2016上海春季高考数学真题及解析

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2016年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (文科)解析版

2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.【答案】(2,4)【解析】试题分析：由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易.2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =____________.【答案】3-【解析】试题分析：i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________.【答案】5【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得25d 5===考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.5、若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______.【答案】3±【解析】试题分析：)sin(16)(2ϕ++=x a x f ，其中4tan a =ϕ，故函数)(x f 的最大值为216a +，由已知，5162=+a ，解得3±=a .考点：三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象和性质.【名师点睛】三角函数性质研究问题，基本思路是通过化简，得到sin()y A x ωϕ=+，结合角的范围求解..本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.6、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数.【答案】2log (x 1)-【解析】试题分析：将点39（，）带入函数()xf x 1a =+的解析式得a 2=，所以()xf x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.考点：1.反函数的概念；2.指数函数的图象和性质.【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解、二换、三注..本题较为容易.7、若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【解析】试题分析：由不等式组画出可行域，如图，令y x z 2-=，当直线z x y 2121-=经过点)1,0(P时，z 取得最大值，且为2-.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.8.方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________.【答案】566ππ或【解析】试题分析：3sinx 1cos 2x =+，即23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[]π2,0上的解为566ππ或.考点：1.二倍角公式；2.已知三角函数值求角.【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解..本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.9、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.【答案】112【解析】试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n2，所以n 2256=，所以n 8=，二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x -+=-=-，令84r 033-=，得r 2=，所以3T 112=.考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解.本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.10、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.OxyP【答案】3【解析】试题分析：由已知3,5,7a b c ===，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴sin C =，∴2sin c R C ==考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.11、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】16【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组，有24C 6=种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16.考点：.古典概型【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线y =OP BA ×uu u r uu r的取值范围是.【答案】[-【解析】试题分析：由题意，设(cos ,sin )P αα,[0,π]α∈，则(cos ,sin )OP αα= ，又(1,1)BA =,所以cos sin )[4OP BA αααπ⋅=+=+∈- .考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.【名师点睛】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到OP BA ×uu u r uu r的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.13.设a >0,b >0.若关于x ,y 的方程组1,1ax y x by ì+=ïïíï+=ïî无解，则a b +的取值范围是.【答案】(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠.又a ，b为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即a b +取值范围是(2,)+∞.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.【名师点睛】根据方程表示直线，探讨得到方程组无解的条件，进一步应用基本不等式达到解题目的.易错点在于忽视得到a b ≠.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想等.14.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当1n =时，12a =或13a =；当2n 时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k 时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =.考点：数列的求和.【名师点睛】从研究n S 与n a 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A.考点：充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.16.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）(A)直线AA 1(B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1(D)直线B 1C 1【答案】D 【解析】试题分析：只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A，B，C 中直线与EF 都是异面直线，故选D．考点：1.正方体的几何特征；2.直线与直线的位置关系.【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.17.设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（）(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3sin(32)sin(3333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,3πa b =，又4sin(3sin[(3sin(3333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πa b =-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B．考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题【答案】D 【解析】试题分析：①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩,03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩,0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.三、解答题（74分）19.（本题满分12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为56π， 11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.【答案】（1）312；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．计算体积与侧面积即得.（2）由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角，计算C ∠OB 即得．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =．圆柱的体积22V 11r l =π=π⨯⨯=π，圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π．（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ，所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角．由 11A B 长为3π，可知1113π∠AOB =∠A O B =，由 C A 长为56π，可知5C 6π∠AO =，C C 2π∠OB =∠AO -∠AOB =，所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π．考点：1.几何体的体积；2.空间的角.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.20.（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年高考数学上海卷理数(解析版)

