线性代数期末考试试卷+答案合集(20200412011417)
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末考试题一、填空题将正确答案填在题中横线上;每小题5分,共25分1. 若022150131=---x ,则=χ__________; 2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 ;3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵;4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵,且3||=A ,则=|2|A ;5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A ;二、选择题 每小题5分,共25分6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时,该二次型为正定A.054<<-tB.5454<<-tC.540<<tD.2154-<<-t7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,求x 的值A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是 A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9．过点0,2,4且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为 A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为 A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题 每小题10分,共50分11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式EX B C T=-)(, 求X ;12.问a 取何值时,下列向量组线性相关 123112211,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭;13. λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解,无解和有无穷多解 当方程组有无穷多解时求其通解;14. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示;15.证明：若A 是n 阶方阵,且，I AA =T，1-=A 证明 0=+I A ;其中I 为单位矩阵 线性代数期末考试题答案一、填空题 1. 5.解析:采用对角线法则,由002)5(03)2(51=----++-⨯⨯x x 有5=x . 考查知识点:行列式的计算. 难度系数:2.1≠λ.解析:由现行方程组有)1(22211111111-=-+==λλλλλD ,要使该现行方程组只有零解,则0≠D ,即1≠λ.考查知识点:线性方程组的求解 难度系数: 3.n n s s ⨯⨯， 解析;由题可知ns ij c C ⨯=)(,则设D CB AC ==,可知D 的行数与A 一致,列数与B 一致,且A 与B 均为方阵,所以A 为s s ⨯阶矩阵,B 为n n ⨯阶矩阵.考查知识点:n 阶矩阵的性质 难度系数:4. 24解析:由题可知,A 为3阶矩阵且3=A ,则24223==A A .考查知识点:矩阵的运算 难度系数:5. E A 3-解析:由032=--E A A 有E E A A =-)3(,此时E A A 31-=-.考查知识点:求解矩阵的逆矩阵 难度系数:二、选择题 6. A解析：由题可知,该二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5212111t t ,而0455212111,0111,1122>--=-->-=>t t t t t t t,可解得054<<-t ;此时,该二次型正定;考查知识点:二次型正定的判断 难度系数7. C解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5,可解得x=-5; 考查知识点:n 阶矩阵特征值的性质 难度系数: 8. D解析：由题可知,A 为n 阶可逆矩阵,则A 的行向量组线性无关; 考查知识点:n 阶可逆矩阵的性质 难度系数:9. A.解析：由题可知,两平面法向量分别为)3,1,0(),2,0,1(21-==n n ,则所求直线的方向向量为k j i n n s ++-=⨯=3221;所以所求直线为14322-=-=-z y x ; 考查知识点:求空间平面交线平行的直线方程难度系数:10. C.解析：由08215132=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-λλλλλE A ,可解得特征值为4,221=-=λλ 考查知识点:求解矩阵的特征值难度系数:三、解答题11. 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------121012100120001][1210012100120001][1234012300120001100021003210432111)()()(B C B C B C TT T E X B C ，， 考查知识点:矩阵方程的运算求解难度系数:12.解：)22()12(81212121212121||2321-+=------==a a a a aa a a A ，， 当||A =0时即21-=a 或1=a 时,向量组321a a a ，，线性相关;考查知识点:向量组的线性相关性 难度系数:13.解：①当1≠λ且2-≠λ时,方程组有唯一解；②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时,有无穷多组解,通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 考查知识点:线性方程组的求解难度系数:14.解：由题可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------==0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321a a a a A ，，，则()34321=a a a a r ，，，,其中321a a a ，，构成极大无关组,且线性关系为 321422a a a a ++-=考查知识点:向量组的秩与 最大无关组 难度系数:15.证明：由题可知,()()A I TA I A I A AA A I A TT+-=+-=+=+=+∴()02=+A I ,即()0=+A I 考查知识点:n 阶方阵的性质 难度系数:。
期末线代试题及答案
