2016-2017(1)期末考试试卷(B)参考答案(线性代数)
大一线性代数期末考试试卷+答案
线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若，则__________。
2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足。
4．矩阵的行向量组线性。
5．阶方阵满足,则。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×".每小题2分，共10分）1。
若行列式中每个元素都大于零，则。
（ )2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
( ）3. 向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。
（）4. ，则。
( ）5. 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为. ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内.每小题2分，共10分）1。
设为阶矩阵，且，则（）.①②③④42. 维向量组（3 ≤ s ≤ n）线性无关的充要条件是（ )。
①中任意两个向量都线性无关②中存在一个向量不能用其余向量线性表示③中任一个向量都不能用其余向量线性表示④中不含零向量3. 下列命题中正确的是( ）。
①任意个维向量线性相关②任意个维向量线性无关③任意个维向量线性相关④任意个维向量线性无关4。
设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是（）。
①若,均可逆，则可逆②若，均可逆，则可逆③若可逆，则可逆④若可逆,则，均可逆5. 若是线性方程组的基础解系，则是的()①解向量②基础解系③通解④ A的行向量四、计算题( 每小题9分,共63分)2。
设,且求。
3.设且矩阵满足关系式求。
4.问取何值时,下列向量组线性相关？。
5. 为何值时,线性方程组有唯一解,无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。
6。
设求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5 2。
3. 4。
相关5.二、判断正误1. ×2. √3. √4。
√5. ×三、单项选择题1. ③2。
③3。
③4. ②5。
①四、计算题2.，3.4.当或时，向量组线性相关.5.①当且时，方程组有唯一解；②当时方程组无解③当时，有无穷多组解,通解为6.则 ,其中构成极大无关组,7。
线性代数期末试卷及详细答案
线性代数期末试卷及详细答案⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分，共10分）1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12D D OO =_____________。
2、四阶⽅阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶⽅阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶⽅阵A 满⾜关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
⼆、单项选择题（每⼩题仅有⼀个正确答案，将正确答案的番号填⼊下表内，每⼩题2分，共20分）1、若⽅程13213602214x x x x -+-=---成⽴，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶⽅阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶⽅阵，则()**A=（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪⼀个是初等矩阵（A ）100002?? ???；（B ）100010011??；（C ）011101001-?? ?- ? ?；（D ）010002100??- ；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，m α线性⽆关；（B ）向量组1,α2α，，m α若其中有⼀个向量可由向量组线性表⽰，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α的⼀个部分组线性相关，则原向量组本⾝线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每⼀个向量都可由其余向量线性表⽰。
大一线性代数期末考试试卷+答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上.每小题2分,共10分）1。
若，则__________。
2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足。
4．矩阵的行向量组线性。
5．阶方阵满足，则。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式中每个元素都大于零，则。
（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）3. 向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。
（）4. ，则。
（）5。
若为可逆矩阵的特征值,则的特征值为。
( ）三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分）1. 设为阶矩阵，且,则（）。
①②③④ 42. 维向量组（3 ≤ s ≤ n)线性无关的充要条件是（）.①中任意两个向量都线性无关②中存在一个向量不能用其余向量线性表示③中任一个向量都不能用其余向量线性表示④中不含零向量3。
下列命题中正确的是( ）。
①任意个维向量线性相关②任意个维向量线性无关③任意个维向量线性相关④任意个维向量线性无关4. 设，均为n 阶方阵,下面结论正确的是（ )。