已知 a∈R,函数 f(x)=log2 1 + .
(1)当 a=5 时,解不等式 f(x)>0; (2)若关于 x 的方程 f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0 的解集中恰好有一个元素,求 a 的取值范围;
(3)设
a>0,若对任意
t∈
1 2
,1
,函数
f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过
13.(2016 上海,理 13)设 a,b∈R,c∈[0,2π),若对任意实数 x 都有 2sin
3
-
π 3
=asin(bx+c),则满足条件的
有序实数组(a,b,c)的组数为
.
答案 4 a=±2,b=±3,当 a,b 确定时,c 唯一,故有 4 种组合.
14.
(2016 上海,理 14)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,O 为正八边形 A1A2…An 的中心,A(1,0),任取不同的
3
(2016 上海,理 16)下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( ) A.ρ=6+5cos θ B.ρ=6+5sin θ C.ρ=6-5cos θ D.ρ=6-5sin θ
答案 D 依次取θ=0,π2,π,32π,
结合图形可知只有ρ=6-5sin θ满足,选 D. 17.(2016 上海,理 17)已知无穷等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,且 lim Sn=S,下列条件中,使得
当 a1<0 时,qn<12,从而 q2<12,选 B.
18.(2016 上海,理 18)设 f(x)、g(x)、h(x)是定义域为 R 的三个函数,对于命题:①若 f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、 g(x)+h(x)均为增函数,则 f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数;②若 f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以 T 为周期的函数,则 f(x)、g(x)、h(x)均是以 T 为周期的函数,下列判断正确的是( ) A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题,②为假命题 D.①为假命题,②为真命题答案 D 因为 f(x)=

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷)文(精校解析)

