小学奥数教程之-计数之归纳法 教师版 (151) 全国通用(含答案)

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7-6-1.计数之归纳法

教学目标

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．

例题精讲

从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．

【例1】如图所示，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5×5方格中，画一条直线，最多穿过个方格。

【考点】计数之归纳法【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，复赛，第14题，6分

【解析】边长每多1，穿过的方格多2，那么5×5的最多穿过3+2+2+2=9个方格

【答案】9

【例2】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?

【考点】计数之归纳法【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：

由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将

n(n+1)

平面分成2+2+3+4+…+n=+1个部分．

2

方法二：如果已有k条直线，再增加一条直线，这条直线与前k条直线的交点至多k个，因而至多被分成k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，条直线至多将平面分为7+4=11个部分，条直线至多将平面分为11+5=16个部分．

1 2 3

k -1 个区域时，如果再在平面上出现第 k

个圆，为了保证

一般的有 k 条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k =

16 个部分．

k (k + 1)

2 +1 个部分，所以五条直线可以分平面为

【答案】16

【巩固】平面上 5 条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上 100 条直线最多能把圆的内部分成几部分？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4 星 【题型】解答

【解析】假设用 a 表示 k 条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里 k ＝0，1，2，……

k

a 0＝1

a 1=a 0+1＝2 a 2=a 1＋2=4 a 3=a 2＋3=7 a 4=a 3+4＝11

……

故 5 条直线可以把圆分成 16 部分，100 条直线可以把圆分成 5051 部分

【答案】 5051 部分

【例 3】 平面上 10 个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4 星 【题型】解答

【解析】先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上 k 个圆最多能将平面分割成 a 个部分．

k

1

2

1 2

4

3

6 1 23 4

7 8

5

6

8 7 9 4 5 11 12 13 14

10

从图中可以看出， a = 2 ， a = 4 = 2 + 2 ⨯1 ， a = 8 = 4 + 2 ⨯ 2 ， a = 14 = 8 + 2 ⨯ 3 ， (1)

2

3

4

可以发现 a 满足下列关系式： a = a

+ 2 (k - 1) ．

k

k

k -1

实际上，当平面上的( k - 1 )个圆把平面分成 a 划分平面的区域尽可能多，新添的第k 个圆不能通过平面上前 (k - 1)个圆之间的交点．这样，第 k 个 圆与前面 (k - 1)个圆共产生 2 ⨯ (k - 1) 个交点，如下图：

这 2 ⨯ (k - 1) 个交点把第 k 个圆分成了 2 ⨯ (k - 1) 段圆弧，而这 2 ⨯ (k - 1) 段圆弧中的每一段都将所在的

区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2 ⨯ (k - 1) 个部分．所以， a = a k k -1

那么， a = a + 2 ⨯ 9 = a + 2 ⨯ 8 + 2 ⨯ 9 = a + 2 ⨯ 7 + 2 ⨯ 8 + 2 ⨯ 9

10

9

8

7

+ 2 (k - 1) ．

(

=

=a+2⨯1+2⨯2+...+2⨯7+2⨯8+2⨯9

1

=2+2⨯(1+2+...+7+8+9)=92．

故10个圆最多能将平面分成92部分．

【答案】92

【例4】10个三角形最多将平面分成几个部分？

【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答

【解析】设n个三角形最多将平面分成a个部分．

n

n=1时，a=2；

1

n=2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有2⨯3=6（个）交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即a=2+2⨯3．

2

n=3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4⨯3=12（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：a=2+2⨯3+4⨯3．

3

……

一般地，第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有2(n-1)⨯3个交点，从而平面也增加2(n-1)⨯3个

部分，故a=2+2⨯3+4⨯3+

n

+2

(n-1)⨯3=2+

⎡⎣2+4++2

(n-1)

⎤⎦⨯3=3n2-3n+2

；

特别地，当n=10时，a=3⨯102+3⨯10+2=272，即10个三角形最多把平面分成272个部分．

10

【答案】272

【例5】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？

【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答

【解析】一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．

同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．

第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．

【小结】n个图形最多可把平面分成部分数：