二项式定理典型例题解析

二项式定理 概 念 篇

【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开.

解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3

+C 44(－

2b )4

=a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4.

说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略.

【例2】展开(2x －

223x

)5

. 分析一：直接用二项式定理展开式.

解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x )2+C 35(2x )2(－2

23x )3+ C 4

5 (2x )(－223x )4+C 55(－2

23x

)5 =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405x －10

32243

x

. 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.

解法二：(2x －223x

)5=105

332)34(x x

=10321x

［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5

］

=

10

321

x

(1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405x －10

32243

x

. 说明：记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.

【例3】在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 .

解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是C 4

10.

解法二：(x －3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10－

r (－3)r .

令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6项为第5项，即T 4+1=C 410x 6(－3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410.

上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？

问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6的二项式系数，所以应是解法二正确.

如果问题改为求含x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4

10.

说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.

二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项

式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.

【例4】已知二项式(3x －

x

32)10

， (1)求其展开式第四项的二项式系数； (2)求其展开式第四项的系数； (3)求其第四项.

分析：直接用二项式定理展开式.

解：(3x －x 32)10的展开式的通项是T r +1=C r

10(3x )10－r (－x

32)r (r =0，1，…，10).

(1)展开式的第4项的二项式系数为C 3

10=120. (2)展开式的第4项的系数为C 31037(－

3

2)3

=－77760. (3)展开式的第4项为－77760(x )73

1

x ，即－77760x . 说明：注意把(3x －

x 32)10写成［3x +(－x 32)］10，从而凑成二项式定理的形式. 【例5】求二项式(x 2+x

21)10

的展开式中的常数项.

分析：展开式中第r +1项为C r

10(x 2)10－r (x

21)r ，要使得它是常数项，必须使“x ”的指

数为零，依据是x 0=1，x ≠0.

解：设第r +1项为常数项，则

T r +1=C r

10(x 2)

10－r

(

x

21)r =C r

10x r 2

5

20-(

21)r (r =0，1，…，10)，令20－2

5

r =0，得r =8. ∴T 9=C 8

10(

21)8=256

45

. ∴第9项为常数项，其值为

256

45

. 说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项T r +1

中的变元的指数为零的方法求得常数项.

【例6】 (1)求(1+2x )7展开式中系数最大项； (2)求(1－2x )7展开式中系数最大项.

分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.

解：(1)设第r +1项系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--,

2C 2C ,

2C 2C 11771177r r r r r r r r

即⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧--+≥-+--≥---,2!)17(!)1(!72!

)7(!!7,2!)17(!)1(!72!)7(!!711r r r r

r r r r r r r r