中考数学压轴题班(上)讲义
中考数学精品课件打开压轴题的金钥匙
4
• 由点F在抛物线上，
得到
y 1 x 2x m
m
6 8
联立上述三式，转化得
m 22 m2 4m 4
10
m
12
得出矛盾 0=16，
14
故不存立。
16
C
x
5
10
F
• 实例分析：若点P是抛物线 位于直线AC上方的一 个动y 点 x，2 求2x△ 3APC的面积的最大值。
2,3
分析：
•x2 + 2∙x +求3 坐标系中斜放的三角形面积时，y
分析：
• 由题意知，当MB∥OA 时，△ABM是等腰直角三 角形；
• 又由 y ax2 10ax 得其对称轴为定直线： y
10a
x
5
2a
C4
• 顶点纵坐标为：
0 10a2
y
25a
4a
M
2
•10 按要求得：1 5 25a 2O∴Fra bibliotek2 a 1
25
25
2
EB
F A5
x
D
• 实例分析：
(襄阳2012压轴题编)
解题技巧：
• 1、从数到形： 根据点的坐标特征， 挖掘发现特殊角或线段比
• 2、从形到数： 找出特殊位置，分段分类讨论
在讲解实例分析前， 请同学们认真地做一做 原题，以便加深理解， 切实掌握。
实例分析：
如图，当△OAE右移t（0＜t≤3）时，求 △OAE与△ABE重叠部分面积函数关系式。
(1,4)
M（- t,0）,则过程简捷 一些。
难点突破：
• 设M（-t,0），则平 移后抛物线为
y
与 12已y=x知12∙x2t直4x 线 tA=B12：x2
初中数学中考压轴题及答案详解(上海篇)
专题训练125．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若1tan3BPD∠=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用)参考答案：（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP ∴∠EPC＝30°∴三角形BDP为等腰三角形∵△AEP与△BDP相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°∴AE=EP=1∴在RT△ECP中，EC=12EP=12（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x ∵AE=1,EC=2∴QC=3-a∵∠ACB＝90°∴△ADQ与△ABC相似∴AD AQ AB AC=即113ax=+，∴31 ax=+∵在RT△ADQ中2222328111x x DQ AD AQx x+-⎛⎫=-=-=⎪++⎝⎭∵DQ AD BC AB=∴228111x x x x x +-+=+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP∴△ADE 与△AFC 相似，∴AE ADAC AF=，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2∵△BFC 与△BDP 相似 ∴2142BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4 ∴tan ∠BPD=2142EC CP ==(3)过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1-a ∴QE DQEC CP =且1tan 3BPD ∠= ∴()31DQ a =-∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+ 即：()222131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得41()5a a ==舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x====++ ∴5533,44x xAB BC ++==∴三角形ABC 的周长553313344x xy AB BC AC x x ++=++=+++=+ 即：33y x =+，其中x>0专题训练21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数26y ax x c =++的图像经过点()4,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，=OD t ，点E 在第二象限，∠=90ADE ，1=2tan DAE ∠，EF OD ⊥，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA =∠OAC 时，求t 的值．参考答案：解：（1）二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），∴，解得。
2024年九年级中考数学压轴题-圆中的新定义问题(解析版)
圆中的新定义问题1(2023•淮安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段AB ，若线段PA 或PB 的垂直平分线与线段AB 有公共点，则称点P 为线段AB 的融合点．(1)已知A (3,0)，B (5,0)，①在点P 1(6,0)，P 2(1,-2)，P 3(3,2)中，线段AB 的融合点是 P 1，P 3 ；②若直线y =t 上存在线段AB 的融合点，求t 的取值范围；(2)已知⊙O 的半径为4，A (a ,0)，B (a +1,0)，直线l 过点T (0,-1)，记线段AB 关于l 的对称线段为A B ．若对于实数a ，存在直线l ，使得⊙O 上有A B 的融合点，直接写出a 的取值范围．【解答】解：(1)①∵P 1(6,0)，A (3,0)，∴P 1A 的线段垂直平分线与x 轴的交点为92，0，∴P 1是线段AB 的融合点；∵P 2(1,-2)，B (5,0)，设直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为(a ,0)，∴(a -1)2+4=(5-a )2，解得a =52，∴直线P 2B 的垂直平分线与x 轴的交点为52，0，∴P 2不是线段AB 的融合点；∵P 3(3,2)，B (5,0)，设直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(b ,0)，∴(b -3)2+4=(5-b )2，解得b =3，∴直线P 3B 的垂直平分线与x 轴的交点为(3,0)，∴P 3是线段AB 的融合点；故答案为：P 1，P 3；②线段AB 的融合点在以A 、B 为圆心，AB 为半径的圆及内部，∵A (3,0)，B (5,0)，∴AB =2，当y =t 与圆相切时，t =2或t =-2，∴-2≤t ≤2时，直线y =t 上存在线段AB 的融合点；(2)由(1)可知，A B 的融合点在以A 、B 为圆心，A B 为圆心的圆及内部，∵A (a ,0)，B (a +1,0)，∴AB =A B =1，∵⊙O 上有A B 的融合点，∴圆O 与圆A 、B 有交点，∴圆O 与圆A 、圆B 的公共区域为以O 为圆心2为半径，以O 为圆心6为半径的圆环及内部区域，当a >0时，a 的最大值为62-12=35，最小值为22-12-1=3-1，∴3-1≤a ≤35；当a <0时，a 的最大值为-22-12=-3，最小值为-62-12-1=-35-1，∴-35-1≤a ≤-3；综上所述：a 的取值范围为3-1≤a ≤35或-35-1≤a ≤-3．2(2023•西城区校级模拟)在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以点A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点．(1)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(-1,0)，点N 的坐标为(1,0)，在点P 1(2,1)，P 2(-1,2)，P 332，12 中，线段MN 的直角点是 P 2、P 3 ；(2)在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(t ,0)，(0,4)．①若t =4，如图2所示，若C 是线段AB 的直角点，且点C 在直线y =-x +8上，求点C 的坐标；②如图3，点D 的坐标为(m ,-2)，⊙D 的半径为1，若⊙D 上存在线段AB 的等腰直角点，求出m 的取值范围．【解答】解：(1)∵P 2(-1,2)，M (-1,0)，∴P 2M ⊥MN ，∴P 2是线段MN 的直角点；∵M (-1,0)，N (1,0)，∴MN =2，∵P 332，12，∴P 3O =1，∴P 3在以O 为圆心，MN 为直径的圆上，∴∠MP 3N =90°，∴P 3是线段MN 的直角点；故答案为：P 2、P 3；(2)①∵A (4,0)，B (0,4)，∴OA =OB =4，∴∠OAB =∠OBA =45°．根据题意，若点C 为线段AB 的直角点，则需要分三种情况：当点B 为直角顶点，过点B 作BC 1⊥AB 于点C 1，过点C 1作C 1M ⊥y 轴于点M ，∴∠C 1BM =45°，∴C 1M =BM ，设C 1M =BM =a ，∴C 1(a ,a +4)，∴-a +8=a +4，解得a =2，∴C 1(2,6)；当点A 为直角顶点，过点A 作AC 2⊥AB 于点C 2，过点C 2作C 2N ⊥x 轴于点N ，∴∠C 2AN =45°，∴C 2N =AN ，设C 2N =AN =b ，∴C 2(b +4,b )，∴-(b +4)+8=b ，解得b =2，∴C 2(6,2)；当点C 为直角顶点，取AB 的中点P ，则P (2,2)，设C 3的横坐标为t ，则C 3(t ,-t +8)，由直角三角形的性质可知，C 3P =BP =AP =22，∴(t -2)2+(-t +6)2=(22)2，解得t =4，∴C3(4,4)，综上，点C的坐标为(2,6)或(6,2)或(4,4)．②如图，以AB为边向下作正方形ABC1C2，连接AC1，BC2交于点C3，则C1，C2，C3是线段AB的等腰直角点．根据点A的运动可知，点C1在直线l1:x=-4上运动，C2在直线l2:y=-x-4上运动，C3在直线l3:y=-x上运动．设l2与y=-2相交于点K，l3与y=-2相交于点L，∴K(2,-2)，L(2,-2)．由此可得出临界情况如图：如图3(1)中，当⊙D与l1相切时，m=-5；如图3(2)中，当⊙D与l2相切时，点F为切点，连接DF，则ΔDFK为等腰直角三角形，且DF=1，∴DK=2；∴D(-2+2，-2)，即m=-2+2；如图3(3)中，当⊙D与l3相切时，点G为切点，连接DG，则ΔDGL为等腰直角三角形，且DG=1，∴DL=2；∴D(2-2，-2)，即m=2-2；如图3(4)中，当⊙D与l3相切时，点H为切点，连接DH，则ΔDHL为等腰直角三角形，且DH=1，∴DL=2；∴D(2+2，-2)，即m=2+2；综上，符合题意的m的取值范围：-5≤m≤-2+2或2-2≤m≤2+2．3(2023•秀洲区校级二模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是③．(填序号)①矩形②菱形③正方形(2)如图1，RtΔABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，sin C=35，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长；(3)如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD= 180°，①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．【解答】(1)解：∵平行四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，∵四边形ABCD是“婆氏四边形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，故答案为：③；(2)解：∵∠BAC=90°，AB=6，sin C=35，∴BC=10，AC=8，∴BD为直径，∴∠BED =∠DEC =90°，∵四边形ABED 是“婆氏四边形”，∴AE ⊥BD ，∴AD =DE ，AB =BE =6，设AD =DE =m ，则CD =8-m ，EC =4，在Rt ΔEDC 中，m 2+42=(8-m )2，解得m =3，∴DE =3；(3)①证明：如图2，设AC ，BD 相交于点E ，∵∠DCA =12∠AOD ，∠BDC =12∠BOC ，∠BOC +∠AOD =180°，∴∠DCA +∠BDC =12(∠AOD +∠BOC )=12×180°=90°，∴∠CED =90°，∴AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴四边形ABCD 是“婆氏四边形”；②解：过点O 作OM ⊥AD 交于M ，过O 作ON ⊥BC 交于N ，∴AM =12AD ，BN =12BC ，∠AMO =∠BNO =90°，∴∠AOM +∠OAM =90°，∵OA =BO =CO =DO ，∴∠AOM =12∠AOD ，∠BON =12∠BOC ，∵∠BOC +∠AOD =180°，∴∠AOM =∠OBN ，∴ΔOAM ≅ΔBON (AAS )，∴ON =AM =12AD ，∵AD +BC =4，设ON =AM =n ，则AD =2n ，BC =4-2n ，BN =2-n ，在Rt ΔBON 中，BO =n 2+(2-n )2=2(n -1)2+2，当n =1时，BO 有最小值2，∴⊙O 半径的最小值为2．4(2022秋•西城区期末)给定图形W 和点P ，Q ，若图形W 上存在两个不重合的点M ，N ，使得点P 关于点M 的对称点与点Q 关于点N 的对称点重合，则称点P 与点Q 关于图形W 双对合．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-1,-2)，B (5,-2)，C (-1,4)．(1)在点D (-4,0)，E (2,2)，F (6,0)中，与点O 关于线段AB 双对合的点是 D ，F ；(2)点K 是x 轴上一动点，⊙K 的直径为1，①若点A 与点T (0,t )关于⊙K 双对合，求t 的取值范围；②当点K 运动时，若ΔABC 上存在一点与⊙K 上任意一点关于⊙K 双对合，直接写出点K 的横坐标k 的取值范围．【解答】解：(1)当A 点是D 点的中点时，对应点为(2,-4)；当B 点是D 点的中点时，对应点为(14,-4)；当A 点是E 点的中点时，对应点为(-4,-6)；当B 点是E 点的中点时，对应点为(8,-6)；当A 点是F 点的中点时，对应点为(-8,-4)；当B 点是F 点的中点时，对应点为(4,-4)；当A 点是O 点的中点时，对应点为(-2,-4)；当B 点是O 点的中点时，对应点为(10,-4)；∴D 、F 与点O 关于线段AB 双对合，故答案为：D 、F ；(2)①设K(k,0)，∵A(-1,-2)，T(0,t)，∴A点关于K点对称点G为(2k+1,2)，T点关于K点对称点H为(2k,-t)，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴A点关于点K的对称点在以G为圆心，∵⊙K的直径为1，∴点A关于点K的对称点在以G点为圆心，1为半径的圆上，点T关于点K的对称点在以H为圆心，1为半径的圆上，如图所示，∵点A与点T(0,t)关于⊙K双对合，∴当圆G与圆H有交点，∵GH=1+(t+2)2，∴1+(t+2)2≤2，解得-2-3≤t≤-2+3；②∵A(-1,-2)，B(5,-2)，C(-1,4)，K(k,0)，∴A点关于K点的对称点F(2k+1,2)，B点关于K点的对称点E(2k-5,2)，C点关于K点的对称点G(2k+1, -4)，∴ΔABC上任意一点关于K点对称点在阴影区域，∵ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合，∴阴影区域与圆K有公共交点，∵阴影部分是由ΔEGF边上任意一点为圆心，1为半径的圆构成的区域，如图1时，k-(2k+1)=12+1，解得k=-52；如图2时，2k+1-k=12+1，解得k=12；∴-52≤k≤12时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；过点K作KN⊥EG交于N，直线EG交x轴于点M，设直线EG的解析式为y=k x+b，∴(2k-5)k +b=2 (2k+1)k +b=-4 ，解得k =-1b=2k-3 ，∴y=-x+2k-3，∴M(2k-3,0)，∵直线y=-x与y=-x+2k-3平行，∴∠KMN=45°，∴KM=2KN=322，如图3时，k-(2k-3)=322，解得k=3-322，如图4时，2k-3-k=322，解得k=3+322，∴3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合；综上所述：-52≤k≤12或3-322≤k≤3+322时，ΔABC上存在一点与⊙K上任意一点关于⊙K双对合．