期末线代试题及答案一、选择题（每题2分，共50分）1. 设A为3阶方阵，满足A^2 = I，则A的行列式的值是多少？A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C2. 设向量组V1 = (1, 0, -1)，V2 = (2, -1, 3)，V3 = (-1, 2, 0)，则V1, V2, V3是否线性相关？A. 相关B. 不相关答案：B3. 设向量组V1 = (1, 2, -1)，V2 = (2, 1, 3)，V3 = (-1, 4, 5)，则V1, V2, V3是否线性相关？A. 相关B. 不相关答案：A4. 设A为3阶方阵，满足行列式det(A) = 3，则矩阵B = A^-1的行列式的值是多少？A. -1/3B. 3C. 1/3D. 1答案：C5. 已知矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]，则A的秩是多少？A. 2B. 3C. 1D. 0答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 设A为3阶方阵，满足A^T = 2A，则A的特征值之和是________。
答案：62. 设矩阵A = [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]，则A的伴随矩阵的元素之和为________。
答案：03. 设向量组V1 = (1, 0, 1)，V2 = (2, 1, 3)，V3 = (-1, 0, -2)，则V1, V2, V3的秩为________。
答案：24. 设三阶方阵A的特征值为λ1 = 2, λ2 = -1, λ3 = 0，则A的特征值对应的特征向量分别为________。
答案：（2, 0, 1），（0, 1, -1），（1, 1, -1）5. 设矩阵A = [1 2, 3 4]，则A的迹为________。
答案：5三、解答题（每题20分，共60分）1. 设A为2阶方阵，满足det(A) = 3，求A的伴随矩阵。
答案：设A = [a b, c d]，则伴随矩阵的元素为：A* = [d -b, -c a]所以伴随矩阵为：A* = [d/3 -b/3, -c/3 a/3]2. 已知矩阵A = [1 -1, 2 3]，求A的特征值和特征向量。
线性代数期末试题
线性代数试题（附答案）一、填空题（每题2分，共20分）1.行列式0005002304324321= 。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。
3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。
4.A 为n n ⨯阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。
5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。
7.设=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。
8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。
9.二次型x x x x x x f 23222132123),,(--=的正惯性指数为 。
10.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。
二、单项选择（每小题2分，共12分）1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。
A 、1B 、2C 、3D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-02023214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ）A 、-1B 、-2C 、0D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ）A 、B=EB 、A=EC 、A=BD 、AB=BA5.已知=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5000210002（ ） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020002三、计算题（每小题9分，共63分）1．计算行列式),2,1,0(0000002211210n i a a c a c a c b b b a i nnnΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中2．当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x a 4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解。
线代期末试题及答案
线代期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三维向量空间中，以下向量中线性无关的是：A) (1, 0, 0)B) (0, 1, 0)C) (0, 0, 1)D) (1, 1, 1)答案：D2. 设矩阵A = [a b; c d]，若行列式det(A) = 0，则以下哪个等式成立？A) ad - bc = 0B) ab - bc = 0C) ac - bd = 0D) ad - bd = 0答案：A3. 给定矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则A的逆矩阵为：A) [-1/6 -1/3 1/6; -1/6 2/3 -1/6; 1/6 -1/3 1/6]B) [-1 -2 -3; -4 -5 -6; -7 -8 -9]C) [1/6 1/3 -1/6; 1/6 -2/3 1/6; -1/6 1/3 -1/6]D) [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]答案：A4. 给定矩阵A = [2 0; 0 3]，B = [1 2; 3 4]，则A与B的乘积为：A) [2 4; 6 8]B) [2 0; 0 3]C) [1 2; 9 12]D) [4 6; 6 12]答案：B5. 给定向量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)，则a与b的内积为：A) 32B) 22C) 14D) 6答案：C6. 若向量a = (1, 2, 3)，b = (4, -2, 5)，c = (3, 1, -2)，则以下哪个等式成立？A) a × b = cB) b × c = aC) c × a = bD) a × c = b答案：B7. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，则A的特征值为：A) 1, 2B) 2, 3C) 3, 4D) 4, 5答案：A8. 设向量a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，c = (2, 1, 3)，则向量集合{a, b, c}的维数为：A) 1B) 2C) 3D) 4答案：C9. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，A的转置矩阵为：A) [1 3; 2 4]B) [4 3; 2 1]C) [1 2; 3 4]D) [3 4; 1 2]答案：A10. 设矩阵A = [2 1; 3 4]，则A的伴随矩阵为：A) [4 -1; -3 2]B) [2 -1; 3 4]C) [-4 1; 3 -2]D) [-2 1; -3 -4]答案：A二、计算题（共70分）1. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的逆矩阵。
