线性代数期末考试试题
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。
2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。
四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。
答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。
7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。
8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。
9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。
10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。
12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。
14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。
线性代数期末考试试题
《线性代数》重点题一． 单项选择题1.设A 为3阶方阵，数λ = -3，|A | =2，则 |λA | =（ ）.A ．54；B ．-54；C ．6；D ．-6.解. .54227)3(33-=⨯-=-==A A A λλ 所以填: B.2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ）A 、λ|A |；B 、|λ||A |；C 、λn |A |；D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C.3.设矩阵()1,2,12A B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 则AB =（ ）.解. ().24121,221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 所以填: D.A. 0；B. ()2,2-；C. 22⎛⎫ ⎪-⎝⎭；D. 2142-⎛⎫⎪-⎝⎭.4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32.解. |-2A |=(-2)3A =-8⨯4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）.A .一个零向量一定线性无关；B .一个非零向量一定线性相关；C .含有零向量的向量组一定线性相关；D .不含零向量的向量组一定线性无关.解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关.B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关.C .含有零向量的向量组一定线性相关；对.D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C.6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( )A 、 12,; ααB 、 123,, ;αααC 、 124,, ;αααD 、1234,, ,αααα解. (B)93页7.设A,B,C 是n 阶矩阵，下列选项中不正确的是（ ）.A .若A 可逆，则*1A A A-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；B .若AB E =，则1B A -=；C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()11kA kA --=；D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.解. A .若A 可逆，则*1A A A-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；对.B .若AB E =，则1B A -=；对.C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()11kA kA --=；不对,应该是().111--=A kkA D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.对.所以填: C.8、 矩阵A =1111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭的伴随矩阵A *=（ ）. A 、1111⎛⎫⎪⎝⎭；B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111；C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111； D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111.解.因为112112221,(1)11,(1)11,1A A A A ==--⋅==--⋅==.所以1121*12221111AA A A A ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故填A.41页9.若n 元齐次线性方程组0Ax =有非零解, 则（ ）. A . ()R A n <； B . ()R A n =；C . ()0R A =；D .A 、B 、C 都不对.解. A . ()R A n <；对.B . ()R A n =；不对, 此时应该0Ax =有且仅有零解.C . ()0R A =；不对. 此时, 仅是0Ax =有非零解的一种情况.D .A 、B 、C 都不对. 不对.所以填:A.10、 ,A B n 与均为阶方阵则下列结论中成立的是（ ）.A 、det()0,,;AB A O B O ===则或 B 、det()0,det 0,det 0;AB A B ===则或C 、,,;AB O A O B O ===则或；D 、,det 0,det 0.AB O A B ≠≠≠则或 解. A 、不对. B 、40页(iii),AB A B =.即有det()0,det 0,det 0AB A B ===则或.所以填: B .11.设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关,则下列成立是（ ）.A . 2α可由34,αα线性表示；B .4α可由23,αα线性表示；C . 4α不可由123,,,ααα线性表示；D .3α可由2,α4α线性表示.解.(p90例7.) 由题设“设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关”.①因234,,ααα线性无关,则23,αα线性无关.再由123,,ααα线性相关.则1α可由23,αα线性表示.②用反证法.假设4α可由123,,,ααα线性表示,而由①知1α可由23,αα线性表示.因此4α可由23,αα线性表示.这与题设234,,ααα线性无关相矛盾.所以4α不可由123,,,ααα线性表示. 所以填: C.12、设123,,a a a 是二维实向量，则（ ）.A 、123,,a a a 一定线性无关；B 、1a 一定可由23,a a 线性表出；C 、123,,a a a 一定线性相关；D.12,a a 一定线性无关.解. A 不对. B 不对. C.因为105页:n 维实向量12,,,n e e e 叫做n R 中的自然基.因此二维实向量123,,a a a 的自然基为二维实向量12,e e .当然123,,a a a 是线性相关的.即C 对. D 不对. 所以填: C.13.向量空间3R 的一组基为( )A . 1231200,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；B . 1231000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；C . 1231010,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；D . 1230210,0,0130ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解. A .1231200,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；不是.因31232ααα+=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.B . 1231000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；是向量空间3R 的一组基.C . 1231010,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；不是.因13233ααα-=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.D . 1230210,0,0130ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.不是.因31223ααα+=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.所以填: B.14、设A 是4×6矩阵，R （A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）.A 、 4；B 、 3 ；C 、 2；D 、1.解.由97页,定理7.设m n ⨯矩阵A 的秩()R A r =,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩.S R n r =-现在6, 3.n r ==因此63 3.-= 即填: B.15.