线性代数期末考试试题
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。
7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。
8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。
9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。
10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。
14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。
线性代数期末考试试题
《线性代数》重点题一． 单项选择题1.设A 为3阶方阵，数λ = -3，|A | =2，则 |λA | =（ ）.A ．54；B ．-54；C ．6；D ．-6.解. .54227)3(33-=⨯-=-==A A A λλ 所以填: B.2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ）A 、λ|A |；B 、|λ||A |；C 、λn |A |；D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C.3.设矩阵()1,2,12A B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 则AB =（ ）.解. ().24121,221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 所以填: D.A. 0；B. ()2,2-；C. 22⎛⎫ ⎪-⎝⎭；D. 2142-⎛⎫⎪-⎝⎭.4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32.解. |-2A |=(-2)3A =-8⨯4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）.A .一个零向量一定线性无关；B .一个非零向量一定线性相关；C .含有零向量的向量组一定线性相关；D .不含零向量的向量组一定线性无关.解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关.B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关.C .含有零向量的向量组一定线性相关；对.D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C.6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( )A 、 12,; ααB 、 123,, ;αααC 、 124,, ;αααD 、1234,, ,αααα解. (B)93页7.设A,B,C 是n 阶矩阵，下列选项中不正确的是（ ）.A .若A 可逆，则*1A A A-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；B .若AB E =，则1B A -=；C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()11kA kA --=；D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.解. A .若A 可逆，则*1A A A-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；对.B .若AB E =，则1B A -=；对.C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()11kA kA --=；不对,应该是().111--=A kkA D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.对.所以填: C.8、 矩阵A =1111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭的伴随矩阵A *=（ ）. A 、1111⎛⎫⎪⎝⎭；B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111；C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111； D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111.解.因为112112221,(1)11,(1)11,1A A A A ==--⋅==--⋅==.所以1121*12221111AA A A A ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故填A.41页9.若n 元齐次线性方程组0Ax =有非零解, 则（ ）. A . ()R A n <； B . ()R A n =；C . ()0R A =；D .A 、B 、C 都不对.解. A . ()R A n <；对.B . ()R A n =；不对, 此时应该0Ax =有且仅有零解.C . ()0R A =；不对. 此时, 仅是0Ax =有非零解的一种情况.D .A 、B 、C 都不对. 不对.所以填:A.10、 ,A B n 与均为阶方阵则下列结论中成立的是（ ）.A 、det()0,,;AB A O B O ===则或 B 、det()0,det 0,det 0;AB A B ===则或C 、,,;AB O A O B O ===则或；D 、,det 0,det 0.AB O A B ≠≠≠则或 解. A 、不对. B 、40页(iii),AB A B =.即有det()0,det 0,det 0AB A B ===则或.所以填: B .11.设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关,则下列成立是（ ）.A . 2α可由34,αα线性表示；B .4α可由23,αα线性表示；C . 4α不可由123,,,ααα线性表示；D .3α可由2,α4α线性表示.解.(p90例7.) 由题设“设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关”.①因234,,ααα线性无关,则23,αα线性无关.再由123,,ααα线性相关.则1α可由23,αα线性表示.②用反证法.假设4α可由123,,,ααα线性表示,而由①知1α可由23,αα线性表示.因此4α可由23,αα线性表示.这与题设234,,ααα线性无关相矛盾.所以4α不可由123,,,ααα线性表示. 所以填: C.12、设123,,a a a 是二维实向量，则（ ）.A 、123,,a a a 一定线性无关；B 、1a 一定可由23,a a 线性表出；C 、123,,a a a 一定线性相关；D.12,a a 一定线性无关.解. A 不对. B 不对. C.因为105页:n 维实向量12,,,n e e e 叫做n R 中的自然基.因此二维实向量123,,a a a 的自然基为二维实向量12,e e .当然123,,a a a 是线性相关的.即C 对. D 不对. 所以填: C.13.向量空间3R 的一组基为( )A . 1231200,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；B . 1231000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；C . 1231010,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；D . 1230210,0,0130ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解. A .1231200,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；不是.因31232ααα+=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.B . 1231000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；是向量空间3R 的一组基.C . 