2006上海春季高考数学试卷(含答案)

2006年上海市普通高等学校春季招生考试

数 学 试 卷

一. 填空题（本大题满分048分）

1. 计算：=+-∞→3

423lim n n n . 2. 方程1)12(log 3=-x 的解=x .

3. 函数]1,0[,

53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f . 4. 不等式01

21>+-x x 的解集是 . 5. 已知圆)0()5(:2

22>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共 点，则r 的取值范围是 .

6. 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则 当),0(∞+∈x 时，=)(x f .

7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首 尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.

8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .

9. 在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .

10. 若向量b a ρρ、的夹角为ο150，4,

3==b a ρρ，则=+b a ρρ2 . 11. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原 点，则三角形OAB 面积的最小值为 .

12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语 言描述为：若有限数列n a a a ,,,21Λ 满足n a a a ≤≤≤Λ21，则 （结论用数学式子表示）.

二．选择题（本大题满分016分）

13. 抛物线x y 42=的焦点坐标为( )

（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.

14. 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( )

（A ）

b a 11<. （B ）22b a >. （C ）1

122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >.

15. 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13

322

=+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.

（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.

16. 若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭

，则A ∩B 等于( ) （A ）]1,(∞-. （B ）[]1,1-. （C ）∅. （D ）}1{.

三．解答题（本大题满分086分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.

17. (本题满分12分)在长方体1111D C B A ABCD -中，已知

3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的

大小（结果用反三角函数值表示）.

18. (本题满分12分) 已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=

w w

z ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程.

19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若5

4sin =

x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域. 20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为125

10022

=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭

⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测

得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变

轨指令？

21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

设函数54)(2--=x x x f .

（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；

（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,

5)(∞+-∞-=≥=Y Y B x f x A . 试判断集合A 和B 之

间的关系，并给出证明；

（3）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，3y kx k =+的图像位于函数)(x f 图像的上方.

22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.

已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.

（1）若4020=a ，求d ；

（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；

（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？