5(2022•钟楼区模拟)概念认识：平面内，M为图形T上任意一点，N为⊙O上任意一点，将M、N两点间距离的最小值称为图形T到⊙O的“最近距离”，记作d(T-⊙O)．例：如图1，在直线l上有A、C、O三点，以AC为对角线作正方形ABCD，以点O为圆心作圆，与l交于E、F两点，若将正方形ABCD记为图形T，则C、E两点间的距离称为图形T到⊙的“最近距离”．数学理解：(1)在平面内有A、B两点，以点A为圆心，5为半径作⊙A，将点B记为图形T，若d(T-⊙A)=2，则AB= 3或7．(2)如图2，在平面直角坐标系中，以O(0,0)为圆心，半径为2作圆．①将点C(4,3)记为图形T，则d(T-⊙O)=．②将一次函数y=kx+22的图记为图形T，若d(T-⊙)>0，求k的取值范围．推广运用：(3)在平面直角坐标系中，P的坐标为(t,0)，⊙P的半径为2，D、E两点的坐标分别为(5,5)、(5,-5)，将ΔDOE记为图形T，若d(T-⊙P)=1，则t=．【解答】解：(1)如图1中，∵d(T-⊙A)=2，∴CB=CB′=2，∵AC=5，∴AB′=5-2=3，AB=5+2=7．故答案为：3或7．(2)①如图2中，连接OC交⊙O于E．∵C(4,3)，∴OC=42+32=5，∵OE=2，∴EC=3，∴d(T-⊙O)=3．故答案为：3．②如图，设直线y=kx+22与⊙O相切于E，K．连接OK，OE．∵OE⊥DE，OK⊥DK，OD=22，OE=OK=2，∴DK=OD2?OK2=(22)2-22=2，DE=OD2?OE2=(22)2-22=2，∴DE=OE=DK=OK，∴四边形DEOK是菱形，∵∠DKO=∠DEO=90°，∴四边形DEOK是正方形，∴∠ODE=∠ODK=45°，∴直线DE的解析式为y=-x+22，直线DK的解析式为y=x+22，∵d(T-⊙O)>0，∴观察图象可知满足条件的k的值为-1<k<1且k≠0．(3)如图3-1中，当点P在DE的右边时．∵D(5,5)，∴∠DOP=45°，∵d(T-⊙P)=1，∴OP=5+1+2=8∴t=8．如图3-2中，当点P在∠DOE的外侧时，由题意可知OM=1，OP=1+2=3，t=-3．综上所述，满足条件的t的值为8或-3．6(2022秋•昌平区期末)已知：对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，⊙O的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于点M，N，点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“折弦点”．(1)若C(-2,0)．①点P1(0,0)，P2(-1,1)，P3(2,2)中是关于MN的“折弦点”的是 P1，P2 ；②若直线y=kx+3(k≠0)．上只存在一个关于MN的“折弦点”，求k的值；(2)点C在线段AB上，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，直接写出b的取值范围．【解答】解：(1)①连接OP，∵P点是弦MN的中点，∴OP⊥MN，∴∠CPO=90°，∴P点在以CO为直径的圆上，∵C(-2,0)，∴P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，∵点P1(0,0)，P2(-1,1)在该圆上，∴点P1(0,0)，P2(-1,1)是关于MN的“折弦点”，故答案为：P1，P2；②由①可知，P点在以(-1,0)为圆心，1为半径的圆上，设圆心D(-1,0)，∵直线y=kx+3(k≠0)上只存在一个关于MN的“折弦点”，∴直线y=kx+3(k≠0)与圆D相切，过点D作DF垂直直线y=kx+3交于点F，∵直线y=kx+3与x轴交于点E-3k，0，与y轴交于点G(0,3)，∴DE=-1+3k，OF=3k，OG=3，∵∠DFE=∠EOG=90°，∴ΔEGO∽ΔEFD，∴DF GO =ED EG，∴13=3k-13+3k2，解得k=3 3；(2)由(1)可知，P点在以OC为直径的圆上，∵直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”，∴直线y=x+b与圆D相交或相切，过D点作DF垂直直线y=x+b交于点F，∵直线y=x+b与x轴交于点(-b,0)，与y轴交于点(0,b)，当C点与A点重合时，b有最大值，此时D(-2,0)，∴(-2+b)2=8，解得b=22+2或b=22+2(舍)；当C点与B点重合时，b有最小值，此时D(2,0)，∴(-b-2)2=8，解得b=22-2(舍)或b=-22-2；∴-22-2≤b≤22+2时，直线y=x+b上存在关于MN的“折弦点”．7(2022秋•东城区校级月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°<∠MPN<180°，则称P为⊙T的环绕点．(1)当⊙O半径为1时，①在P1(2，2)，P2(2,0)，P3(2,1)中，⊙O的环绕点是 P1 ；②直线y=3x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；(2)⊙T的半径为2，圆心为(0,t)，以-m，33m(m>0)为圆心，33m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．【解答】解：(1)①如图，PM，PN是⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN，当∠MPN=60°时，∵PT平分∠MPN，∴∠TPN=∠MPT=30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠TNP=∠PMT=90°，∴TP =2TM =2，以T 为圆心，TP 为半径作⊙T ．观察图象可知：当60°<∠MPN <180°时，⊙T 的环绕点在图中的圆环内部(包括大圆上的点不包括小圆上的点)，故答案为：P 1；②如图中，设小圆交y 轴的正半轴于F ，当直线y =3x +b 经过点F 时，b =1，当直线y =3x +b 与大圆相切于K (在第二象限)时，连接OK ，由题意B (0,b )，A -b 3，0，所以OB =b ，OA =b 3，AB =103b ，∵OK =2，12×AB ×OK =12×OA ×OB ，∴b =210，观察图象可知，当1<b <210时，线段AB 上存在⊙的环绕点，根据对称怀可知：当-210<b <-1时，线段AB 上存在⊙的环绕点，综上所述，满足条件的b 的值为1<b <210或-210<b <-1；(2)如图中，不妨设E -m ，33m (m >0)，则点E 直线y =-33x 上，∵m >0，∴点E 在射线OE 上运动，作EM ⊥x 轴；∵E -m ，33m (m >0)，∴OM =m ，EM =33m ，以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的⊙E 与x 轴相切，作⊙E 的切线ON ，观察图象可知：以E -m ，33m (m >0)为圆心，33m 为半径的所有圆构成图形H ，图形H 即为∠MON 的内部，包括射线OM ，ON 上，当⊙T 的圆心在y 轴的正半轴上时，假设以T 为圆心，4为半径的圆与射线ON 相切于D ，连接TD ，∵tan ∠EOM =EM OM=33，∴∠EOM =30°，∵OM ，ON 是⊙E 的切线，∴∠EON =∠EOM =30°．∴∠TOD =30°，∴OT =2DT =8，∴T (0,8)，当⊙T 的圆心在y 轴的负半轴上时，且经过点O (0.0)时，T (0,-4)，观察图象可知，当-4<t <8时，在图象上存在⊙T 的环绕点．8(2022秋•海淀区校级月考)对于平面直角坐标系中的线段AB 和点P (点P 不在线段AB 上)，给出如下定义：当PA =PB 时，过点A (或点B )向直线PB (或PA )作垂线段，则称此垂线段为点P 关于线段AB 的“测度线段”，垂足称为点P 关于线段AB 的“测度点”．如图所示，线段AD 和BC 为点P 关于线段AB 的“测度线段”，点C 与点D为点P关于线段AB的“测度点”．(1)如图，点M(0,4)、N(2,0)，①点P的坐标为(5,4)，直接写出点P关于线段MN的“测度线段”的长度4；②点H为平面直角坐标系中的一点，且HM=HN，则下列四个点：Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，是点H 关于线段MN的“测度点”的是；(2)直线y=-34x+6与x轴、y轴分别交于点A与点B，①点G为平面直角坐标系中一点，且GA=GB，若一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，直接写出k的取值范围为；②⊙O的半径为r，点C与点D均在⊙O上，且线段CD=65r．点K与点O位于线段CD的异侧，且KC=KD，若在线段AB上存在点K关于线段CD的“测度点”，直接写出r的取值范围为．【解答】解：(1)①∵M(0,4)、P(5,4)，∴MP⎳x轴，∴点P关于线段MN的“测度线段”的长度为4，故答案为：4；②∵过点N作NF⊥MH交于F点，过点M作MG⊥NH交于点G，∵∠MFN=∠MGN=90°，∴F、G点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为E，∵点M(0,4)、N(2,0)，∴E(1,2)，MN=25，∴点H关于线段MN的“测度点”在以E为圆心，5为半径的圆上，且不与M、N重合，∵Q1(0,0)，Q2(3,3)，Q3(1,0)，Q4(0,4)中，Q1E=5，Q2E=5，Q3E=2，Q4E=5，∴Q1，Q2是点H关于线段MN的“测度点”，故答案为：Q1，Q2；(2)①当x=0时，y=6，∴B(0,6)，当y=0时，x=8，∴A(8,0)，∴AB的中点F(4,3)，AB=10，由(1)可知，点G关于线段AB的“测度点”在以F为圆心，5为半径的圆上，且不与A、B点重合，∵一次函数y=kx-14k+3上存在点G关于线段AB的“测度点”，∴直线y=kx-14k+3与圆F相切或相交，过点F作FK垂直直线y=kx-14k+3交于点K，直线与y轴的交点为T，过点F作FL⎳KT交于交y轴于点L，过点L作SL⊥KT交于点S，∴LS =FK =5，∴LF 的直线解析式为y =kx -4k +3，∴L (0,-4k +3)，T (0,-14k +3)，∴TL =-10k ，∵sin ∠LTS =5-10k =11+k 2，∴k =±33，∴-33≤k ≤33时，一次函数y =kx -14k +3上存在点G 关于线段AB 的“测度点”，故答案为：-33≤k ≤33；②由(1)可知，K 点关于线段CD 的“测度点”在以CD 为直角的半圆上，且不与C 、D 重合，当CD ⎳AB ，且AB 与圆P 相切时，r 有最小值，由①可得，45=35r 6-r ，解得r =247，当CD 在AB 上时，r 有最大值，r =6，∴247≤r <6时，线段AB 上存在点K 关于线段CD 的“测度点”，故答案为：247≤r <6．9(2022•盐城一模)对于平面内的两点K 、L ，作出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．(1)已知点A (4,0)，在点Q 1(0,4)，Q 2(2,23)，Q 3(-2,23)，Q 4(22，-22)中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是 Q 2，Q 4 ．(2)已知点B (5,0)，点C 在直线y =2x +b 上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围．(3)点D 是x 轴上的动点，D (t ,0)，E (t -3,0)，点F (m ,n )是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n ≥0．若直线y =2x +6上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：(1)如图，∵A (4,0)，Q 1(0,4)，∴OA =OQ 1=4，∠AOQ 1=90°，∴点Q 1不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 2(2,23)，作Q 2F ⊥x 轴于点F ，∴OQ 2=OF 2+Q 2F 2=22+(23)2=4=OA ，∵tan ∠Q 2OF =232=3，∴∠Q 2OF =60°，∴点Q 2是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 3(-2,23)，作Q 3G ⊥x 轴于点G ，则tan ∠Q 3OG =Q 3G OG=232=3，∴∠Q3OG =60°，∴OQ 3=OG cos ∠Q 3OG =2cos60°=4=OA ，∵∠AOQ 3=180°-60°=120°，∴Q 3不是点A 关于点O 的锐角旋转点；∵Q 4(22，-22)，作Q 4H ⊥x 轴于点H ，则tan ∠Q 4OH =Q 4H OH =2222=1，∴∠Q 4OH =45°，∵OQ 4=OH cos ∠Q 4OH =22cos45°=4=OA ，∴Q 4是点A 关于点O 的锐角旋转点；综上所述，在点Q 1，Q 2，Q 3，Q 4中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是Q 2，Q 4，故答案为：Q 2，Q 4．(2)在y 轴上取点P (0,5)，当直线y =2x +b 经过点P 时，可得b =5，当直线y =2x +b 经过点B 时，则2×5+b =0，解得：b =-10，∴当-10<b <5时，OB 绕点O 逆时针旋转锐角时，点C 一定可以落在某条直线y =2x +b 上，过点O 作OG ⊥直线y =2x +b ，垂足G 在第四象限时，如图，则OT =-b ，OS =-12b ，∴ST =OS 2+OT 2=-12b 2+(-b )2=-52b ，当OG =5时，b 取得最小值，∵5×-52b =-b ×-12b ，∴b =-55，∴-55≤b <5．(3)根据题意，点F 关于点E 的锐角旋转点在半圆E 上，设点P 在半圆S 上，点Q 在半圆T 上(将半圆D 绕点E 旋转)，如图3(1)，半圆扫过的区域为图3(1)中阴影部分，如图3(2)中，阴影部分与直线y =2x +6相切于点G ，tan ∠EMG =2，SG =3，过点G 作GI ⊥x 轴于点I ，过点S 作SJ ⊥GI 于点J ，∴∠SGJ =∠EMG ，∴tan ∠SGJ =tan ∠EMG =2，∴GJ =355，SJ =655，∴GI =GJ +JI =3+355，∴MI =12GI =32+3510，∴OE =IE +MI -OM =352-32，即x E =t -3=352-32，解得t =352+32，如图3(3)中，阴影部分与HK 相切于点G ，tan ∠OMK =tan ∠EMH =2，EH =6，则MH =3，EM =35，∴x E =t -3=-3-35，解得t =-35，观察图象可知，-35≤t <3+352+32．10(2022秋•姜堰区期中)如图1，在平面内，过⊙T 外一点P 画它的两条切线，切点分别为M 、N ，若∠MPN ≥90°，则称点P 为⊙T 的“限角点”．(1)在平面直角坐标系xOy 中，当⊙O 半径为1时，在①P 1(1,0)，②P 2-1,12，③P 3(-1,-1)，④P 4(2,-1)中，⊙O 的“限角点”是②④；(填写序号)(2)如图2，⊙A 的半径为2，圆心为(0,2)，直线l :y =-34x +b 交坐标轴于点B 、C ，若直线l 上有且只有一个⊙A 的“限角点”，求b 的值．(3)如图3，E (2,3)、F (1,2)、G (3,2)，⊙D 的半径为2，圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l :y =x 向上运动，若ΔEFG 三边上存在⊙D 的“限角点”，请直接写出运动的时间t (s )的取值范围．