①若，均可逆，则可逆②若，均可逆，则可逆③若可逆,则可逆④若可逆,则，均可逆5。
若是线性方程组的基础解系，则是的( ）①解向量②基础解系③通解④ A的行向量四、计算题( 每小题9分，共63分)2。
设,且求。
3.设且矩阵满足关系式求.4.问取何值时，下列向量组线性相关？。
5。
为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。
6. 设求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
线性代数期末考试题答案一、填空题1。
5 2. 3. 4。
相关5.二、判断正误1。
×2。
√3。
√4。
√5。
×三、单项选择题1。
③2。
③3。
③4。
②5。
①四、计算题2.，3。
4.当或时，向量组线性相关。
桂林理工大学 线性代数试卷 (2016-2017 学年度第 一 学期)
桂林理工大学考试试卷(2016-2017 学年度第 一 学期)课 程 名 称：概率统计 A卷 命 题：基础数学教研室题 号一二三总 分得 分1． 单项选择题（每小题2分，共10分）1．，则 ( )；(A) 0.7 (B) 0.4 (C) 0.58 (D) 0.82. 设，已知，，则参数各为（ ）(A) (B)(C) (D)3．设随机变量的概率分布为X012p0.250.350.4是的分布函数，则=（）（A）0.6； （B）0.35； （C）0.75； （D）0.44．设是来自正态总体的样本，其中未知，已知，则下列不是统计量的是( )(A)(B)(C) (D)5．设是来自具有数学期望为，方差为的任一总体的一个样本，则的无偏估计量为（）(A) (B)(C) (D)二．填空题（每题2分，共10分）1.设每人携带感冒病毒的概率为0.005，一个容纳4个人的办公室中存在病毒的概率为 .2.设随机变量在上服从均匀分布，则.3.设随机变量的分布函数为,则= 。
4.若与是相互独立的随机变量，且,(指数分布)，则，。
5．设随机变量X~R[0,1]，由切比雪夫不等式可得。
三．计算下列各题（共80分）1.（10分）某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30％，25％，45％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02.现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？此次品来自哪条生产线的概率最大？2.（14分）设随机变量的概率密度函数为 ，求（1）未知参数a； （2）写出随机变量的分布函数概率； （3）.3.（10分）设某城市成年男子的身高，问应如何设计公共汽车的车门高度，使男子与车门碰头的机会小于0.01？（精确到小数点后两位）.（）4．（14分）（工科学生做，文科学生不做）设的联合概率密度为： ，（1）求、的边缘概率密度和；（2）判断是否独立；（3）求.4．（14分）(文科学生做，工科学生不做)设二维离散型随机变量的联合分布律为Y013X-10.050.250.100.300.200.1求：（1）的概率分布; (2)并判断与的相关性。
2016-2017学年度第一学期期末教学质量检查 B卷答案_最新修正版
2016—2017学年度第一学期期末教学质量检查 高二数学（理科）B 卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CAADCCCADACB二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分） 13.221<<x ; 14. 8 ; 15. 9 ; 16.30097 . 三、解答题（本大题共6小题,满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.解:由]2 , 1[∈∀x ,02≥-a x得,1≤a ………………2分由R x ∈∃,0222=-++a ax x得,0)2(4)2(2≥--a a ………………4分解得,1≥a 或2-≤a ………………6分 因为q p ∧是真命题,所以⎩⎨⎧-≤≥≤211a a a 或………………8分 解得,实数a 的取值范围为{}1]2 , (Y --∞………………10分 18.解:（1）把B R b A R a sin 2,sin 2⋅=⋅=代入B a A b sin cos 3=得:B A A B sin sin cos sin 3=,……………2分又0sin >B ,同除以B sin 得:3cos sin =AA,即,3tan =A ,……………4分 又π<<A 0,所以,3π=A ；……………6分（2）由面积公式得:,3943sin 21===∆bc A bc S ABC 所以,36=bc ,……………8分 由余弦定理得:bc c b A bc c b a -+=-+=22222cos 2,……………9分 所以,363622=-+c b,联立方程得:⎩⎨⎧=+=723622c b bc ,消去c 得:03672)(2222=+-b b , 即,0)36(22=-b ,所以,.6,6==c b ……………12分19. 解:设工厂生产A 、B 两种产品分别为x 件和y 件,总收益为z 元,……………… 1分由题意得300500200900000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨≥≥⎪⎩, …………………… 3分目标函数30002000z x y =+. ………………… 4分二元一次不等式组等价于300529000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨≥≥⎪⎩.作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域, 如图阴影部分. ……………… 7分作直线:300020000l x y += ,即320x y +=,平移直线l ,当直线过M 点时,目标函数取得最大值. …… 9分联立{30052900x y x y +=+=, 解得{100200x y ==. …………………………… 10分所以点的坐标为()100,200,此时30001002000200700000max z =⨯+⨯=. …………………………… 11分 所以该工厂生产A 产品100件, 生产B 产品200件时收益最大, 最大收益是70万元.