一元一次方程追及相遇问题
02 相遇、追及问题
相遇问题
想一想,回答下面的问题： 1、A、B两车分别从相距S千米的甲、 乙两地同时出发，相向而行，两车会 相遇吗？
A B
甲
乙
2、如果两车相遇，则相遇时两车所走 的路程与A、B两地的距离有什么关系？
相等关系：各分量之和=总量 相等关系：A车路程＋B车路程=两地距离
想一想，回答下面的问题：
3、如果两车同向而行，B车先出发a小时， 在什么情况下两车能相遇？
归纳：
在列一元一次方程解行程问题时,
我们常画出线段图来分析数量关系。 用线段图来分析数量关系能够帮助我 们更好的理解题意，找到适合题意的 等量关系式，设出适合的未知数,列出 方程。正确地作出线段图分析数量关 系，能使我们分析问题和解问题的能
力得到提高。
小结：这节课我们复习了行程问题 中的相遇和追及问题，归纳如下：
B
乙
B
乙
例2、小明要在 分 析 7:50之前赶到距离 学 家1000米的学校上 家 校 学。一天，小明以 80米/分的速度出 400米 80x米 追 发，5分后，爸爸 发现他忘了带语文 及 书，于是，爸爸立 180x米 地 即以180米/分的速 度去追小明，并且 在途中追上他。 相等关系： （1）爸爸追上小 明用了多少时间？ 小明先行路程＋小明后行路程=爸爸的路程
相遇
A车路程 B车路程
相等关系：A车路程+B车路程=相距路程
A车先行路程 A车后行路程
追击
B车追击路程
相等关系： B车路程=A车先路程+A车后行路程 或B车路程=A车路程+相距路程
用一元一次方程分析和解决实际问 题的基本过程如下:
列方程
数学问题
(一元一次方程)
相遇问题
应用题专练三相遇追及问题学习目标：1、利用路程、时间和速度三个量之间的关系，列出行程中关于相遇问题的一元一次方程解简单的应用题。
2、学会同时出发相向而行和不同时出发相向而行的相遇问题，列出一元一次方程。
学习导航：相遇问题公式：速度和×相遇时间=总路程追及问题公式：追及路程=速度差×追及时间追及时间=追及路程÷速度差速度差=追及路程÷追及时间相遇问题甲、乙两站间路程为450公里，一列慢车从甲站出发，每小时行65公里，一列快车从乙站出发，每小时行85公里；①两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？②快车先开30分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？变式：A、B两村相距2800m,小明从A村出发向B村步行5min后，小军骑自行车从B村向A村出发，又经过10min两人相遇，小军骑自行车比小明步行每分钟多走130m,小明每分钟步行多少米？追及问题问题：小明、小亮两个人相距40km,小明先出发1.5h，小亮再出发，两人同向而行，小明的速度是8km/h,小亮的速度是6km/h,小明出发后几小时追上小亮？变式1：一队学生去军训营地，每小时走4千米，某学生因公晚出发30分钟，为了赶上队伍，每小时6千米的速度追赶，该学生用了多少小时追上了队伍，所行路程为多少千米？变式2：在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米/小时的轿车准备追一辆长12米，速度为100千米/小时的卡车，则轿车从开始追及到超越卡车，需要花费的时间是多少？当堂测评：同学们小时候都听过龟兔赛跑的故事，知道乌龟最后是战胜了小白兔。
如果在第二次赛跑中，小白兔知而后勇，在落后乌龟1千米,以101米/分的速度奋起直追，而乌龟仍以1米/分的速度爬行，那么小白兔大概需要______分钟就能追上乌龟1. 元代朱世杰所著的《算学启蒙》里有这样的一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”请你回答：设x日可追上良马，则可列方程为_____________________________3.甲乙两人在400米的环形跑道上跑步，甲的速度是5米每秒，乙的速度是3米每秒.1）如果两人同时同地背向而行，两人多久第一次相遇？2)如果两人同时同地同向而行，两人多久第一次相遇？课堂小结：_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________。