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）。
1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。
1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末测试题及其答案一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵ns ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ）A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t7．已知矩阵BA xB A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B.1≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ）A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y xC.14322+=+=-z y xD.24322+=+=z y x10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(， 求X 。
线性代数期末考试试卷+答案
大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ）5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
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大学生校园网—线性代数综合测试题×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1311.若005x，则__________。
122x 1 x2x32．若齐次线性方程组x1 x2x30只有零解，则应满足。
x 1 x2x33．已知矩阵A，B，C(c ij)sn，满足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。
a 11 a1 24．矩阵A aa的行向量组线性。
2122a 31 a322AE5．n阶方阵A满足30A，则1 A。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1.若行列式D中每个元素都大于零，则D0。
（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）3.向量组a1，a2，，a中，如果a1与a m对应的分量成比例，则向量组a1，a2，，a s线性相关。
m（）01004.10001。
（）A，则AA000100105.若为可逆矩阵A的特征值，则1A的特征值为。
()三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1.设A为n阶矩阵，且A2，则T AA（）。
①n2②2n③2n1④412.n维向量组1（3sn）线性无关的充要条件是（）。
s，2，，①1，2，中任意两个向量都线性无关，s②1，2，，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示③1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示共3页第1页大学生校园网—线性代数综合测试题④1，2，，s中不含零向量2.下列命题中正确的是()。
①任意n个n1维向量线性相关②任意n个n1维向量线性无关③任意n1个n维向量线性相关④任意n1个n维向量线性无关3.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。
①若A，B均可逆，则AB可逆②若A，B均可逆，则AB可逆③若AB可逆，则AB可逆④若AB可逆，则A，B均可逆4.若1，，，是线性方程组A0的基础解系，则1234是A0的（）234①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分，共63分)xabcd6.计算行列式a xbcdabxcd。
abcxd解·xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x003 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x1bxcd00x01bcxd000x3017.设ABA2B，且A,求B。
110014211522解.(A2E)BA ( 1A2E)221，B(A2E)1A 432111223共3页第2页大学生校园网—线性代数综合测试题110021340110 设B, 00110213C且矩阵满足关系式0021'X(CB)E,求。
000100025.问a取何值时，下列向量组线性相关？121a211,a,1232211a22。
x 1 x2x336.为何值时，线性方程组x1 x2x32有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多x 1 x2x32解时求其通解。
①当1且2时，方程组有唯一解；②当2时方程组无解211③当1时，有无穷多组解，通解为0c11c20011213490107.设.,,,1求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向23411370317量用该极大无关组线性表示。
100A，求A的特征值及对应的特征向量。
0107.设021五、证明题(7分)若A是n阶方阵，且AAI，A1，证明AI0。
其中I为单位矩阵。
共3页第3页×××大学线性代数期末考试题答案一、填空题8.52.13.ss，nn4.相关8.A3E二、判断正误3.×2.√3.√4.√5.×三、单项选择题1.③2.③3.③4.②5.①四、计算题1.xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1bcd1bcd1xbcd0x003 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x1bxcd00x01bcxd000x2.211522(A2E)BA(1A2E)221， B ( A 2E)1A 4 3 2 1112233.12341000CB 012132，(C B')231210 0001432110001000CB '1 21121，XEC B'1 2112101210121共3页第4页9.11a221112 a1，a，aa(2a1)(2a2)当2322811a221a或a1时，向量组a1，a2，a3线性相2关。
