上海市2016春高考数学素材数学知多少
2016年高考上海卷理数试题及答案
2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π， 11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
上海市2016届高考压轴考试数学试卷(解析版)
2016上海高考压轴卷数 学一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题．考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.函数)3sin()(πω+=x x f 的周期为π，则=ω .2.已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m = .3.已知复数z 满足：i i z 42)1(+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 .4.在行列式31214053--a 中，元素a 的代数余子式的值是 .5.如图是100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，则测试成绩落在[)50,70 中的学生人数是 .6.如图，圆锥形容器的高为h ，圆锥内水面的高为1h ，且113h h =，若将圆锥倒置，水面高为2h ，则2h h等于 ． 7.已知函数3())f x x x =+，若()f x 的定义域中的a ，b 满足()()3()(f a f b f a f b -+--=++，则()()f a f b += .8.532)23(xx -的二项展开式中，常数项的值是 .9.已知直线01=++By Ax .若B A ,是从7,2,0,1,3--这5个数中选取的不同的两个数，则直线的斜率小于0的概率为 ．第5题第6题10.从抛物线x y 42=上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且5||=PF ，则MPF ∆的面积为 .11.满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥.4,0,0y x y x 的可行域中共有 个整数点.12. D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+=. 若关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是 .13.对于给定的正整数n ，若等差数列1a ，2a ，3a ，…满足2212110n a a ++≤，则2122234n n n n S a a a a ++++=++++ 的最大值为 . 14. 正整数a ，b 满足1a b <<，若关于x ，y 的方程组24033,|1|||||y x y x x a x b =-+⎧⎨=-+-+-⎩有且只有一组解，则a 的最大值为 ．二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为单调函数”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.已知函数xx a x f 2)(+=，),0(),0(b x a ∈>，则下列判断正确的是（ ）.A.当a b >时，)(x f 的最小值为a 2B.当a b ≤<0 时，)(x f的最小值为C.当a b ≤<0 时，)(x f 的最小值为bb a 2+D.对任意的0>b ，)(x f 的最小值均为a 217.给出下列命题，期中正确的命题为（ ）A.若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面B.直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内所有的直线都不垂直C.直线a 与平面a 不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行D.异面直线,a b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直18. 已知函数322393)(a x a ax x x f +--=.若41>a ，且当[]a x 4,1∈时，a x f 12)('≤恒成立，则a 的取值范围为（ ） A.⎥⎦⎤⎝⎛54,41 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛1,41 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,31 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡54,0 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19.（本题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC AC BC ===，90ACB ∠=︒. （1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图； （2）若P 是1AA 的中点，求四棱锥111B C A PC -的体积.20.（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 设函数2()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).(1)若()f x 为偶函数，求实数a 的值； (2)设2a >，求函数()f x 的最小值.ABC1A 1B 1C 第19题21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接2015年“双十一”购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P 万件与促销费用x 万元满足123+-=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品P 万件还需投入成本(102P +)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为20(4)P+元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22.（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （1）求椭圆C 的方程;（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OMAEAD +的最小值.x23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项1a ，2a ，…，i a 中的最大项为i A ，该数列后m i -项1i a +，2i a +，…，m a 中的最小项为i B ，i i i r A B =-（i =1，2，3，…，1m -）．（1）若数列{}n a 的通项公式为2n n a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 是单调数列，且满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式； （3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由．