………………… 12分20.解:（1）因为侧棱A 1A ⊥底面ABCD ,所以,,,11AB AA AC AA ⊥⊥如图,以A 为坐标原点建立空间直角坐标系xyz A -,则…………… 1分),0,2,1(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(-D C B A),1,2,1(),1,21,1(),2,2,1(),2,1,0(11--N M D B …………… 3分(注:写N M ,两点坐标,各得1分)所以,)0,25,0(-=MN …………… 4分 易知平面ABCD 的一个法向量)2,0,0(1=AA ,所以,01=MN ,1AA MN ⊥,即，MN ∥平面ABCD ；……………………… 6分（2）设平面1ACB 的一个法向量),,(1z y x n =,)2,1,0(),0,0,2(1==AB AC ,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111n AB n ,即,⎩⎨⎧=+=0202z y x 得:⎩⎨⎧-==z y x 20,令1=z ,则)1,2,0(1-=n ；……… 8分 第20题图设平面1ACD 的一个法向量),,(2z y x n =,)2,2,1(),0,0,2(1-==AD AC ,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111n AB n AC ,即,⎩⎨⎧=+-=02202z y x x 得:⎩⎨⎧==z y x 0,令1=z ,则)1,1,0(2=n ；……… 10分于是,1010521||||,cos 212121-=⨯-=⋅⋅>=<n n n n n n ,所以,10103,cos 1,sin 21221=><->=<n n n n , 即,二面角D 1-AC-B 1的正弦值为10103. ………………… 12分 21. 解： (1)∵对任意正整数n ，322n n a S -=，∴11322n n a S ++-=，∴1133220n n n n a a S S ++--+=，即()113320n n n n a a S S ++---=，……………2分 ∴113320n n n a a a ++--=，解得13n n a a +=. ………………………………3分 当1n =时，11322a S -=，即12=a .∴123n n a -=⨯,∴数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯. ……………………………6分(2)*12()3n n n n nb n N a -==∈ ……………………………7分 令312123n n n b b b b T a a a a =++++L 012-2-11231+33233n n n n-=++++L ， ……………8分 123-111231+333233n n n n nT -=++++L ， ……………9分 两式式相减得012-121111+333233n n n nT =+++-L ， ∴11(1)2313(1)13323313n n n n nn n T -=-=---， ……………11分 ()699169(1)4343443n n n n n n T +=--⋅=-⨯ …………………………………………12分22．解:(Ⅰ)由题意得1=c ,……1分 离心率22==a c e ……2分 所以,2=a ,1222=-=c ab ……4分则椭圆方程为2212x y +=……5分 (Ⅱ) 解法1:将直线PA 方程y kx =代入2212x y +=,解得2221x k =±+ ……6分 记2221m k =+,则(,)P m mk ,(,)A m mk --,于是(,0)C m ,故直线AB 方程为0()()2mk ky x m x m m m +=-=-+……8分 代入椭圆方程得22222(2)240k x k mx k m +-+-=,……9分由2222B A k m x x k +=+,因此2322(32)(,)22m k mk B k k +++……10分(2,2)AP m mk ∴=u u u r ,2322222(32)22(,)(,)2222m k mk mk mkPB m mk k k k k +-=--=++++u u u r……11分 2222222022mk mkAP PB m mk k k -∴=⨯+⨯=++u u u r u u u r g PA PB ∴⊥……12分解法2:由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则,……7分∵ A 、C 、B 三点共线,010110010,2y y y y x x x x x +∴==-+……8分又因为点P 、B 在椭圆上,222200111,12121x y x y ∴+=+=,……9分 两式相减得:01012()PB x x k y y +=-+……10分00110010011001()()[]12()()()PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴=-=-=-+++……11分 PA PB ∴⊥ ……12分第22题图。
兰州工业学院《高等数学A》2016-2017期末试卷B(1)