【解答】解：(1)∵⊙O 半径为1，∴当P 为圆O 的“限角点”时，1<OP ≤2，∵OP 1=1，OP 2=52，OP 3=2，OP 4=5，∴⊙O 的“限角点”是P 2，P 3，故答案为：②③；(2)∵⊙A 的半径为2，∴当P 为圆A 的“限角点”时，2<AP ≤2，设直线l 上有且只有一个⊙O 的“限角点”P m ,-34m +b ，∴PA =2，此时AP ⊥BC ，令x =0，则y =b ，∴C (0,b )，令y =0，则x =43b ，∴B 43b ，0 ，∴tan ∠OCB =OB OC =43=AP CP ，∴CP =32，∴AC =52，∴|b -2|=52，∴b =92或b =-12；(3)∵圆心D 从原点O 出发，以2个单位/s 的速度沿直线l 移动，∴圆沿x 轴正方向移动t 个单位，沿y 轴正方向移动t 个单位，∴移动后D 点坐标为(t ,t )，设ΔEFG 边上的点P 是圆D 的“限角点”，则2<PD ≤2，在圆D 移动的过程中，当DF =2时，(t -1)2+(t -2)2=4，解得t =3-72或t =3+72，当t =3-72时，ΔEFG 边上开始出现⊙D 的“限角点”，当圆D 移动到E 点在圆上时，DE =2，(t -2)2+(t -3)2=2，解得t =5+32或t =5-32，∴3-72≤t <5-32时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，当圆D 再次移动到点F 在圆上时，DF =2，(t -2)2+(t -1)2=2，解得t =3+32或t 3-32，当t =3+32时，ΔEFG 三边上开始又要出现⊙D 的“限角点”；设直线EG 的解析式为y =kx +b ，直线y =x 与直线EG 的交点设为点H ，∴2k +b =33k +b=2 ，解得k =-1b =5 ，解得y =-x +5，联立方程组y =-x +5y =x，解得x =52y =52，∴H 52，52，当DH =2时，2t -52 2=4，解得t =2+52或t =-2+52，∴当t =2+52，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”，∴3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”；综上所述：3-72≤t <5-32或3+32<t ≤2+52时，ΔEFG 边上存在⊙D 的“限角点”．11(2022秋•西城区校级期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b)，N．对于点P给出如下定义：将点P绕点M逆时针旋转90°，得到点P ，点P 关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图1，若点M在坐标原点，点N(1,1)，①点P(-2,0)的“对应点”Q的坐标为 (2,0) ；②若点P的“对应点”Q的坐标为(-1,3)，则点P的坐标为；(2)如图2，已知⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N(0,2)，若P(m，0)(m>1)为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．①当点M(a,b)在第一象限时，求点Q的坐标(用含a，b，m的式子表示)；②当点M在⊙O 上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积为.(用含m的式子表示)【解答】解：(1)①∵P(-2,0)，∴P点绕点M逆时针旋转90°得到点P (0,-2)，∵点P 关于点N的对称点为Q，∴Q(2,0)；故答案为：(2,0)；②∵Q的坐标为(-1,3)，∴Q点关于N(1,1)的对称点为P (3,-1)，将P 绕M点顺时针旋转90°得到点P，过P 作P F⊥x轴于点F，过点P作PE⊥x轴于点E，∵∠P OP=90°，∴∠POE+∠FOP =90°，∵∠EPO+∠EOP=90°，∴∠FOP =∠EPO，∵OP=OP ，∴ΔPOE≅△OP F(AAS)，∴EO=P F=1，PE=OF=3，∴P(-1．-3)，故答案为：(-1,-3)；(2)①过点M作EF⊥x轴于点F，过点P 作P E⊥EF交于点E，由(1)可得ΔMPF≅△P ME(AAS)，∴MF=EP ，FP=ME，∵M(a,b)，P(m,0)，∴EF=b+m-a，EP =b，∴P (a+b,b+m-a)，∵点N(0,2)，∴Q(-a-b,4-b-m+a)；②P点绕O点逆时针旋转90°后得到点G，∴G(0,m)，∵P (a+b,b+m-a)，∴GP =2(a 2+b 2)，∵M (a ,b )在圆O 上，∴a 2+b 2=1，∴GP =2，∴P 在以G 为圆心，2为半径的圆上，设G 点关于N 点的对称点为H ，则H (0,4-m )，∴QH =2(a 2+b 2)=2，∴Q 点在以H 为圆心2为半径的圆上，∴PQ 的最大值为PH +2，PQ 的最小值为PH -2，∴PQ 长的最大值与最小值的积为(PH +2)(PH -2)=2m 2-8m +14，故答案为：2m 2-8m +14．12(2022•秦淮区二模)【概念认识】与矩形一边相切(切点不是顶点)且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切(切点都不是顶点)且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．【初步理解】(1)如图①~③，四边形ABCD 是矩形，⊙O 1和⊙O 2都与边AD 相切，⊙O 2与边AB 相切，⊙O 1和⊙O 3都经过点B ，⊙O 3经过点D ，3个圆都经过点C ．在这3个圆中，是矩形ABCD 的第Ⅰ类圆的是①，是矩形ABCD 的第Ⅱ类圆的是．【计算求解】(2)已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．【深入研究】(3)如图④，已知矩形ABCD ，用直尺和圆规作图．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．【解答】解：(1)由定义可得，①的矩形有一条边AD 与⊙O 1相切，点B 、C 在圆上，∴①是第Ⅰ类圆；②的矩形有两条边AD 、AB 与⊙O 2相切，点C 在圆上，∴②是第Ⅱ类圆；故答案为：①，②；(2)如图1，设AD =6，AB =4，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =4-r ，由垂径定理可得，BF =CF =3，在Rt ΔBOF 中，r 2=(4-r )2+32，解得r =258；如图2，设AD =4，BC =6，切点为E ，过点O 作EF ⊥BC 交BC 于F ，交AD 于E ，连接BO ，设BO =r ，则OE =r ，OF =6-r ，由垂径定理可得，BF =CF =2，在Rt ΔBOF 中，r 2=(6-r )2+22，解得r =103；综上所述：第Ⅰ类圆的半径是258或103；如图3，AD =6，AB =4，过点O 作MN ⊥AD 交于点M ，交BC 于点N ，连接OC ，设AB 边与⊙O 的切点为G ，连接OG ，∴GO ⊥AB ，设OM =r ，则OC =r ，则ON =4-r ，∵OG =r ，∴BN =r ，∴NC =6-r ，在Rt ΔOCN 中，r 2=(4-r )2+(6-r )2，解得r =10-43，∴第Ⅱ类圆的半径是10-43；(3)①如图4，第一步，作线段AD 的垂直平分线交AD 于点E ，第二步，连接EC ，第三步，作EC 的垂直平分线交EF 于点O ，第四步，以O 为圆心，EO 为半径作圆，∴⊙O 即为所求第Ⅰ类圆；②如图5，第一步：作∠BAD 的平分线；第二步：在角平分线上任取点E ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点F ；第三步：以点E 为圆心，EF 为半径作圆E ，交AC 于点G ，连接FG ；第四步：过点C 作CH ⎳FG ，CH 交AD 于点H ；第五步：过点H 作AD 的垂线，交∠BAD 的平分线于点O ；第六步：以点O 为圆心，OH 为半径的圆，⊙O 即为所求第Ⅱ类圆．13(2021秋•海淀区校级期末)新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与⊙A 有公共点，则称几何图形G 的叫⊙A 的关联图形，特别地，若⊙A 的关联图形G 为直线，则称该直线为⊙A 的关联直线．如图，∠M 为⊙A 的关联图形，直线l 为⊙A 的关联直线．(1)已知⊙O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y =2x +2；②直线y =-x +3；③双曲线y =2x，是⊙O 的关联图形的是①③(请直接写出正确的序号)．(2)如图1，⊙T 的圆心为T (1,0)，半径为1，直线l :y =-x +b 与x 轴交于点N ，若直线l 是⊙T 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围．(3)如图2，已知点B (0,2)，C (2,0)，D (0,-2)，⊙I 经过点C ，⊙I 的关联直线HB 经过点B ，与⊙I 的一个交点为P ；⊙I 的关联直线HD 经过点D ，与⊙I 的一个交点为Q ；直线HB ，HD 交于点H ，若线段PQ 在直线x =6上且恰为⊙I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围．【解答】解：(1)由题意①③是⊙O的关联图形，故答案为①③．(2)如图1中，∵直线l1y=-x+b是⊙T的关联直线，∴直线l的临界状态是和⊙T相切的两条直线l1和l2，当临界状态为l1时，连接TM(M为切点)，∴TM=1，TM⊥MB，且∠MNO=45°，∴ΔTMN是等腰直角三角形，∴TN=2，OT=1，∴N(1+2，0)，把N(1+2，0)代入y=-x+b中，得到b=1+2，同法可得当直线l2是临界状态时，b=-2+1，∴点N的横坐标的取值范围为-2+1≤N x≤2+1．(3)如图3-1中，当点Q在点P是上方时，连接BQ，PD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H与点C重合，此时H(2,0)，得到h的最大值为2，如图3-2中，当点P在点Q是上方时，直线PB，QD交于点H，当圆心I在x轴上时，点H(-6,0)得到h的最小值为-6，综上所述，-6≤h<0，0<h≤2．14(2022春•海淀区校级月考)定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”．已知O(0,0)，A(1,1)，B(m,n)，C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m=2，n=1时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1．②当m=2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是1，则n的取值范围是．(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为1，线段BC的中点为M．求点M随线段BC运动所走过的路径长．【解答】解：(1)①当m=2，n=1时，B(2,1)，C(2,3)．线段BC与线段OA的冰雪距离为AB=1．故答案为：1．②当m=2时，点A到直线BC的距离为1．若线段BC与线段OA的冰雪距离是1，则点A到BC的垂线的垂足在线段BC上，∴n≤1≤n+2，即-1≤n≤1．故答案为：-1≤n ≤1．(2)如图，B 2(0,1)为圆A 与y 轴的切点，B 11-22，1+22满足∠B 1AO =90°．当B 在B 1右侧时，冰雪距离d ≥B 1A =22．当B 在弧B 1B 2上时，冰雪距离d 为点B 到OA 的距离，结合图象可知，当且仅当B 处在点B 2时，d 取最小值22．(3)如图，当点B 位于图中弧DI 、线段IH 、弧HG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当点C 位于图中弧DE 、线段EF 、弧FG 时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．当线段BC 由图中B 1D 向上平移到DC 3时，或由B 2G 向上平移到GC 4时，线段BC 与线段OA 的“冰雪距离”始终为1．对应中点M 所走过的路线长为：2π+4+22．15(2022•东城区校级开学)对于⊙C 和⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线AP 与⊙C 交于点Q (点Q 可以与点P 重合)，且1≤PAQA ≤2，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A (-1,0)．(1)若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标 (2,0)(答案不唯一)；(2)若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足∠BAO =30°，求点B 的纵坐标t 的取值范围；(3)直线y =3x +b 与x 轴交于点M ，且与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是．【解答】解：(1)根据“生长点”定义，点P 的坐标可以是(2,0)，故答案为：(2,0)(答案不唯一)；(2)如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，使得∠OAM =30°，并在射线AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ，则由题意，线段MN 和M N 上的点是满足条件的点B ．作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°．∴∠OAM =∠HMC =30°．∴tan30°=MH AH=HC MH =33，设MH=y，则AH=3y，CH=33y，∴AC=AH+CH=433y=2，解得y=32，即点M的纵坐标为32．又由AN=2AM，A为(-1,0)，可得点N的纵坐标为3，故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：32≤t≤3，由对称性，在线段M N 上，点B的纵坐标t满足：?3≤t≤?3 2，∴点B的纵坐标t的取值范围是：32≤t≤3或?3≤t≤?32．(3)如图，Q是⊙O上异于点A的任意一点，延长AQ到P，使得PA=2AQ，∵Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，∴点P的运动轨迹是以K(1,0)为圆心，2为半径的圆，当直线MN与⊙K相切于点R时，连接KR，在RtΔKMR中，∠KRM=90°，∵直线y=3x+b与x轴夹角为60°，∴∠KMR=60°，KR=2，∴KM=2÷sin60°=433，∴OM=1+433，∴ON=3OM=4+3，∴b=-4-3，当直线MN经过G(0,-1)时，满足条件，此时b=-1，观察图象可知：当-4-3≤b≤-1时，线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，根据对称性，同法可得当1≤b≤4-3时，也满足条件．故答案为：-4-3≤b≤-1或1≤b≤4-3．16(2022•东城区校级开学)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M,N)．特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M,N)=0，如图，点A(-23，0)，B(0,2)．(1)如果⊙O的半径为2，那么d(A,⊙O)= 23-2 ，d(B,⊙O)=；(2)如果⊙O的半径为r，且d(⊙O,AB)>0，求r的取值范围；(3)如果C(0,m)是y轴上的动点，⊙C的半径为1，使d(⊙C,AB)<1，直接写出m的取值范围为．【解答】解：(1)∵⊙O的半径为2，A(-23，0)，B(0,2)，∴OB=2，OA=23>2，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴d(A,⊙O)=23-2，d(B,⊙O)=0，故答案为：23-2；0；(2)如图1，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，在Rt ΔAOB 中，∵tan ∠BAO =OB OA =223=33，∴∠BAO =30°．在Rt ΔADO 中，sin ∠BAO =DO OA =12=DO23，∴DO =3，∵d (⊙O ,AB )=0，∴r 的取值范围是0<r <3或r >23；(3)如图2，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由(2)知，∠BAO =30°．∵C (m ,0)，当点C 在点B 的上边时，m >2，此时，d (⊙C ,AB )=BC ，∴BC ≤1，即m -2≤1，解得m ≤3；当点C 与点B 重合时，m =2，此时d (⊙C ,AB )=0，当点C 在点B 的下边时，m <2，∴BC =2-m ，∴CN =BC ⋅sin ∠OBA =32(2-m )．∵d (⊙C ,AB )<1，⊙C 的半径为1，∴0<32(2-m )<1．∴2-233<m <2．综上所述：2-233<m ≤3．故答案为：2-233<m ≤3．17(2021秋•润州区校级月考)在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP +CP ′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．(1)当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (3,1)，N 32，0，T (-1,3)关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，直接求其坐标；②将⊙O 沿x 轴水平向右平移1个单位为⊙O ′，点P 在直线y =-x +1上，若点P 关于⊙O ′的反称点P ′存在，且点P ′不在坐标轴上，则点P 的横坐标的取值范围 1-2≤x ≤1+2且x ≠2-2 ；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =-x +12与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，点E 与点D 分别在点A 与点B 的右侧2个单位，线段AE 、线段BD 都是水平的，若四边形ABDE 四边上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．。