答案与解析一、填空题1.2±2.13.104.2-5.256.7.3- 8. 1080 9. 51 10. 1011.15 12. 4-<λ或122--=λ 13.105n + 14.2016 解析： 1. 因为πωπ==2T ，所以2=ω，即2±=ω.10.由题意，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020,4y y P ，则5142=+==y PM PF ，所以40±=y ，即10210==∆y PM S MPF . 11. 借助图形可以直观些，但直观列举较快：)0,0(，)1,0(，)2,0(，)3,0(，)4,0(，)0,1(，)1,1(，)2,1(，)3,1(，)2,2(),1,2(),0,2(，)0,3(，)1,3(，)0,4(，共有1554321=++++个.12. 在ABC ∆边BC 延长线上，因此由)1(λλ-++=+=)1()1(λλ-+-=)1(λ-=,知11>-λ，故0<λ.由于π,0都不是原方程的解，故原方程在)2,(),0(πππ 上恰有两解，这等价于1sin 1sin 21sin 1sin 22-+=-+=xx x x λ在)2,(),0(πππ 上恰有两解，令x t sin =，即要求112-+=t t λ在)1,0()0,1( -上恰有两解，故当直线λ=y 与112)(-+=tt t f ，)1,0()0,1( -∈t 恰有一个交点时符合题意，因为当)1,0()0,1( -∈t 时x t sin =在)2,(),0(πππ ∈x 始终恰好有两个解21,x x .)1,0(∈t 时，0122)22()(>-=≥f t f ；又0<λ，故只需考虑)0,1(-∈t 时的情况，)(t f 在)22,1(--上递增，在)0,22(-上递减，122)22(--=-f ，4)1(=-f ，故当4-<λ或122--=λ直线λ=y 与)(t f 恰有一个交点，即原方程恰好2解.13. 因为数列{}n a 是等差数列，所以214122431=2n n n n n a a a a a +++++=+=…，所以31(21)n S n a +=+，又因为22221213131(3)()10n n n a a a n d a n d ++++=-+-≤，即213128n n a da ++-2210100n d +-≥，关于d 的二次方程2223111082100n n n d da a ++-+-≥有解，则222311=(8)40(210)0n n a n a ++∆--≥-，化简得22231(6480)400n n a n +-≥-，所以231n a+≤22240013210()25806428064n n n =+--≤，3155n a +-≤≤，所以5(21)S n +≤. 14. 令()24033y g x x ==-+，()|1|||||y f x x x a x b ==-+-+-31,1,1,1,=1,,33,x a b x x a b x a x a b a x b x a b x b-+++⎧⎪-++-<⎪⎨-+-<⎪⎪--->⎩≤≤≤在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示，要使得关于x y 、的方程组有且只有一组解，则只需两函数的图像有且只有一个交点，所以有1x =， 由(1)(1)f g =得224033a b +-=-+，4033a b +=， 又1a b <<，*a ∈N ，所以24033a <，2016a ≤，所以a 的最大值为2016，故答案为2016. 二、选择题15.B 16.A17.D解析：对于A ，若b 为异面直线,a c 的公垂线，则a 与b ，b 与c 都相交，但,a c 异面，故A 错误；对于B ，若直线a α⊂，则α内有无数条直线都与直线a 垂直，故B 错误；对于C ，若直线a α⊂，则α内有无数条直线都与直线a 平行，故C 错误；对于D ，假设存在平面α，使得a α⊂，b α⊥，则b α⊥，与条件矛盾，所以假设错误，故D 正确. 18.A解析：'22()369f x x ax a =--的图像是一条开口向上的抛物线，关于a x =对称. 若'11,()4a f x <≤则在[1,4a]上是增函数， 从而'()f x 在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,f a a =--最大值是'2(4)15.f a a = 由'22|()|12,1236912,f x a a x ax a a ≤-≤--≤得于是有'2'2(1)36912,(4)1512.f a a a f a a a =--≥-=≤且由''14(1)121,(4)120.35f a a f a a a ≥--≤≤≤≤≤得由得 所以11414(,1][,1][0,],(,].43545a a ∈-∈ 即若1>a ,则'2'|()|1212.[1,4]|()|12f a a a x a f x a =>∈≤故当时不恒成立.所以使'|()|12([1,4])f x a x a ≤∈恒成立的a 的取值范围是14(,].45三、解答题 19. 解析：ABC1A 1B 1C P（2）解：如图所示. 由1111B C AC ⊥，111B C CC ⊥，则11B C ⊥面11ACC A .所以，四棱锥111B C A PC -的体积为()111111111121222332B C A PC C A PC V B C S -⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅+⋅=⎢⎥⎣⎦.20. 解析：(1)由已知()()f x f x -=，即22x a x a -=+，解得0a =.（2）2212,2()12,2x x a x a f x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， 当12x a ≥时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+， 由12,,2a x a >≥得1x >，从而1x >-， 故()f x 在12x a ≥时单调递增，()f x 的最小值为2()24a a f =；当12x a <时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-， 故当12ax <<时，()f x 单调递增，当1x <时，()f x 单调递减， 则()f x 的最小值为(1)1f a =-；由22(2)(1)044a a a ---=>，知()f x 的最小值为1a -. 21.解析：（1）由题意知， )210()204(p x p py +--+=， 将231p x =-+代入化简得：x x y -+-=1416（0x a ≤≤）. （2）()()()()()()()222222143142311111x x x x x y x x x x -+++--+-'=--==-=-++++.当1a ≥时,()0,1x ∈时0y '>， 所以函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增()1,a x ∈时0y '<，所以函数4161y x x =--+在()1,a 上单调递减 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大; 当1a <时,因为函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增 4161y x x =--+在[]0,a 上单调递增, 所以x a =时,函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 .