2016-2017学年第一学期（B ）一、填空题(每小题2分，共10分) 1.⎰+--ππx e x dx x cos 2232)(=2. 已知f x )(可微，=+y f x f x (cos )(sin 2)2，则=dy3.已知=+f x x x (32)sin )(，求=f x ()(10)4.设函数f x )(在点=x 1处可导，且∆=+∆-∆→x f x f x 2lim 112(1)0)(，则='f 1)( 5. 曲线=y f x ()的参数方程为⎩⎪=-⎨⎪=-⎧y t tx t 123，则==dx dy x 0二、计算题(每小题8分，共56分)1. 求极限⎝⎭+ ⎪+++⎛⎫→∞n n n n (1)(2)lim 111222 2. 求极限+-→xx x x xtan lim (32sin )302 3.设=y y x ()由方程=+y e xe x y 2所确定的隐函数，求=dx dyx 0.4. 设⎣⎦=⎡⎤y f x sin 2)(，其中f 二阶可导，求dx d y 22. 5. 设函数⎰=--f x t e dt t x (3)0)(，求f x )(在+∞0,)[上的最小值. 6. 求不定积分⎰+x dx x x 1arctan 22)(7. 设f x )(为连续函数，且满足=f x x tf t dt ()01)(，求f x )( 三、证明题(第1，2小题每题7分，第3，4小题每题10分，共34分)1. 用极限定义证明： =→∞x xx lim sin 011 2. 设≤≤x 02，证明不等式≥+-x x x x 4ln 232.3. 设f x )(在a b ,][上连续，在a b ,)(上可导，且==f a f b ()0)(，试证：(1) 存在∈ξa b ,)(，使得+='ξξf f ()0)(兰州工业学院《高等数学A 》期末试卷(2) 对R λ∀∈，必存在(),c a b ∈，使得()()0f c f c λ'+=.4. 设()f x 在[]0,1上有二阶导数，当[]0,1x ∈时，()1f x ≤，()2f x ''≤，试证：当[]0,1x ∈时，()3f x '≤.。
山东财经大学2016-2017学年第一学期《线性代数》课程期末试题A及答案
山东财经大学2016-2017学年第一学期期末试题一、判断题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）1.设行列式0≠D ，则其任两行的对应元素均不成比例.（ ）2.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000cb ea dfA ，且f a ~均不为0，则abc A 11=-.（ ） 3.n m >是m 个n 维向量线性相关的必要条件.（ ） 4.齐次线性方程组O X A =⨯53无基础解系.（ ）5.设A 为n 阶正交矩阵，α为n 维单位向量，则1=αA .（ ） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1.设4阶行列式中第1行的元素分别为4,0,2,1-，第4行元素的余子式分别为2,19,,6x ，则=x ________.2.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011A ，1)(2++=x x x f ，则矩阵=)(A f ________. 3.向量组),0,(311a a =α，)0,,(322a a =α，),,0(213a a =α线性无关应满足的条件是________.4.线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1132194321321321x x x x x x x x x 的解为________.5.设矩阵33⨯A 满足A E -3，A E +，A E 3+均不可逆，则=||A ________.三、计算题（本题共4小题，每小题10分，满分40分）1.设矩阵B A ,满足B A AB +=，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101B .试证E A -可逆，并求A .（提示：不得使用待定系数法.）2.求向量组)1,5,3,1(1-=α，)4,3,1,2(2--=α，)1,9,7,7(3=α，)6,4,4,6(4=α，)3,2,2,3(5=α的秩，判断其线性相关性，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.3.解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--+=--120225543214321432x x x x x x x x a x x x ，其中a 为待定参数.（提示：有无穷多解时，需写出通解.）4.求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=312130112A 的特征值与特征向量.（提示：要写出全部特征向量.）四、证明题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）1.求证：若2016阶行列式D 中零元素的个数多于201620162-，则D 的值为0.2.求证：若矩阵Q 可逆，则)()(A r AQ r =.3.求证：若n 维单位向量组n εεε,,,21 可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21 线性无关.4.求证：若矩阵A 的互异特征值s λλλ,,,21 对应的特征向量分别为s ααα,,,21 ，则s ααα+++ 21必不是A 的特征向量.五、综合题（本题满分15分）设3阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3，且特征值6对应的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111.（1）求一个可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵.（2）求一个正交矩阵Q ，使AQ Q 1-为对角矩阵.(A)参考答案一、判断题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）1．√ 2．× 3．× 4．× 5．√ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1.72.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3033 3.0321≠a a a ( 321,,a a a 均不为0) 4.T )0,0,1( 5.1三、计算题（本题共4小题，每小题10分，满分40分）1.解：⇒+=B A AB E E B E A =--))((，E A -∴可逆.11)()(---+=⇒-=-E B E A E B E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=-0010101000010101001E E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101. 