2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1、设x ∈R ,则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】(2,4) 【解析】试题分析：由题意得：131x -<-<,即24x <<,故解集为(2,4) 考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式,关键是去掉绝对值符号,进一步求解,本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易. 2、设iiZ 23+=,期中i 为虚数单位,则Im z =____________. 【答案】3- 【解析】试题分析：i(32i)23i z =-+=-,故Im 3z =-考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念,是一道基础题目.从历年高考题目看,复数题目往往不难,有时运算与概念、复数的几何意义综合考查,也是考生必定得分的题目之一.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则21,l l 的距离_______________.25【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得12222225d 5a b 21===++考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离,关键是注意应用公式的条件,即,x y 的系数应该分别相同,本题较为容易,主要考查考生的基本运算能力.4、某次体检,6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）. 【答案】1.76 【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数,显然为1.76. 学优高考网考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念,是一道基础题目.从历年高考题目看,涉及统计的题目,往往不难,主要考查考生的视图、用图能力,以及应用数学解决实际问题的能力. 5、若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5,则常数a =______. 【答案】3±【解析】试题分析：)sin(16)(2ϕ++=x a x f ,其中4tan a=ϕ,故函数)(x f 的最大值为216a +,由已知,5162=+a ,解得3±=a .考点：三角函数sin()y A x ωϕ=+ 的图象和性质.【名师点睛】三角函数性质研究问题,基本思路是通过化简 ,得到sin()y A x ωϕ=+,结合角的范围求解.. 本题难度不大,能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等. 6、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上,则________)()(1=-x f x f 的反函数.【答案】2log (x 1)- 【解析】试题分析：将点39（，）带入函数()xf x 1a =+的解析式得a 2=,所以()xf x 12=+,用y 表示x 得2x log (y 1)=-,所以()12log (f x x 1)-=-.考点：1.反函数的概念；2.指数函数的图象和性质.【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数,求反函数的基本步骤是：一解、二换、三注..本题较为容易.7、若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【解析】试题分析：由不等式组画出可行域,如图,令y x z 2-=,当直线z x y 2121-=经过点)1,0(P 时,z 取得最大值,且为2-.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用,是一道基础题目.从历年高考题目看,简单线性规划问题,是不等式中的基本问题,往往围绕目标函数最值的确定,涉及直线的斜率、两点间距离等,考查考生的绘图、用图能力,以及应用数学解决实际问题的能力. 8.方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ . 学优高考网【答案】566ππ或【解析】试题分析：3sinx 1cos 2x =+,即23sinx 22sin x =-,所以22sin x 3sinx 20+-=,解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去）,所以在区间[]π2,0上的解为566ππ或.考点：1.二倍角公式；2.已知三角函数值求角.【名师点睛】已知三角函数值求角,基本思路是通过化简 ,得到角的某种三角函数值,结合角的范围求解.. 本题难度不大,能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.9、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_________.【答案】112OxyP【解析】试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n 2,所以n2256=,所以n 8=, 二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 333r 1882T C (x ()(2)C x x --+=-=-,令84r 033-=,得r 2=,所以3T 112=.考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项,确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项,是二项式定理问题中的基本问题,往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.10、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________. 73【解析】试题分析：由已知3,5,7a b c ===,∴2221cos 22a b c C ab +-==-, ∴3sin C =,∴732sin c R C ==学优高考网考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题,往往要利用三角公式化简三角恒等式,利用正弦定理实现边角转化,达到解题目的；三角形中的求角问题,往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易,主要考查考生的基本运算求解能力等.11、某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 【答案】16【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组,有24C 6=种方法,则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16.考点：.古典概型【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题,关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数,利用概率的计算公式求解.本题能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.12.如图,已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P 是曲线21y x 上一个动点,则OP BA 的取值范围是 .【答案】[2]-【解析】试题分析：由题意,设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈,则(cos ,sin )OP αα=,又(1,1)BA =, 所以cos sin 2)[2]4OP BA αααπ⋅=+=+∈-.考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.【名师点睛】本题解答利用数形结合思想,将问题转化到单位圆中,从而转化成平面向量的坐标运算,利用三角函数的图象和性质,得到OP BA 的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等. 13.设a>0,b>0. 若关于x,y 的方程组1,1ax y x by 无解,则a b 的取值范围是 .【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行,所以1ab =且1a b ≠≠.又a ,b 为正数,所以22a b ab +>=（1a b ≠≠）,即a b +取值范围是(2,)+∞.学优高考网考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.【名师点睛】根据方程表示直线,探讨得到方程组无解的条件,进一步应用基本不等式达到解题目的.易错点在于忽视得到a b ≠.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想等.14.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 【解析】试题分析：当1n =时,12a =或13a =；当2n 时,若2n S =,则12n S -=,于是0n a =,若3n S =,则13n S -=,于是0n a =.从而存在N k *∈,当n k 时,0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件,所以max 4k =.考点：数列的求和.【名师点睛】从研究n S 与n a 的关系入手,推断数列的构成特点,解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈,则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或,所以是充分非必要条件,选A.考点：充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题,是高考常考题目之一,其综合性较强,易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系,突出体现了高考试题的基础性,能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.16.如图,在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BC 、BB 1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是（）(A)直线AA 1(B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1【答案】D 【解析】试题分析：只有11B C 与EF 在同一平面内,是相交的,其他A,B,C 中直线与EF 都是异面直线,故选D ．考点：1.正方体的几何特征；2.直线与直线的位置关系.【名师点睛】本题以正方体为载体,研究直线与直线的位置关系,突出体现了高考试题的基础性,题目不难,能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等. 17.设aR ,[0,2π]b .若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3xax b ,则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333πππx x πx -=-+=+,5(,)(3,)3πa b =, 又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333πππx πx x -=--=-+,4(,)(3,)3πa b =-,注意到[0,2)b π∈,只有这两组．故选B ．考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式,利用分类讨论的方法,确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数,则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数,则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题,②为假命题D 、①为假命题,②为真命题学优高考网【答案】D 【解析】试题分析：①不成立,可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性,是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题,关键在于灵活选择方法,如结合选项应用“排除法”,通过举反例应用“排除法”等.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 三、解答题（74分） 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为56π,11A B 长为3π,其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.【答案】（13（2）2π．【解析】试题分析：（1）由题意可知,圆柱的高1h =,底面半径1r =．计算体积与侧面积即得. （2）由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角,计算C ∠OB 即得．试题解析：（1）由题意可知,圆柱的母线长1l =,底面半径1r =．圆柱的体积22V 11r l =π=π⨯⨯=π, 圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π．（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ,则11//O B OB , 所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角．由11A B 长为3π,可知1113π∠AOB =∠A O B =, 由C A 长为56π,可知5C 6π∠AO =,C C 2π∠OB =∠AO -∠AOB =,所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π．考点：1.几何体的体积；2.空间的角.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题,关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题,往往可以利用几何法、空间向量方法求解,应根据题目条件,灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等. 20.（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,参考版解析)

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保持平常心，顺其自然2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3，则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD =12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC V 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =则BP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =u u u r , (cos ,sin 1)BP αα=+u u u rπcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+u u u r u u u r13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =；若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A L 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=u u u r u u u r u u u u r r，则点P 落在第一象限的概率是_______________ 【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )A. 65cos ρθ=+B. 65sin ρθ=+C. 65cos ρθ=-D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q -=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则¼111113AO A B B π∠==∴111O A B V 为正三角形∴1113O A B S =V ∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=V(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角） 111BB AA == 连,,BC BO OC»¼113AB A B π==, »23AC π= ∴»3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC V 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016春季高考数学真题