综上,当1a ≥时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;当1a <时, 促销费用投入a 万元，厂家的利润最大（注：当1a ≥时，也可：13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y ，当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号） 注意：厂家盈利是a 有应该最大值22. 解析：（1）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =. 又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. （2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=. 化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. 当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k ky k k k -+=+=++，所以222161224,4343()D k k k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠.直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k =-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(3,0)-.（3）因为OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =， 由2211612x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x = 由OM l ，得2D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -++=≥=即k =所以当k =时，AD AE OM+的最小值为 23. 解析：（1）因为2n n a =单调递增，所以2i i A =，12i i B +=，所以1222i i i i r +=-=-，11i m ≤≤-．（2）若{}n a 单调递减，则11i A a ==，i m B a =，所以10i m r a a =->，不满足2i r =-，所以{}n a 单调递增．则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-， 所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-．（3）构造1()2n n a n =-，其中n b n =，1()2n n c =-． 下证数列{}n a 满足题意： 因为1()2n n a n =-，所以数列{}n a 单调递增， 所以1()2i i i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， 所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-， 因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>， 所以数列{}i r 单调递增，满足题意．。
2016年高考理科数学(上海卷) Word版含解析
2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d ==4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =, 123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r rC xC x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________ 【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y BP BA ⋅的取值范围是____________【答案】[0,1【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA = , (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则 111113AO A B B π∠== ∴111O A B 为正三角形∴111O A B S =∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π= ∴ 3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
2016年高考真题——理科数学(上海卷) Word版含解析
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2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d ==4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =, 123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2n x ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________ 【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A, (0,1)B -, P 是曲线y BP BA ⋅的取值范围是____________ 【答案】[0,1【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA = , (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是_______________【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. 65cos ρθ=+ B. 65sin ρθ=+ C. 65cos ρθ=- D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<-【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q-=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧(1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则 111113AO A B B π∠== ∴111O A B 为正三角形∴111O A B S =∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅=(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥ ∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA == 连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π= ∴ 3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