注：1)(--E B 结果正确即可，方法无论；但整题使用待定系数法的，不给分.2.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=0000000100122103672136141249352471336721),,,,(54321行TT T T T ααααα（阶梯形）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−→−00000001001201012001行（行简化阶梯形） 3),,,,(54321=αααααr ；线性相关；一个极大无关组为321,,ααα；21422ααα+=，215ααα+=.3.解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------==10000151500212111112021215150)(a a B A A 行（阶梯形）（1）若1-≠a ，则)(32)(A r A r =≠=，无解.（2）若1-=a ，则n A r A r =<==42)()(，有无穷多解.A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−→−0000051151105205301行（行简化阶梯形）,一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=5151525343231x x x x x （43,x x 为自由未知量）. 令043==x x ，得特解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0051520α.导出组的一般解为⎪⎩⎪⎨⎧+==432315153x x x x x （43,x x 为自由未知量）.分别令0,143==x x 和1,043==x x ，得导出组的基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0151531α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10102α. 因此，方程组的通解为22110αααc c X ++=（21,c c 为任意常数）.4.解：)4()2(312131122--=------=-λλλλλλA E ，A ∴的特征值为21=λ（二重），42=λ.对21=λ，解方程组O X A E =-)(1λ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-0001101011121101101A E λ，基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1111α. 因此，对应于特征值21=λ的全部特征向量为11αc （01≠c ）. 对42=λ，解方程组O X A E =-)(2λ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-0001101011121101122A E λ，得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1112α.因此，对应于特征值42=λ的全部特征向量为22αc （02≠c ）. 注：不写出全部特征向量的，各扣1分。
2017级线代试卷B答案
1 2 2 3 1 0 0 1
= 1时， B 0
1
1
1
0
1
1
1
0 0 0 0
0 0 0 0
R A R B 2 3,方程组有无穷多解；
此时，
x1 x2
=1 x3
， 1
令
x3 c,得通解
0 1
X
c
11
01
其中 c为任意常数. 12
2
江南大学考试卷专用纸
本题 得分
(B) 存在可逆阵 P , 使得P T A P B;
(C) 存在可逆阵 P , Q , 使得 P A Q B ; (D) A B .
(4) 设 A , B 为 n 阶相似方阵，则下列结论错误的是
[D]
(A) R A R B ;
(B) A , B 的特征值相同 ; (C) A 与 B 同时可逆或不可逆;
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2017 级《线性代数 II》期末考试卷(B)答案
使用专业、班级
学号
姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
得分
l
总分
本题 得分
一、填空题(每小题 4 分, 共 24 分)
2 0 0
(1 )
设矩阵
A
0
3
4
,则
A 1 =
0 4 5
1 2
0
0
0 0
5 4
4
3
.
(2) 设向量 = 1 , 1 , 0 T , 2 , 3 , 1 ,矩阵 A , 则 A100
又由1 , 2 , 3 线性相关 可知 3 能由1 , 2 线性表示 若 1 , 2 , 3 4 线性相关，则 3 4 能由 1 , 2 线性表示 故 4 能由 1 , 2 线性表示 即1 , 2 , 4 线性相关 与1 , 2 , 4 线性无关矛盾. 因此 1 , 2 , 3 4 线性无关.
线性代数16-17-2线性代数期末试卷参考答案
当a2时，该方程组有唯一解；
11011101
10
11
Pp,p,p
0，
123
当a2时，A101101100110，
121b011b1000b1
则当a2，b1时R(A)2R(A)3，方程组无解；
2
0
110110
1
A110002，
则有P AP
1，从而
1
002000
1
100
得基础解系31．单位化得p312
2
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1、3；2、1；3、-3；4、1
；5、2.
101 1
当a2，b1时，A0110，则R(A)R(A)23，该方程组有无穷多解，且其同解
0000
二、选择题（每小题 4 分，共 20 分）
1、B；2、C；3、B；4、D；5、A.
x11x3x1x3
方程组为，其导出组
1
的一个基础解系为1， 于是原方程组的通解为
xxxx
三、（10分）
23
23
103
1
r2r
103
1103
1
11
x0k1，k为任意常数.
解Ar43r1r3r2.