xx2016年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。

满分120分，考试时间120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。

卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1.已知集合，，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,,所以.2.已知集合A，B，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】又，“”是“”的必要不充分条件.3.不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，即不等式的解集为.4.若奇函数在上的图像如图所示，则该函数在上的图像可能是（）第4题图GD21GD22GD23GD24GD25【答案】D【解析】因为已知是奇函数，根据奇函数的性质是关于原点对称，根据选项只能选D.5.若实数a>0，则下列等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】Axx，Bxx，Cxx，故D选项正确.6.已知数列是等比数列，其中，，则该数列的公比q等于（）A.B.4D.8【答案】 B【解析】，，，则q=2.7.某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生，若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛，要求既有男生又有女生，则不同选法的种数是（）A.60B.30 D.10【答案】C【解析】由题知，有两种选法①两名男生一名女生种，②两名女生一名男生种，所以一共有种.8.下列说法正确的是( )A.函数的图像经过点（a,b）B.函数（a>0且a≠1）的图像经过点（1,0）C.函数（a>0且a≠1）的图像经过点（0,1）D.函数（）的图像经过点（1,1）【答案】D【解析】Axx，函数的图像经过点（-a,b）；Bxx，函数（a>0且a≠1）的图像经过点（0,1）；Cxx，函数（a>0且a≠1）的图像经过点（1,0）；Dxx，把点代入，可知图象必经过点.9.如图所示，在平行四边形OABCxx，点A（1，－2），C（3,1），则向量的坐标是（）第9题图GD26A.（4，－1）B.（4,1）C.（1，－4）D.（1,4）【答案】A【解析】A（1，－2），C（3,1），，又，.10.过点P（1,2）与圆相切的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】将点代入圆方程，可知点在圆上，又因为将点代入C,D等式不成立，可排除C,D，又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，又圆心为（0,0），半径为，即圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，则只有B符合.11.表中数据是我国各种能源消费量占当年能源消费总量的百分率，由表可知，从2011年到2014年，消费量占比增长率最大的能源是（）A.天然气B.核能C.水利发电D.再生能源表我国各种能源消费的百分率【答案】D【解析】根据表1可知，从2011年到2014年，天然气：，核能：，水力发电：，再生能源：，则消费量占比增长率最大的能源是再生能源.12.若角的终边过点，则角的终边与圆的交点坐标是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，所以xx为，设交点为，又因为圆的半径为，因此有，，又因为终边在第二象限，所以选A.13.关于x，y的方程和在同一坐标系中的图象大致是（）GD27GD28GD29GD30【答案】D【解析】当的图象为椭圆时，，则的图象单调递增，且与y轴的截距大于0，A、B均不符；当的图象为双曲线时，当时，双曲线的焦点在y轴上，的图象单调递减，且与y轴的截距大于0；当时，双曲线的焦点在x轴上，的图象单调递增，且与y轴的截距小于0，综上所述，选项D正确.14.已知的二项xx有7项，则xx中二项式系数最大的项的系数是（）A.－280B.－.160D.560【答案】B【解析】的二项xx有7项，，，又xx中二项式系数最大的项为第4项，则，则其系数为.15.若有7名同学排成一排照相，恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、xx两名同学不相邻的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】先利用捆绑法将甲乙进行捆绑并全排列，有种排列方法，将甲乙作为一个整体，除去丙丁将其他人进行全排列，有种排列方法，再利用插空法将丙丁进行插空，有种排列方法；总共有种排列方法，所以概率为.16.