2016年高考试题：理科数学(上海卷)_中小学教育网
2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是. 二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<Nn S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题 学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)上海卷
2016上海理一、填空题（共14小题；共70分） 1. 设 x ∈R ，则不等式 ∣x −3∣<1 的解集为 ． 2. 设 z =3+2i i，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部等于 ．3. l 1:2x +y −1=0，l 2:2x +y +1=0，则 l 1，l 2 的距离为 ．4. 某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 （米）．5. 已知点 (3,9) 在函数 f (x )=1+a x 的图象上，则 f (x ) 的反函数 f −1(x )= ．6. 如图，在正四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 的边长为 3，BD 1 与底面所成角的大小为 arctan 23，则该正四棱柱的高等于 ．7. 方程 3sinx =1+cos2x 在区间 [0,2π] 上的解为 ．8. 在 (√x 3−2x )n的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于 ． 9. 已知 △ABC 的三边长为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ．10. 设 a >0，b >0，若关于 x ，y 的方程组 {ax +y =1x +by =1 无解，则 a +b 的取值范围是 ．11. 无穷数列 {a n } 由 k 个不同的数组成，S n 为 {a n } 的前 n 项和，若对任意 n ∈N ∗，S n ∈{2,3}，则k 的最大值为 ．12. 在平面直角坐标系中，已知 A (1,0)，B (0,−1)，P 是曲线 y =√1−x 2 上一个动点，则 BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ．13. 设 a,b ∈R ，c ∈[0,2π]，若对任意实数 x 都有 2sin (3x −π3)=asin (bx +c )，则满足条件的有序实数组 (a,b,c ) 的组数为 ．14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 A 1A 2⋯A 8 的中心，A 1(1,0)，任取不同的两点A i ，A j ，点 P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则点 P 落在第一象限的概率是 ．二、选择题（共4小题；共20分）15. 设 a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为下图的是 ( )A. ρ=6+5cosθB. ρ=6+5sinθC. ρ=6−5cosθD. ρ=6−5sinθ17. 已知无穷等比数列 {a n } 的公比为 q ，前 n 项和为 S n ，且 lim n→∞S n =S ，下列条件中，使得 2S n <S (n ∈N ∗) 恒成立的是 ( ) A. a 1>0，0.6<q <0.7 B. a 1<0，−0.7<q <−0.6 C. a 1>0，0.7<q <0.8D. a 1<0，−0.8<q <−0.718. 设 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 是定义域为 R 的三个函数，对于命题：①若 f (x )+g (x )，f (x )+ℎ(x )，g (x )+ℎ(x ) 均为增函数，则 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 中至少有一个为增函数；②若 f (x )+g (x )，f (x )+ℎ(x )，g (x )+ℎ(x ) 均是以 T 为周期的函数，则 f (x )，g (x )，ℎ(x ) 均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是 ( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题三、解答题（共5小题；共65分）19. 将边长为 1 的正方形 AA 1O 1O （及其内部）绕 OO 1 旋转一周形成圆柱，如图，AC ⏜ 长为 23π，A 1B 1⏜ 长为 π3，其中 B 1 与 C 在平面 AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥 C −O 1A 1B 1 的体积． （2）求异面直线 B 1C 与 AA 1 所成角的大小．20. 有一块正方形菜地 EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域 S 1 和 S 2，其中 S 1 中的蔬菜运到河边较近，S 2 中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内 S 1 和 S 2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为 (1,0)，如图．（1）求菜地内的分界线 C 的方程．（2）菜农从蔬菜运量估计出 S 1 面积是 S 2 面积的两倍，由此得到 S 1 面积的“经验值”为 83．设 M是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边，另一边过点 M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于 S 1 面积的经验值．21. 双曲线 x 2−y 2b 2=1(b >0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，直线 l 过 F 2 且与双曲线交于 A ，B 两点．（1）若 l 的倾斜角为 π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程． （2）设 b =√3，若 l 的斜率存在，且 (F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求 l 的斜率．22. 已知 a ∈R ，函数 f (x )=log 2(1x +a)．（1）当 a =5 时，解不等式 f (x )>0．（2）若关于 x 的方程 f (x )−log 2[(a −4)x +2a −5]=0 的解集中恰有一个元素，求 a 的取值范围．（3）设 a >0，若对任意 t ∈[12,1]，函数 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上的最大值和最小值的差不超过 1，求 a 的取值范围．23. 若无穷数列 {a n } 满足：只要 a p =a q (p,q ∈N ∗)，必有 a p+1=a q+1，则称 {a n } 具有性质 P ．（1）若 {a n } 具有性质 P ．且 a 1=1，a 2=2，a 4=3，a 5=2，a 6+a 7+a 8=21，求 a 3．（2）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质P，并说明理由．