01
121502240000
318501120000
11011101
1011
则R(A)2，从而R1,2,3,42，1,2为该向量组的一个极大线性无关组，并且
110
AE
11
0(2)2，
故A的特征值是122,30．
0
1101
1 0
当2时，解齐次线性方程组(A2E)x0，由A2E110000，
12
线性代数期末考试试卷合集(共十一套)
线性代数期末考试试卷合集（共十一套）目录线性代数期末试卷及参考答案（第一套） .............................................................................. 1 线性代数期末试卷及参考答案（第二套） .............................................................................. 9 南京工程学院期末试卷（第一套） ........................................................................................ 17 南京工程学院期末试卷（第二套） ........................................................................................ 24 南京工程学院期末试卷（第三套） ........................................................................................ 30 线性代数 期末试卷（A 卷） .................................................................................................. 36 线性代数 期末试卷（B 卷） .................................................................................................. 41 线性代数 期末试卷（C 卷） .................................................................................................. 46 线性代数 期末试卷（D 卷） .................................................................................................. 51 线性代数 期末试卷（E 卷） .................................................................................................. 57 线性代数 期末试卷（F 卷） (62)线性代数期末试卷及参考答案（第一套）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3223A 满足B AB =，则矩阵=B ( )(A ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21k k ； (B )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11； (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2121k k k k ； (D ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111k k .（21k k ,为任意常数） 2、设n 阶方阵A ，B 满足E AB =，则下列一定成立的是 ( ) (A )E B A == ； (B )E B A =+ ； (C )1=A 或1=B ； (D )1=⋅B A .3、设矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A 则 =-++)()(E A R E A R ( )(A ) 2； (B ) 3； (C ) 4； (D ) 5 .4、设向量组A :r a a a,,,21可由向量组B :s b b b ,,,21线性表示，则正确的是 ( )(A )当s r >时，向量组A 必线性相关； (B ) 当s r <时，向量组A 必线性相关； (C )当s r >时，向量组B 必线性相关； (D ) 当s r <时，向量组B 必线性相关.5、设A 为n m ⨯的矩阵，0=x A 是非齐次线性方程组b x A =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )(A ) 若0=x A 仅有零解，则b x A =有唯一解；(B ) 若b x A =有无穷多解，则0=x A 有非零解；(C ) 若n m =，则b x A=有唯一解；(D ) 若A 的秩m A R <)(，则b x A=有无穷多解.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010002cb a A ，当c b a ,,满足 时，A 为可逆方阵.2、若可逆方阵A 的有一个特征值3，则13-)(A 必有一个特征值为 .3、设A 为54⨯的矩阵，且秩2=)(A R ，则齐次方程组0=x A 的基础解系所含向量个数是 .4、若三阶行列式222023z y x =1，则行列式1117110111------z y x = ． 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13232121,,x 线性相关，则常数x＝ .三、计算题（本题共6小题，共50分）1、(6分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a a A 140132121的秩2=)(A R , 求常数b a ,及一个最高阶非零子式.2、（8分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314020112A 的特征值和特征向量. 3、（8分）设3阶方阵A 与B 满足BA A BA A 22+=*, 其中,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=400030001A 求B .4、（10分）设向量组A ：.,,,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=77103 1301 3192 01414321αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式aa a a D ++++=4321432143214321,其中0≠a .6、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--=--532403321321321x x x b ax x x x x x ， 问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1、设矩阵B A ,为3阶方阵，且42==B A ,，则121=-AB.( )2、由3维向量构成的向量组4321a a a a,,,中必有一个可由其余向量线性表示. ( ) 3、对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，且O A ≠，则一定有C B =.( )4、设向量21ηη ,是线性方程组b x A =的解，则212ηη -也是此方程组的一个解.( ) 5、正交向量组321a a a ,,线性无关.( )五、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 1、设n 阶对称矩阵A 满足关系式O E A A =++862，证明：(1)E A 3+是可逆矩阵，并写出逆矩阵; (2) E A 3+是正交矩阵．2、若3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的线性无关解，且,)(3-=n A R证明：030201a a a a a a---,,是其对应的齐次线性方程组0 =x A 的基础解系．参考答案一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠；2.91； 3. 3； 4. 23- ； 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分)， 由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=--0201b a ， ⎩⎨⎧=-=∴21b a ，一个最高阶非零子式3221-． 