m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－12；②若－m 2＋194m ＋2＝－54m ，整理，得m 2－6m －2＝0，解得m 1＝3＋11，m 2＝3－11.由题意，得m 的取值范围为－1＜m ＜5，故m ＝3＋11这个解舍去， 当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P 点横坐标为0，E ，C ，E′三点重合于y 轴上，也符合题意， ∴P(0，5)．综上所述，存在满足条件的点P ，可求得点P 的坐标为(0，5)或(－12或114)或(4，5)或(3－11，211－3)．第1题解图2．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －2(a≠0)与x 轴交于A(1，0)，B(3，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，9a ＋3b －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝83， ∴抛物线的解析式为y ＝－23x 2＋83x －2；(2)如解图①，由(1)知y ＝－23x 2＋83x －2＝－23(x －2)2＋23；∵D 为抛物线的顶点， ∴D(2，23)．∵一动点M 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿平行与y 轴平行的方向向上运动， ∴设M(2，m)(m ＞23)，∴OM 2＝m 2＋4，BM 2＝m 2＋1，OB 2＝9. ∵∠OMB＝90°， ∴OM 2＋BM 2＝OB 2， ∴m 2＋4＋m 2＋1＝9，解得m ＝2或m ＝－2(舍去)， ∴M(2，2)， ∴MD＝2－23.∴t＝2－23；图①图② 第2题解图(3)存在点P ，使得∠PBF 被BA 平分， 如解图②，∴∠PBO＝∠EBO， ∵E(0，－1)，∴在y 轴上取一点N(0，1)． ∵B(3，0)，∴直线BN 的解析式为y ＝－13x ＋1①.∵点P 在抛物线y ＝－23x 2＋83x －2②上，联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ＋1，y ＝－23x 2＋83x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝0，∴P(32，12)．3．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A(－1，0)，B(2，0)，∴将点A 和点B 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋x ＋2.(2)直线y ＝mx ＋12交抛物线与A ，Q 两点，把A(－1，0)代入解析式，得m ＝12，∴直线AQ 的解析式为y ＝12x ＋12.设点P 的横坐标为n ，则P(n ，－n 2＋n ＋2)，N(n ，12n ＋12)，F(n ，0)，∴PN＝－n 2＋n ＋2－(12n ＋12)＝－n 2＋12n ＋32，NF ＝12n ＋12.∵PN＝2NF ，∴－n 2＋12n ＋32＝2×(12n ＋12)，解得n ＝－1或12.当n ＝－1时，点P 与点A 重合，不符合题意舍去． ∴点P 的坐标为(12，94)．(3)∵y＝－x 2＋x ＋2，＝－(x －12)2＋94，∴M(12，94)．如解图所示，连接AM 交直线DE 与点G ，连接CG ，CM 此时，△CMG 的周长最小．第3题解图设直线AM 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，且过A(－1，0)，M(12，94)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，12k ＋b ＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝32，b ＝32.∴直线AM 的函数解析式为y ＝32x ＋32.∵D 为AC 的中点， ∴D(－12，1)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋2，将点A 的坐标代入，得－k ＋2＝0，解得k ＝2， ∴直线AC 的解析式为y ＝2x ＋2.设直线DE 的解析式为y ＝－12x ＋c ，将点D 的坐标代入，得14＋c ＝1，解得c ＝34，∴直线DE 的解析式为y ＝－12x ＋34.将y ＝－12x ＋34与y ＝32x ＋32联立，解得x ＝－38，y ＝1516，∴在直线DE 上存在一点G ，使△CMG 的周长最小，此时G(－38，1516)．4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a≠0)与x 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3； (2)存在．∵抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴点C 的坐标为(0，3)， ∵C(0，3)，B(3，0)，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，∴过点O 与BC 平行的直线y ＝－x ，与抛物线的交点即为M ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝－x 2＋2x ＋3， 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋212，y ＝－3－212，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－212，y ＝－3＋212，∴M 1(3＋212，－3－212)，M 2(3－212，－3＋212)；第4题解图(3)存在．如解图，设BP 交y 轴于点G. ∵点D(2，m)在第一象限的抛物线上， ∴当x ＝2时，m ＝－22＋2×2＋3＝3， ∴点D 的坐标为(2，3)，把x ＝0代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得y ＝3， ∴点C 的坐标为(0，3)， ∴CD∥x 轴，CD ＝2， ∵点B(3，0)， ∴OB＝OC ＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°. ∴∠DCB＝∠OBC＝∠OCB＝45°， 又∵∠PBC＝∠DBC，BC ＝BC ， ∴△CGB≌△CDB(ASA)， ∴CG ＝CD ＝2. ∴OG＝OC －CG ＝1，∴点G 的坐标为(0，1)，设直线BP 的解析式为y ＝kx ＋1，将B(3，0)代入，得3k ＋1＝0，解得k ＝－13， ∴直线BP 的解析式为y ＝－13x ＋1， 令－13x ＋1＝－x 2＋2x ＋3， 解得x 1＝－23，x 2＝3， ∵点P 是抛物线对称轴x ＝－b 2a＝1左侧的一点，即x ＜1， ∴x＝－23， 把x ＝－23代入抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得y ＝119， ∴当点P 的坐标为(－23，119)时，满足∠PBC＝∠DBC. 