（3）设{b n}是无穷数列，已知a n+1=b n+sina n(n∈N∗)，求证：“对任意a1，{a n}都具有性质P”的充要条件为“{b n}是常数列”．答案第一部分1. (2,4)【解析】−1<x−3<1，即2<x<4．2. −3【解析】z=−i(3+2i)=2−3i．3. 2√55【解析】d=√22+12=2√55．4. 1.76【解析】将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76．5. log2(x−1)【解析】a3+1=9，故a=2,f(x)=1+2x．所以x=log2(y−1)，所以f−1(x)=log2(x−1)．6. 2√2【解析】BD=3√2，DD1=BD⋅23=2√2．7. x=π6,5π6【解析】3sinx=2−2sin2x，即2sin2x+3sinx−2=0．所以(2sinx−1)(sinx+2)=0，所以sinx=12，所以x=π6,5π6．8. 112【解析】2n=256，n=8．通项C8r⋅x8−r3⋅(−2x )r=C8r(−2)r⋅x8−4r3．取r=2，常数项为C82(−2)2=112．9. 7√33【解析】a=3，b=5，c=7，cosC=a 2+b2−c22ab=−12，所以sinC=√32，所以R=c2sinC =7√33．10. (2,+∞)【解析】由已知，ab=1，且a≠b，所以a+b>2√ab=2．11. 4【解析】当n=1时，a1=2或a1=3；当n≥2时，若S n=2，则S n−1=2，于是a n=0，若S n=3，则S n−1=3，于是a n=0．从而存在k∈N∗，当n≥k时，a k=0．其中数列{a n}:2,1,−1,0,0,⋯⋯满足条件，所以k max=4．12. [0,1+√2]【解析】设 P (cosα,sinα)，α∈[0,π]，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα+1)． BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosα+sinα+1=√2sin (α+π4)+1∈[0,1+√2]． 13. 4【解析】（i ）若 a =2， 若 b =3，则 c =5π3；若 b =−3，则 c =4π3．（ii ）若 a =−2，若 b =−3，则 c =π3；若 b =3，则 c =2π3．共 4 组． 14. 528【解析】5C 82=528．第二部分 15. A【解析】a >1⇒a 2>1，a 2>1⇒a >1 或 a <−1， 所以是充分非必要条件．16. D 【解析】θ=−π2 时，ρ 达到最大． 17. B 【解析】S n =a 1(1−q n )1−q ，S =a 11−q，−1<q <1．2S n <S ，即 a 1(2q n −1)>0， 若 a 1>0，则 q n >12，不可能成立． 若 a 1<0，则 q n <12，B 成立．18. D 【解析】①不成立，可举反例．f (x )={2x,x ≤1,−x +3,x >1.g (x )={2x +3,x ≤0,−x +3,0<x <1,2x,x ≥1.ℎ(x )={−x,x ≤0,2x,x >0.② f (x )+g (x )=f (x +T )+g (x +T ) f (x )+ℎ(x )=f (x +T )+ℎ(x +T ) g (x )+ℎ(x )=g (x +T )+ℎ(x +T )前两式作差，可得 g (x )−ℎ(x )=g (x +T )−ℎ(x +T )． 结合第三式，可得 g (x )=g (x +T )，ℎ(x )=ℎ(x +T )． 也有 f (x )=f (x +T )． 所以②正确． 第三部分19. （1） 连 O 1B 1，则 A 1B 1⏜=∠A 1O 1B 1=π3， 所以 △A 1O 1B 1 为正三角形，所以 S △A 1O 1B 1=√34， 所以 V C−O 1A 1B 1=13OO 1⋅S △A 1O 1B 1=√312． （2） 设点 B 1 在下底面圆周的射影为 B ，连 BB 1，则 BB 1∥AA 1， 所以 ∠BB 1C 为直线 B 1C 与 AA 1 所成角（或补角）． BB 1=AA 1，连 BC ，BO ，OC ， AB ⏜=A 1B 1⏜=π3，AC ⏜=2π3，所以 BC ⏜=π3， 所以 ∠BOC =π3， 所以 △BOC 为正三角形， 所以 BC =BO =1， 所以 tan∠BB 1C =BC BB 1=1，所以 ∠BB 1C =45∘，所以直线 B 1C 与 AA 1 所成角大小为 45∘．20. （1） 设分界线上任一点为 (x,y )，依题意 ∣x +1∣=√(x −1)2+y 2， 可得 y =2√x (0≤x ≤1)． （2） 设 M (x 0,y 0)，则 y 0=1， 所以 x 0=y 024=14．所以设所表述的矩形面积为 S 3，则 S 3=2×(14+1)=52．设五边形 EOMGH 面积为 S 4，则 S 4=S 3−S △OMP +S △MGQ =52−12×14×1+12×34×1=114，S 1−S 3=83−52=16，S 4−S 1=114−83=112<16．所以五边形 EOMGH 的面积更接近 S 1 的面积． 21. （1） 由已知 F 1(−√b 2+1,0)，F 2(√b 2+1,0)， 取 x =√b 2+1，得 y =b 2，∣F 1F 2∣=√3∣∣F 2A∣∣． 因为 ∣F 1F 2∣=2√b 2+1，∣F 2A∣∣=b 2， 所以 2√b 2+1=√3b 2，即 3b 4−4b 2−4=(3b 2+2)(b 2−2)=0， 所以 b =√2，所以渐近线方程为 y =±√2x ． （2） 若 b =√3，则双曲线为 x 2−y 23=1，所以 F 1(−2,0)，F 2(2,0),设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,y 1)，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 1,y 2−y 1) 所以 F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2+4,y 1+y 2)， (F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 22−x 12+4(x 2−x 1)+y 22−y 12(∗)． 因为 x 12−y 123=x 22−y 223=1，所以 y 22−y 12=3(x 22−x 12)．所以代入 (∗) 式，可得 4(x 22−x 12)+4(x 2−x 1)=0．直线 l 的斜率存在，故 x 1≠x 2， 所以 x 1+x 2=−1．设直线 l 为 y =k (x −2)，代入 3x 2−y 2=3， 得 (3−k 2)x 2+4k 2x −(4k 2+3)=0，所以 3−k 2≠0，且 Δ=16k 4+4(3−k 2)(4k 2+3)=36(k 2+1)>0 x 1+x 2=−4k 23−k 2=−1， 所以 k 2=35， 所以 k =±√155， 所以直线 l 的斜率为 ±√155． 22. （1） log 2(1x +5)>0⇔1x +5>1⇔4x+1x>0⇔x (4x +1)>0，所以不等式的解为 {x ∣ x >0或x <−14}．（2） 依题意，log 2(1x+a)=log 2[(a −4)x +2a −5]，所以 1x +a =(a −4)x +2a −5，① 可得 (a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即 (x +1)[(a −4)x −1]=0，②当 a =4 时，方程②的解为 x =−1，代入①式，成立． 