10.①当1且2时，方程组有唯一解；②当2时方程组无解211③当1时，有无穷多组解，通解为0c11c200111.121312131213(a1，a2，a3，a4) 4191310713442101416216 031703170013131002010200110000则3ra1，a，a，a，其中a1，a2，a3构成极大无关组，a42a12a2a323412.1003EA010(1)002100010特征值11，对于λ1＝1，231EA000，特征向量为k0l002001五、证明题AIAAAAIAIAIA∴2IA0，∵IA0共3页第5页大学生校园网—线性代数综合测试题一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设A，B为n阶方阵，满足等式AB0，则必有（）(A)A0或B0;(B)AB0；（C）A0或B0;(D)AB0。
2、A和B均为n阶矩阵，且222(A B)A2ABB，则必有（）(A)AE；(B)BE；（C）AB.(D)ABBA。
3、设A为mn矩阵，齐次方程组Ax0仅有零解的充要条件是（）(A)A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；（C）A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.4、n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（）(A)A的秩小于n；(B)A0；(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵A的行列式A5，A是A的伴随矩阵，则A=。
6、A为nn阶矩阵，且220AAE，则1 (A2E)。
121 x117、已知方程组23 a2x3无解，则a。
21a2 x348、二次型222fxxxxxtxxxxx是正定的，则t的取值范围(,,)23221231231213是。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）1x1119、计算行列式 D 11x11 111y1 1111y10、计算n阶行列式共3页第6页大学生校园网—线性代数综合测试题x3xx12nD n x x3x12nxxx12n3四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。
写出证明过程）11、若向量组1,2,3线性相关，向量组2,3,4线性无关。
证明：(1)1能有2,3线性表出；(2)4不能由1,2,3线性表出。
12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，AE可逆，且1 f(A)(EA)(EA)。
证明（1）(E f(A))(EA)2E；（2）f(f(A))A。
五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。
解答应写出文字说明或演算步骤）20013、设A，求一个正交矩阵P使得0321PAP为对角矩阵。
023x 1 x2x314、已知方程组x1 2x2a x30与方程组x12x2x3a1有公共解。
x 1 4x2a2x3求a的值。
15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1，2，3是它的三个解向量，且共3页第7页21 31，42323 54求该方程组的通解。
解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、A。
二、填空题5、-125;6、；7、-1；8、23 t。
5三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：xx00D 11x1100yy1111yx000第二列减第一列，第四列减第三列得： D 1x1000y0（4分）101y按第一行展开得x10Dx0y001y按第三列展开得x022Dxyxy1y。
（4分）n10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子xi 3，再通过行列式的变换化i1为上三角形行列式共3页第8页1 x x2n nDxnii131x3x2n （4分）1xx32n1 x x2nnxi3030i1003nn133x（4分）ii1四、证明题11、证明：(1)、因为2，,线性无关，所以2，3线性无关。
，33又1，2，3线性相关，故1能由2，3线性表出。
(4分)r(，，)3，123（2）、（反正法）若不，则4能由1，2,3线性表出，不妨设4kkk。
112233由（1）知，1能由2，3线性表出，不妨设1tt。
1223所以4k(tt)kk，112232233这表明2，,线性相关，矛盾。
3412、证明（1）1(Ef(A))(EA)[E(EA)(EA)](EA)1(E A)(E A)(EA)(E A)(E A)(E A)2E（4分）1（2）f(f(A))[Ef(A)][Ef(A)]共3页第9页大学生校园网—线性代数综合测试题由（1）得：11[E f(A)](E A)，代入上式得211111f(f(A))[E(EA)(EA)](EA)(E A)(E A)(EA)(EA)22211(EA)(EA)A（4分）22五、解答题13、解：（1）由EA0得A的特征值为11，22，35。
（4分）（2）11的特征向量为11，1122的特征向量为20，。
（3分）35的特征向量为311（3）因为特征值不相等，则1,2,3正交。
（2分）（4）将010 111,2,3单位化得p11，p20，p31（2分）22101 010（5）取11Pp,p,p0123221122100（6）1PAP（1分）02000514、解：该非齐次线性方程组Axb对应的齐次方程组为Ax0共3页第10页大学生校园网—线性代数综合测试题因R(A)3，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。
（5分）另一方面，记向量2()1，则23AA(2123)2A1A2A32bbb0T，就是它的一个基础解系。
根据非齐次线性方程组解的结构直接计算得(3,4,5,6)0知，原方程组的通解为3243xk1k，kR。
（7分）546515、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:x 1 x2x30,x 1 2x2a x30,x 1 4x22a x 3 0,x 1 2x2x3a1.若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.对③的增广矩阵A作初等行变换得:11101110A 1124a2a10 (aa2)(1a 1).（4分）121a1001aa11°当a1时，有r(A)r(A)23，方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即为③的通解，此时10100100A，000000001则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:,1共3页第11页大学生校园网—线性代数综合测试题1所以①与②的全部公共解为k0，k为任意常数.（4分）12°当a2时，有r(A)r(A)3，方程组③有唯一解,此时10000101A，0011000000故方程组③的解为:,即①与②有唯一公共解x.（4分）1111大学生校园网—V v S c ho o l.CN线性代数线性代数习案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符 合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。