初中数学经典难题(含答案)_2
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经典难题(一)
1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二)
解析.如下图作GH ⊥AB,连接EO 。由于GOFE 四点共圆,所以∠GFH =∠OEG, 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =CO
CD
,又CO=EO ,所以CD=GF 得证。
1、
2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 求证:△PBC 是正三角形.(初二) 解析. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等,可得△PDG 为等边△,从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP,得出PC=AD=DC,和 ∠DCG=∠PCG =150
所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC 是正三角形
A P C
D
B
A F G C
E B
O D
3、如图,已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形,A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、
CC1、DD1的中点.
求证:四边形A2B2C2D2是正方形.(初二)
解析.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,
连接EB
2并延长交C
2
Q于H点,连接FB
2
并延长交A
2
Q于G点,
由A
2E=1
2
A
1
B
1
=1
2
B
1
C
1
= FB
2
,EB
2
=1
2
AB=1
2
BC=F C1 ,又∠GFQ+∠Q=900和
∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2,可得△B2FC2≌△A2EB2,所以A2B2=B2C2,
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,
从而可得∠A2B2 C2=900 ,
同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
D2
C2
B2
A2
D1
C1
B1
C
B D
A
A1
4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC
的延长线交MN 于E 、F .
求证:∠DEN =∠F .
解析.如下图连接AC 并取其中点Q ,连接QN 和QM ,所以可得∠QMF=∠F ,∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ,从而得出∠DEN =∠F 。
4、
A N F
E C
D
M
B
经典难题(二)
1、已知:△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),O (1)求证:AH=2OM;
(2)若∠BAC=600,求证:AH=AO.(初二)
解析.(1)延长AD到F连BF,做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200,
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
1、
·
A
D
H E
M C B
O
2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)
2、
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)
解析.作OF ⊥CD ,OG ⊥BE ,连接OP ,OA ,OF ,AF ,OG ,AG ,OQ 。 由于
22AD AC CD FD FD
AB AE BE BG BG
, 由此可得△ADF ≌△ABG ,从而可得∠AFC=∠AGE 。
又因为PFOA 与QGOA 四点共圆,可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ , ∠AOP=∠AOQ ,从而可得AP=AQ 。
· G
A O D
B E
C Q
P N
M
· O Q P
B D
E
C N M · A
P C
G F
B
Q
A
D
E
4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形
CBFG ,点P 是EF 的中点.
求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.(初二)
解析.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ,CI ,FH 。可得PQ=2
EG
FH
。
由△EGA ≌△AIC ,可得EG=AI ,由△BFH ≌△CBI ,可得FH=BI 。 从而可得PQ=
2
AI BI
=
2
AB
,从而得证。