一元一次方程应用题十大题型
有关“一元一次方程应用题”的十大题型有关“一元一次方程应用题”的十大题型如下：1.追及问题：这类问题通常涉及到两个物体或人在不同地点出发，以不同的速度移动，最终在某一点相遇。
求解这类问题需要建立一元一次方程来找出相遇的时间和地点。
2.相遇问题：与追及问题相反，相遇问题涉及到两个物体或人在同一地点出发，以不同的速度移动，最终在某一点相遇。
同样需要建立一元一次方程来找出相遇的时间和地点。
3.比例问题：这类问题涉及到比例关系，如两个量之间的增长或减少的比例。
求解这类问题需要建立一元一次方程来找出未知量。
4.利润与折扣问题：这类问题涉及到商业中的利润和折扣，需要建立一元一次方程来求解未知的利润或折扣。
5.工作与效率问题：这类问题涉及到工作量和效率之间的关系，通常需要建立一元一次方程来求解未知的工作量或效率。
6.行程问题：这类问题涉及到物体或人的运动路程、速度和时间之间的关系。
常见的问题有相遇和追及、环形跑道、过桥等。
需要建立一元一次方程来求解未知的速度或时间。
7.溶液与浓度问题：这类问题涉及到溶液和其中的溶质浓度，通常需要建立一元一次方程来求解未知的浓度或溶质质量。
8.工程与工作量问题：这类问题涉及到工程项目和工作量之间的关系，通常需要建立一元一次方程来求解未知的工作量或完成时间。
9.几何图形问题：这类问题涉及到几何图形的面积、周长、体积等，通常需要建立一元一次方程来求解未知的几何量。
10.生产与利润问题：这类问题涉及到企业的生产和利润之间的关系，通常需要建立一元一次方程来求解未知的生产成本、销售价格或利润。
追及问题
检测二
设电气机车的速度是x千米/时
1.仿照上题画出路程图（课堂练习上完成） 2. 0.5x表示 电气机车半小时行驶的路程 ， 磁悬浮列车半小时行驶的路程 0.5(5x+20） .
电气机车半小 时行驶的路程 3.298千米= 磁悬浮列车半小 时行驶的路程
+
.
甲、乙两人骑车同时从相距65千米的 两地相向而行，甲的速度为17.5千米/时 乙的速度为15千米/时，经过几小时两人 相遇？
一元一次方程与实际应用问题
————相遇、追及问题
九中初一备课组
学习目标
• 1.熟记路程、速度、时间公式及公式 变形
• 2.会画路程图分析路程问题 • 3.了解相遇和追击快的马 每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢 马先走12天，快马几天可以追上慢马？ 解：设快马x天可以追上慢马，由题意得
240x =150（x+12） 解得 x=20 答：快马20天可以追上慢马.
检测一
设慢马走了x天：
1.完成路程分析图：
又走了 （x+12） 天共走 慢马：先走12天共走 150×12 里
150（x+12) 里
快马：
走了 x
天共走 240x
里
2.慢马走 X+12 天的 路程 =快马走 x 天的 路程 .
• 甲、乙两人登一座山，甲每分登 高10米，并且先出发30分，乙每 分登高15米，两人同时登上山 顶．甲用多少时间登山？这座山 有多高？
（相遇问题）电气机车的磁悬浮列车从相距 298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列 车的速度比电气机车速度的5倍还快20千米/时， 半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？ 解：设电气机车的速度为x千米/时，则磁悬浮列 车的速度为（5x+20)千米/时，由题意得 0.5x+0.5(5x+20)=298 解得 X=96 所以磁悬浮列车的速度为： 5×96+20=500 （千米/时） 答：电气机车的速度为96千米/时，磁悬浮列车 的 速度为500千米/时.