函数在一个周期内的图像可能是（）GD31GD34GD32GD33【答案】A【解析】B选项中当，C选项中当时，，D选项中，当.17.在xx，若,则等于（）A.B.C.－2D.2【答案】C【解析】因为，所以是等边三角形，所以各个角均为，.18.如图所示，若满足约束条件则目标函数的最大值是（）第18题图 GD35A.7B.3D.1【答案】B【解析】由图可知，目标函数在点（2,2）处取得最大值，即.19.已知表示平面，表示直线，下列结论正确的是（）A.若则B.若C.若D.若16.D【解析】A,B,C选项,直线l与m相交、平行、异面都有可能；D选项，∵，∴存在一个平面，使得且，∵∴，.20.已知椭圆的焦点分别是,点在椭圆上，如果,那么点到轴的距离是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】椭圆，即，设点的坐标为，又，点又在以原点为圆心，半径为2的圆上，圆方程为，即①，又②，联立①②得，点到轴的距离是.卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.已知，则的值是.【答案】【解析】分式上下同除以得，把代入得原式=2.22.若表面积为6的正方体内接于球，则该球的表面积等于.【答案】【解析】设正方体的边长为，，则边长为，所以正方体上下两个面的斜线长为，则圆的直径为，.23.如果抛物线上的点M到y轴的距离是3，那么点M到该抛物线焦点F的距离是.【答案】【解析】因为抛物线上的点M到y轴的距离是3，所以点的横坐标为3，再将代入得到，所以点，又因为，准线，则点M到该抛物线焦点F的距离是5.24.某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有350名，若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.32.现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出名.【答案】33【解析】恰好选到二年级学生的概率是0.32，恰好选到一年级学生的概率是0.35，则选到三年级学生的概率是1-0.35-0.32=0.33，那么需要从三年级抽取100×0.33=33人.25.设命题p；函数在上是减函数；命题q：.若是真命题，是假命题，则实数a的取值范围是.【答案】或【解析】是真命题，是假命题，pq同为真或pq同为假，当pq同为真时，函数在上是减函数，函数的对称轴为，即，，即xx成立，设，即，则；同理，当pq同为假时，或，综上所述得，实数a的取值范围为或.三、解答题（本大题5小题，共40分）26.（本小题6分）已知某xx2015年底的人口总数为200万，假设此后该xx人口的年增长率为1%（不考虑其他因素）.（1）若经过x年该xx人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；（2）如果该xx人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？【解】（1）由题意可得；（2）如果该xx人口总数达到210万，则，那么至少需要经过5年.27.（本小题8分）已知数列的前n项和.求：（1）第二项；（2）通项公式.【解】（1）因为，所以，，，所以.（ 2 ），.28.（本小题8分）如图所示，已知四边形ABCD是圆柱的轴截面，是下底面圆周上不与点重合的点.（1）求证：平面DMB平面DAM；（2）若是等腰三角形，求该圆柱与三棱锥D-AMB体积的比值.GD36第28题图【解】（1）∵是下底面圆周上不与点重合的点,∴在一个平面上，又∵四边形是圆柱的轴截面，∴边过圆心，平面,,根据定理以直径为斜边的三角形为直角三角形，所以,∵平面,且,∴平面,又∵平面，∴平面平面.（2）设底面圆的半径为，圆柱的高为，又∵是等腰直角三角形，所以两个直角边长为，所以，所以，所以.29.（本小题8分）如图所示，要测量xx两岸P，Q两点之间的距离，在与点P同侧的岸边选取了A,B两点（A,B,P,Q四点在同一平面内），并测得AP=，BP=，，，.试求P，Q两点之间的距离.SH17第29题图【解】连接AB，又，AP=，BP=，则，则，又，，，在xx，由正弦定理得，，即，在中，由余弦定理得，，，P，Q两点之间的距离为米.30.（本小题10分）如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2.（1）求该双曲线的标准方程、离心率及渐近线方程；（2）若直线l经过双曲线的右焦点，并与双曲线交于M,N两点，向量是直线l的法向量，点P是双曲线左支上的一个动点.求面积的最小值.GD39第30题图【解】（1）根据题意设双曲线的标准方程为，双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2，，即，则该双曲线的标准方程为，离心率，渐近线方程为；（2）向量是直线l的法向量，直线的斜率，又直线l经过双曲线的右焦点，即直线l的方程为，设，又双曲线的方程为，即，，则，要使面积的最小值，即点P到直线l的距离最小，则点P坐标为，，则.。