类型三针对训练1．解：(1)在直线解析式y ＝12x ＋2中，令x ＝0，得y ＝2， ∴C(0，2)．∵点C(0，2)，D(3，72)在抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，－9＋3b ＋c ＝72， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝72，c ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋72x ＋2.图①图②第1题解图(2)∵PF∥OC，且以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形，∴PF＝OC ＝2，∴将直线y ＝12x ＋2沿y 轴上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y 轴右侧的交点即为所求， 由解图①可以直观地看出，这样的交点有3个，将直线y ＝12x ＋2沿y 轴向上平移2个单位，得到直线y ＝12x ＋4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋4，y ＝－x 2＋72x ＋2，解得x 1＝1，x 2＝2； 将直线y ＝12x ＋2沿y 轴向下平行移2个单位，得到直线y ＝12x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，y ＝－x 2＋72x ＋2， 解得x 3＝3＋172，x 4＝3－172(不舍题意，舍去)， ∴m 3＝3＋172， ∴当m 的值为1或2或3＋172时，以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形． (3)存在．理由：设点P 的横坐标为m ，则P(m ，－m 2＋72m ＋2)，F(m ，12m ＋2)如解图②所示，过点C 作CM⊥PE 于点M ，则CM ＝m ，EM ＝2，∴FM＝y F －EM ＝12m ， ∴tan∠CFM＝2，在Rt△CFM 中，由勾股定理，得CF ＝52m ， 过点P 作PN⊥CD 于点N ，则PN ＝FN·tan∠PFN＝FN·tan∠CFM＝2FN.∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN ，而PN ＝2FN ，∴FN＝CF ＝52m ，PN ＝2FN ＝5m. 在Rt△PFN 中，由勾股定理，得PF ＝FN 2＋PN 2＝52m. ∵PF＝y P －y F ＝(－m 2＋72m ＋2)－(12m ＋2)＝－m 2＋3m ， ∴－m 2＋3m ＝－52m ， 整理，得m 2－12m ＝0， 解得m ＝0(舍去)或m ＝12， ∴P(12，72)； 同理求得，另一点为P(236，1318)． ∴符合条件的点P 的坐标为(12，72)或(236，1318)． 2．解：(1)将点A 和点B 的坐标代入得：⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0， 解得：b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)∵y＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴M(1，－4)．把x ＝0代入抛物线的解析式得：y ＝－3，∴C(0，－3)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝0，b ＝－3，解得：k＝1，b＝－3.∴直线BC的解析式为y＝x－3.把x＝1代入y＝x－3得y＝－2，∵平移后的抛物线的顶点坐标在△BOC的内部，∴－2＜－4＋m＜0，解得2＜m＜4.(3)当点P在点Q的上方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为3.把y＝3代入抛物的解析式x2－2x－3＝3，解得：x＝1＋7或x＝1－7.∴点P的坐标为(1＋7，3)或(1－7，3)．当点P在点Q的下方时，由平行四边形的性质可知点P的纵坐标为－3.把y＝－3代入抛物的解析式x2－2x－3＝－3，解得：x＝2或x＝0(舍去)．∴点P的坐标为(2，－3)．综上所述，当点P的坐标为(1－7，3)或(1＋7，3)或(2，－3)时，以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．3．解：(1)抛物线的顶点为(1，－4)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－4，把A(－1，0)代入，可得0＝a(－1－1)2－4，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2－4 (或y＝x2－2x－3)；(2)设点P的横坐标是m，则P(m，m2－2m－3)，E(m，m－2)，F(m，0)，PE＝|y E－y P|＝|(m－2)－(m2－2m－3)|＝|－m2＋3m＋1|，EF＝|－m＋2|，由题意PE＝3EF，即：|－m2＋3m＋1|＝3|－m＋2|，①若－m2＋3m＋1＝3(－m＋2)，整理，得m2－6m＋5＝0，解得m＝1或m＝5，令y＝x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴B(3，0)，∵点P在x轴下方，∴－1＜m＜3，∴m＝5不合题意，舍去，∴m＝1；②若－m2＋3m＋1＝－3(－m＋2)，整理，得m2－7＝0，解得：m＝7或m＝－7，∵点P在x轴下方，∴－1＜m＜3，m＝－7不合题意，舍去，∴m＝7，综上所述，m ＝1或m ＝7；(3)存在，m 的值为1＋55或1－52. 理由：直线y ＝x －2与y 轴的夹角为45°，∠PEC＝45°， 当△PCE 是以PE 为底边的等腰三角形时，∠PCE＝90°， 故直线PC 的解析式为y ＝－x －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，y ＝x 2－2x －3，消掉y 得，x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52或1－52， 所以点P 的横坐标m ＝1＋52或1－52.。