几何综合(解析版)--中考数学抢分压轴题秘籍(全国通用)
几何综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）几何综合问题在中考中以填空题和解答题的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和二次函数的最值等相关知识，以及分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①几何图形中的线段最值问题②探究图形面积的分割问题；③探究图形面积的最值问题.右图为几何综合问题中各题型的考查热度.题型1：线段最值问题①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题解题模板：1.（2021秋•白云区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论．【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，由对称性可知：圆心O在AC上．AC＝＝4．∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥EC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°．∴△OEC为等腰直角三角形．∴OC＝OE＝．∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．【变式1-1】（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．【分析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴，即，解得，AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2.（2022春•广陵区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是4．【分析】过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，根据菱形的性质得到AB＝BC，BO 平分∠ABC，AO⊥BD，再判断△ABC为等边三角形得到∠ABC＝∠ACB＝60°，则∠OBC＝30°，所以PH＝BP，则MP+PB＝MP+PH，所以MP+PH的最小值为MN的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出MN即可．【解答】解：过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，∵AB＝AC＝10，∴AB＝AC＝BC＝10，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PH＝BP，∴MP+PB＝MP+PH，当M、P、H共线时，MP+PH的值最小，即MP+PH的最小值为MN的长，∵AM＝2，∴CM＝10﹣2＝8，在Rt△MNC中，∵∠MCN＝60°，∴CN＝CM＝4，∴MN＝CN＝4，即MP+PB的最小值为4．故答案为：．【点评】本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把PB转化为PH是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和等边三角形的性质．【变式2-1】（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，首先得出BD＝4，AD＝3，根据sin∠ABD＝，得EP＝，则PC+PB的最小值为PC+PE的最小值，即求CH的长，再通过等积法即可解决问题．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sin A＝＝，AB＝5，∴BD＝4，由勾股定理得AD＝，∴sin∠ABD＝，∴EP＝，∴PC+PB＝PC+PE，即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小，∴PC+PB的最小值为CH的长，＝，∵S△ABC∴4×4＝5×CH，∴CH＝．∴PC+PB的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，垂线段最短、勾股定理等知识，将PC+PB的最小值转化为求CH的长，是解题的关键．3.（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的纵坐标为．【分析】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E （0，2），求得直线EC的解析式为y＝x+2，解方程组即可得到结论．【解答】解：∵∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解，得，∴P（，），故答案为：．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．【变式3-1】（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x 轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（﹣，0）．【分析】在BC上截取BH＝3，可证四边形BHEF是平行四边形，可得BF＝EH，由对称性可得DE＝D'E，则四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，则当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF 的周长有最小值，即当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，利用待定系数法可求HD'解析式，即可求解．【解答】解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四边形BHEF是平行四边形，∴BF＝EH，∵点D与点D'关于x轴对称，∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，∵点B（﹣4，6），∴点H（﹣1，6），设直线D'H的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，∴当y＝0时，x＝﹣，∴点E（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，确定点E的位置是解题的关键．4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是．【分析】根据题意得出作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，延长DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN平移至E′F′处，则四边形MNE′F′为平行四边形，则当BM+EN＝BM+FM＝BF′时四边形BMNE的周长最小，由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴＝，∴＝，解得：PQ＝，∴PC＝，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝＝．故答案为．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．【变式4-1】如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），当四边形ABCD的周长最小时，m的值为．【分析】因为AD，BC的长度都是固定的，所以求出AB+CD的长度就行了．问题就是AB+CD什么时候最短．把D点向左平移2个单位到D′点；作D′关于x轴的对称点D″，连接AD″，交x轴于P，从而确定C点位置，此时AB+CD最短．设直线AD″的解析式为y＝kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得m的值．【解答】解：将C点向左平移2单位与B重合，点D向左平移2单位到D′（3，1），作D′关于x轴的对称点D″，根据作法知点D″（3，﹣1），设直线AD″的解析式为y＝kx+b，则，解得k＝﹣2，b＝5．∴直线AD″的解析式为y＝﹣2x+5．当y＝0时，x＝，即B（，0），m＝．故答案为：．【点评】考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是熟悉关于x轴的对称点，两点之间线段最短等知识．题型2：面积平分问题解题模板：技巧精讲1：利用中线平分图形面积的方法2.利用对称性平分图形面积的方法5.（1）问题提出：如图（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为AC上一点且AD＝2，过点D作直线DE交△ABC于点E，使得△ABC被分成面积相等的两部分，则DE的长为2．（2）类比发现：如图（2），五边形ABOCD，各顶点坐标为：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C （4，0），D（4，2）请你找出一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，求出该直线对应的函数表达式．（3）如图（3），王叔叔家有一块四边形菜地ABCD，他打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD 分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD ＝90°过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分？若存在，求出平分该四边形面积的线段长：若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF于O．证明DE平分△ABC的面积，利用平行线分线段成比例定理求出CE即可解决问题．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，求出点M的坐标即可解决问题．（3）先求出四边形ABCD的面积，即可得出四边形ABQD的面积，从而求出QM，再用平行线分线段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后用勾股定理即可．【解答】解：（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF 于O．∵AF＝FC，＝S△BFC，∴S△AFB∵BD∥EF，＝S△BDF，∴S△BDE＝S△BOE，∴S△DFO＝S四边形ABED，∴S△ECD∴DE平分△ABC的面积，∵AC＝8，AD＝2，∴AF＝CF＝4，DF＝2，∵EF∥BD，∴＝，∴＝，∴CE＝4，∴DE＝＝＝2，故答案为2．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，∵直线AO的解析式为y＝x，∴直线BE解析式为y＝x+2，∴点E坐标（﹣，0），∵直线AC的解析式为y＝﹣4x+16，∴直线DF的解析式为y＝﹣4x+18，∴点F坐标为（，0）∴EF的中点M坐标为（，0），∴直线AM的解析式为：y＝x﹣4．（3）如图3中，连接BD，AC交于点O．在BC上取一点Q，过Q作QM⊥BD，∵AB＝AD＝200、BC＝CD＝200，∴AC是BD的垂直平分线，在Rt△ABD中，BD＝AB＝200，∴DO＝BO＝OA＝100，在Rt△BCO中，OC＝＝300，＝S△ABD+S△CBD＝BD×（AO+CO）＝×200×（100+300）＝80000，∴S四边形ABCD∵在一条过点D的直线将筝形ABCD的面积二等分，＝S四边形ABCD＝40000，∴S四边形ABQD＝×BD×OA＝20000，∵S△ABD＝BD×QM＝×200×QM＝100QM＝S四边形ABQD﹣S△ABD＝20000，∴S△QBD∴QM＝100，∵QM∥CO．∴＝，∴＝，∴BM＝，∴DM＝BD﹣BM＝，在Rt△MQD中，DQ＝＝＝．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，几何作图，勾股定理，等积问题等知识，解题的关键是把多边形转化为三角形是解决问题的关键，记住三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【变式5-1】（2022•江北区模拟）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．解决问题：（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是三角形的中线；②如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC上，连接EF，与AD交于＝S△DGF，则EF是（填“是”或“不是”）△ABC的一条二分线．点G．若S△AEG（2）如图2，四边形ABCD中，CD平行于AB，点G是AD的中点，射线CG交射线BA于点E，取EB 的中点F，连接CF．求证：CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF的长．【分析】（1）①由平面图形的二分线定义可求解；②由面积的和差关系可得S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，可得EF是△ABC的一条二分线；＝S△CEF，由AB∥DC，G是AD的中点，证明△CDG≌△EAG，所（2）根据EB的中点F，所以S△CBF＝S△CEF，所以S四边形AFCD＝S△CBF，可得CF是四边形ABCD的二分线；以S四边形AFCD＝S△DEC＝S△ABE，可得S△HED＝（3）延长CB使BH＝CD，连接EH，通过全等三角形的判定可得S△BEHS四边形ABDE，即可得DF＝DH＝．【解答】解：（1）∵三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；∴三角形的中线是三角形的二分线，故答案为三角形的中线②∵AD是BC边上的中线＝S△ACD＝S△ABC，∴S△ABD＝S△DGF，∵S△AEG+S△AEG＝S四边形BDGE+S△DGF，∴S四边形BDGE＝S△ABD＝S△ABC，∴S△BEF∴EF是△ABC的一条二分线故答案为：是（2）∵EB的中点F，＝S△CEF，∴S△CBF∵AB∥DC，∴∠E＝∠DCG，∵G是AD的中点，∴DG＝AG，在△CDG和△EAG中，∴△CDG≌△EAG（AAS），＝S△DCG，∴S△AEG＝S△CEF，∴S四边形AFCD＝S△CBF，∴S四边形AFCD∴CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图，延长CB使BH＝CD，连接EH，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，∵BC＝7∴BD+CD＝7∴BD+BH＝7＝HD∵∠BED＝∠A，∠BED+∠DEC＝∠A+∠ABE∴∠ABE＝∠CED，且AB＝CE＝7，∠A＝∠C∴△ABE≌△CED（ASA）＝S△EDC，∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE∴AE＝BH，∵∠CBE＝∠CEB∴∠AEB＝∠EBH∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD∴△BEH≌△DEC（SAS）、＝S△DEC，∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，∴S△BEH＝S四边形ABDE，∴S△HED∵EF是四边形ABDE的一条二分线，＝S四边形ABDE＝S△HED，∴S△DEF∴DF＝DH＝【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键．【变式5-2】（2021•西安一模）问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究（2）如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将△ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出△AOM与△BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，交OA于点G，则△OBG的面积等于△AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为△BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【解答】解：（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝，∵点D为BC的中点，∴AD＝BC＝．＝S△BON，理由如下：（2）S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，由图可知，S△AOM如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，∴MD∥NE，∠MDE＝90°，又∵MN∥DE，∴四边形MDEN是矩形，∴MD＝NE，＝，S△ABN＝，∵S△ABM＝S△ABN，∴S△ABM＝S△BON．∴S△AOM（3）存在，直线BP的表达式为：y＝x+4．如图③，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，交OA于点G，＝S△AFG，由（2）的结论可知，S△OBG＝S△BCF，∴S四边形OACB取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求．∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4，线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12，∴直线OF的表达式为：y＝﹣x，联立，解得，∴F（3，﹣3），∵点P是CF的中点，∴P（，），∴直线BP的表达式为：y＝x+4．【点评】主要考查了勾股定理，中点的性质，面积转化以及待定系数法求一次函数表达式等内容，熟练掌握勾股定理的内容，中点性质的应用，作出辅助线，进行面积的转化是解答本题的关键．题型3：面积最值问题6.（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴△AMB∽△CGB，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，＝＝＝，∴S△BDE当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．；【变式6-1】（1）如图①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面积S△ABC；（2）如图②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面积S△ABC（3）如图③，四边形ABCD，AC＝m，BD＝n，对角线AC交于O点，他们所成锐角为β，求四边形ABCD ．的面积S四边形ABCD【分析】（1）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（2）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（3）过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，解直角三角形求出AE、CF，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝60°，AC＝4，∴AM＝AC×sin60°＝4×＝2，∵BC＝6，＝×BC×AM＝×6×2＝6；∴△ABC的面积S△ABC（2）如图②，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝α，AC＝b，∴AM＝AC×sinα＝b×sinα＝b sinα，∵BC＝a，＝×BC×AM＝×a×b sinα＝ab sinα；∴△ABC的面积S△ABC（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，BD＝n，OA+OC＝m，∵AC、BD夹角为β，∴AE＝OA•sinβ，CF＝OC•sinβ，＝S△ABD+S△BDC∴S四边形ABCD＝BD•AE+BD•CF＝BD•（AE+CF）＝BD•（OA•sinβ+OC•sinβ）＝BD•AC•sinβ＝mn sinβ．＝mn sinβ．即四边形ABCD的面积S四边形ABCD【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积的应用，此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．【变式6-2】如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，证出∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG，得出∠DCG＝∠DAE＝90°，证出∠DCG+∠DCB＝180°，即可得出结论；（2）分情况讨论：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，则AC∥EK∥AD，证明△ADE∽△BEH，由相似三角形的性质得出＝，求出BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积，即可得出结果；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝4﹣x；（3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCG+∠DCB＝180°，∴点G在直线BC上；（2）解：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，如图1所示：则AC∥EK∥AD，∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，∴△ADE∽△BEH，∴＝，即＝，∴BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；（3）解：由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；∵BD＝＝＝2，∴BF+FG＝2BD＝4，∴点F运动的路径长为4．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．1．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD＝60°，连接BD，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且AE＝BF，连接DE、DP、EF．（1）如图①，当点E是边AB的中点时，求∠EDF的度数；（2）如图②，当点E是边AB上任意一点时，∠EDF的度数是否发生改变？若不改变，请证明；若发生改变，请说明理由；（3）若点P是线段BD上一动点，求PF+DP的最小值．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，可证△ABD，△BCD 是等边三角形，由等边三角形的性质可证DE＝DF，∠EDF＝60°，可得结论；（2）证明△ADE≌△BDF（SAS），根据全等三角形的性质得∠ADE＝∠BDF，由角的和差即可得∠EDF ＝∠ADB＝60°；（3）过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，可得GP＝DP•sin60°＝DP，则PF+DP＝PF+GP，当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，则DH＝FG'，PF+DP的最小值即为DH的长，由△BDC是等边三角形可得DH＝CD•sin60°＝3，即可求得PF+DP的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，边长为6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD，△BCD是等边三角形，∵点E是边AB的中点，AE＝BF，∴点F是边BC的中点，∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝∠BDE+∠BDF＝60°；（2）∠EDF的度数不改变，证明：△ABD，△BCD是等边三角形，∴AD＝BD，∠DAB＝∠DBC＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB＝60°；（3）如图，过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，∵∠ADB＝60°，∴GP＝DP•sin60°＝DP，∴PF+DP＝PF+GP，∴当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴DH＝FG'，∴PF+DP的最小值即为DH的长，∵DH⊥BC，△BDC是等边三角形，∴DH＝CD•sin60°＝3，∴PF+DP的最小值为3．【点评】本题考查了四边形的综合应用，掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，最短路径等知识，添加恰当辅助线构造构造在直角三角形是解本题的关键．2．（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．【分析】（1）先证明四边形DBCE是平行四边形，再由BE⊥DC，得四边形DBCE是菱形；（2）作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，可得DH＝DB•sin∠DBC＝，即可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延长线上，∴DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形，∵BE⊥DC，∴四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB•sin∠DBC＝2×＝，∴PM+PN的最小值为．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及菱形的判定，等边三角形性质及应用，对称变换等，解题的关键是掌握解决“将军饮马”模型的方法．3．（2014•海南）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x 轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．【解答】方法一：解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k．将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5．（2）当a＝1时，E（1，0），F（2，0），OE＝1，OF＝2．设P（x，﹣x2+4x+5），如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝﹣x2+4x+5，∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2+4x+4．S四边形MEFP＝S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME＝（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE＝（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+∴当x＝时，四边形MEFP的面积有最大值为，把x＝时，y＝﹣（﹣2）2+9＝．此时点P坐标为（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．令y＝﹣x2+4x+5＝3，解得x＝2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．设直线PM2的解析式为y＝mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m＝，n＝﹣，∴y＝x﹣．当y＝0时，解得x＝．∴F（，0）．∵a+1＝，∴a＝．∴a＝时，四边形PMEF周长最小．方法二：（1）略．（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，有最大值时，四边形MEFP面积最大．显然当S△PMF当a＝1时，E（1，0），F（2，0），∵M（0，1），∴l MF：y＝﹣x+1，设P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），＝（P Y﹣H Y）（F X﹣M X），∴S△PMF＝（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）＝﹣t2+t+4，∴S△PMF最大值为，∴当t＝时，S△PMF＝EF×MY＝×1×1＝，∵S△MEF的最大值为+＝，∴S四边形MEFP∴P（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+4x+5＝0，解得：x＝2±，∵点P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF长度固定，当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），∵四边形MEFM1为平行四边形，∴ME＝M1F，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1），∴M2F＝M1F＝ME，当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF＝PM2最小，∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），∴K PF＝K M1F，∴，∴a＝．【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．4．（2021•靖江市校级一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，若AE＝2，则求EF的长．（请从“线段的长度或线段的位置关系”的方向设计条件及问题，并解答）【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．【解答】若AE＝2．则求EF的长．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得：EF＝＝＝2．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．5．（2012•新密市自主招生）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF＝4，则△DEF面积的最大值为．【分析】首先过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，由菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，即＝DE•FG）＝﹣（x﹣2）2+，可求得AD＝CD＝4，∠FDG＝60°，然后设AE＝x，即可得S△DEF然后根据二次函数的性质，即可求得答案．【解答】解：过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠FDG＝180°﹣∠ADB＝60°，设AE＝x，∵AE+CF＝4，∴CF＝4﹣x；∴DE＝AD﹣AE＝4﹣x，DF＝CD﹣CF＝4﹣（4﹣x）＝x，在Rt△DFG中，FG＝DF•sin∠GDF＝x，＝DE•FG＝×（4﹣x）×x＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+，∴S△DEF∴当x＝2时，△DEF面积的最大，最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了菱形的性质、三角函数的性质以及二次函数的最值问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用．6．（2022•杭州模拟）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为等腰直角三角形，连接BD，BB′与CE的数量关系是BB'＝CE．（2）当0°＜α＜360°且a≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点E，C，D，B′为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与B′E的数量关系．。
初三数学压轴题及答案
⼀、图形运动产⽣的⾯积问题知识点睛研究_基本_图形分析运动状态：①由起点、终点确定t的范围；②对t分段，根据运动趋势画图，找边与定点，通常是状态转折点相交时的特殊位置．分段画图，选择适当⽅法表达⾯积．⼆、精讲精练已知，等边三⾓形ABC的边长为4厘⽶，长为1厘⽶的线段MN在△ABC的边AB上，沿AB⽅向以1厘⽶/秒的速度向B点运动（运动开始时，点与点重合，点N到达点时运动终⽌），过点M、N分别作边的垂线，与△ABC的其他边交于P、Q两点，线段MN 运动的时间为秒．（1）线段MN在运动的过程中，为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的⾯积．（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的⾯积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的⾯积S随运动时间变化的函数关系式，并写出⾃变量t的取值范围．1题图 2题图如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝， CD＝，⾼CE＝，对⾓线AC、BD交于点H．平⾏于线段BD的两条直线MN、RQ 同时从点A出发，沿AC⽅向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对⾓线AC于F、G，当直线RQ到达点C时，两直线同时停⽌移动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的⾯积为，被直线RQ扫过的⾯积为，若直线MN平移的速度为1单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒． （1）填空：∠AHB＝____________；AC＝_____________； （2）若，求x．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停⽌运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ'R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ'R与△PAR重叠部分的⾯积为S（cm2）． （1）t为何值时，点Q' 恰好落在AB上？ （2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）S能否为？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm，动点P从点A出发，沿AB⽅向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA⽅向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停⽌运动．以AP为边向上作正⽅形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正⽅形APDE和梯形BCFQ重叠部分的⾯积为Scm2．（1）当t=_____s时，点P与点Q重合；（2）当t=_____s时，点D在QF上；（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（0，1）、D（-2，0），作直线AD并以线段AD为⼀边向上作正⽅形ABCD．（1）填空：点B的坐标为________，点C的坐标为_________．（2）若正⽅形以每秒个单位长度的速度沿射线DA向上平移，直⾄正⽅形的顶点C落在y轴上时停⽌运动．在运动过程中，设正⽅形落在y轴右侧部分的⾯积为S，求S关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应的⾃变量t的取值范围．如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知直线l1：y=x与直线l2：y=-x+6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N． （1）求M，N的坐标．（2）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴⾃左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD与△OMN重叠部分的⾯积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．求S与⾃变量t之间的函数关系式，并写出相应的⾃变量t的取值范围．⼆、⼆次函数中的存在性问题⼀、知识点睛解决“⼆次函数中存在性问题”的基本步骤：①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中⼀种情形．②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类⽐第⼀种情形求解．③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．⼆、精讲精练如图，已知点P是⼆次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的⼀个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于A、B 两点. 若以AB为直⾓边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．（1）若含45°⾓的直⾓三⾓板如图所⽰放置，其中⼀个顶点与点C重合，直⾓顶点D在BQ上，另⼀个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；（2）若含30°⾓的直⾓三⾓板的⼀个顶点与点C重合，直⾓顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另⼀个顶点E在PQ上，求点P的坐标．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．（1）若抛物线经过A、B两点，求该抛物线的解析式：______________；（2）若点M是直线AB上⽅抛物线上的⼀个动点，作MN⊥x轴于点N．是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．已知抛物线经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的四边形为平⾏四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线与y轴交于点C，与直线y=x交于A(-2，-2)、B(2，2)两点．如图，线段MN在直线AB上移动，且，若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以P、M、Q、N为顶点的四边形否为平⾏四边形？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．三、⼆次函数与⼏何综合⼀、知识点睛 “⼆次函数与⼏何综合”思考流程： 整合信息时，下⾯两点可为我们提供便利：①研究函数表达式．⼆次函数关注四点⼀线，⼀次函数关注k、b； ②)关键点坐标转线段长．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边和⾓度信息．⼆、精讲精练如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．如图，已知抛物线y=ax2-2ax-b（a>0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的右侧，且点B的坐标为(-1，0)，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．连接AC、CD，∠ACD=90°． （1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B、A、F、E四点为顶点的四边形为平⾏四边形，求点的坐标．如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8． （1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上⽅的抛物线上⼀动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂⾜为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值．已知，抛物线经过A(-1，0)，C(2，)两点，与x轴交于另⼀点B． （1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上⼀动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出⾃变量x的取值范围．已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，-3). （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），①如图1，当△PBC的⾯积与△ABC的⾯积相等时，求点P的坐标； ②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式．四、中考数学压轴题专项训练1.如图，在直⾓梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A(1，1)，B(3，1)．动点P从点O出发，沿x轴正⽅向以每秒1个单位长度的速度移动．过点P作PQ⊥OA，垂⾜为Q．设点P移动的时间为t秒（0△OPQ与直⾓梯形OABC重叠部分的⾯积为S． （1）求经过O，A，B三点的抛物线解析式． （2）求S与t的函数关系式．（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，与过点C且平⾏于x轴的直线交于另⼀点D，点P是抛物线上⼀动点． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标．（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平⾏四边形，求此时点P的坐标．（3）过点P作直线CD的垂线，垂⾜为Q．若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′，是否存在点P，使点Q′恰好在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（11分）如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，以线段AB为边向上作正⽅形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线的另⼀个交点为E． （1）请直接写出C，D两点的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）若正⽅形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直⾄顶点D落在x轴上时停⽌，设正⽅形落在x轴下⽅部分的⾯积为S，求S关于滑⾏时间t的函数关系式，并写出相应⾃变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，抛物线与正⽅形⼀起平移，同时停⽌，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的⾯积．4.（11分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3，0)，点B(1，0)，交y轴于点E(0，-3)．点C是点A关于点B的对称点，点F 是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平⾏．直线y=-x+m过点C，交y轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点K为线段AB上⼀动点，过点K作x轴的垂线，交直 线CD于点H，交抛物线于点G，求线段HG长度的值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平⾏四边形，求点N的坐标．5.（11分）如图，在平⾯直⾓坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上⽅的抛物线上⼀动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线，垂⾜为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的值．②连接PA，以PA为边作图⽰⼀侧的正⽅形APFG．随着点P的运动，正⽅形的⼤⼩、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．6.（11分）如图1，点A为抛物线C1：的顶点，点B的坐标为 (1，0)，直线AB交抛物线C1于另⼀点C．（1）求点C的坐标；（2）如图1，平⾏于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平⾏于y轴的直线x=a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G，若FG:DE=4:3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m>0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为P，交x轴负半轴于点M，交射线AB于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值． 附：参考答案 ⼀、图形运动产⽣的⾯积问题1. （1）当t=时，四边形MNQP恰为矩形．此时，该矩形的⾯积为平⽅厘⽶．（2）当0＜t≤1时，；当1＜t≤2时，；当2＜t＜3时，2．（1）90°；4 （2）x=2.3．（1）当t=时，点Q' 恰好落在AB上. （2）当0＜t≤时，；当＜t≤6时， （3）由（2）问可得，当0＜t≤时，； 当＜t≤6时，； 解得，或，此时.4．（1）1 （2）（3）当1＜t≤时，；当＜t＜2时，.5．（1）（﹣1，3），（﹣3，2）（2）当0＜t≤时，；当＜t≤1时，；当1＜t≤时，.6．（1）M（4，2） N（6，0）（2）当0≤t≤1时，；当1＜t≤4时，；当4＜t≤5时，；当5＜t≤6时，；当6＜t≤7时，⼆、⼆次函数中的存在性问题1.解：由题意，设OA=m，则OB=2m；当∠BAP=90°时，△BAP∽△AOB或△BAP∽△BOA；若△BAP∽△AOB，如图1，可知△PMA∽△AOB，相似⽐为2：1；则P1（5m，2m），代⼊，可知，若△BAP∽△BOA，如图2，可知△PMA∽△AOB，相似⽐为1：2；则P2（2m，），代⼊，可知，当∠ABP=90°时，△ABP∽△AOB或△ABP∽△BOA；若△ABP∽△AOB，如图3，可知△PMB∽△BOA，相似⽐为2：1；则P3（4m，4m），代⼊，可知，若△ABP∽△BOA，如图4，可知△PMB∽△BOA，相似⽐为1：2；则P4（m，），代⼊，可知，2.解：（1）由抛物线解析式可得B点坐标（1，3）.要求直线BQ的函数解析式，只需求得点Q坐标即可，即求CQ长度.过点D作DG⊥x轴于点G，过点D作DF⊥QP于点F.则可证△DCG≌△DEF.则DG=DF，∴矩形DGQF为正⽅形.则∠DQG=45°，则△BCQ为等腰直⾓三⾓形.∴CQ=BC=3，此时，Q点坐标为（4，0）可得BQ解析式为y=－x+4.（2）要求P点坐标，只需求得点Q坐标，然后根据横坐标相同来求点P坐标即可.⽽题⽬当中没有说明∠DCE=30°还是∠DCE=60°，所以分两种情况来讨论.当∠DCE=30°时，a）过点D作DH⊥x轴于点H，过点D作DK⊥QP于点K.则可证△DCH∽△DEK.则，在矩形DHQK中，DK=HQ，则.在Rt△DHQ中，∠DQC=60°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=，此时，Q点坐标为（1+,0）则P点横坐标为1+.代⼊可得纵坐标.∴P（1+,）.b）⼜P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上⼀种情形关于对称轴对称.由对称性可得此时点P坐标为（1－,）当∠DCE=60°时，过点D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥QP于点N.则可证△DCM∽△DEN.则，在矩形DMQN中，DN=MQ，则.在Rt△DMQ中，∠DQM=30°.则在Rt△BCQ中，∴CQ=BC=，此时，Q点坐标为（1+，0）则P点横坐标为1+.代⼊可得纵坐标.∴P（1+,）.b）⼜P、Q为动点，∴可能PQ在对称轴左侧，与上⼀种情形关于对称轴对称.由对称性可得此时点P坐标为（1－,）综上所述，P点坐标为（1+,），（1－,），（1+,）或（1－,）.3．解：（1）∵AB=BC=10，OB=8 ∴在Rt△OAB中，OA=6 ∴ A（6，0）将A（6，0），B（0，-8）代⼊抛物线表达式，得，（2）存在：如果△AMN与△ACD相似，则或设M（0假设点M在x轴下⽅的抛物线上，如图1所⽰：当时，，即∴∴如图2验证⼀下当时，，即∴（舍）2）如果点M在x轴上⽅的抛物线上：当时，，即∴∴M此时, ∴∴△AMN∽△ACD ∴M满⾜要求当时，，即∴m=10（舍）综上M1,M24.解：满⾜条件坐标为：思路分析：A、M、N、P四点中点A、点P为顶点，则AP可为平⾏四边形边、对⾓线；(1)如图，当AP为平⾏四边形边时，平移AP；∵点A、P纵坐标差为2 ∴点M、N纵坐标差为2；∵点M的纵坐标为0 ∴点N的纵坐标为2或-2①当点N的纵坐标为2时解：得⼜∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为：、 ②当点N的纵坐标为-2时 解：得⼜∵点A、P横坐标差为2 ∴点M的坐标为：、(2)当AP为平⾏四边形边对⾓线时；设M5（m,0）MN⼀定过AP的中点（0，-1）则N5（-m，-2），N5在抛物线上∴（负值不符合题意，舍去）∴∴综上所述:符合条件点P的坐标为：5．解：分析题意，可得：MP∥NQ，若以P、M、N、Q为顶点的四边形为平⾏四边形，只需MP=NQ即可。
中考数学压轴题十大类型经典题目
中考数学压轴题十大类型目录第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲 中考压轴题十大类型之函数类问题 7 第三讲 中考压轴题十大类型之面积问题 13 第四讲 中考压轴题十大类型之三角形存在性问题 19 第五讲 中考压轴题十大类型之四边形存在性问题 25 第六讲 中考压轴题十大类型之线段之间的关系 31 第七讲 中考压轴题十大类型之定值问题 38 第八讲 中考压轴题十大类型之几何三大变换问题 44 第九讲 中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究 50 第十讲 中考压轴题十大类型之圆 56 第十一讲 中考压轴题综合训练一 62 第十二讲 中考压轴题综合训练二 68第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题1.2011吉林如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD =90°,CE ⊥AD 于点E ,AD =8cm,BC =4cm,AB =5cm ．从初始时刻开始,动点P ,Q 分别从点A ,B 同时出发,运动速度均为1cm/s,动点P 沿A -B -C -E 方向运动,到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动,到点D 停止,设运动时间为x s,△PAQ 的面积为y cm 2,这里规定：线段是面积为0的三角形解答下列问题：1 当x =2s 时,y =_____ cm 2；当x =92s 时,y =_______ cm 2． 2当5 ≤ x ≤ 14时,求y 与x 之间的函数关系式．3当动点P 在线段BC 上运动时,求出154 y S 梯形ABCD 时x 的值． 4直接写出在整个．．运动过程中,使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．D C BA 2.2007河北如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =DC =50,AD =75,BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q 向上作射线QK ⊥BC ,交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动,当点P 与点C 重合时停止运动,点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒t ＞0．1当点P 到达终点C 时,求t 的值,并指出此时BQ 的长；2当点P 运动到AD 上时,t 为何值能使PQ ∥DC3设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ,分别求出点E 运动到CD 、DA 上时,S 与t 的关系式；,写出t 的取值范围；若不能,请说明理由． 备用图3.2008河北如图,在Rt ABC △中,∠C=90°,AB =50,AC =30,D ,E ,F 分别是AC ,AB ,B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q 作射线QK AB ⊥,交折线BC -CA 于点G ．点P Q ，同时出发,当点P 绕行一周回到点D 时停止运动,点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒0t >．1D F ，两点间的距离是 ；2射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分若能,求出t 的值．若不能,说明理由；3当点P 运动到折线EF FC -上,且点P 又恰好落在射线QK 上时,求t 的值； 4连结PG ,当PG AB ∥时,请直接．．写出t 的值． 4.2011山西太原如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为8,0,点B 的坐标为11,4,动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动,同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动,过点P 作PM 垂直于x 轴,与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P 、Q 运动的时间为t秒0t>,△MPQ的面积为S．1点C的坐标为________,直线l的解析式为__________．2试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围．3试求题2中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值．4随着P、Q两点的运动,当点M在线段CB上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时,△QMN为等腰三角形请直接写出t的值．5.2011四川重庆如图,矩形ABCD中,AB＝6,BC＝2错误!,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP＝3个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中,以和矩形ABCD在射线PA的同侧,设运动的时间为t秒1当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值；2在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；3设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形若存在,求出对应的t的值；若不存在,请说明理由．备用图1备用图2三、测试提高1．2011山东烟台如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上．直线CB的表达式为41633y x=-+,点A、D的坐标分别为－4,0,0,4．动点P自A点出发,在AB上匀速运动．动点Q自点B出发,在折线BCD 上匀速运动,速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动．设点P运动t秒时,△OPQ的面积为S不能构成△OPQ的动点除外．1求出点B、C的坐标；2求S随t变化的函数关系式；3当t为何值时S有最大值并求出最大值．备用图第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题12011浙江温州如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为-4,0,点B的坐标为0,bb＞0．P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为C,记点P 关于y轴的对称点为P′ 点P′不在y轴上,连结P P′,P′A,P′C,设点P的横坐标为a．（1） 当b =3时,①直线AB 的解析式；②若点P ′的坐标是-1,m ,求m 的值；2若点P 在第一象限,记直线AB 与P ′C 的交点为D ．当P ′D :DC =1:3时,求a 的值； 3是否同时存在a ,b ,使△P ′CA 为等腰直角三角形若存在,请求出所有满足要求的a ,b 的值；若不存在,请说明理由．2. 2010武汉如图,抛物线212y ax ax b=-+经过A －1,0,C 2,32两点,与x 轴交于另一点B ． 1求此抛物线的解析式； 2若抛物线的顶点为M ,点P 为线段OB 上一动点 不与点B 重合,点Q 在线段MB 上移动,且∠MPQ =45°,设线段OP =x ,MQ=22y ,求y 2与x 的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范围； 3在同一平面直角坐标系中,两条直线x =m ,x =n 分别与抛物线交于点E ,G ,与2中的函数图象交于点F ,H ．问四边形EFHG 能否为平行四边形 若能,求m ,n 之间的数量关系；若不能,请说明理由．备用图3. 2011江苏镇江在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 过点A 1,0且与y 轴平行,直线2l 过点B 0,2且与x 轴平行,直线1l 与2l 相交于点P ．点E 为直线2l 上一点,反比例函数k y x=k >0的图象过点E 且与直线1l 相交于点F ． 1若点E 与点P 重合,求k 的值； 2连接OE 、OF 、EF ．若k >2,且△OEF 的面积为△PEF 的面积2倍,求点E 的坐标； 3是否存在点E 及y 轴上的点M ,使得以点M 、E 、F 为顶点的三角形与△PEF 全等若存在,求E 点坐标；若不存在,请说明理由．4. 2010浙江舟山△ABC 中,∠A =∠B =30°,AB=ABC 放在平面直角坐标系中,使AB 的中点位于坐标原点O 如图,△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．1当点B 在第一象限,,求点B 的横坐标； x y P'DO C B A P2如果抛物线2y ax bx c =++a ≠0的对称轴经过点C ,请你探究：①当a =,12b =-,c =,A ,B 两点是否都在这条抛物线上并说明理由； ②设b =-2am ,是否存在这样的m 值,使A ,B 两点不可能同时在这条抛物线上若存在,直接写出m 的值；若不存在,请说明理由．5.12若点N 为线段BMQ ．当点N 在线段BM 上运动时点N 不与点B ,点M 面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式及自变量3,求出所有符合条件的点P 4将△OAC 补成矩形,使得△,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标不需要计算过程． 三、测试提高1． 2011山东东营如图所示,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为30-，,0,1,点D是线段BC 上的动点与端点B 、C 不重合,过点D 作直线12y x b =+交折线OAB 于点E ． 1记△ODE 的面积为S ．求S 与b 的函数关系式；2当点E 在线段OA 上时,且tan ∠DEO =12．若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形1111O A B C ．试探究四边形1111O A B C 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积；若改变,请说明理由． 第三讲 中考压轴题十大类型之面积问题1. 2011辽宁大连如图,抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A －1,0、B 3,0、C 0,3三点,对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ,连接PB ．1求该抛物线的解析式；2抛物线上是否存在一点Q ,使△QMB 与△PMB 的面积相等,若存在,求点Q 的坐标；若不存在,说明理由；3在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ,使△RPM 与△RMB 的面积相等,若存在,直接写出点R 的坐标；若不存在,说明理由．2. 2011湖北十堰如图,和点 B ,与y 轴交于点C 0,-3．1求抛物线的解析式；2如图1,己知点H 0,-1．问在抛物线上是否存在点G 点G 在y 轴的左侧,使得S △GHC =S △GHA 若存在,求出点G 的坐标,若不存在,请说明理由：3如图2,抛物线上点D 在x 轴上的正投影为点E ﹣2,0,F 是OC 的中点,连接DF ,P 为线段BD 上的一点,若∠EPF =∠BDF ,求线段PE 的长．3. 2010天津在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx =-+c +与x 轴交于点A 、B 点A 在点B 的左侧,与y 轴的正半轴交于点C ,顶点为E ． Ⅰ若2b =,3c =,求此时抛物线顶点E 的坐标；Ⅱ将Ⅰ中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE = S △ABC ,求此时直线BC 的解析式；Ⅲ将Ⅰ中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE =2S △AOC ,且顶点E 恰好落在直线43y x =-+上,求此时抛物线的解析式．4. 2011山东聊城如图,在矩形ABCD 中,AB ＝12cm,BC ＝8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E 、G 的速度均为2cm/s,点F 的速度为4cm/s,当点F 追上点G 即点F 与点G 重合时,三个点随之停止移动．