1231010,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；不是.因13233ααα-=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.D . 1230210,0,0130ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.不是.因31223ααα+=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.所以填: B.14、设A 是4×6矩阵，R （A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）.A 、 4；B 、 3 ；C 、 2；D 、1.解.由97页,定理7.设m n ⨯矩阵A 的秩()R A r =,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩.S R n r =-现在6, 3.n r ==因此63 3.-= 即填: B.15.设矩阵111213212223212223111213313233311132123313,,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭12010100100,010,001101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则必有（ ）. A .12APP B =； B .21AP P B =； C .12PP A B =； D .21P P A B =.解. A . 12APP B =？.10101000110101000110000101033313332232123221311131233313223212213111233323123222113121121B a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a P AP ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=因此A 不对.B .21AP P B = ？11121311121321212223212223313233313233121113132221232332313333100010010010100100101001011.a a a a a a AP P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫ ⎪=+≠ ⎪ ⎪+⎝⎭因此B 不对.C .12PP A B = ？11121311121312212223212223313233313233212223111213113112321333010100010100010100001101101.a a a a a a PP A a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪+++⎝⎭因此C 对.D .21P P A B = ？11121311121321212223212223313233313233212223111213213122322333100010010010100100101001011.a a a a a a P P A a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪+++⎝⎭所以填: C.16、设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则1()ABC -=（ ）.A 、111ABC ---； B 、111C A B ---； C 、111C B A ---；D 、111B A C ---解。
线性代数期末试题
线性代数试题（附答案）一、填空题（每题2分，共20分）1.行列式0005002304324321= 。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。
3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。
4.A 为n n ⨯阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。
5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。
7.设=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。
8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。
9.二次型x x x x x x f 23222132123),,(--=的正惯性指数为 。
10.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。
二、单项选择（每小题2分，共12分）1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。
A 、1B 、2C 、3D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-02023214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ）A 、-1B 、-2C 、0D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ）A 、B=EB 、A=EC 、A=BD 、AB=BA5.已知=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5000210002（ ） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020002三、计算题（每小题9分，共63分）1．计算行列式),2,1,0(0000002211210n i a a c a c a c b b b a i nnnΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中2．当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x a 4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解。
线性代数期末考试题及答案
《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。
《线性代数》期末考试试卷(A卷答案)
《线性代数》期末考试试卷（A 卷答案）注：各主观题答案中每步得分是标准得分，实际得分应按下式换算：第步实际得分本题实际得分解答第步标准得分解答总标准得分N =N ⨯一、本 题 8分原 式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112313517 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=047210二、本 题 8分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100012010411001210)(E A)(211231001240101120011-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→A E8⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-211231241121A10( 用 其 它 方 法 解 对, 给 一 半 分). 三、本 题11分D =--1000364022311149=-640231149=11010四、本 题10分因 A B ~ ， 存 在 可 逆 矩 阵 P 使P AP B -=12则 '='='''--B P AP P A P ()()114记 ()P Q -'=1， 则 Q P P ---='='111[()] ， 故 '='-B Q A Q 18即 ''B A ~10五、本 题7分'=αα120, 即α1 与α2 已 正 交设 有 向 量 为()X x x x x T =4321， 则080140841=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-X3解 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1480,410843αα 为 所 求 线 性 无 关 解8且αα34,已 正 交， 故αα12,αα34£, 为 正 交 向 量 组10六、本 题 8分因 21152110120=-≠， 故43, 1,ααα 线 性 无 关。