设矩阵111213212223212223111213313233311132123313,,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭12010100100,010,001101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则必有（ ）. A .12APP B =； B .21AP P B =； C .12PP A B =； D .21P P A B =.解. A . 12APP B =？.10101000110101000110000101033313332232123221311131233313223212213111233323123222113121121B a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a P AP ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=因此A 不对.B .21AP P B = ？11121311121321212223212223313233313233121113132221232332313333100010010010100100101001011.a a a a a a AP P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫ ⎪=+≠ ⎪ ⎪+⎝⎭因此B 不对.C .12PP A B = ？11121311121312212223212223313233313233212223111213113112321333010100010100010100001101101.a a a a a a PP A a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪+++⎝⎭因此C 对.D .21P P A B = ？11121311121321212223212223313233313233212223111213213122322333100010010010100100101001011.a a a a a a P P A a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪+++⎝⎭所以填: C.16、设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则1()ABC -=（ ）.A 、111ABC ---； B 、111C A B ---； C 、111C B A ---；D 、111B A C ---解。
线性代数期末试题
线性代数试题（附答案）一、填空题（每题2分，共20分）1.行列式0005002304324321= 。
2.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12≠k ,则k 的值为 。
3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。
4.A 为n n ⨯阶矩阵，且ο=+-E A A 232，则1-A 。
5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基，且32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=，若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ，则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。
7.设=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。
8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--⨯A A 。
9.二次型x x x x x x f 23222132123),,(--=的正惯性指数为 。
10.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1042024λλA 为正定矩阵，则λ的取值范围是 。
二、单项选择（每小题2分，共12分）1.矩阵()==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。
A 、1B 、2C 、3D 、4 2. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=--=++-02023214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ）A 、-1B 、-2C 、0D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+（ ）A 、B=EB 、A=EC 、A=BD 、AB=BA5.已知=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(（ ） A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或26.下列矩阵中与矩阵合同的是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5000210002（ ） A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001 D ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020002三、计算题（每小题9分，共63分）1．计算行列式),2,1,0(0000002211210n i a a c a c a c b b b a i nnnΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中2．当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-++=+++=+++ax x x x x x x x x x x x x x x x a 4321432143214321710535105363132,线性方程组取何值时有解？在方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的通解。
线性代数期末考试题及答案
《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。
《线性代数》期末考试试卷(A卷答案)
《线性代数》期末考试试卷（A 卷答案）注：各主观题答案中每步得分是标准得分，实际得分应按下式换算：第步实际得分本题实际得分解答第步标准得分解答总标准得分N =N ⨯一、本 题 8分原 式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=112313517 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=047210二、本 题 8分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100012010411001210)(E A)(211231001240101120011-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→A E8⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-211231241121A10( 用 其 它 方 法 解 对, 给 一 半 分). 三、本 题11分D =--1000364022311149=-640231149=11010四、本 题10分因 A B ~ ， 存 在 可 逆 矩 阵 P 使P AP B -=12则 '='='''--B P AP P A P ()()114记 ()P Q -'=1， 则 Q P P ---='='111[()] ， 故 '='-B Q A Q 18即 ''B A ~10五、本 题7分'=αα120, 即α1 与α2 已 正 交设 有 向 量 为()X x x x x T =4321， 则080140841=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-X3解 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1480,410843αα 为 所 求 线 性 无 关 解8且αα34,已 正 交， 故αα12,αα34£, 为 正 交 向 量 组10六、本 题 8分因 21152110120=-≠， 故43, 1,ααα 线 性 无 关。
4而αα212=, 故431,,ααα 是 该 向 量 组 的 一 个 最 大 线 性 无 关 组。
8线 性 表 出 为：.,,2, 44331211αααααααα====10七、本 题 10分 ００００２２７００２０－２－０ ～ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011112122320111114331211121 所 以３=)(A R10八、本 题10分方 程 组 有 非 零 解 ⇔=A 03而 A =-55λ 故 当 仅 当 λ=1 时 方 程 组 有 非 零 解。
