向量内积

B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b
a
B
O
A
b cos b
b cos b
三、平面向量数量积的几何意义:
B
b
O | b | cos
a • b a b cos
a
A
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的
方向上的投影数量 b cos的乘积.
2
2
1.a • a a a
2 2
练一练：
若 | a | 4 ,| b | 8 , a与b夹角为 （1）当 300时a在b上的投影为2 3 （2）当 900时a在b上的投影为 0 （3）当 1200时a在b上的投影为 2 （4）当 1200时b在a上的投影为 4
平面向量的数量积运算律
问题９: 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算律 对向量是否也适用？
6a • b a b
已知
a
(x
,
y
),b
(x
,
y
)，你能得出
1
1
2
2
a
•
b
的坐标吗？
结论
aFra Baidu bibliotek
•
b
xx
y
y
1
2
1
2
(1)若a
( x,
y).则a
2
x2
y2,
a
x2 y2
(2)设a
(x
,
y
)，b
(x
,
y
).
1
1
2
2
ab x x y y 0
1
2
1
2
(3)设a
(x
,
y
)，b
(x
,
y
| OB1 || OA1 | | A1B1 |
| a b | cos | a | cos1 | b | cos2
A
B2
2
ab B
1
O A1 c B1 C
| c || a b | cos | c || a | cos1 | c || b | cos2
c (a b) c a c b
(a b) c a c b c
§7.4 向量的内积
知识点一： 注意 : 两向量的夹角定义,两向量必须
是同起点的,范围是0 .
向量的夹角
两个非零向量a 和b ，作OA a ，OB b ，则 AOB
(0 180 )叫做向量a 和b 的夹角．
B
a
b
OaA
b
a
B
O
A
若 180，a 与b 反向
Ob B
A
若 0，a 与b 同向
3 a 2m n, b 2n 3m, 求a与b的夹角
3:已知 a 5，b 4,向量a与b的夹角为 ，
3 如果（ka b）（a 2b）,求实数k的值.
4:已知 a 6，向量a与b的夹角为 ，
3 且（a 3b）（a 2b）=-72,求 b .
练习:
一.辨 析
1．若a =0，则对任一向量b ，有a ·b=0．
判断下列命题或等式的正确与否
若b≠0，ab=0，则a=0 若a b 0，b 0 那么a 0
错误
若ab = bc ，(b≠0)，则a=c 若a b b （c b 0），那么a c
错误
（a b）c=a（b c） （a b） c （a b） c
错误
例2、对任意向量a，b是否有以下结论：
2. 实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用 时不要似是而非.
3. 常用︱a︱＝ a a求向量的模.
常用 cos a b
ab
求向量的夹角.
一、平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 , 我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积
(或内积),记作 a • b .
B
b
a
O
A
若 90，a 与b 垂直，
记作 a b
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的内积（或数量积），记作a ·b ，即
a b | a || b | cos
说明：
（1） 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
利用平面向量数量积求解夹角问题 cos a b
| a || b | 例： 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b
新疆 王新敞
奎屯
垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角
练习：(2007上海): 已知 a 2，b 1, a（ a b） 1 求a，b.
变式：若两个单位向量a与b的夹角为 ，
解：因为
2
a
a
2
2
25, b
2
b
25
a • b a • b cos 55 cos 25
32
2
2
2
a b a b a 2a • b b 5 3
2
2
2
a b a b a 2a • b b 5
三、利用 a • b a b cos 求夹角:
).
cos
a,b
1
1 a•b
2
2
xx yy
12
12
ab
x y x y
1
2
1
2
自学例5，例6
一、利用向量的垂直解题:
例例31、:已知 a 5，b 4，a与b的夹角为60o，问当k为何值时，
向量ka b与a 2b垂直？
解：（k a b）（a 2b）（k a b）•（a 2b） 0
类比实数的乘法运算律：
交换律：a b b a 结合律：a (b c) (a b) c 分配律：a (b c) a b a c
关于向量的数量积运算：
交换数律量：积a的运b算律：b a
数乘结合律：
分配(λ律a)·：b＝(a λ(ab·)b)c＝aa·(λcb)
b
c
数量积运算不满足乘法结合律。
思考１： a·b与b·a相等吗？为什么？
思考２：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意义？
(a·b)·c 思考３：对与于a·(向b·量c)相a，等b吗，？c，为(a什＋么b)？·c表示什么意义？它与
a·c＋b·c相等吗？为什么？
如图可知： (a b) c a c b c
| OB1 || OB | cos | a b | cos | OA1 || a | cos1 | A1B1 || AB2 || b | cos2
＝－18；
②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，
∴ａ·ｂ＝０；
③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有
1
ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× 2 ＝9
四、平面向量数量积的运算率:
(1)交换律：a • b b • a
(2)数乘结合律：(a) •b (a •b) a •(b) (3)分配律：(a b) • c a • c b • c
新疆 王新敞
奎屯
2
ka
（2k
1）a •b
2
2b
0
2
2
k a （2k 1）a b cos60o 2b 0
25k （2k 1）5 4 1 2 42 0 k 14
2
15
当k 14时，向量ka b与a 2b垂直。 15
二、利用 a
2
a
a • a 求模:
例例2、2:已知 a b 5，向量a与b的夹角为3 ，求 a b ，a b ？
√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0．
×
3．若a ≠0，a ·b =0，则b=0.