4而αα212=, 故431,,ααα 是 该 向 量 组 的 一 个 最 大 线 性 无 关 组。
8线 性 表 出 为：.,,2, 44331211αααααααα====10七、本 题 10分 ００００２２７００２０－２－０ ～ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011112122320111114331211121 所 以３=)(A R10八、本 题10分方 程 组 有 非 零 解 ⇔=A 03而 A =-55λ 故 当 仅 当 λ=1 时 方 程 组 有 非 零 解。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案第一节：选择题1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？A. [2, 1, 0]B. [0, 1, 0]C. [1, 1, 1]D. [0, 0, 0]答案：D2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？A. T是一个单射B. T是一个满射C. T是一个双射D. T是一个线性变换答案：C3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基答案：A4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？A. A = 0 或 B = 0B. A = 0 且 B = 0C. A ≠ 0 且 B = 0D. A = 0 且B ≠ 0答案：C第二节：计算题1. 计算矩阵乘法A = [1, 2; 3, 4]B = [5, 6; 7, 8]答案：AB = [19, 22; 43, 50]2. 计算矩阵的逆A = [1, 2; 3, 4]答案：A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2]3. 计算向量的内积u = [1, 2, 3]v = [4, 5, 6]答案：u ∙ v = 32第三节：证明题证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y证明：设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。
左边：(x + y) ∙ (x - y) = [x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn] ∙ [x1 - y1, x2 - y2, ..., xn - yn]= (x1 + y1)(x1 - y1) + (x2 + y2)(x2 - y2) + ... + (xn + yn)(xn - yn)= x1^2 - y1^2 + x2^2 - y2^2 + ... + xn^2 - yn^2= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)= x ∙ x - y ∙ y右边，由向量的内积定义可得：x ∙ x - y ∙ y = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 - (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)综上，左边等于右边，证毕。
线性代数期末考试考核试卷
4.以下哪个向量组构成一个基？
A. (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 0)
B. (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)
C. (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)
D. (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
二、多选题
1. BCD
2. ABCD
3. ABC
4. AB
5. ABC
...
20.（根据实际题目内容填写答案）
三、填题
1. 1
2.线性无关
3.主
...
10.（根据实际题目内容填写答案）
四、判断题
1. √
2. √
3. √
...
10. ×
五、主观题（参考）
1.向量组线性无关，可以通过计算行列式不为零来证明。一个可以由给定向量组线性表示的向量可以是它们的线性组合，例如\(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3\)，其中\(a, b, c\)是适当的系数。
D. (1, 1), (1, -1)
（答题括号：________）
5.在求解线性方程组时，以下哪些情况下可以使用高斯消元法？
A.系数矩阵是方阵
B.系数矩阵是非奇异的
C.方程组中方程的个数等于未知数的个数
D.方程组可能有无穷多解
（答题括号：________）
（以下题目类似，省略以节约空间）
6. ...
A.若A为m×n矩阵，则A的转置为n×m矩阵
B.若A为m×n矩阵，则A的转置为m×n矩阵
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《线性代数》重点题一． 单项选择题1.设A 为3阶方阵，数=3，|A | =2，则 |A | =（ ）.A ．54；B ．-54；C ．6；D ．-6.解. .54227)3(33-=⨯-=-==A A A λλ 所以填: B.2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ）A 、λ|A |；B 、|λ||A |；C 、λn |A |；D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C.3.设矩阵()1,2,12A B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 则AB =（ ）.解. ().24121,221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 所以填: D.A. 0；B. ()2,2-；C. 22⎛⎫ ⎪-⎝⎭；D. 2142-⎛⎫⎪-⎝⎭.4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32.解. |-2A |=(-2)3A =-8⨯4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）.A .一个零向量一定线性无关；B .一个非零向量一定线性相关；C .含有零向量的向量组一定线性相关；D .不含零向量的向量组一定线性无关.解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关.B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关.C .含有零向量的向量组一定线性相关；对.D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C.6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( )A 、 12,; ααB 、 123,, ;αααC 、 124,, ;αααD 、1234,, ,αααα解. (B)93页7.设A,B,C 是n 阶矩阵，下列选项中不正确的是（ ）.A .若A 可逆，则*1A A A-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；B .若AB E =，则1B A -=；C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()11kA kA --=；D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.解. A .若A 可逆，则*1A A A-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；对.B .若AB E =，则1B A -=；对.C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()11kA kA --=；不对,应该是().111--=A kkA D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.