2016年高考文科数学上海卷有答案

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学(文史类)考生注意：1. 本试卷共6页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于_______.3. 已知平行直线1210l x y +-=：，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_______. 4. 某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是_______（米）.5. 若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =_______.6. 已知点3,9（）在函数()1x f x a =+的图象上，则()f x 的反函数1()f x -=_______.7. 若x ，y 满足0,0,1,x y y x ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≥则2x y -的最大值为_______.8. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_______.9.在2)n x的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______.10. 已知ABC △的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_______. 11. 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_______.12. 如图，已知点()0,0O ，()1.0A ，1(0,)B -，P是曲线y OP BA uu u r uu rg 的取值范围是 .13. 设0a >，0b >.若关于x ,y 的方程组1,1,ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是 . 14. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意的*n ∈N ，{23}n S ∈，则k 的最大值为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设a ∈R ,则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为BC ，1BB的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是( )A. 直线1AAB. 直线11A BC. 直线11A DD. 直线11B C17. 设a ∈R ，[0,2π)b ∈.若对任意实数x 都有πsin(3)=3x -sin()ax b +，则满足条件的有序实数对(),a b 的对数为( )A. 1B. 2C. 3D. 418. 设()f x ，()g x ，()h x 是定义域为R 的三个函数.对于命题：①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是增函数，则()f x ，()g x ，()h x 均是增函数；②若()()f x g x +，()f x +()h x ，()g x +()h x 均是以T 为周期的函数，则()f x ，()g x ，()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为56π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧. （Ⅰ）求圆柱的体积与侧面积；（Ⅱ）求异面直线11O B 与OC 所成的角的大小.-----------在-------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效------------姓名________________ 准考证号_____________20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为10（,），如图.（Ⅰ）求菜地内的分界线C 的方程；（Ⅱ）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A ，B 两点.（Ⅰ）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（Ⅱ）设b 若l 的斜率存在，且||4AB =，求l 的斜率.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*{|=}n A xx a n =∈N ，，*{|=}n B x x b n =∈N ，，若同时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增；②A B =∅且*AB =N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.（Ⅰ）若=21n a n -，=42n b n -，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；（Ⅱ）若2nn a =且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（III ）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且16=36a ，求{}n a 与{}n b 的通项公式.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知a ∈R ，函数21()log ()f x a x=+. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x >；（Ⅱ）若关于x 的方程22()log )0(f x x +=的解集中恰有一个元素，求a 的值；（III ）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.，则(cos OP =，又(1,1)BA =所以cos 2]OP BA α=.【提示】先利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，再利用三角函数的图象和性质，得到OP BA 的取值范围,0,0，从而可看出)][x T hA B，从而。

2016上海春季高考数学真题及解析

2016年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2016.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为； 4.函数()f x =的定义域为；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||AB =||OA OB +的最小值为；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（） A. π B.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 16. 幂函数2y x -=的大致图像是（）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k = 时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（）A. 222a b ab +≥B. 222a b ab +≥-C. 2()2a b ab +≥D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+，有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两个结论，正确的判断是（）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为，底面边长为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =+，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列；（1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2n n n b b +-=，记12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>；（1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x x f x a =+⋅+，()0h x =，如果12f h f h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（） A. 0 B.2πC. πD. 2π 2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、(4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =，若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ；（2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前 10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；WORD 完整版----可编辑----教育资料分享参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ；WORD 完整版----可编辑----教育资料分享19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)；（2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。

2016上海学春考数学模拟试卷【附加卷】【解答】

2016 上海市普通高校春季招生统一考试
数学 II 卷模拟试卷解答
考生注意： 1 ．本试卷共 2 页 , 7 道试题 , 满分 30 分．考试时间 40 分钟． 2 ．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括三大题 , 第一大题为选择题 , 第二大题为填空题 , 第三大题为解答题． 3．答题前 , 务必在答题纸上填写姓名、报名号、考场号和座位号 , 并将核对后的条形码贴在指定位置上． 4 ．作答必须涂或写在答题纸上 , 在试卷上作答一律不得分．第一大题的作答必须涂在答题纸上相应区域, 第二、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置．
2m x 2 2x m 2 设 P ( x, y ) , 则 , 故m , 代入下式得 P 的轨迹方程为 2 x 2 y 2 2 y 0( y 0) . 4 y y m2 2
三、解答题（本大题满分 12 分）本大题共有 1 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
π π , 得 {xn } 是以为公差的等差数列, 2 2 20 19 π T20 x1 x2 x20 20 x1 20 x1 95π , 2 2 tπ 下考虑 f ( x) 2sin 2 x 在 [0, ) 的第一个零点, 2 tπ π tπ π 当平移的量 0 t 1 时, x1 , 2 2 2 2
一、选择题（本大题满分 9 分）本大题共有 3 题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 3 分，否则一律得 0 分．

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2016年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2016.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为； 4.函数()f x =的定义域为；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||AB =||OA OB +的最小值为；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（） A. π B.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（） A. 2 B. 6 C. 15 D. 2016. 幂函数2y x -=的大致图像是（）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（） A. 222a b ab +≥ B. 222a b ab +≥- C. 2()2a b ab +≥ D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+，有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两个结论，正确的判断是（）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列；（1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2nn n b b +-=，记 12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>；（1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x xf x a =+⋅+，()0h x =，如果12f hf h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（） A. 0 B.2πC. πD. 2π 2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、 (4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =，若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ；（2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前 10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ； 19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)；（2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。