2．解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当232==λλ时, 解().02=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+ 3. 解: B= 2(|A |E －2A ) -1 A |A |=12(|A |E －2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101， B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321αααα=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且321422αααα++-=5. 解：aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+＝)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ，此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ，此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x 原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962，即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆，且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知，E A E A E A TT T 333+=+=+)()(，故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(，所以E A 3+是正交矩阵．2． 证明: 3210a a a a,,,是n 元非齐次线性方程组b x A =的解，030201a a a a a a---∴,,是对应齐次方程组0 =x A 的解；又,)(3-=n A R 所以0 =x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个； 下证 030201a a a a a a---,,线性无关即可.设0033022011 =-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ,,,线性无关， 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a---,, 线性无关,从而030201a a a a a a---,,是其对应的齐次方程组0 =x A 的基础解系线性代数期末试卷及参考答案（第二套）一、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1、设向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123,321βα ，则当k ＝ 时，.正交与βαα +k2、设方阵A 满足关系式O A A =+322，则1)(-+E A = .3、若三阶行列式930021-=x xxx ，则 =x ． 4、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0211A ，多项式x x x f 2)(2+=，则=)(A f . 5、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13,032,101λ线性相关，则常数λ= .6、n 元非齐次线性方程组b x A=有无穷多解的充要条件是 .7、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的对应特征值λ的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111,则 ._______________,______,===b a λ二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、设A ，B 是任意n 阶方阵(2≥n )，则下列各式正确的是 ( )(A ) B A B A +=+； (B ) 22B A B A B A -=-⋅+； (C ) B A B A ⋅=； (D ) A B AB T⋅= .2、下列4个条件中，①A 可逆 ； ②A 为列满秩（即A 的秩等于A 的列数）； ③A 的列向量组线性无关； ④ O A ≠ ；可使推理“ 若O AB =， 则O B = ”成立的条件个数是 ( )(A ) 1个 ； (B ) 2个； (C ) 3个； (D ) 4个.3、向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ ，，，21线性表示， 则下列结论中不成立的是( )(A ) 向量组s βββ，，，21线性无关；(B ) 对任一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性相关；(C ) 存在一个j α )1(s j ≤≤，向量组s j βββα，，，，21线性无关；(D ) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ ，，，21等价. 4、设A ，B 均为3阶方阵, 3)(=A R ，2)(=B R , 则=)(AB R( )(A ) 1； (B ) 2； (C ) 3； (D ) 6 .5、设A 为n m ⨯的矩阵，r A R =)(，则非齐次线性方程组b x A=( )(A ) 当n r = 时有唯一解； (B ) 当n m r == 时有唯一解；(C ) 当n m = 时有唯一解； (D ) 当n r < 时有无穷多解. 三、计算题（本题共6小题，共54分）1、(7分)设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=61011152121λλA 的秩2)(=A R , 求常数λ及一个最高阶非零子式.2、（9分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230001A 的全部特征值和特征向量.3、（8分）设3阶方阵C B A ，，满足方程 A B A C =-)2(，试求矩阵A ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010301B ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001C .4、（10分）设向量组A ：.6721 ,11313 ,5652 ,21214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα 求: (1) 向量组A 的秩; (2) 向量组A 的一个最大线性无关组; (3) 将此最大无关组之外的其它向量用最大无关组线性表示.5、（8分）计算行列式cc b b a a x x x x D ---=000000, 其中x c b a ,,,全不为0.6、（12分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx x x x a x x x x x 3213213214231202， 问:当参数b a ,取何值时，(1)此方程组有唯一解? (2)此方程组无解? (3)此方程组有无穷多解? 并求出通解.四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分）1、若向量321,,ααα线性无关， 求证 2132αα +，324αα +，135αα + 也线性无关.2、设矩阵T E A ηη -=, 其中E 是3阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x η 是单位向量，证明：(1) A A =2； (2) A 不可逆.参考答案一、填空题(本题7小题, 每小题3分, 共21分)1. 75-； 2. E A +2； 3. 3±； 4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2631 ； 5. 6 ； 6. n b A R A R <=),()(； 7. -1 ，-3 ，0 .二、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. D ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B .