当 a =3 时，方程②的解为 x =−1，代入①式，成立． 当 a ≠3 且 a ≠4 时，方程②的解为 x =−1,1a−4．若 x =−1 为方程①的解，则 1x +a =a −1>0，即 a >0． 若 x =1a−4为方程①的解，则 1x+a =2a −4>0，即 a >2．要使得方程①有且仅有一个解，则 1<a ≤2．综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则 a 的取值范围为 1<a ≤2 或 a =3 或 a =4． （3） 在 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上单调递减． 依题意，f (t )−f (t +1)≤1， 即 log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，所以 1t+a ≤2(1t+1+a)，即 a ≥1t−2t+1=1−tt (t+1)． 设 1−t =r ，则 r ∈[0,12]， 1−t t (t+1)=r(1−r )(2−r )=rr 2−3r+2． 当 r =0 时，rr 2−3r+2=0． 当 0<r ≤12 时，rr 2−3r+2=1r+2r−3．因为函数 y =x +2x在 (0,√2) 递减， 所以 r +2r ≥12+4=92， 所以1r+2r−3≤192−3=23，所以 a 的取值范围为 a ≥23． 23. （1） a 2=a 5=2， 所以 a 3=a 6， 所以 a 4=a 7=3， 所以 a 5=a 8=2，所以 a 6=21−a 7−a 8=16， 所以 a 3=16．（2） 设 {b n } 的公比为 d ，{c n } 的公差为 q ，则 q >0． b 5−b 1=4d ， 所以 d =20， 所以 b n =20n −19， 所以 c5c 1=q 4=181，所以 q =13， 所以 c n =(13)n−5，所以 a n =b n +c n =20n −19+(13)n−5．因为 a 1=82，a 5=82，而 a 2=21+27=48，a 6=101+13=3043，a 1=a 5，但 a 2≠a 6，故 {a n } 不具有性质 P ．（3） 充分性：若 {b n } 为常数列，设 b n =C ， 则 a n+1=C +sina n 若存在 p ，q 使得 a p =a q ，则 a p+1=C +sina p =C +sina q =a q+1 ， 故 {a n } 具有性质 P ．必要性：若对任意 a 1，{a n }，具有性质 P ， 则 a 2=b 1+sina 1．设函数 f (x )=x −b 1，g (x )=sinx ，由 f (x )，g (x ) 图象可得，对任意的 b 1，二者图象必有一个交点，所以一定能找到一个a1，使得a1−b1=sina1，所以a2=b1+sina1=a1，所以a n=a n+1，故b n+1=a n+2−sina n+1=a n+1−sina n=b n，所以{b n}是常数列．。
【备战2016】(上海版)高考数学分项汇编 专题10 立体几何(含解析)理
专题10 立体几何一．基础题组1. 【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1 arccos3.【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.2. 【2013上海,理13】在xOy平面上，将两个半圆弧(x－1)2＋y2＝1(x≥1)和(x－3)2＋y2＝1(x≥3)、两条直线y＝1和y＝－1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为48π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______．【答案】2π2＋16π3. 【2012上海,理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．【答案】34. 【2012上海,理14】如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC ＋CD＝2a，其中a，c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是__________．【答案】235. 【2011上海,理7】若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______．【答案】36. 【2010上海,理12】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________；【点评】本题属于典型的折叠问题，解题的关键是：抓住折叠前后哪些几何元素的位置关系发生了改变，哪些位置关系没有发生改变，本题中应用正方形的性质是解题的推手.7. (2009上海,理5)如图,若正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是____________.(结果用反三角函数值表示)【答案】5arctan8. (2009上海,理8)已知三个球的半径R 1,R 2,R 3满足R 1+2R 2=3R 3,则它们的表面积S 1,S 2,S 3满足的等量关系是_____________.【答案】32132S S S =+9. (本题满分14分)(2009上海,理19)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C1的大小.【答案】310. 【2008上海,理16】(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求直线DE 与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数表示11. 【2007上海,理10】平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。
2016年高考试题(上海卷)——数学(文)(含答案)-推荐下载
4．某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的 中位数是______（米）.
5．若函数 f (x) 4 sin x a cos x 的最大值为 5，则常数 a ______.
与
C
在平面
AA1O1O
20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
有一块正方形菜地 EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走.
的同侧.
于是，菜地分为两个区域 S1 和 S2，其中 S1 中的蔬菜运到河边较近，S2 中的蔬菜运到 F 点 较近，而菜地内 S1 和 S2 的分界线 C 上的点到河边与到 F 点的距离相等.现建立平面直角坐 标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为（1，0），如图
对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.
1．设 x R ，则不等式 x 3 1的解集为_______. 2．设 z 3 2i ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部等于______.
6．已知点（3,9）在函数 f (x) 1 ax 的图像上，则 f (x) 的反函数 f 1(x) =______.
7．若
x,
y
满足
x 0,
y
y x 1,
0,
2016年上海市高考数学试卷(文科)
2016年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为．2．（4分）（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则z的虚部等于．3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．4．（4分）（2016•上海）某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是（米）．5．（4分）（2016•上海）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=．6．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=．7．（4分）（2016•上海）若x，y满足，则x﹣2y的最大值为．8．（4分）（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．9．（4分）（2016•上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．10．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．11．（4分）（2016•上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为．12．（4分）（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．13．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是．14．（4分）（2016•上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件16．（5分）（2016•上海）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1 B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C117．（5分）（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．418．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题三、简答题：本大题共5题，满分74分19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．22．（16分）（2016•上海）对于无穷数列{a n}与{b n}，记A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=b n，n∈N*}，若同时满足条件：①{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n﹣1，b n=4n﹣2，判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列，求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列，{a n}为等差数列且a16=36，求{a n}与{b n}的通项公式．23．（18分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2016年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，∴﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4．∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．2．（4分）（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则z的虚部等于﹣3．解：z===﹣3i+2，则z的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离．解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=．故答案为：．4．（4分）（2016•上海）某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是 1.76（米）．解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69，1.72，1.76，1.78，1.80．则位于中间的数为1.76，即中位数为1.76，故答案为：1.765．（4分）（2016•上海）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=±3．解：由于函数f（x）=4sinx+acosx=sin（x+θ），其中，cosθ=，sinθ=，故f（x）的最大值为=5，∴a=±3，故答案为：±3．6．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）（x＞1）．解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+a x的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）．故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．7．（4分）（2016•上海）若x，y满足，则x﹣2y的最大值为﹣2．解：画出可行域（如图），设z=x﹣2y⇒y=x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（0，1）时，z最大，且最大值为z max=0﹣2×1=﹣2．故答案为：﹣2．8．（4分）（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．9．（4分）（2016•上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112．解：∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，∴2n=256，解得n=8，∴（﹣）8中，T r+1==，∴当=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2=112．故答案为：112．10．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，可得sinC===，可得该三角形的外接圆半径为==．故答案为：．11．（4分）（2016•上海）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为．解：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为，乙同学的选法种数为，则两同学的选法种数为种．两同学相同的选法种数为．由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为．故答案为：．12．（4分）（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是[﹣，]．解：设=（x，y），则=（x，），由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），∴•=x+，令x=sinθ，则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），故•的范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]．13．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是（2，+∞）．解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y﹣1=0与直线x+by﹣1=0平行，∴﹣a=﹣，且．即a=且b≠1．∵a＞0，b＞0．∴a+b=b+＞2．故答案为：（2，+∞）．14．（4分）（2016•上海）无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{2，3}，则k的最大值为4．解：对任意n∈N*，S n∈{2，3}，可得当n=1时，a1=S1=2或3；若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．16．（5分）（2016•上海）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1 B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．17．（5分）（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x﹣b+π），则﹣﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．18．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题解：对于①，举反例说明：f（x）=2x，g（x）=﹣x，h（x）=3x；f（x）+g（x）=x，f（x）+h（x）=5x，g（x）+h（x）=2x都是定义域R上的增函数，但g （x）=﹣x不是增函数，所以①是假命题；对于②，∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），所以②是真命题．故选：D．·三、简答题：本大题共5题，满分74分19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．解：（1）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，圆柱的体积为：π•12•1=π．侧面积为：2π•1=2π．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，OB，则OB∥O1B，∴∠AOB=，异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB，大小为：﹣=．20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=，得y=2，（0≤x≤1），（2）设M（x0，y0），则y0=1，∴x0==，∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×（+1）=2×=，设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=﹣××1+=，S1﹣S3==，S4﹣S1=﹣=＜，∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．