一元一次方程常见应用题型及解法
一元一次方程常见应用题：
一、行程问题：路程=速度×时间
1：相遇问题：甲路程+乙路程=总路程
2：追及问题：a、不同时同地出发：快者（追者）走的路程=慢者（前者）走的路程
b、同时不同地出发：慢者走的路程+两者距离=快者走的路程
3、水流问题：顺水行的路程=逆水行的路程
提前写出：顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度-水流速度
二、工程问题：工作总量=工作效率×工作时间工作效率与单独工作的时间互为倒数
各部分工作量之和=1
三、利润率、销售问题：
商品利润=商品售价-商品进价=商品进价×商品利润率
商品利润率=商品利润/商品进价×100%
售价=进价×（1+利润率）
注：进价
售价=实际销售价格
标价=定价=原价=预计售价=原销售价
四、数字问题：
设一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别为a、b,则这个两位数表示为10a+b 五、按比例分配问题：
甲：乙：丙=a:b:c 全部数量=各种成分的数量之和（设一份为χ）
六、配套问题
“加工的两种物品成比例”
七、分配问题
“总量不变”
八、积分问题
比赛总场数=胜场总数+平场总数+负场总数
比赛总积分=胜场总积分+平场总积分+负场总积分九、规律问题
●3个规律数字：设中间的数为χ
●月历中的问题
月历中每一行上相邻的两数，右边的数比左边的数大1；
月历中的每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大7 十、方案决策问题
选择最优的方案就要把每种方案的结果算出来，进行比较。
一元一次方程应用题——行程问题
行程问题【基本关系式】（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）基本类型①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距②追及问题：快行距－慢行距＝原距③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度顺速–逆速 = 2水速；顺速 + 逆速 = 2船速顺水的路程 = 逆水的路程注意：抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系。
常见的还有：相背而行；环形跑道问题。
【经典例题】例1．甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？例2．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。
A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。
【专项训练】一、行程（相遇）问题A．基础训练1.小李和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，小李每分走60米，小刚每分走90米，几分钟后两人相遇？2.小明和小刚家距离900米，两人同时从家出发相向行，5分钟后两人相遇，小刚每分走80米，小明每分走多少米？3.王强和赵文从相距2280米的两地出发相向而行，王强每分行60米，赵文每分行80米，王强出发3分钟后赵文出发，几分钟后两人相遇？4.两辆车从相距360千米的两地出发相向而行，甲车先出发，每小时行60千米，1小时后乙车出发，每小时行40千米，乙车出发几小时两车相遇？5.两村相距35千米，甲乙二人从两村出发，相向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距9千米时，乙行了多长时间？6.甲乙二人从相距45千米的两地同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后二人相遇，求两人的速度。
初一一元一次方程相遇问题经典应用题
初一一元一次方程相遇问题经典应用题一、甲、乙两人从两地同时出发相向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，经过15分钟两人相遇。
两地相距多少米？A. 1650米B. 1500米C. 1350米D. 1800米（答案：A）二、A、B两地相距480千米，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，经过4小时相遇。
已知甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？A. 55千米B. 60千米C. 65千米D. 70千米（答案：A）三、小明和小华从两地同时出发，相向而行。
小明每分钟走50米，小华每分钟走70米，经过12分钟两人相遇。
小明比小华少走多少米？A. 120米B. 140米C. 240米D. 280米（答案：C）四、两地相距900千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行80千米，乙车每小时行70千米，两车经过几小时相遇？A. 6小时B. 8小时C. 10小时D. 12小时（答案：C）五、小红和小绿从两地同时出发，相向而行。
小红每分钟走45米，小绿每分钟走55米，两人相遇时，小红比小绿少走了100米。
两人相遇用了多少时间？A. 5分钟B. 10分钟C. 15分钟D. 20分钟（答案：B）六、A、B两地相距600千米，甲车从A地出发，每小时行60千米，乙车从B地出发，每小时行90千米。
两车相向而行，甲车先行1小时后，乙车才出发，乙车出发几小时后与甲车相遇？A. 3小时B. 4小时C. 5小时D. 6小时（答案：C）七、甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行。
甲每分钟走60米，乙每分钟走40米。
相遇时，甲比乙多走了200米。
两人相遇用了多少时间？A. 10分钟B. 15分钟C. 20分钟D. 25分钟（答案：A）八、两地相距800千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行80千米，乙车的速度是甲车的1.2倍。
两车经过几小时相遇？A. 4小时B. 5小时C. 6小时D. 7小时（答案：B）。
相遇问题一元一次方程应用题
相遇问题一元一次方程应用题
当涉及到物体以不同的速度移动，并在某一时刻相遇的问题时，可以使用一元一次方程来求解。
例如，假设两个人从不同的地点同时开始以不同的速度往某个目的地移动。
我们可以设其中一个人的速度为v1（m/s），另一个人的速度为v2（m/s）。
他们之间的距离为d（m）。
如果我们知道起始的时间t0（s），我们可以用一元一次方程来解决他们相遇的时间t（s）。
根据速度等于距离除以时间的公式，我们可以得到以下方程：
v1 * t + d = v2 * t
将方程变形，得到一元一次方程：
(v1 - v2) * t = -d
然后，我们可以解这个方程，计算出相遇的时间t。
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一元一次方程追及相遇问题
追及问题
两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。
慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。
有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。
解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
基本公式有：
追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间
速度差×追及时间=追及（或领先）的路程
追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差
要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。
如：运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）。
相遇问题
两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。
这类问题即为相遇问题。
相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：
A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间
基本公式有：
两地距离=速度和×相遇时间
相遇时间=两地距离÷速度和
速度和=两地距离÷相遇时间
二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。
则有：
第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
相遇问题的核心是“速度和”问题。
利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。