三、计算题(本题6小题, 共54分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---3390022110121λλλλλ(3分)， 由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=-03039λλ，3=∴λ (2分)， 一个最高阶非零子式5221 ．2．解: 由λλλλ---=-32230001E A (),01)5(2=--=λλ得A 的特征值为.1,5321===λλλ当51=λ时, 解 ().05=-x E A,0001100012202200045⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-r E A得基础解系：,1101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=p 对应51=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k当132==λλ时, 解().0=-x E A,000000110220220000⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-r E A 得基础解系：,001 2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ,110 3⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p对应132==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k+.3. 解: CB A E C =-)2( ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000300012E C ； ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--51000310001)2(1E C ; ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=-5300032030110001030130002000151000310001)2(1CB E C A . 4. 解: ),,,(4321αααα =A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00210045101321 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021********001 （初等变换步骤不一，请酌情给分）所以,秩3=A R , (1分) 一个最大线性无关组为,,,321ααα(2分)且32142617αααα--=5. 解：)1,2,3(1=++i c c i i Dcb a xx x x---0000000234＝xabc 4- .6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==b a b A B 4231120211),( →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----120014100211b a a ， (1) 当b a ,2≠取任意数时, 3)()(==B R A R ， 此时方程组有唯一解； (2). 当1,2≠=b a 时, 3)(2)(=<=B R A R ，此时方程组无解；(3) 当1,2==b a 时, 32)()(<==B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000012100211 →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000012101001 即⎩⎨⎧--==121321x x x原方程组的通解为)(011120R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-.四、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: 由题意 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++540013102),,()5,4,32(321133221ααααααααα , 记 AK B = .K K ∴≠=，022 可逆， 又321,,ααα线性无关，所以)5,4,32(133221αααααα +++R 3),,(321==αααR ， 即 2132αα +，324αα +，135αα+ 也线性无关．2． 证明: (1) η为单位向量，1=∴ηηT ，A E E E E A T T T T T T T =-=+--=--=∴ηηηηηηηηηηηηηη)())((2.(2) 由(1)知，A A =2， 即 O E A A =-)(，3)()(≤-+∴E A R A R ，η为单位向量，O E A T ≠-=-∴ηη ， 1)(≥-E A R ，从而32)(<≤A R ， 所以0=A ， 故A 不可逆.另一证法： 0)(=-=-=-=ηηηηηηηηηηT T E A ，的非零解，为线性方程组0=∴ηηA所以0=A ， 故A 不可逆.南京工程学院期末试卷（第一套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院试卷共 6 页第 4 页南京工程学院期末试卷（第二套）共6 页第1页课程所属部门：基础部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科南京工程学院期末试卷（第三套）共6 页第1页课程所属部门：数理部课程名称：线性代数A 考试方式：闭卷（A卷）使用班级：工科本科线性代数 期末试卷（A 卷）一、（本大题共8小题，每题3分，共24分）1. 设B A ,均为n 阶方阵，则下面各式正确的是----------------------------------（ C ） (A)TTTB A AB =)( (B) 222)(B A AB = (C) || ||AB BA = (D)AB BA = 2. 下列命题正确的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) 若02=A ，则0=A (B) 若A A =2，则0=A 或E A = (C) 若E A =，则E A n = (D) 若E A =2，则E A ±=3. 若行列式的所有元素都变号，则--------------------------------------------------（ D ） (A) 行列式一定变号 (B) 行列式一定不变号 (C) 偶阶行列式变号 (D) 奇阶行列式变号4. 设k c c c b b b a a a =321321321，则112311231123232323a a a a b b b b c c c c ++=+-------------------------------（ B ） (A) k 6 (B) k 3 (C) k 2 (D) k5. 若某线性方程组的系数行列式为零，则该方程组------------------------------（ D ） (A) 有唯一解 (B) 有非零解 (C) 无解 (D) 有非零解或无解6．已知TT T t ),3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα线性相关的，则t =-----（ B ）(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 77. 设方阵A 相似于(1,1,1)diag -,则10A =---------------------------------------- ( A )(A) E (B) 10E (C) E - (D) 10E - 8. 设A 为n 阶方阵，则下列说法中正确的是--------------------------------------（ B ） (A) 若A 可对角化，则A 为实对称阵 (B) 若A 为实对称阵，则A 可对角化 (C) 若A 可对角化，则A 必可逆 (D) 若A 可逆，则A 可对角化二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）1.设2110A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则*A =0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1A-=0112-⎛⎫ ⎪⎝⎭。