对.所以填: C.8、 矩阵A =1111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭的伴随矩阵A *=（ ）. A 、1111⎛⎫⎪⎝⎭；B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111；C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111； D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111.解.因为112112221,(1)11,(1)11,1A A A A ==--⋅==--⋅==.所以1121*12221111AA A A A ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故填A.41页9.若n 元齐次线性方程组0Ax =有非零解, 则（ ）. A . ()R A n <； B . ()R A n =；C . ()0R A =；D .A 、B 、C 都不对.解. A . ()R A n <；对.B . ()R A n =；不对, 此时应该0Ax =有且仅有零解.C . ()0R A =；不对. 此时, 仅是0Ax =有非零解的一种情况.D .A 、B 、C 都不对. 不对.所以填:A.10、 ,A B n 与均为阶方阵则下列结论中成立的是（ ）.A 、det()0,,;AB A O B O ===则或 B 、det()0,det 0,det 0;AB A B ===则或C 、,,;AB O A O B O ===则或；D 、,det 0,det 0.AB O A B ≠≠≠则或 解. A 、不对. B 、40页(iii),AB A B =.即有det()0,det 0,det 0AB A B ===则或.所以填: B .11.设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关,则下列成立是（ ）.A . 2α可由34,αα线性表示；B .4α可由23,αα线性表示；C . 4α不可由123,,,ααα线性表示；D .3α可由2,α4α线性表示.解.(p90例7.) 由题设“设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关”.①因234,,ααα线性无关,则23,αα线性无关.再由123,,ααα线性相关.则1α可由23,αα线性表示.②用反证法.假设4α可由123,,,ααα线性表示,而由①知1α可由23,αα线性表示.因此4α可由23,αα线性表示.这与题设234,,ααα线性无关相矛盾.所以4α不可由123,,,ααα线性表示. 所以填: C.12、设123,,a a a 是二维实向量，则（ ）.A 、123,,a a a 一定线性无关；B 、1a 一定可由23,a a 线性表出；C 、123,,a a a 一定线性相关；D.12,a a 一定线性无关.解. A 不对. B 不对. C.因为105页:n 维实向量12,,,n e e e L 叫做nR 中的自然基.因此二维实向量123,,a a a 的自然基为二维实向量12,e e .当然123,,a a a 是线性相关的.即C 对. D 不对. 所以填: C.13.向量空间3R 的一组基为( )A . 1231200,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；B . 1231000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；C . 1231010,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；D . 1230210,0,0130ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解. A .1231200,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；不是.因31232ααα+=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.B . 1231000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；是向量空间3R 的一组基.C . 1231010,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；不是.因13233ααα-=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.D . 1230210,0,0130ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.不是.因31223ααα+=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.所以填: B.14、设A 是4×6矩阵，R （A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）.A 、 4；B 、 3 ；C 、 2；D 、1.解.由97页,定理7.设m n ⨯矩阵A 的秩()R A r =,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩.S R n r =-现在6, 3.n r ==因此63 3.-= 即填: B.15.设矩阵111213212223212223111213313233311132123313,,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭12010100100,010,001101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则必有（ ）. A .12APP B =； B .21AP P B =； C .12PP A B =； D .21P P A B =.解. A . 12APP B =？.10101000110101000110000101033313332232123221311131233313223212213111233323123222113121121B a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a P AP ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=因此A 不对.B .21AP P B = ？11121311121321212223212223313233313233121113132221232332313333100010010010100100101001011.a a a a a a AP P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫ ⎪=+≠ ⎪ ⎪+⎝⎭因此B 不对.C .12PP A B = ？11121311121312212223212223313233313233212223111213113112321333010100010100010100001101101.a a a a a a PP A a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪+++⎝⎭因此C 对.D .21P P A B = ？11121311121321212223212223313233313233212223111213213122322333100010010010100100101001011.a a a a a a P P A a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪+++⎝⎭所以填: C.16、设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则1()ABC -=（ ）.A 、111ABC ---； B 、111C A B ---； C 、111C B A ---；D 、111B A C ---解。
1()ABC -=111C B A ---. 所以填: C. 二． 填空题1.设A =100011202⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩R (A )= .解。