关于“一对三角形”的若干命题及反例法判断
三角形全等的判定定理例题5
《三角形全等的判定》典型例题1
例1 分析下列结论：
（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等
（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等
（3）判定两个三角形全等，至少需要一对对边应相等
（4）三个角对应相等的两个三角形全等
（5）三条边对应相等的两个三角形全等
其中，正确的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析：
（1）有两角和一边对应相等，只有两种情况：两角和夹边对应相等、两角和其中一角的对边对应相等，可以根据ASA、AAS判定全等，故（1）正确．
（2）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形未必全等，如下图：故（2）错误．
在与中但显然与不全等．
（3）观察四个判定三角形全等的条件（包括后面将要学习的HL），每一个都至少要求一对边对应相等，故（3）正确．
（4）三个角对应相等的两个三角形未必全等，如下图所示的两个三角形：
根据“SSS”，（5）正确．
解：选C．
例2如图，在与中，如果，那么与
全等吗？如果全等，请指出根据．
分析：在与中，由于，，根据三边对应相等，两个三角形全等，可知≌．
解：≌，根据，即．
说明：判断两个三角形是否全等，应找其全等应满足的条件．
例3如图，A、F、C、D在同一直线上，，问和能全等吗？如果全等请指出根据．
B
A
C
D
E
F
分析：在和中，由，可知；由，可知；而由可知，所以根据，可得≌
．
解：≌．
根据：因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以
所以根据得，≌．
说明：这个题也可以根据来判断，请读者自行试一试．。
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案与解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD=⎧⎨⎩＝∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD 与△CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB ＝AC ，AD ⊥ BC 于D ，E 、F 为AD 上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．A ．3B ．4C ．5D ．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90, A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( ) A. AC ＝ ''A C ＝ ''B C C. AC ＝ ''B C D. ∠A ＝ ∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC ＝EF ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等） ∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得：∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 与Rt △EDF 中B EDF BC DF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠ 2.证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在Rt △AEC 与Rt △AFB 中AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ）∴∠EAC ＝∠FAB∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C ； 【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS 定理证明全等.2. 【答案】D ；【解析】△ABD ≌△ACD ；△ABF ≌△ACF ；△ABE ≌△ACE ；△EBF ≌△ECF ；△EBD ≌△ECD ；△FBD ≌△FCD.3. 【答案】D ；4. 【答案】C ；【解析】注意看清对应顶点，A 对应'B ，B 对应'A .5. 【答案】C ；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C ；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】6；【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.。
全等三角形的概念和性质及判定一-教师版
1 / 22【例1】 下列说法正确的是（）A ．全等三角形是指形状相同的三角形B ．全等三角形是指面积相等的三角形C ．全等三角形的周长和面积都相等D ．所有的等边三角形都全等 【难度】★ 【答案】C【解析】A 错，形状相同，大小也要相同；B 错，面积相等不一定全等，反例同底等高 的三角形；D 错，大小不一定相等． 【总结】本题主要考查全等三角形的概念．【例2】 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等【难度】★ 【答案】C【解析】等底同高，所以面积相等．【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．【例3】 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC【难度】★ 【答案】D【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等． 【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．【例4】 下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边 【难度】★ 【答案】C【解析】C 选项是边边角，不能作为全等的判定条件． 【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．例题解析21ABCD【例5】 练习画出下列条件的三角形：（1） 画,ABC ∆使40,45,4A B AB cm ∠=︒∠=︒=； （2） 画,ABC ∆使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===； （3） 画,ABC ∆使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=︒； （4） 画,ABC ∆使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=︒． 【难度】★ 【答案】略 【解析】略．【例6】 下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】B【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对； （4）对，故选B ．【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解． 【例7】 下列说法中错误的是（）A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B ．全等三角形的公共边也是对应边C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边 【难度】★★ 【答案】C【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三 角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．【例8】 如图所示，ABE ADC ABC ∆∆∆和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（ ） A ．80°B ．100°C ．60°D ．45°【难度】★★α321ABCDEP3 / 22【答案】A【解析】设1=28x ∠，25x ∠=，33x ∠=，则36180x =，解得：5x =． 1140∴∠=︒，225∠=︒，315∠=︒， 22ABC ACB ∴∠∂=∠+∠212280=∠+∠=︒．【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用．【例9】 如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于点E ，连接BE ，过E 作EF ⊥BE交AD 于F .（1）∠DEF 和∠CBE 相等吗?请说明理由；（2）请找出图中与ED 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由. 【难度】★★【答案】（1）相等；（2）ED BC AD ==．【解析】（1）90DEF CEB ∠+∠=︒，90CBE CEB ∠+∠=︒， DEF CBE ∴∠=∠（同角的余角相等） （2）AE 平分DAB ∠， 45DAE ∴∠=︒，DE AD ∴=．AD BC =， DE AD BC ∴==．【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再 利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题．【例10】 如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ∆≅∆∠=︒∠=︒=，，，，14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长． 【难度】★★【答案】（1）1=55∠°；（2）4AC cm =． 【解析】（1）ADF BCE ≅，30A B ∴∠=∠=︒，AD BC =，155A F ∴∠=∠+∠=︒； （2）ADF BCE ≅，AD BC ∴=， 514AC AD CD cm ∴=-=-=．【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用．【例11】 如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠ACB =2:5:11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋转，试旋转前后的△A ’B ’C ’中的顶点B ’在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA ’的度数． 【难度】★★ 【答案】40︒．【解析】设2A x ∠=，5B x ∠=，11ACB x ∠=，1ABC DEFABCA’B ’则18180x =， 解得：10x =， ∴110BCA ∠=，70BCB '∠=．110A CB ''∠=， 40BCA '∴∠=．【总结】考察学生对旋转的理解，注意利用全等三角形的性质进行解题．【例12】 如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，∠ACB =1050，∠CAD =100，∠ADE =250，求∠DFB 和∠AGB 的度数． 【难度】★★【答案】∠DFB =85︒，∠AGB =45︒． 【解析】证明：ABC ADE ≅， 25ADE ABC ∴∠=∠=︒，50CAB EAD ∠=∠=︒， 10502585DFB ∴∠=︒+︒+︒=︒， 1801102545AGB ∠=︒-︒-︒=︒．【总结】本题主要考察学生对全等三角形的性质及三角形外角性质和内角和定理的综合 运用．【例13】 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ， ∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律． 【难度】★★★【答案】（1）AED A ED '≅，A A '∠=∠， AED A ED '∠=∠，ADE A DE '∠=∠； （2）11802x ∠=-，21802y ∠=-； （3）()1122A ∠=∠+∠． 【解析】（3）证明：∵()180A x y ∠=-+，1+2=3602()x y ∠∠-+， ∴()1122A ∠=∠+∠． 【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查全等三角形的性质及三角形内角和 定理的运用．ABC DEF G 21AB C DEA ’【例14】 如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD的位置；如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．ABC DE（1）ABCD（2）A BCDE（3）ABC（4）DEF【难度】★★★【答案】翻折变换，平移变换或旋转变换，平移变换． 【解析】AB ED =，BC EF =，AC DF =．【总结】考察学生对图形的运动的理解和掌握，需要学生进行一定的空间想象．【例15】 如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】证明：12∠=∠，12DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠． 在ABC 和DAE 中，B D BAC DAE AC AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△ADE （A.A.S ）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．【例16】 如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD相等吗?为什么? 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】证明：在ABE 和ADC 中，A A C E BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE ADC ∴≅（A.A.S ）， AB AD ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．ABCDEF21AB CDE【例17】 如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】证明：AD BC =，AE BE =，DE CE ∴=．在ACE 和BDE 中，AE BE = AEC BED ∠=∠， CE DE =ACE BDE ∴≅（S.A.S ）AC BD ∴=，C D ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例18】 如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】证明：连接BD 在ABD 和CDB 中，AB CD AD BC BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABD CDB S S S ∴≅ A C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例19】 如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，说明△ADE 与△CDF 全等的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】//AE CF ， E EFC ∴∠=∠．∵BD 是△ABC 的中线， ∴AD CD =．在ADE 和CDF 中，E EFCADE FDC AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ADE CDF ∴≅（A.A.S ）． 【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．ABCDEABCDEFAB CD【例20】 如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；（2）说明EO =FO 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】证明：（1）//AC BD ，C D ∴∠=∠．在AOC 和BOD 中，C DAOC BOD AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AOC BOD ∴≅（A.A.S ）； （2）AOC BOD ≅， CO DO ∴=．在CEO 和DFO 中，C D CO DOCOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()CEO DFO ASA ∴≅， EO FO ∴=．【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例21】 如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】CD AB BE AC ⊥⊥，， 90BDC DEC ∴∠=∠=︒． 在BDO 和CEO 中，BDC BEC DO EODOB COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)BDO CEO A S A ∴≅． DO EO ∴=，B C ∠=∠，BO CO =， BE CD ∴=．在ABE 和ACD 中，A A BE CDBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ABE ≌ACD （A.S.A ）， AB AC ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意利用多次全等．ABCDEFOABCDEO【例22】 如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么? （2） 说明AB =CD 的理由； （3） 图中有哪几对全等三角形? 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】证明：（1）全等， //AD BC ， DAC ACB ∴∠=∠．//BF DE ，DEF BFE ∴∠=∠， AED BFC ∴∠=∠．在AED 和BFC 中，DAC ACB AE CF AED BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ADE CBF A S A ∴≅； （2）ADE CBF ≅， AD BC ∴=．在ABC 和ADC 中AD BC DAC ACB AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABC ADC S A S ∴≅， AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）；（3）AED CFB ≅；DEC BFA ≅；ABC CDA ≅． 【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用．【例23】 如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】在ABC 和BCD 中，AB CDAC BD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， (..)ABC DCB S S S ∴≅， ABC BCD ∴∠=∠， 在ABM 和DCM 中，AB CD ABC BCD BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ABM DCM S A S ∴≅， AM DM ∴=． 【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用，利用多次全等进行证明．AB CDMABCDEF【例24】 如图，∠1=∠2，AC =BD ，E 、A 、B 、F 在同一条直线上，说明：∠CAD =∠DBC 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】12∠=∠， CAB DBA ∴∠=∠．在CAB 和DBA 中，AC BD CAB DBA AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)CAB DBA S A S ∴≅， CBA DAB ∴∠=∠，又CAB DBA ∠=∠，CAD DBC ∴∠=∠．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与角的和差的综合运用．【例25】 如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】证明：在ABE 和ACE 中，AB AC BE CE AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)ABE ACE S S S ∴≅， BAD CAD ∴∠=∠．在ABD 和ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ABD ACD S A S ∴≅， 90ADB ADC ∴∠=∠=， AD BC ∴⊥．【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，通过多次全等得到垂直．21ABC DEFABCDE【例26】 如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】证明：在ADC 和AEB 中， AD AE A A AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴(..)ADC AEB S A S ≅ B C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等） AB CA =，AD AE =，BD CE ∴=．在BDO 和CEO 中，DOB COE ∠=∠ B C ∠=∠ BD CE =(..)BDO CEO A A S ∴≅， OD OE ∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，注意对全等的多次运用．【例27】 如图，已知AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ．试说明：AC ⊥CE ，若将CD 沿CB 方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余的条件不变， 结论AC 1⊥C 2E 还成立吗?请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】证明：（1）AB BD ⊥，DE BD ⊥， 90B D ∴∠=∠=︒在ABC 和CDE 中，AB CDB D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ABC CDE S A S ∴≅， A ECD∴∠=∠．90A ACB ∠+∠=，90ACB ECB ∴∠+∠=， 即AC CE ⊥．ABCD EMAB C 2D EC 1AB C 1D EM AB C 2 DEM C 1MAB C 1D EC 2ABCDEO（2）12ABC C ED ≅， 2A E CD ∴∠=∠．190A AC B ∠+∠=，2190EC D AC B ∴∠+∠=， 1290C MC ∴∠=， 12AC C E ∴⊥．【总结】本题主要考察全等三角形的判定及垂直的综合运用，说理时注意分析．【例28】 如图，线段BE 上有一点C ,以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形ABC 、DCE ，连结AE 、BD ，分别交CD 、CA 于Q 、P ．（1）找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外)，并说明你的理由； （2）取AE 的中点M 、BD 的中点N ，连结MN ，试判断△CMN 的形状． 【难度】★★★【答案】（1）BD AE =，（2）等边三角形． 【解析】（1）∵等边三角形ABC 和 等边三角形DCE ， ∴BC AC =，CD CE =， BCA DCE ∠=∠=60°．BCA ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠．在BCD 和ACE 中，BC ACBCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BCD ACE ∴≅（S.A.S ），BD AE ∴=（全等三角形的对应边相等）； （2）BCD ACE ≅， DBE EAC ∴∠=∠．M 、N 分别为BD 、AE 的中点， BN ND ∴=，AM ME =，BD AE =， BN AM ∴=．在BCN 和ACM 中，BC ACCBN CAM BN AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BCN ACM ∴≅（S.A.S ），CM CN ∴=，BCN ACM ∠=∠，60NCM BCA ∴∠==︒， CM CN =， ∴△CMN 是等边三角形．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意在复杂的图形中准确的找出全 等三角形及其对应条件．2121A BCDEQP ABCDEMNPQ【例29】 如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA =CB ，四边形CDEF 是正方形，连接AF 、BD ．（1）观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）AF BD =，AF BD ⊥；（2）成立．【解析】证明：（1）△ABC 是等腰直角三角形，四边形CDEF 是正方形，CF CD ∴=，AC BC =，90DCF ACB ∠=∠=， FCA DCB ∴∠=∠．在FCA 和DCB 中，CF CD FCA DCB AC CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FCA DCB SAS ∴≅．AF DB ∴=，DBC FAC ∠=∠．90DBC ABD BAC ∠+∠+∠=， 90FAC ABD BAC ∴∠+∠+∠=，AF BD ∴⊥．（2）成立，证明过程同（1）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意根据旋转图形的不变性进行解 题．【习题1】 下列命题中正确的是 （ ）A ．全等三角形的高相等B ．全等三角形的中线相等C ．全等三角形的角平分线相等D ．全等三角形对应角的平分线相等【难度】★ 【答案】D【解析】A 错，全等三角形对应边上的高相等；B 错，全等三角形对应边上的中线相等； C 错，全等三角形对应角的平分线相等；D 对． 【总结】考察学生对全等三角形的相关概念的理解．随堂检测ABC D E F【习题2】 如图，△ABD ≌△CDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是（ ）A ．△ABD 和△CDB 的面积相等 B ．△ABD 和△CDB 的周长相等C ．∠A +∠ABD =∠C +∠CBD D ．AD ∥BC ，且AD =BC 【难度】★ 【答案】C【解析】C 错，正确答案是∠A +∠ABD =∠C +∠CDB ，A ，B ，D 均对． 【总结】主要考察学生对全等三角形的概念的理解．【习题3】 如图，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD =7厘米，DM =5厘米，∠DAM =390，则AN =______厘米，NM =___________厘米，∠NAB =_______． 【难度】★【答案】7；5；12°．【解析】由翻折的性质，可得：ADM ANM ≅， 则7AN AD ==厘米，5MN DM ==厘米，39MAN MAD ∠=∠=， 故9023912NAB ∠=-⨯=．【总结】本题主要考查翻折性质与全等三角形性质的综合运用．【习题4】 尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS【难度】★ 【答案】D【解析】∵AC AD =，PC PD =，OP OP =，(..)DCP ODP S S S ∴≅【总结】根据画图考察学生对画图过程中不变性的理解和掌握．A BCDA BC DM NABCDPO【习题5】如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据_________；（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据_________；（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据_________；（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF．则△ACE≌△BDF，根据_________．【难度】★★【答案】（1）A.A.S；（2）A.S.A；（3）S.A.S；（4）S.S.S．【解析】//AC BD，A B∴∠=∠，C D∠=∠，则（1）、（2）、（3）、（4）分别得证．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的熟练掌握．【习题6】如图，已知△ABC≌△ADE, ∠CAD=150，∠DFB=900，∠B=250．求∠E和∠DGB的度数．【难度】★★【答案】105E∠=︒，65DEG∠=︒．【解析】AD BG⊥，90AFB∴∠=︒（垂直的意义）15DAC∠=︒，75FCA∴∠=︒（互余的意义）105ACB∴∠=︒（邻补角的意义）ACB AED≅，105E ACB∴∠=∠=︒，25B D∠=∠=︒902565DGB∴∠=︒-︒=︒（互余的意义）【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解，并且对邻补角和互余等知识点要熟练掌握并应用．【习题7】如图：A、E、F、C四点在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作BE⊥AC、DF⊥AC，且AB∥CD，AB=CD．试说明：BD平分EF．【难度】★★【答案】见解析．【解析】//AB CD，A C∴∠=∠，ABD CDB∠=∠在ABG和CDG中，ABD CDBAB CDA C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABG CGD ASA∴≅，AG CG∴=，AE CF=，EG GF∴=，BD∴平分EF．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用．ABCEDFA BCDEFGABDE FG【习题8】 如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°，（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB 'C '的顶点C '与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上?（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C '在同一直线上? 【难度】★★【答案】（1）110︒；（2）70︒．【解析】（1）1803040110CAB ∠=︒-︒-︒=︒； （2）18011070︒-︒=︒．【总结】考察学生对旋转的理解，注意旋转过程中的不变性．【习题9】 已知：如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC于点G ，•在GD 的延长线上取点E ，使DE =DB ，连结AE 、CD ． 试说明：△AGE ≌△DAC ． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】ABC 是等边三角形．AB AC BC ∴==，60BAC ACB B ∠=∠=∠=（等边三角形的性质） //DG BC ，60ADG B ∴∠=∠=°，60AGD ACB ∠=∠=°， ADG AGD ∴∠=∠．ED DB =，又DG AD =， DE DG DB AD ∴+=+，即AB EG =．AB AC =，AC EG ∴=．在ADG 和ADC 中，AG ADAGE DAC EG AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)AGE DAC S A S ∴≅∠．【总结】考察学生对全等三角形的判定的掌握和应用以及等边三角形的性质综合运用．ABCDE FG【习题10】 在∠O 的两边上分别取点A 、D 和B 、C ，连接AC 、BD 相交于P ．（1）若∠A ＝∠B ，P A ＝PB ，试说明OA ＝OB 的理由； （2）若OA ＝OB ，P A ＝PB ，试说明PC ＝PD 的理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）在ADP 和BCP 中，A BPA PBDPA CPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (..)ADP BCP A S A ∴≅，DP CP ∴=（全等三角形对应边相等）． AP BP =， AC BD ∴=（等式性质）． 在OAC 和ODB 中，O OA B AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)AOC BOD A A S ∴≅，AO BO ∴=（全等三角形的对应边相等）； （2）连接OP在AOP 和BOP 中，OA OBPA PB OP OP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，(..)AOP BOP S S S ∴≅，A B ∴∠=∠，AP = BP （全等三角形的对应角相等、对应边相等）． 在ADP 和PCB 中，A BAP PB APD CPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(..)ADP PCB A S A ∴≅，PC PD ∴=（全等三角形的对应边相等）． 【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，注意多次全等的综合运用．ABCDP OABCDP O【习题11】 如图，△ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，绕着顶点A 旋转后位置如下：（1） 当C 、A 、D 在同一直线上，说明CE 与BD 有何关系?为什么?（2） 当△ADE 再继续旋转到（2）、（3）、（4）的位置后，CE 与BD 又有何关系． 【难度】★★★【答案】（1）CE BD =，CE BD ⊥；（2）CE BD =，CE BD ⊥．【解析】（1）证明：△ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，AD AE ∴=，AC AB =，90BAD CAB ∠=∠=︒（等边三角形的性质）在ADB 和AEC 中，AD AEDAE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)ADB AEC S A S ∴≅，CE BD ∴=，ACE ABD ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）90ACE BCE CBE ∠+∠+∠=， 90ABD BCE CBE ∴∠+∠+∠=，CE BD ∴⊥．（2）CE BD =，CE BD ⊥，证明过程同上．【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质的综合运用， 注意认真分析题目中的条件．【作业1】 如图，△ABC ≌△ABD ，C 和D 是对应顶点，若AB =6cm ，AC =5cm ，BC =4cm ，则AD 的长为_________cm ． 【难度】★ 【答案】5【解析】全等三角形的对应边相等，5AD AC ==． 【总结】本题主要考查全等三角形的性质．课后作业A BCDE（1）（2）ABDCE（3） （4）AB CE DABCDE ABCD【作业2】 如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF ===∠∠，，； ③B E BC EF C F ===∠∠∠∠，，； ④AB DE AC DF B E ===∠∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有 （ ） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【难度】★ 【答案】C【解析】（1）S.S.S ；（2）S.A.S ；（3）A.S.A ；（4）S.S.A 不符合，所以正确答案 是（1）、（2）、（3），故选C ．【总结】考察学生对全等三角形的判定定理的掌握．【作业3】 下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边 【难度】★ 【答案】C【解析】边边角不能作为全等三角形的判定条件．【作业4】 已知△ABC ≌△DEF ，若△ABC 的周长为32，AB =8，BC =12，DE =_______，DF =_______，EF = _______． 【难度】★★ 【答案】8；12；12． 【解析】△ABC ≌△DEF ，8DE AB ∴==，3212812DF AC ==--=，12EF BC ==． 【总结】本题主要考察全等三角形的性质的运用．ABCDEF【作业5】 如图△ACE ≌△DBF ，AE =DF ，CE =BF ，AD =8，BC =2．（1）求AC 的长度；（2）说明CE ∥BF 的理由． 【难度】★★【答案】（1）5；（2）见解析． 【解析】（1）△ACE ≌△DBF ，AC BD ∴=（全等三角形对应边相等）AB BC CD BC ∴+=+（等式性质），即AB CD =． 8AD =，2BC =，3AB CD ∴==， 5AC ∴=；（2）△ACE ≌△DBFECA DBF ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等） //CE BF ∴（内错角相等，两直线平行）【总结】考察学生对全等三角形的性质的掌握及运用．【作业6】 如图，已知△ABC ≌△AED ，AE =AB ，AD =AC ，∠D -∠E =200，∠BAC =600，求∠C 的度数． 【难度】★★ 【答案】70︒．【解析】设E x ∠=，20D x ∠=+，△ABC ≌△AED ， 60BAC EAD ∴∠=∠=︒，C D ∠=∠2060180x x ∴+++=︒，50x ∴=，70D ∴∠=︒， 70C ∴∠=︒．【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解和运用，注意利用设未知数解题．【作业7】 如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，点C 在线段AB 上，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论①△ACE ≌△DCB ；②CM =CN ；③AC =DN ．其中正确的结论是_______________，证明正确的结论． 【难度】★★ 【答案】①和②正确．【解析】①△DAC 和△EBC 均是等边三角形， ∴AC DC =，BC EC =，60ACD BCE ∠=∠=︒， ACE DCB ∴∠=∠．在ACE 和DCB 中，AC CD ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ACE DCB S A S ∴≅；ABCDA BCD EMNABCDEF（2）ACE DCB≅，CAE CDB∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）60ACD BCE∠=∠=︒，60DCE ACD∴∠=∠=︒．在ACM和DCN中，AC DCACD DCECAE BDC=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，ACM DCN∴≅（A.A.S）CM CN∴=（全等三角形的对应边相等）【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和运用．【作业8】如图，AD⊥AB，AC⊥AE，且AD＝AB，AC＝AE．试说明：DC＝BE，DC⊥BE．【难度】★★【答案】见解析．【解析】AD⊥AB，AC⊥AE，90DAB EAC∴∠=∠=︒（垂直的意义）DAC BAE∴∠=∠（等式性质）在DAC和BAE中，AD ABDAC BAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(..)DAC ABE S A S∴≅DC BE∴=，B D∠=∠（全等三角形的对应角相等，对应边相等）设BE与DC交于点F，DGA BGC∠=∠，90D DGA∠+∠=，90B BGC∴∠+∠=，90BFG∴∠=︒，DC BE∴⊥（垂直的意义）．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定及三角形内角和定理的综合运用，注意归纳总结证明垂直的方法．ABCDEFGE【作业9】 如图，已知AE =CF ，∠DAF =∠BCE ，AD =CB ． （1）问△ADF 与△CBE 全等吗?请说明理由；（2）如果将△BEC 沿CA 边方向平行移动，可有图中3幅图，如上面的条件不变， 结论仍成立吗?请选择一幅图说明理由． 【难度】★★ 【答案】（1）全等； （2）成立，全等． 【解析】（1）AE CF =，AE EF CF EF ∴-=-，即AF CE =（等式性质）．在ADF 和BCE 中，AF CEA C AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (..)ADF BCE S A S ∴≅；（2）成立，证明过如（1）．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和运用．【作业10】 如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边△ABD 和等边△ACE ，BE与CD 相交于点F ．（1）请说明△ABE ≌△ADC 的理由； （2）求∠1的度数． 【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）1120∠=︒．【解析】（1）证明：在等边△ABD 和等边△ACE 中，AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，DAB BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠， DAC BAE ∠=∠即．在ABE 和DAC 中，AD ABDAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴(..)ABE ADC S A S ≅；（2）ABE ADC ≅， DCA BEA ∴∠=∠（全等三角形对应角相等）1DCE BEC ∠=∠+∠， 又DCA BEA ∠=∠ 1ACE AEB BEC ∴∠=∠+∠+∠6060120=︒+︒=︒．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，综合性较强，注意利用外 角进行适当的转化，把未知的角度转化为和题目有关的已知角，从而进行解题．ABCD EF A BCD E FAB CDEFC （A ）BD。
关于某一条直线对称的两个三角形全等的逆命题
关于某一条直线对称的两个三角形全等的逆命题《关于“关于某一条直线对称的两个三角形全等”的逆命题》嘿，你知道三角形的那些有趣事儿吗？今天我就想和你唠唠关于三角形全等和对称的事儿。
咱们先说说“关于某一条直线对称的两个三角形全等”这个事儿。
你看啊，要是有两个三角形，它们就像照镜子一样，关于某条直线对称呢，那这两个三角形肯定是一模一样的，也就是全等的。
就好比你和你的影子，在阳光直直照下来的时候，你和你的影子虽然方向不一样，但是形状、大小那可都是一样的呀。
那这个命题的逆命题是啥呢？那就是“两个全等的三角形关于某一条直线对称”。
这听起来好像挺对的呢，毕竟全等的三角形形状和大小都一样。
可是，真的是这样吗？咱们来好好想想。
我就和我的同桌讨论过这个事儿。
我同桌说：“我觉得这肯定是对的呀，全等的三角形，那它们就是一样的，肯定能找到一条线让它们对称。
”我就不太同意了，我就跟他说：“你想啊，假如有两个全等的三角形，就像两个一模一样的小旗，但是它们在平面上的位置是随便放的呢？比如说一个小旗竖着放，一个小旗横着放，而且离得老远，你能说它们一定关于某条直线对称吗？”我同桌就有点愣住了，他想了一会儿说：“哎呀，好像是这么个理儿呢。
”然后我就继续跟他解释：“全等只是说它们的边长啊、角的大小啊都一样，但是它们在平面里的位置可没说有啥特殊关系呀。
就像咱们教室里的那些一模一样的小本子，有的在桌子上，有的在凳子上，它们虽然一样，但是可没有关于某条直线对称呀。
”再比如说，我们在纸上画两个全等的三角形，一个画在纸的左上角，一个画在纸的右下角，这两个三角形全等，可是怎么看都不是关于某条直线对称的。
这就像有两个长得一模一样的小蚂蚁，一只在洞口左边老远的地方，一只在洞口右边老远的地方，它们虽然长得一样，可并不关于某个东西对称呀。
那这个逆命题到底是对还是不对呢？从我们刚刚举的这些例子来看，这个逆命题是不对的。
两个全等的三角形并不一定关于某一条直线对称。
指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式：
例1. 判断下列句子是否是命题，且请说明理由：⑴三角形ABC和三角形DEF．⑵一个三角形中不会有两个钝角．⑶1、3、5这三个数全部是偶数．分析：命题是属于逻辑学范畴的名词，命题是判断一件事情的句子．命题有以下特征：⑴命题是一个完整的语句，它必须具有“判断”的作用，判断是指对某一事物的肯定（是什么）或否定（不是什么），也可对某一事态表达是对或是错的意向．⑵命题是一种表现思想的形式逻辑，是对客观现实对象和客观现实现象的表达．解：⑴不是命题，语句不完整．⑵是命题，且是一句完整的否定句．⑶是命题，且是一句完整的肯定句．例2. 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：（1）三边对应相等的两个三角形全等．（2）在同一个三角形中，等角对等边．（3）对顶角相等．（4）角平分线上的点到角的两边距离相等．分析：找出命题的条件和结论是理解命题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时要注意把省略的词或句子添加上去．⑴“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．⑵同学们可能会说条件是“在同一个三角形中”，结论是“等角对等边”．其实“等角对等边”的含义是指同一个三角形中有两个角相等即其所对的两条边相等，试问：一个三角形满足什么条件时，有两条边相等？这个命题的条件是什么？结论是什么？值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在同一个三角形中”，在改写时不能遗漏．这个命题可以改写成“在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．⑶注意：对顶角指两个角的位置关系，相等指两个角的度数相等（即数量关系）．把“两个角”添补上去，写成“是对顶角的两个角相等”，这样不难得出这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．⑷“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边的距离相等”．例3. 已知：如图，D是⊿ABC边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB．求证：AE＝CE．分析：利用三角形全等的公理及定理，证明⊿ADE≌⊿CFE，从而证得AE＝CE．证明：因为FC∥AB（已知）所以∠A ＝∠ACF （两直线平行，内错角相等） ∠F ＝∠ADF （两直线平行，内错角相等） 在⊿ADE 与⊿CFE 中 ∠A ＝∠ACF ∠F ＝∠ADF （已证） DE ＝FE （已知） ⎧⎪⎨⎪⎩所以⊿ADE ≌⊿CFE （AAS ）所以AE ＝CE （全等三角形的对应边相等）例4. 已知：如图，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ．求证：CB ＝CD ．分析：解具体问题时要突出边角转换的环节，要证CB ＝CD ，需构造一个以 CB 、CD 为腰的等腰三角形，连结BD ，需证∠CBD ＝∠CDB ，但已知∠B ＝∠D ，由AB ＝AD 可证∠ABD ＝∠ADB ，从而证得∠CDB ＝∠CBD ，推出CB ＝CD ．证明：连结BD ，在中，（已知）（等边对等角）（已知）即（等角对等边）例5. 如图，AE B D ，，，在同一直线上，在ABC △与DEF △中，AB DE ，AC DF =，AC DF ∥．AB DEF（1）求证：ABC DEF △≌△；（2）你还可以得到的结论是 （写出一个即可，不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母）．（1）证明：AC DF Q ∥，A D ∴∠=∠，在ABC △和DEF △中AB DE A D AC DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，(SAS)ABC DEF ∴△≌△（2）答案不惟一，如：AE DB =，C F ∠=∠，BC EF ∥等．例6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，添加一个条件，使DE ＝DF ，并说明理由．解：需添加的条件是 ．理由是：___________________________．解：需添加的条件是：BD ＝CD ，或BE ＝CF ． 添加BD ＝CD 的理由：如图，∵ AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．又∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED=∠CFD ，CD BD =Θ∴ △BDE ≌△CDF （ASA ）． ∴ DE ＝DF ． 添加BE ＝CF 的理由： 如图，∵ AB ＝AC ， ∴ ∠B ＝∠C ．∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ． 又∵ BE ＝CF ， ∴ △BDE ≌△CDF （ASA ）． ∴DE ＝DF ．例7. 如图，AB AD =，AC AE =，12∠=∠，求证：BC DE =12ABDCE证明：12=Q ∠∠ 12DAC DAC ∴+=+∠∠∠∠即：BAC DAE =∠∠又AB AD =Q ，AC AE = ABC ADE ∴△≌△（SAS ） BC DE ∴=【本节小结】命题与真、假命题的关系．抓住命题的两部分构成，判断一些语句是否为命题．命题中的题设条件，有两个或两个以上，写“如果”时应写全面判断假命题，只需举一个反例，而判断真命题，数学问题要经过证明．【模拟试题】（答题时间：60分钟）★一、填空题1、把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式是： 如果_________ ，那么__________ ．2、命题“直角都相等”的题设是________ ，结论是____________ ．3、写出下列假命题的反例：①有两个角是锐角的三角形是锐角三角形． ． ②相等的角是对顶角． ．4、在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝72°，那么与∠A 相邻的一个外角等于______．5、在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝110°，∠C ＝2∠A ，则∠A ＝________，∠B ＝_______．6、在直角三角形中，两个锐角的差为20°，则这两个锐角的度数分别为_____．7、△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝∠C ，则∠B ＝_______°．8、如图，AB ∥CD ，∠A ＝27°，∠C ＝56°．则∠E ＝ 度．★二、选择题1、下列语句中，属于命题的是……………………………………………………（ ） A. 直线AB 和CD 垂直吗？ B. 过线段AB 的中点C 画AB 的垂线C. 同旁内角不互补，两直线不平行D. 连结A、B两点2、下列命题中，属于假命题的是…………………………………………………（）A. 若a⊥c，b⊥c，则a⊥bB. 若a∥b，b∥c，则a∥cC. 若a⊥c，b⊥c，则a∥bD. 若a⊥c，b∥a，则b⊥c3、下列四个命题中，属于真命题的是……………………………………………（）A. 互补的两角必有一条公共边B. 同旁内角互补C. 同位角不相等，两直线不平行D. 一个角的补角大于这个角4、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是…………………（）A. 垂直B. 两条直线C. 同一条直线D. 两条直线垂直于同一条直线5、已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是………………（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形6、若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为（）A. 4：3：2B. 3：2：4C. 5：3：1D. 3：1：57、若等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为………………………（）A. 55°B. 70°C. 55°或70°D. 以上答案都不对8、如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连结BE，CD．若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是……………………………………………（）A. ∠AEB>∠ADCB. ∠AEB＝∠ADCC. ∠AEB<∠ADCD. 不能确定9、下列条件中，不能成为全等三角形的是………………………………………（）A. 有两角及一边对应相等的两个三角形B. 有一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形C. 有一条边对应相等的两个等边三角形D. 有两边及一角对应相等的两个三角形10、一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是………（）A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 不能确定★★三、解答题1、用“如果……那么……”改写命题，并指出题设与结论．①有三个角是直角的四边形是矩形．②同角的补角相等．③全等三角形的对应边相等．④三角形内角和等于180°．⑤等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线．2、如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A＝27°，∠D＝20°，求∠ACB与∠B的度数．3、如图，∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，求∠BEC的度数．4、如图，AB＝AE，AC＝AD，要使EC＝BD，需添加一个什么条件？请说明理由．5、如图，⊿ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点D，过点D的直线EF∥BC，交AB于E，交AC于F．求证：EF＝BE＋CF．6、如图，AD是∠BAC的角平分线，E是AB边上一点，AE＝AC，EF∥BC交AC于点F．求证：CE平分∠DEF．7、如图，AD是∠BAC的角平分线，AB＝AD，E是AD延长线上一点，∠1＝∠3．求证：DC＝BE．几何证明如果那么【试题答案】一、1. 两个角是相等的角，这两个角的补角相等 2. 两个角都是直角，这两个角相等3. ①在ABC ∆中，︒=∠︒=∠20B ,10A ，则ABC ∆是钝角三角形而不是锐角三角形 ②在ABC ∆中，︒=∠=∠70B A ，则B A ∠∠,不是对顶角4. 117°5. 35° 75°6. 55° 35°7. 60°8. 29°二、1. C 2. A 3. C 4. D 5. A 6. C 7. C 8. B 9. D 10. C三、1. 略2. ︒=∠110ACB ，︒=∠43B3. ︒=∠125BEC4. ,EAD BAC ∠=∠使BAD ∆与CAE ∆全等，从而得到BD EC =5. 证CF DF EB ED ==,6. 先证,DC DE =于是,DEC DCE ∠=∠易证FEC DCE ∠=∠7. 证ADC ABE ∆≅∆。
人教版七年级数学下册第五章第三节命题、定理、证明习题(含答案) (89)
人教版七年级数学下册第五章第三节命题、定理、证明复习试题（含答案)用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应假设___________________________________________【答案】三角形三个内角都大于60°【解析】【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可．【详解】解：∵用反证法证明三角形中至少有一个角不大于60︒，∴第一步应假设结论不成立，即三角形三个内角都大于60︒．故答案为：三角形三个内角都大于60︒．【点睛】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．82．将命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________．【答案】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．【解析】【分析】首先要分清原命题的题设与结论，题设是角平分线上的点，可改为点在角平分线上，如此答案可得．【详解】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．故答案为：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．【点睛】本题考查了角平分线的性质及命题的改写问题．找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键．83．把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果...那么... ”的形式是：如果______，那么____．【答案】一个三角形的两个角互余这个三角形是直角三角形【解析】【分析】分清题目的已知和结论，即可解答．【详解】解：定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果...那么... ”的形式是：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形．故答案为：一个三角形的两个角互余；这个三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是解题关键．84．命题“平行于同一条直线的两直线平行”的题设是__________________________，结论是_______，它是一个______命题（填“真”或“假”）．【答案】两条直线平行于同一条直线这两条直线也互相平行真【解析】【分析】每一个命题都一定能用“如果…那么…”的形式来叙述．“如果”后面的内容是题设，“那么”后面的内容是结论．然后根据平行线的判定方法可判断命题为真命题．【详解】解：命题：“平行于同一条直线的两条直线平行”的题设是两条直线平行于同一条直线，结论是这两条直线也互相平行．它是一个真命题故答案为：两条直线平行于同一条直线；这两条直线也互相平行；真．【点睛】本题考查了命题与定理：命题判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．85．有下列命题：①无理数是无限不循环小数；②平方根与立方根相等的数有1和0；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④邻补角是互补的角；⑤无理数包括正无理数、零、负无理数．其中正确的有___个．【答案】2【解析】【分析】根据无理数、平方根和立方根的概念、两直线的位置关系、邻补角的概念分别判断后即可得到答案．【详解】解：：①无理数是无限不循环小数，本说法正确；②平方根与立方根相等的数是0，本说法错误；a，本说法错误；③若a⊥b，b⊥c，则∥c④邻补角是互补的角，本说法正确；⑤无理数包括正无理数、负无理数，本说法错误；故答案为：2．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．86．写出“平行四边形的两组对边分别相等”的逆命题，并判断真假：__________________________________________________________．【答案】如果四边形的两组对边分别相等，那么它是平行四边形，是真命题【解析】【分析】写出命题的逆命题，判断逆命题的真假即可.【详解】解：平行四边形的两组对边分别相等的逆命题是如果四边形的两组对边分别相等，那么它是平行四边形，是真命题；故答案为：如果两个四边形两组对边分别相等，那么它是平行四边形；真命题【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，正确写出一个命题的逆命题是解题的关键．87．“两条直角边对应相等的两个直角三角形全等”的逆命题是________．【答案】全等直角三角形的两条直角边对应相等【解析】【分析】根据逆命题的定义即可解答.【详解】“两条直角边对应相等的两个直角三角形全等”的逆命题是: 全等直角三角形的两条直角边对应相等.故答案为：全等直角三角形的两条直角边对应相等【点睛】本题考查了逆命题的定义，熟练掌握逆命题的定义是解题的关键.88．下列4个命题中：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；①平行于同一条直线的两条直线平行；①两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；①对顶角相等．其中真命题有_____个．【答案】3．【解析】【分析】直接利用平行线的性质分别判断得出答案．【详解】①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题；②平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，只有平行线具备此性质，故此选项错误；④对顶角相等，是真命题．故答案为：3．【点睛】此题考查命题与定理，正确正确平行线的性质是解题关键．89．对于命题“一个三角形中至多有一个钝角”，如果用反证法，应先假设____________．【答案】一个三角形中至少有两个钝角（或一个三角形中钝角有两个或三个）【解析】【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行解答．【详解】解：用反证法证明“三角形中至多有一个钝角”时，应先假设一个三角形的三个内角中，有两个或三个钝角，即一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．故答案为：一个三角形中至少有两个钝角（或一个三角形中钝角有两个或三个）【点睛】本题考查反证法．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可．90．命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的条件为_____．【答案】a+b=0【解析】【分析】根据命题的题设和结论解答即可．【详解】解：命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的条件为a+b=0；故答案为：a+b=0．【点睛】本题考查命题，一般，“如果…”是题设，“那么…”是结论．。
浙江省2021年中考一轮数学复习测试第19课 直角三角形与命题
第19课直角三角形与命题考点一直角三角形的概念1．有一个角是________的三角形叫做直角三角形．考点二直角三角形的性质2．直角三角形的两个锐角________．3．直角三角形斜边上的________线等于斜边的________．4．直角三角形两条直角边的________等于斜边的________．5．等腰直角三角形的一个锐角等于________°.6．直角三角形中，30°角所对的边等于________的一半．7．直角三角形中，若一直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角等于________°.考点三直角三角形的判定8．有两个角________的三角形是直角三角形．9．如果三角形中两边的________等于第三边的________，那么这个三角形是直角三角形．10．一边上的________等于该边________的三角形是直角三角形．考点四直角三角形全等的判定11．________和________对应相等的两个直角三角形全等(HL定理)．考点五直角三角形中的重要拓展12．若CD是Rt△ABC斜边上的高，则图19－1中有________对锐角相等，________对锐角互余．(图19－1)13．直角三角形斜边上的高等于________的积除以斜边．考点六命题的有关概念、反证法及反例14．正确的命题称为__________，________的命题称为假命题．15．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．16．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的______________．17．通常可以通过________的方法，说明一个命题是假命题．命题的反例是满足命题的条件，但不满足命题的________的实例．18．先假设命题不成立，即结论的反面成立，从而得出矛盾，说明原结论正确，这种证明方法叫做______．1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，∠B＝___°.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则AC＝____．3．在Rt△ABC中，两条直角边分别为3，4，则斜边上的高等于___．4．用来证明命题“若x2>4，则x>2”是假命题的反例可以是()A．x＝3 B．x＝2C．x＝1 D．x＝－35．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，AD＝3，则BD＝____．◆达标一含有特殊角的直角三角形的性质例1(2019毕节)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图19－2放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是___．(图19－2) (图D19－1)变式1(2019陕西)如图19－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是边BC的中点，连结ED，则∠EDC的度数是()(图19－3)A．25°B．30°C．50°D．65°变式2(2019鄂州)如图19－4，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，点P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，BP＝____．(图19－4)【解析】如图D19－2－1和图D19－2－2，有两种可能的图形．(图D19－2－1) (图D19－2－2)◆达标二直角三角形的性质和判定例2(2020宁波)如图19－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE的中点，连结BF.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为()(图19－5)A．2 B．2.5 C．3 D．4变式3(2018黄冈)如图19－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的高，CE为边AB上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD等于()(图19－6)A．2 B．3 C．4 D．2 3变式4(2019伊春)一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为边BC上的任意一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB 上的点E处．当△BDE是直角三角形时，CD的长为____．(图D19－3－1) (图D19－3－2)◆达标三直角三角形全等的判定例3(2019黄石)如图19－7，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，(图19－7)D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，AF，EF相交于点F.(1)求证：∠C＝∠BAD；(2)求证：AC＝EF.变式5(2020温州)如图19－8，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE ＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE.(图19－8)(1)求证：△ABC≌△DCE；(2)连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．变式6(2019巴中)将等腰直角三角板ABC如图19－9 放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥m于点E，BD⊥m于点D.(图19－9)(1)求证：EC＝BD；(2)若设△AEC三边分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理．◆达标四勾股定理及弦图的应用例4(2020丽水)如图19－10，将四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结EG，交BD于点O，BD与HC相交于点P.若GO＝GP，则S正方形ABCDS正方形EFGH的值是( B )(图19－10) A．1＋ 2 B．2＋ 2C．5－ 2 D.15 4变式7(2020台州)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图19－11所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连结四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD.则正方形ABCD的面积为____．(用含a，b的代数式表示)(图19－11) (图D19－4)变式8(2019宁波)勾股定理是人类最伟大的数学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图19－12(1)，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图19－12(2)的方式放置在最大正方形内．若已知图中阴影部分的面积，则一定能求出()(1)(2)(图19－12)A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和◆达标五命题及反例例5(2019常州)判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为()A．－2 B．－12C．0 D.12变式9(2019泰州)命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是____(填“真命题”或“假命题”)．变式10(2019北京)用三个不等式a>b，ab>0，1a<1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．31．(2019荆门)将一副直角三角板按如图19－13所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是()(图19－13)A．95°B．100°C．105°D．110°2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是()A．b2＝a2－c2B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C．∠C＝∠A－∠BD．a∶b∶c＝12∶13∶53．(2018扬州)如图19－14，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是()(图19－14)A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC4．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图19－15所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于()A．4 B．5 C．6 D．14(图19－15)5．(2019海南)如图19－16，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点P 是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为()(图19－16) (图D19－6)A.813 B.1513 C.2513 D.32136．(2019郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图19－17所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是()(图19－17)A. 2 B．2 C. 3 D．4 7．(2019陕西)如图19－18，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC 交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为()(图19－18)A．2＋ 2 B.2＋ 3C.3＋2 D．38．(2020绍兴)如图19－19，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP 交CP的延长线于点H，连结AP，则∠P AH的度数()(图19－19)A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小9．(2019北京)如图19－20所示的网格是正方形网格，则∠P AB＋∠PBA＝___°.(点A，B，P是网格线交点)(图19－20)10．(2020衢州)小慧用如图19－21(1)中的一副七巧板拼出如图19－21(2)所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图19－21(2)中h的值为__ __dm.(1)(2)(图19－21)11．(2019枣庄)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图19－22所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝__6－2__．(图19－22) (图D19－8)1．如果三角形的三个内角的比是3∶4∶7，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．边长分别是下列各组数的三角形中，能组成直角三角形的是()A．5，10，13 B．5，7，8C．7，24，25 D．8，25，273．直角三角形的两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为() A．5 B．6C．6.5 D．124．一副三角板如图Z19－1摆放(直角顶点C重合)，边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于()(图Z19－1)A．105°B．100°C．75°D．60°5．如图Z19－2，EA⊥AB，BC⊥AB，AB＝AE＝2BC，D为AB的中点，有以下判断：①DE＝AC；②DE⊥AC；③∠CAB＝30°；④∠EAF＝∠ADE；其中正确结论的个数是()(图Z19－2)A．1 B．2 C．3 D．46．如图Z19－3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，延长BC到D，使CD＝AC，则AC∶BD等于()(图Z19－3)A．1∶1 B．3∶1C．4∶1 D．2∶37．如图Z19－4，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于点E，交BC于点D，若AB＝10，AC＝6，则△ACD的周长为()(图Z19－4)A．16 B．14C．20 D．188．如图Z19－5所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为()(图Z19－5)A．9 B．6C．4 D．39．直角三角形两锐角之差是12°，则较大的一个锐角是___度．10．如图Z19－6，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为___．(图Z19－6)11．如图Z19－7，在△ABC中，∠ACB＝90°，在AB上截取AE＝AC，BD＝BC，则∠DCE等于____度．(图Z19－7)12．如图Z19－8，在△ABC中，BC＝4，∠ACB＝120°，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是____．(图Z19－8)13．如图Z19－9，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC＝45°，BD＝6，CD＝4，则△ABC的面积为___．(图Z19－9)14．如图Z19－10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F .若AC ＝3，AB ＝5，则CE 的长为( )(图Z19－10)A.32B.43C.53D.8515．如图Z19－11，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，P ，Q 分别为边BC ，AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则AQ ＝___．(图Z19－11)16．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D .(1)如图Z19－12－1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且∠BMN ＝90°，当∠AMN ＝30°，AB ＝2时，求线段AM 的长；(2)如图Z19－12－2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且∠EDF ＝90°，求证：BE ＝AF ；(3)如图Z19－12－3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，∠BMN ＝90°，求证：AB ＋AN ＝2AM .(图Z19－12－1) (图Z19－12－2) (图Z19－12－3)答案1．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝36°，∠B ＝__54__°.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，则AC ＝__5__． 3．在Rt △ABC 中，两条直角边分别为3，4，则斜边上的高等于__125__． 4．用来证明命题“若x 2>4，则x >2”是假命题的反例可以是( D ) A ．x ＝3 B ．x ＝2 C ．x ＝1D ．x ＝－35．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A ＝30°，AD ＝3，则BD ＝__1__．◆达标一 含有特殊角的直角三角形的性质例1 (2019毕节)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图19－2放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的长度是__15－53__．(图19－2)(图D19－1)【解析】 如图D19－1，过点B 作BM ⊥FD 于点M ，易知BC ＝103，BM ＝53，CM ＝15，又MD ＝BM ＝53，∴CD ＝CM －MD ＝15－5 3.变式1 (2019陕西)如图19－3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝65°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是边BC 的中点，连结ED ，则∠EDC 的度数是( D )(图19－3)A ．25°B ．30°C ．50°D ．65°变式2(2019鄂州)如图19－4，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，点P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，BP＝__2或23或27__．(图19－4)【解析】如图D19－2－1和图D19－2－2，有两种可能的图形．(图D19－2－1) (图D19－2－2)◆达标二直角三角形的性质和判定例2(2020宁波)如图19－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE的中点，连结BF.若AC＝8，BC＝6，则BF的长为( B )(图19－5)A．2 B．2.5 C．3 D．4变式3(2018黄冈)如图19－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的高，CE为边AB上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD等于( C )(图19－6)A ．2B ．3C ．4D ．2 3变式4 (2019伊春)一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，点D 为边BC 上的任意一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处．当△BDE 是直角三角形时，CD 的长为__3或247__．【解析】 如图D19－3－1，∠DEB 是直角时，设CD ＝x ，则BD ＝8－x ，由sin B ＝DE BD ＝AC AB ，得610＝x 8－x ，解得x ＝3；如图D19－3－2，∠EDB 是直角时，得68＝x 8－x，解得x ＝247，故CD 的长为3或247.(图D19－3－1)(图D19－3－2)◆达标三 直角三角形全等的判定例3 (2019黄石)如图19－7，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为边BC 上的点，且AB ＝AE ，(图19－7)D 为线段BE 的中点，过点E 作EF ⊥AE ，过点A 作AF ∥BC ，AF ，EF 相交于点F .(1)求证：∠C ＝∠BAD ； (2)求证：AC ＝EF . 解：(1)略；(2)∵AF ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AEB . ∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∴∠EAF ＝∠ABC ，又∵∠BAC ＝∠AEF ＝90°，∴△BAC≌△AEF(ASA)，∴AC＝EF.变式5(2020温州)如图19－8，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE ＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE.(图19－8)(1)求证：△ABC≌△DCE；(2)连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．解：(1)略；(2)∵△ABC≌△DCE，∴BC＝CE＝5.∵AC＝12，∴AE＝13.变式6(2019巴中)将等腰直角三角板ABC如图19－9 放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥m于点E，BD⊥m于点D.(图19－9)(1)求证：EC＝BD；(2)若设△AEC三边分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理．解：(1)略．(2)∵△AEC≌△CDB，△AEC三边分别为a，b，c，∴BD＝EC＝a，CD＝AE＝b，BC＝AC＝c，∴S梯形＝12(AE＋BD)ED＝12(a＋b)(a＋b)，S梯形＝12ab＋12c2＋12ab，∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12c2＋12ab，整理可得a2＋b2＝c2.◆达标四勾股定理及弦图的应用例4(2020丽水)如图19－10，将四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结EG，交BD于点O，BD与HC相交于点P.若GO＝GP，则S正方形ABCDS正方形EFGH的值是( B )(图19－10)A ．1＋ 2B ．2＋ 2C ．5－2D.154【解析】 如图D19－3，连结OC ，显然△OCP 为直角三角形，又GO ＝GP ，∴GP ＝CG ，不妨设GO ＝GP ＝CG ＝1，则HG ＝2，S 正方形EFGH ＝2，易知DH ＝CG ，∴CD 2＝DH 2＋CH 2＝1＋()1＋22＝4＋22， S 正方形ABCD S 正方形EFGH＝4＋222＝2＋ 2.(图D19－3)变式7 (2020台州)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图19－11所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a ，小正方形地砖的面积为b ，依次连结四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD .则正方形ABCD 的面积为__a ＋b __．(用含a ，b 的代数式表示)(图19－11) (图D19－4)【解析】 如图D19－4，易知S 正方形ABCD ＝4S 四边形AEGF ＋b ，S 四边形AEGF ＝14a ， S 正方形ABCD ＝a ＋b .变式8 (2019宁波)勾股定理是人类最伟大的数学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图19－12(1)，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图19－12(2)的方式放置在最大正方形内．若已知图中阴影部分的面积，则一定能求出( C )(1) (2)(图19－12)A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和【解析】 方法1：如图D19－5，设图中三个正方形边长从小到大依次为：a ，b ，c ，则S阴影＝c 2－a 2－b 2＋b (a ＋b －c )，由勾股定理可知，c 2＝a 2＋b 2，∴S阴影＝c 2－a 2－b 2＋S 重叠＝S 重叠，即S 阴影＝S 重叠．(图D19－5)方法2：∵S 大正方形＝S 小正方形＋S 中正方形， ∴S 阴影就等于S 小与S 中的重叠部分． ◆达标五 命题及反例例5(2019常州)判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为( A )A．－2 B．－12C．0 D.12变式9(2019泰州)命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是__真命题__(填“真命题”或“假命题”)．变式10(2019北京)用三个不等式a>b，ab>0，1a<1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( D )A．0 B．1 C．2 D．31．(2019荆门)将一副直角三角板按如图19－13所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是(C)(图19－13)A．95°B．100°C．105°D．110°2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( B )A．b2＝a2－c2B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C．∠C＝∠A－∠BD．a∶b∶c＝12∶13∶53．(2018扬州)如图19－14，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)(图19－14)A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC4．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图19－15所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于(A)A．4 B．5 C．6 D．14(图19－15)5．(2019海南)如图19－16，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点P 是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为(B)(图19－16) (图D19－6)A.813 B.1513 C.2513 D.3213【解析】如图D19－6，过点D作DE⊥BC于点E，易证△ABC∽△DQE.∵BD 平分∠ABC，PQ∥AB，∴BQ＝QD，设QD＝BQ＝4x，则AP＝3x，∴PQ＝8x，CP＝245x，∴AC＝395x＝3，∴x＝513，AP＝3x＝1513.6．(2019郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图19－17所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是( B )(图19－17)A. 2 B．2 C. 3 D．4【解析】设正方形ADOF的边长为x，则AB＝4＋x，AC＝6＋x，BC＝10，∴(4＋x)2＋(6＋x)2＝102，解得x＝2或x＝－12(舍)．7．(2019陕西)如图19－18，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC 交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为(A)(图19－18)A．2＋ 2 B.2＋ 3C.3＋2 D．3提示：作DF⊥AC于点F8．(2020绍兴)如图19－19，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP 交CP的延长线于点H，连结AP，则∠P AH的度数(C)(图19－19)A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小提示：用θ表示∠CPB和∠BP A9．(2019北京)如图19－20所示的网格是正方形网格，则∠P AB＋∠PBA＝__45__°.(点A，B，P是网格线交点)(图19－20)10．(2020衢州)小慧用如图19－21(1)中的一副七巧板拼出如图19－21(2)所示的“行礼图”，已知正方形ABCD的边长为4dm，则图19－21(2)中h的值为__ 4＋2__dm.(2)(2)(图19－21)11．(2019枣庄)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图19－22所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝__6－2__．(图19－22) (图D19－8)【解析】如图D19－7，过点A作AM⊥BD于点M，则AM＝MC＝2，AD＝BC＝22，MD＝6，CD＝MD－MC＝6－ 2.1．如果三角形的三个内角的比是3∶4∶7，那么这个三角形是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形2．边长分别是下列各组数的三角形中，能组成直角三角形的是(C) A．5，10，13 B．5，7，8C．7，24，25 D．8，25，273．直角三角形的两条直角边长分别是5和12，则第三边上的中线长为(C) A．5 B．6C．6.5 D．124．一副三角板如图Z19－1摆放(直角顶点C重合)，边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于(A)(图Z19－1)A．105°B．100°C．75°D．60°5．如图Z19－2，EA⊥AB，BC⊥AB，AB＝AE＝2BC，D为AB的中点，有以下判断：①DE＝AC；②DE⊥AC；③∠CAB＝30°；④∠EAF＝∠ADE；其中正确结论的个数是(C)(图Z19－2)A．1 B．2 C．3 D．46．如图Z19－3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，延长BC到D，使CD＝AC，则AC∶BD等于( D )(图Z19－3)A．1∶1 B．3∶1C．4∶1 D．2∶37．如图Z19－4，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于点E，交BC于点D，若AB＝10，AC＝6，则△ACD的周长为(B)(图Z19－4)A．16 B．14C．20 D．188．如图Z19－5所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(D)(图Z19－5)A．9 B．6C．4 D．39．直角三角形两锐角之差是12°，则较大的一个锐角是__51__度．10．如图Z19－6，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为__(－1，0)__．(图Z19－6)11．如图Z19－7，在△ABC中，∠ACB＝90°，在AB上截取AE＝AC，BD＝BC，则∠DCE等于__45__度．(图Z19－7)12．如图Z19－8，在△ABC 中，BC ＝4，∠ACB ＝120°，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC 的面积是__83__．(图Z19－8)提示：作AE ⊥BC 交BC 延长线于点E .13．如图Z19－9，已知在△ABC 中，BC 边上的高AD 与AC 边上的高BE 交于点F ，且∠BAC ＝45°，BD ＝6，CD ＝4，则△ABC 的面积为__60__．(图Z19－9)【解析】 易知△AEF ≌△BEC ，则AF ＝BC ＝10，设DF ＝x .又△ADC ∽△BDF ，则AD CD ＝BD DF ，∴10＋x 4＝6x ，解得x ＝2或－12(舍去)，∴AD ＝AF ＋DF ＝12，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝60.14．如图Z19－10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F .若AC ＝3，AB ＝5，则CE 的长为( A )(图Z19－10)A.32B.43C.53D.8515．如图Z19－11，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，P ，Q 分别为边BC ，AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则AQ ＝__154或307__．(图Z19－11)【解析】 ①如图ZD19－1－1中，当AQ ＝PQ ，∠QPB ＝90°时，设AQ ＝PQ ＝x ，∵PQ ∥AC ，∴△BPQ ∽△BCA ，∴BQ BA ＝PQ AC ，∴10－x 10＝x 6，∴x ＝154，∴AQ ＝154.②如图ZD19－1－2中，当AQ ＝PQ ，∠PQB ＝90°时，设AQ ＝PQ ＝y .∵△BQP ∽△BCA ，∴PQ AC ＝BQ BC ，∴y 6＝10－y 8，∴y ＝307，综上所述，AQ 的长为154或307.(图ZD19－1－1) (图ZD19－1－2)16．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D .(1)如图Z19－12－1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且∠BMN ＝90°，当∠AMN ＝30°，AB ＝2时，求线段AM 的长；(2)如图Z19－12－2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且∠EDF ＝90°，求证：BE ＝AF ；(3)如图Z19－12－3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，∠BMN ＝90°，求证：AB ＋AN ＝2AM .(图Z19－12－1)(图Z19－12－2) (图Z19－12－3) (1)解：∵AB＝2，∴AD＝BD＝DC＝ 2.∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝60°，∠MBD＝30°，∴DM＝63，∴AM＝AD－DM＝2－63；(2)证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，易知△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF；(3)证明：如图ZD19－2，过点M作ME∥BC交AB的延长线于点E，∠AME＝90°，AE＝2AM，∠E＝45°，ME＝MA，易知△BME≌△NMA，∴BE＝AN，∴AB ＋AN＝AB＋BE＝AE＝2AM.(图D19－2)。
八年级数学上第13章全等三角形13.1命题、定理与证明1命题目标二命题的真假课华东师大
第13章
全等三角形
1课3题. 12.
命题
1
目标二 命题的真假
习题链接
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1 2B 3D 4D
5A 6C 7C 8
答案呈现
9
1 下列四个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补； ③ 4的算术平方根是 2；④两直线平行，同位角相等． 其中是假命题的是__②__③____(填序号)．
2 【2020·岳阳】下列命题是真命题的是( B ) A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．等边三角形是中心对称图形 D．旋转改变图形的形状和大小
9 【教材P55练习T2变式】判断下列命题是真命题还是假 命题，若是假命题，请举出反例． (1)两个锐角的和是锐角；
解：假命题．反例：∠1＝70°，∠2＝80°， 但∠1＋∠2＝150°，不是锐角．(举反例不唯一)
(2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线 平行； 解：真命题．
(3)如果a2＝b2，那么a＝b. 假命题．反例：a＝2，b＝－2，有a2＝b2， 但a≠b.(举反例不唯一)
3 【2021·安阳文峰区期末】下列命题是真命题的是( D ) A．若 x2＋kx＋14是完全平方式，则 k＝1 B．一个正数的算术平方根一定比这个数小 C．若等腰三角形的两边长分别是 3 和 7，则第三边长 是3或7 D．两点之间线段最短
4 【2020·通辽改编】下列命题中，是假命题的是( D ) A．无理数都是无限小数 B．因式分解ax2－a＝a(x＋1)(x－1) C．棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定 是14 cm D．六边形的内角和是360°
相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】
相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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关于“一对三角形”的若干命题及反例法判断作者：鲍四元
来源：《中学数学杂志(高中版)》2014年第02期
中考命题中出现一对三角形的问题不多.命题时想要出新意，可以从这个方面考虑.本文归纳了若干相关的精彩命题，从全等、相似或面积等角度分析，构造出否定的反例.供同行品鉴.
例2判断命题正误：若两个三角形的三个内角和三条边六个元素中有五个元素分别相等，则这两个三角形全等.
分析只要构造一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子即可.
总之，只要善于思考，那么对一个数学问题的探索便是无止境的.。