解：（1）若l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，把x=c=代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2，由tan∠AF1F2=tan==，求得b2=2，b=，故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±x，即双曲线的渐近线方程为y=±x．（2）设b=，则双曲线为x2﹣=1，F2（2，0），若l的斜率存在，设l的斜率为k，则l的方程为y﹣0=k（x﹣2），即y=kx﹣2k，联立，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，由直线与双曲线有两个交点，则3﹣k2≠0，即k．△=36（1+k2）＞0．x1+x2=，x1•x2=．∵|AB|=•|x1﹣x2|=•=•=4，化简可得，5k4+42k2﹣27=0，解得k2=，求得k=．∴l的斜率为．22．（16分）（2016•上海）对于无穷数列{a n}与{b n}，记A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=b n，n∈N*}，若同时满足条件：①{a n}，{b n}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n﹣1，b n=4n﹣2，判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列，求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列，{a n}为等差数列且a16=36，求{a n}与{b n}的通项公式．解：（1）{a n}与{b n}不是无穷互补数列．理由：由a n=2n﹣1，b n=4n﹣2，可得4∉A，4∉B，即有4∉A∪B=N*，即有{a n}与{b n}不是无穷互补数列；（2）由a n=2n，可得a4=16，a5=32，由{a n}与{b n}是无穷互补数列，可得b16=16+4=20，即有数列{b n}的前16项的和为（1+2+3+…+20）﹣（2+4+8+16）=×20﹣30=180；（3）设{a n}为公差为d（d为正整数）的等差数列且a16=36，则a1+15d=36，由a1=36﹣15d≥1，可得d=1或2，若d=1，则a1=21，a n=n+20，b n=n（1≤n≤20），与{a n}与{b n}是无穷互补数列矛盾，舍去；若d=2，则a1=6，a n=2n+4，b n=．综上可得，a n=2n+4，b n=．23．（18分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1，∴2，化为：，解得0＜x＜1，经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，∴（+a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，若a=0，化为x﹣1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．综上可得：a=0或﹣．（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，∴﹣≤1，∴≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，g′（t）===≤＜0，∴g（t）在t∈[，1]上单调递减，∴t=时，g（t）取得最大值，=．∴．∴a的取值范围是．。
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高考数学知识点整理高考数学知识点整理在平日的学习中，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。
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高考数学知识点整理1一、函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数.f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数.1、f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞，+∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.二、函数的极值1、函数的极小值：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 f="" x="">0，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.2、函数的极大值：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f′(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.三、函数的最值1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.2、若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法1、确定函数f(x)的定义域;2、求f′(x)，令f′(x)=0，求出它在定义域内的一切实数根;3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;4、确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.五、求函数极值的步骤1、确定函数的定义域;2、求方程f′(x)=0的根;3、用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;4、由f′(x)=0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况.六、求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤1、求函数在(a，b)内的极值;2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b);3、将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.高考数学知识点整理2一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且)推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.(即是垂直的充要条件)4. 直线的交角：⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内)6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点P(x,y)到原点O的距离：2. 定比分点坐标分式。
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2016上海春考之“数学知多少”
2016年上海市春季高考数学考试即将开始，随着2015年上海春季高考改革方案的发布，
今年作为春考改革的第二个试点年，对比去年和前年的上海春季高考数学试卷结构变革以及
相对于高考而言的重难点区别，新东方数学教研团队认为今年的春季高考数学试卷依旧突出
“双基”滚动考查，注重对探究和创新能力的考察，题目源于课本而高于课本，强调教材的
重要性，这与当前上海高考数学考试的趋势和方向基本保持一致。
一、命题结构重稳定，命题方向重基础
从数学试题题型的结构上看，12道填空题、12道选择题、5道解答题以及7道附加题，
会考+春考附加题的组卷结构稳定不变，中高档题目稳定在12、24、28、29题以及附加题上；
从命题的方向上看，突出基本知识及基础技能（双基）的考查、考查方式滚动加深、强调知
识的灵活交叉运用、注重对探究和创新能力的考察的方向没变。
二、考察点稳定但角度灵活，重点考查方向一致
中高档题目的知识分布、难度分布去年与前年相比完全一致：圆锥曲线、函数和数列，
其中会考压轴题都是数列，附加题压轴题都是函数。对于基本知识和基础技能的考察随机选
择，保证每一模块知识点都考察到的情况下，重点知识常考常新。需要指出的是，历年上海
数学会考试题的编写，特别强调学生的基本知识和基本技能、逻辑思维能力、运算能力、空
间想象能力、分析问题和解决问题的能力与数学探究和创新能力等六方面能力的培养，这些
能力在中高档试题中表现的尤为突出。
2
2015年 2016年
集合与不等式 9+6 13
函数 12+15 8+14
三角函数 8 9
数列与极限 11+3 19
排列组合与概率统计 9 9
复数与向量 9 6
解析几何 18+6 17+8
立体几何 11 6+8
矩阵行列式、算法初步 3 3
三、试题新动向：立体几何、三角函数难度下降
与高考相比，往年三角函数从解斜三角形的简单应用到三角函数的最值问题，难度要求
逐步提高，而且是大题的必考项目，但在春考的附加题里，这两年的考题都没有出现三角的
踪迹。而且立体几何难度与高考相比有较大程度的下降，在会考部分的试卷里往往以送分题
的形式出现。
四、重点难点模块深度分析
立体几何部分较高考难度有了较大的下降，考查最基本的四棱柱的表面积的计算。
函数部分，在会考卷部分，立意传统，简单考查反函数的概念及求解，二次函数的值域
以及对奇偶性的判定，突出了基础知识的考查，但对分类讨论的思想考查有所降低，考查知
识更传统；在春考附加题部分，函数以新定义的形式出现，重点考察学生的分析问题和解决
问题的能力与数学探究和创新能力，难度大。
数学模型应用部分，以解斜三角形的形式出现，与之前侧重于三角函数的考查相呼应，
重要知识点滚动出现。相比前年的附加题中的立体几何，难度略有下降。
圆锥曲线部分，去年与前年的考查风格完全一致，小题部分以圆锥曲线的定义和性质为
主要考察对象，大题部分主要以通过利用向量坐标化，连立方程组利用韦达定理来解决问题。
难度与前年在伯仲之间，主要考察学生的运算能力以及代数化的思想，保持了上海对这部分
考查的一贯风格。
立体几何
三角函数
3
去年数列部分与之前相比，考查的内容没有变，仍然立足等差与等比两个最基本的数列，
遵循深挖掘、广创新的原则，对指定数列的函数性质做了全面考查，主要是去绝对值，函数
的最值，恒成立问题等。作为会考部分的压轴题，试题难度方面较前年数列的分类讨论考察
点略有下降，能力方面仍然侧重于考查学生分类讨论的能力及逻辑思维能力。
最后，上海新东方数学教研团队衷心祝愿2016年广大学子能抓住“双基”，对于重点
难点模块中的内容有所突破，在春考中取得优异的成绩，考入理想的大学。同时祝愿决战
2016高考的新高三学员能倍加努力，在2016年高考中也能取得优异的成绩。