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《线性代数》重点题一． 单项选择题1.设A 为3阶方阵，数=3，|A | =2，则 |A | =（ ）.A ．54；B ．-54；C ．6；D ．-6.解. .54227)3(33-=⨯-=-==A A A λλ 所以填: B.2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ）A 、λ|A |；B 、|λ||A |；C 、λn |A |；D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C.3.设矩阵()1,2,12A B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 则AB =（ ）.解. ().24121,221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 所以填: D.A. 0；B. ()2,2-；C. 22⎛⎫ ⎪-⎝⎭；D. 2142-⎛⎫⎪-⎝⎭.4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32.解. |-2A |=(-2)3A =-8⨯4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）.A .一个零向量一定线性无关；B .一个非零向量一定线性相关；C .含有零向量的向量组一定线性相关；D .不含零向量的向量组一定线性无关.解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关.B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关.C .含有零向量的向量组一定线性相关；对.D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C.6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( )A 、 12,; ααB 、 123,, ;αααC 、 124,, ;αααD 、1234,, ,αααα解. (B)93页7.设A,B,C 是n 阶矩阵，下列选项中不正确的是（ ）.A .若A 可逆，则*1A A A-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；B .若AB E =，则1B A -=；C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()11kA kA --=；D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.解. A .若A 可逆，则*1A A A-=,其中*A 为A 的伴随矩阵；对.B .若AB E =，则1B A -=；对.C .若矩阵A 可逆，数k ≠ 0，则()11kA kA --=；不对,应该是().111--=A kkA D .对标准矩阵方程AXB C =，若A ，B 可逆，则11X A CB --=.对.所以填: C.8、 矩阵A =1111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭的伴随矩阵A *=（ ）. A 、1111⎛⎫⎪⎝⎭；B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111；C 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111； D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111.解.因为112112221,(1)11,(1)11,1A A A A ==--⋅==--⋅==.所以1121*12221111AA A A A ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故填A.41页9.若n 元齐次线性方程组0Ax =有非零解, 则（ ）. A . ()R A n <； B . ()R A n =；C . ()0R A =；D .A 、B 、C 都不对.解. A . ()R A n <；对.B . ()R A n =；不对, 此时应该0Ax =有且仅有零解.C . ()0R A =；不对. 此时, 仅是0Ax =有非零解的一种情况.D .A 、B 、C 都不对. 不对.所以填:A.10、 ,A B n 与均为阶方阵则下列结论中成立的是（ ）.A 、det()0,,;AB A O B O ===则或 B 、det()0,det 0,det 0;AB A B ===则或C 、,,;AB O A O B O ===则或；D 、,det 0,det 0.AB O A B ≠≠≠则或 解. A 、不对. B 、40页(iii),AB A B =.即有det()0,det 0,det 0AB A B ===则或.所以填: B .11.设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关,则下列成立是（ ）.A . 2α可由34,αα线性表示；B .4α可由23,αα线性表示；C . 4α不可由123,,,ααα线性表示；D .3α可由2,α4α线性表示.解.(p90例7.) 由题设“设向量组123,,ααα线性相关,234,,ααα线性无关”.①因234,,ααα线性无关,则23,αα线性无关.再由123,,ααα线性相关.则1α可由23,αα线性表示.②用反证法.假设4α可由123,,,ααα线性表示,而由①知1α可由23,αα线性表示.因此4α可由23,αα线性表示.这与题设234,,ααα线性无关相矛盾.所以4α不可由123,,,ααα线性表示. 所以填: C.12、设123,,a a a 是二维实向量，则（ ）.A 、123,,a a a 一定线性无关；B 、1a 一定可由23,a a 线性表出；C 、123,,a a a 一定线性相关；D.12,a a 一定线性无关.解. A 不对. B 不对. C.因为105页:n 维实向量12,,,n e e e L 叫做nR 中的自然基.因此二维实向量123,,a a a 的自然基为二维实向量12,e e .当然123,,a a a 是线性相关的.即C 对. D 不对. 所以填: C.13.向量空间3R 的一组基为( )A . 1231200,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；B . 1231000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；C . 1231010,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；D . 1230210,0,0130ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解. A .1231200,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；不是.因31232ααα+=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.B . 1231000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；是向量空间3R 的一组基.C . 1231010,3,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；不是.因13233ααα-=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.D . 1230210,0,0130ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.不是.因31223ααα+=, 所以123,,ααα不是向量空间3R 的一组基.所以填: B.14、设A 是4×6矩阵，R （A ）=3，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）.A 、 4；B 、 3 ；C 、 2；D 、1.解.由97页,定理7.设m n ⨯矩阵A 的秩()R A r =,则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩.S R n r =-现在6, 3.n r ==因此63 3.-= 即填: B.15.设矩阵111213212223212223111213313233311132123313,,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭12010100100,010,001101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则必有（ ）. A .12APP B =； B .21AP P B =； C .12PP A B =； D .21P P A B =.解. A . 12APP B =？.10101000110101000110000101033313332232123221311131233313223212213111233323123222113121121B a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a P AP ≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=因此A 不对.B .21AP P B = ？11121311121321212223212223313233313233121113132221232332313333100010010010100100101001011.a a a a a a AP P a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫ ⎪=+≠ ⎪ ⎪+⎝⎭因此B 不对.C .12PP A B = ？11121311121312212223212223313233313233212223111213113112321333010100010100010100001101101.a a a a a a PP A a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪+++⎝⎭因此C 对.D .21P P A B = ？11121311121321212223212223313233313233212223111213213122322333100010010010100100101001011.a a a a a a P P A a a a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪+++⎝⎭所以填: C.16、设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则1()ABC -=（ ）.A 、111ABC ---； B 、111C A B ---； C 、111C B A ---；D 、111B A C ---解。
1()ABC -=111C B A ---. 所以填: C. 二． 填空题1.设A =100011202⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩R (A )= .解。