2019年高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第二十三章 选修系列 23.1 几何证明选讲
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1课件： 3.1.3 空间向量基本定理 课件
2、推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面。
练习
1、如果a,b与任何向量都不能空构间成的一个基底， 则a与b有什么关系？共线
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫 正交基底. 特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为
{ } 单位正交基底，通常用 i , j , k
建构数学:
推论：O设、A、B、C是不共面的四点，
则对空间任一 P，点都存在唯一的有数序组实
(x，y，z)，使得
OP＝xOA＋yOB＋zOC。来自B’ D’CA’
M
B
D
E
O
A
数学运用
例 2如 图 ， 已 知 空 间 四 边 形 O A B C ， 其 对 角 线 O B ， A C ， M ， N 分 别 是 对 边 O A ， B C 的 中 点 ， 点 G 在 线 段 M N 上 ， 且 M G ＝ 2G N ， 用 基 底 O A ， O B ， O C 表 示 向 量 O G .
思考 平面向量
共线向量定理
类比
空间向量 共面向量定理
平面向量 基本定理
空间向量 基本定理
3.1.3空间向量基本定理
复习
平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数λ1、λ2，使
a = λ1e1+λ2e2
建构数学:
空间向量基本定理:
第二十三章旋转教材分析(2019年)
第二十三章旋转教材分析一、本章地位本章学习第三种图形变换——旋转. 旋转变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解（证）有关等腰三角形（主要是等腰直角三角形、等边三角形）以及正方形等问题时，更是经常用到的思维方法. 此前，学生已学习了平移、轴对称两种图形变换，对图形变换已具有一定的认识，通过本章的学习，学生对图形变换的认识会更完整，同时，也能对平移、轴对称有更深的认识.二、知识归纳三、数学思想方法的运用1．数形结合思想2．分类讨论思想3．转化思想四、课时安排23.1图形的旋转2课时23.2中心对称3课时23.3课题学习图案设计1课时小结1课时五、旋转例题：题型一：旋转中心的确定1. 如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（B）A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（1，4）第1题第2题第3题2. 如图4×4的正方形网格中，△PMN绕某点旋转一定的角度，得到△P1M1N1，其旋转中心是（B）A．A点B．B点C．C点D．D点题型二：旋转求角3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝31°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△ABC，使得点A'恰好落在AB边上，则α等于（C）A．149°B．69°C．62°D．31°4.如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′＝（A）A．30°B．35°C．40°D．50°第4题第5题5.如图，在△ABC中，∠B＝50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，使得AB′⊥BC，连接CC′，则∠AC′C＝70度．6.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），作AB⊥x轴于点B，连接AO，绕原点B将△AOB逆时针旋转60°得到△CBD，则点C的坐标为（A）A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）第6题第7题7.如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（C）A．（﹣2，0）B．（﹣2，10）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，10）8.如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD 相交于点M，则点M的坐标为（﹣1，）．第8题第9题9.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为（﹣2，6）．10.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（C）A．6 B．8 C．10 D．12第10题第11题第12题11.如图，在正方形ABCD中，AD＝4，把边CD绕点C逆时针旋转30度得到线段CE，连接BE并延长，交AD于点F，连接DE，则线段EF的长度为（B）A．4﹣4B．8﹣4C．4﹣2D．8﹣212.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（D）A．12 B．6 C．D．题型五：旋转求阴影面积13.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于（D）A．2﹣B．1 C．D．﹣1第13题第14题14.如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30o后得到△A1BC1，则图中阴影部分的面积为（C）A．3 B．6 C．9 D．12题型六：中心对称和轴对称图形15．下列图形中，是中心对称但不是轴对称的图形是（D）A．等边三角形B．正方形C．圆D．平行四边形16．下列图形中，不是中心对称图形的是（B）A．B．C．D．17．下列图形中既是轴对称图形，又是旋转对称图形的是（C）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④18．4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左起是（A）A．第一张、第二张B．第二张、第三张C．第三张、第四张D．第四张、第一张19．如图，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（D）A．B．C．D．题型七：旋转综合题20.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α＝90°，则AB＝，并求AA′的长；（2）如图2，若α＝120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．21．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）在（1）的情况下，点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）在（1）的情况下，若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．专题：中考常见的几种旋转图形旋转类型题目举例1、正三角形类型例1：如图（1-1），设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是_150°.2、等腰直角三角形类型例2：如图，在ΔABC中，∠ACB =90°，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。
2019年高考数学真题试卷(江苏卷)(word版+答案+解析)
2019年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=________.2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.4.函数y=√7+6x−x2的定义域是________.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.=1(b>0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2________.8.已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27，则S8的值是________.9.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________.11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是________.12.如图，在 △ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ， AD 与CE 交于点 O .若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AB AC的值是________.13.已知 tanαtan(α+π4)=−23 ，则 sin(2α+π4) 的值是________.14.设 f(x),g(x) 是定义在R 上的两个周期函数， f(x) 的周期为4， g(x) 的周期为2，且 f(x) 是奇函数.当 x ∈(0,2] 时， f(x)=√1−(x −1)2 ， g(x)={k(x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2 ，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程 f(x)=g(x) 有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．（共6题；共90分）15.在△ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ． （1）若a =3c ， b = √2 ，cos B = 23 ，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求 sin(B +π2) 的值．16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ， E 分别为BC ， AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: (x−1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= 52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数f(x)=(x−a)(x−b)(x−c),a,b,c∈R、f ′(x)为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f ′(x)的零点均在集合{−3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若a=0,0<b⩽1,c=1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ 427．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n} (n∈N∗)满足：a2a4=a5,a3−4a2+4a4=0，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足: b1=1,1Sn =2b n−2b n+1，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n} (n∈N∗)，对任意正整数k，当k≤m时，都有c k⩽b k⩽c k+1成立，求m的最大值．三、数学Ⅱ(附加题)（每题10分）【选做题】本题包括21、22、23三题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共3题；共30分）21.A.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=[31 22]（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.22.在极坐标系中，已知两点A(3,π4),B(√2,π2)，直线l的方程为ρsin(θ+π4)=3.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.23.设x∈R，解不等式|x|+|2 x−1|>2.四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．（共2题；共20分）24.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n,n⩾4,n∈N∗.已知a32=2a2a4.（1）求n的值；（2）设(1+√3)n=a+b√3，其中a,b∈N∗，求a2−3b2的值.25.在平面直角坐标系xOy中，设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}，B n={(0,1),(n,1)},C n= {(0,2),(1,2),(2,2),⋯,(n,2)},n∈N∗.令M n=A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.答案解析部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，借助数轴得：A∩B={1,6}【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合A∩B。
2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题11.5 几何证明(练)(解析版)
1. 【南京2019模拟】如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.【答案】242. 如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝mn(m ，n >0)，取CF 的中点D ，连结AD 并延长交BC 于点E .则BE EC＝________.【答案】m ＋nn【解析】作FG ∥BC 交AE 于点G ，则FG CE ＝FD DC＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋n n .两式相乘即得BE EC ＝m ＋nn.3. 【2019盐城测试】在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，则△ABC 的面积为________ cm 2.【答案】72【解析】令E ＝a ，EF ＝b ，则12ab ＝6.由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72.4. 如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长． 【答案】（1）详见解析（2）12.5. 如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连结AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连结CE .求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE2.【答案】（1）详见解析（2）详见解析6. 如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，则S △CDE＝________.【答案】 3 【解析】∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ， ∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED . ∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3.7. [2019·无锡模拟] 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，求ED 的长________．【答案】2128. 【六合2019模拟考试】如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．【答案】7【解析】∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.9. (2019·江南十校联考)如图，在圆的内接四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ABD ＝30°，∠BDC ＝45°，AD ＝1，则BC ＝________.【答案】 2【解析】连结AC .因为∠ABC ＝90°，所以AC 为圆的直径．又∠ACD ＝∠ABD ＝30°，所以AC＝2AD ＝2.又∠BAC ＝∠BDC ＝45°，故BC ＝ 2.10.【扬州2019质检试卷】如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP ＝4，PB ＝2，则PC 的长是________．【答案】2 2【解析】如图，延长CP 交⊙O 于点D ，因为PC ⊥OP ，所以P 是弦CD 的中点，由相交弦定理知PA ·PB ＝PC 2，即PC 2＝8，故PC ＝2 2.11. 如图，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于E ，F 两点，证明：AF ·AD ＝AG ·BF .【答案】详见解析12.【2019年常州模拟】如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连结ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．【答案】2【解析】∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AFAB.∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14，∵HE ＝8，∴HF ＝2. ∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝ADDC.∵D 是AC 的中点，∴HD DE＝1. ∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4， ∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.13. (2019海门模拟)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC ；(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径． 【答案】（1）详见解析（2）3214. (2019辽宁模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF 2＝AD ·BC .【答案】详见解析【解析】(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.。
专题15 几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲-2019年江苏高考理数《基础回
专题15 几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲一、平行线分线段成比例定理1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．二、相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定定理判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．2．相似三角形的性质定理性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．三、射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．四、圆周角、圆心角、弦切角、圆内接四边形1．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．3．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．圆的切线的性质及判定定理性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．5．圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1：圆的内接四边形的对角互补．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．五、与圆有关的线段1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．3．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．4．切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．六、矩阵的乘法设A，B是平面上的两个变换，将平面上每个点P先用变换A变到`P，再用变换B将`P变到``P，则从P也是平面上的一个变换，称为A，B的复合变换，也称为B与A的乘积，记作BA．P到``设A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111d c b a 和B ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222d c b a ，则BA ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222d c b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111d c b a ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++1212121212121221d d b c c d a c d b b a c b a a ．七、逆矩阵设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ，记∆＝bc ad -，则A 可逆的充分必要条件是：∆≠0，当∆≠0时，A 1-＝⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆-∆-∆a c b d ． 八、特征值与特征向量设二阶矩阵A ，对于实数λ，存在一个非零向量β，使得A β＝λβ，那么λ称为A 的一个特征值，而β称为A 的属于特征值的一个特征向量． 九、坐标系 1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O 叫做极点；自点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M 是平面上的任一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ．有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0．几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；（2）当圆心位于M(a，0)，半径为a：ρ＝2a cosθ；（3）当圆心位于π(,)2M a，半径为a：ρ＝2a sinθ．4．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；（2）直线过点M(a，0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；（3）直线过π(,)2M b且平行于极轴：ρsinθ＝b．十、参数方程1．直线的参数方程若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t为参数)．这是直线的参数方程，其中参数t有明显的几何意义．2．圆的参数方程若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为0≤θ≤2π．3．椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点M0(x0，y0)，相应的椭圆参数方程为0≤t≤2π．十一、绝对值三角不等式（1）定理1:如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．（2）定理2:如果a，b，c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立．（3）推论1:||a|-|b||≤|a+b|．（4）推论2:||a|-|b||≤|a-b|．十二、不等式的证明1．基本不等式（1）基本不等式:如果a ，b>0，那么，当且仅当a=b 时，等号成立．用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．（2）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12na a a n+++≥未找到引用源。
2019年江苏高考总复习-附加题40分专题系列-专题03 数学归纳法1
1．已知f(n)＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，则f(n)中共有_________项．
2．用数学归纳法证明：“1＋ ＋ ＋…＋ <n(n>1)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是_________．
3．设f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝_________．
综上所述，当 ,4时， ；当 时， ；当 或 时，
例题5解析：取 ，
令 ，且 ，∴取
下面证明：
①当 时，已证结论正确
②假设当 时，
则当n＝k＋1时，
有
∵
∴
∴
即当n＝k＋1时，结论也成立
故由①②知，对于一切 ，都有 ．
故n的最大值为25
例题6解析：①当 时， ，命题显然成立
②假设当 时， 能被 整除，则当n＝k＋1时，
点评： 这一变换，在问题解决中起了关键作用
例题4解析：当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
当 时， ，即
......
猜测，当 时，
下面用数学归纳法证明猜测成立
①当 时，由以上可知猜测成立
②假设当 时，命题成立，即有
则当n＝k＋1时，
有
即当n＝k＋1时，命题也成立
故由①②知， 时， ．
（1）求过点P1，P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．
15．已知f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ ，g(n)＝ － ，n∈N*.
（1）当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；
（2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
【2019年高考数学一轮精品资料】几何证明复习讲义
几何证明填空题1 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）如图,已知正方形ABCD 的边长为1,过正方形中心O的直线MN 分别交正方 形的边AB ,CD 于点M ,N ,则当MNBN取最小值时,CN =______.【答案】5－12解答题2 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径,AC是弦,∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D,DE ⊥AC 且交AC 的延长线于点E.求证:DE 是圆O 的切线.【答案】3 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4-1 几何证明选讲)如图,ABCD 为圆内接四边形,延长两组对边分别交于点E ,F ,AFB ∠的平分线分别交AB ,CD 于点H ,K .求证:EH EK =.N【答案】4 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）选修4—1:几何证明选讲如图,AB 是⊙O 的直径,,C F 是⊙O 上的两点,OC ⊥AB , 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D .连结CF 交 AB 于点E . 求证:2DE DB DA =⋅.【答案】选修4—1:几何证明选讲（第21-A 题）证明:连结OF.因为DF切⊙O于F,所以∠OFD=90°.所以∠OFC+∠CFD=90°.因为OC=OF,所以∠OCF=∠OFC.因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°.所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF=DE.因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA.所以DE2=DB·DA.BAD.5 ．（2009高考(江苏)）如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△求证：AB∥CD.【答案】[解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。
满分10分。
证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。
2019年江苏省高考数学二轮复习课件：专题三 第四讲 专题提能——“解析几何”专题提能课
a2 可得
e2＝23，即
e＝
6 3.
[点评] 本题中 B，C 两点是关于 y 轴对称，对称性的运用
对线段的求解和坐标求解有很大帮助.
策略2 利用有界性处理圆锥曲线中的存在性问题
[例 2] 若双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)右支上存在一点 P
到左焦点的距离是到右准线距离的 6 倍，则该双曲线离心率的
直线 l 的方程为 y－2＝34(x－1)，即 3x－4y＋5＝0.所以所求直 线 l 的方程为 x＝1 和 3x－4y＋5＝0.
[点评] 本题学生易错在于忽略了斜率不存在的情况，在 用斜率研究直线方程首先考虑斜率不存在的情况．给定弦长， 一般都有两解，除非弦长值就是直径的值，此时只有一解．
提能点(二)
取值范围为___(_1_,2_]_∪__[_3_,6_)__．
[解析] 记双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1， F2，设点 P 到右准线的距离为 d，则由题意得点 P 到左焦点的距离 为 PF1＝6d，由于 PF1－PF2＝2a，所以 PF2＝6d－2a，所以6d－d 2a＝
16－34k2，所以
16－34k2>0，解得－8
3
38 <k<
3
3.又点(1,2)应在已
知圆的外部，把点代入圆方程得，1＋4＋k＋4＋k2－15>0，即
(k－2)(k＋3)>0，解得 k<－3 或 k>2.综上，k 的取值范围是
－83 3，－3∪2，8 3 3.
[点评] 本题易错在于忽略题中方程必须是圆的方程，有 些学生不考虑 D2＋E2－4F>0.本例应把圆的方程化为标准方程 后，根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于 0，列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集，然后由过已知点总可以作圆 的两条切线，得到点在圆外，故把点的坐标代入圆的方程中得 到一个关于 k 的关系式，求出不等式的解集，综上，求出两解 集的交集即为实数 k 的取值范围.
2019年高考数学江苏卷-答案
11．【答案】 (e, 1)
【解析】设
A x0 ,ln
x0
，又
y
1 x
，则曲线
y
ln
x
在点
A
处的切线方程为
y
ln
x0
1 x0
x
x0
，将 (e, 1)
1
e
代入得， 1 ln x0 e x0 ，化简得 ln x0 ，解得 x0 e ，则点 A 的坐标是 (e,1) .
CC1 2
2
S四边形ABCD
120 12
10 .
【考点】空间几何体的体积
10．【答案】4
【解析】通解
设
P
x,
x
4 x
,
x
0
，则点
P
到直线
x
y
0
的
距离
d
4 xx
x
2
4 2x 2 x
2
4 2x
x
2
4 ，当且仅当
4 2x ，即 x 2 时取等号，故点 P 到直线 x y 0 的距离的最小值是 4.
x
优解
由 y x 4 (x 0) 得 y 1 4 ，令1 4 1，得 x 2 ，则当 P 点的坐标为 ( 2,3 2) 时，点 P 到直线
x
x2
x2
| 23 2|
x y 0 的距离最小，最小值为
4.
2
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【考点】点到直线的距高公式、基本不等式的应用
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高考数学一轮复习 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及有关性质课件 理(选修41)
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定 比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析 由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一 平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线 的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.