×
4．若a ·b=0，则a,b中至少有一个为0．
×
５6..若对任a意向0量，aa有ab2
a2
a
.(ac·,a则常b记 作a2c)
√ ×
2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
小结
1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加 法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何 意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运 算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.
这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
夹a 角b的 的范正围负0
正
90
90
0
90 180 负
数量积符号由cos的符号所决定
知识点三：平面向量的数量积的运算性质
1，设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之
成立吗？
a⊥b a·b＝0
2，当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱； 3当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱
a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝ a a .
例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ
＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）
作OA a，OB b ，过点B作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B，1 则 OB1 | b | cosθ
B
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．
b
O
a C
B1 A
向量a在b方向上的投影 是什么？
︱a︱cosθ
投影一定是正数吗？
说明：
（1）
B
B
b
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
2
(1) a b a 2 2a b b 2
(2) a b a b a 2 b 2
例3、已知 a 6，b 4，a与b的夹角为60，求 a 2b a 3b .
例4、已知 a 3，b 4，a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
利用平面向量数量积求解长度问题
（2） a ·b中间的“ ·”在向量的运算中不能省略，也不能
写 成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）．
问题3：向量的内积（数量积）运算与向量的数乘运算的 结果有什么不同？
向量的数乘结果是向量 两向量的数量积是一个实数，是一个数量
问题4：影响数量积大小的因素有哪些？
a b | a || b | cos
2. a b • a b a b
3. a b • c d a • c a • d b • c b • d
2
2
2
4. a b a 2a • b b
金榜112.7.8.9
单平位设面向a向量、量，b是数是非a量与零积向e 的量的夹，重e角是要，与性则b:质方向: 相同的
特别地，a a | a |2 或 | a | a a.
（3） cos a b .
ab
练习:
1、已知ABC中，AB a, AC b,当a b 0 或a b 0时，试判断ABC的形状。
变式：已知ABC中，AB a, BC b,当a b 0时， 试判断ABC的形状。
平面向量数量积的几何意义
B1 O
aA
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
当 = 0时投影为|b| 当 = 180时投影为-|b|.
（2）投影也是一个数量，不是向量。
B b
O(B1 ) a
A
θ为直角时，
| b | cosθ=0
问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱ cosθ的几何意义是什么？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.
1a • e e • a a cos
2a b a •b 0 判断两个向量垂直的依据
3a
//
b
a
•
b
| a || b |,当a与b同向时
| a || b |,当a与b反向时
平面向量数量积的重要性质:
4a
•a
a
2
a
2
或
a
a•a
a
2
求向量模的依据
5cos a • b 00,180 0 a b 求向量夹角的依据
| a | a a
例1(2008上海):已知 a 1，b 2,向量a与b的夹角为 ，
3 求 ab ,ab
练习(2008江苏): 已知 a 1，b 3,向量a与b的夹角为120 ， 求 5a b
变式：若 a 3，b 2, a b 13，求:(1) a b
(2)a b与a b的夹角的余弦值.
a • b a b cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0．
a•0 0
向量的数量积是一个数量，那么 它什么时候为正，什么时候为负？
a • b a b cos
当0°≤θ＜90°时 a·b > 0 当θ =90°时 a·b = 0 当90°＜θ≤180°时 a·b < 0
二、投影:
A1 B b
B b
O
a
A
a cos
O
a B1 A
b cos
a cos ( b cos )叫做向量 a 在 b 方向上
(向量 b 在 a 方向上)的投影.
向量 b 在方向 a 上的投影是数量,不是向量,
什么时候为正，什么时候为负？ b cos
B
b
O
a B1 A
b cos 0
B b
B1 O a A
b cos 0
数量积不满足结合律和消去率
(a •b) •c a •(b•c)
a•c b•c a b
平面向量的数量积的运算性质
设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量： （１）a⊥b a ·b=0 . (判断两向量垂直的依据) （２）当a与b同向时，a·b ＝ | a | ·| b |；
当a与b反向时，a·b＝ －| a | ·| b |.