设移动开始后第t s 时,△EFG 的面积为S cm 2．1当t ＝1s 时,S 的值是多少2写出S 与t 之间的函数解析式,并指出自变量t 的取值范围；3若点F 在矩形的边BC 上移动,当t 为何值时,以点B 、E 、F 为顶点的三角形与以C 、F 、G 为顶点的三角形相似请说明理由．5. 2011江苏淮安如图,在Rt△ABC中,∠C =90°,AC =8,BC =6,点P 在AB 上,AP =2,点E 、F 同时从点P 出发,分别沿PA 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动,点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动,点F 运动到点B 时停止,点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中,以EF 为边作正方形EFGH ,使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒t ＞0,正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S ．1当t =1时,正方形EFGH 的边长是 ．当t =3时,正方形EFGH 的边长是 ． 2当0＜t ≤2时,求S 与t 的函数关系式；3直接答出：在整个运动过程中,当t 为何值时,S 最大最大面积是多少A EB FC GDA 备用图三、测试提高1. 2010山东东营如图,在锐角三角形ABC 中,BC =12,△ABC 的面积为48,D ,E 分别是边AB ,AC 上的两个动点D 不与A ,B 重合,且保持DE ∥BC ,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG ．1当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时,求正方形DEFG 的边长；2设DE = x ,△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,写出x 的取值范围,并求出y 的最大值．第四讲 中考压轴题十大类型之 三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1. 2011江苏盐城如图,已知一次函数7y x =-+与正比例函数34y x =的图象交于点A ,且与x 轴交于点B ．1求点A 和点B 的坐标；2过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长的速度,沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ,交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒．是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在,求t 的值；若不存在,请说明理由．备用图2. 2009湖北黄冈如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ,与y 轴的交点为点B ,过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P ,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t 单位：秒B AD E F G C B 备用图1 A C B 备用图2 A C1求A ,B ,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；2当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形请写出计算过程；3当902t <<时,△PQF 的面积是否总为定值若是,求出此定值,若不是,请说明理由；4当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形请写出解答过程．板块二、直角三角形3. 2009四川眉山如图,已知直线112y x =+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 1,0． 1求该抛物线的解析式；2动点P 在x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点P 的坐标．4. 2010广东中山如图所示,矩形ABCD 的边长AB =6,BC =4,点F 在DC 上,DF =2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发,沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动点M 可运动到DA 的延长线上,当动点N 运动到点A 时,M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、FN ,当F 、N 、M 不在同一直线上时,可得△FMN ,过△FMN 三边的中点作△PWQ ．设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒,M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：1说明△FMN ∽△QWP ；2设04x ≤≤即M 从D 到A 运动的时间段．试问x 为何值时,△PWQ 为直角三角形当x 在何范围时,△PQW 不为直角三角形3问当x 为何值时,线段MN 最短求此时MN 的值．板块三、相似三角形存在性 5. 2011湖北天门在平面直角坐标系中,抛物线2y ax bx =+ 3+与x 轴的两个交点分别为-3,0、B 1,0,过顶点C 作CH ⊥x 轴于点． 1直接填写：a = ,b = ,顶点C 的坐标为 ；2在y 轴上是否存在点D ,使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形若存在,求出点D 的坐标；若不存在,说明理由； 3若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点点P 与顶点C 不重合,PQ ⊥AC 于点Q ,当△PCQ 与△ACH 相似时,求点P 的坐标． W QPNM F D CB A备用图三、测试提高1. 2009广西钦州如图,已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点, A 点的坐标为－1,0,过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ,且01t <<．1填空：点C 的坐标是_____,b ＝_____,c ＝_____；2求线段QH 的长用含t 的式子表示；3依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似若存在,求出所有t 的值；若不存在,说明理由．第五讲 中考压轴题十大类型之四边形存在性问题1. 2009黑龙江齐齐哈尔直线364y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点,动点P 、Q 同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止．点Q 沿线段OA 运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．1直接写出A 、B 两点的坐标；2设点Q 的运动时间为t 秒,△OPQ 的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；3当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．2. 2010河南在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A (40)，-,B (04)，-,C (20)，三点．1求抛物线的解析式；2若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值．3若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线x y -=上的动点,判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标．3. 2011黑龙江鸡西已知直线y =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,∠ABC =60°,BC 与x 轴交于点C ．1试确定直线BC 的解析式；2若动点P 从A 点出发沿AC 向点C 运动不与A 、C 重合,同时动点Q 从C 点出发沿CBA 向点A 运动不与C 、A 重合,动点P 的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ,P 点的运动时间为t 秒,求S 与t 的函数关系式,并写出自变量的取值范围；3在2的条件下,当△APQ 的面积最大时,y 轴上有一点M ,平面内是否存在一点N ,使以A 、Q 、M 、N 为顶点的四边形为菱形若存在,请直接写出N 点的坐标；若不存在,请说明理由．4. 2007河南如图,对称轴为直线x ＝27的抛物线经过点A 6,0和B0,4．1求抛物线解析式及顶点坐标；2设点Ex ,y 是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形,求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；3①当四边形OEAF 的面积为24时,请判断OEAF 是否为菱形②是否存在点E ,使四边形OEAF 为正方形若存在,求出点E 的坐标；若不存在,请说明理由．5. 2010黑龙江大兴安岭如图,在平面直角坐标系中,函数2y x =+12的图象分别交x轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点M,且点M 为线段OB 的中点． 1求直线AM 的解析式；2试在直线AM 上找一点P ,使得S △ABP ＝S △AOB ,请直接写出点P 的坐标；3若点H 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H ,使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形若存在,请直接写出点H 的坐标；若不存在,请说明理由．三、测试提高 1. 2009辽宁抚顺已知：如图所示2=++y ax x c a ≠0与x C ．1求出此抛物线的解析式,2在抛物线上有一点D ,D 的坐标,并求出直线AD 的解析式；3在2中的直线AD P ,x 轴上有一动点Q ．是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形如果存在,请直接写出点Q 的坐标；如果不存在,请说明理由．第六讲 中考压轴题十大类型之线段之间的关系1. 2010天津在平面直角坐标系中,矩形OACB 的顶点O 在坐标原点,顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,3OA =,4OB =,D 为边OB 的中点．Ⅰ若E 为边OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点E 的坐标；Ⅱ若E 、F 为边OA 上的两个动点,且2EF =,当四边形CDEF 的周长最小时,求点E 、F 的坐标．2. 2011四川广安四边形ABCD 是直角梯形,BC ∥AD ,∠=90°,BC 与y 轴相交于点M ,且M 是BC 的中点,A 、B 、D 三点的坐标分别是A 1 0-，,B 1 2-，,D 3,0．连接DM ,并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ．1求抛物线的解析式；2抛物线上是否存在点P ,使得PA =PC ,若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由；3设抛物线与x 轴的另一个交点为E ,点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q 在什么位置时有|QE -QC |最大并求出最大值．3. 2011四川眉山如图,在直角坐标系中,已知点A 0,1,B 4-,4,将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ,顶点在坐标原点的抛物线经过点B ． 1 求抛物线的解析式和点C 的坐标；2 抛物线上有一动点P ,设点P 到x 轴的距离为1d ,点P 到点A 的距离为2d ,试说明211d d =+；3 在2的条件下,请探究当点P 位于何处时,△PAC 的周长有最小值,并求出△PAC 的周长的最小值．4. 2011福建福州已知,如图,二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ,与x轴交于A 、B 两点B 在A 点右侧,点H 、B 关于直线3:33l y x =+ 1求A 、B 两点坐标,并证明点A 在直线l 上； 2求二次函数解析式；3过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,求HN +NM +MK 和的最小值．5. 2009湖南郴州 如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M －2,－1,且y B O D C A xEyB O DC A x温馨提示：如图,可以作点D 关于x 轴的对称点D ',连接CD '与xP －1,－2为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于x 轴,QB 垂直于y 轴,垂足分别是A 、B ．1写出正比例函数和反比例函数的关系式；2当点Q 在直线MO 上运动时,直线MO 上是否存在这样的点Q ,使得△OBQ 与△OAP 面积相等如果存在,请求出点Q 的坐标,如果不存在,请说明理由；3如图2,当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ,求平行四边形OPCQ 周长的最小值． 图1 图26. 2010江苏苏州如图,以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B ．已知A 、B 两点的坐标分别为3,0、0,4． 1求抛物线的解析式；2设()M m n ，M B O A 、、、,求点M 的坐标； 3在2的条件下,试问：22228PA PB PM ++>是否总成立请说明理由．三、测试提高1. 2009浙江舟山如图,已知点A -4,8和点B 2,n 在抛物线2=y ax 上．1求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标,并在x 轴上找一点Q ,使得AQ +QB 最短,求出点Q 的坐标；2平移抛物线2=y ax ,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,点C -2,0和点D -4,0是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时,A ′C +CB ′ 最短,求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A ′B ′CD 的周长最短若存在,求出此时抛物线的函数解析式；若不存在,请说明理由．第七讲 中考压轴题十大类型之定值问题1. 2011天津已知抛物线1C ：21112y x x =-+,点F 1,1． Ⅰ求抛物线1C 的顶点坐标；Ⅱ①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ,连接AF ,并延长交抛物线1C 于点B ,求证：112AF BF +=；②抛物线1C 上任意一点P P P x y ，01P x <<,连接PF ,并延长交抛物线1C 于点Q Q Q x y ，,试判断112PF QF+=是否成立请说明理由； Ⅲ将抛物线1C 作适当的平移,得抛物线2C ：221()2y x h =-,若2x m <≤时,2y x ≤恒成立,求m 的最大值．2. 2009湖南株洲如图,已知△ABC 为直角三角形,90ACB ∠=︒,AC BC =,点A 、C 在x轴上,点B 坐标为3,m 0m >,线段AB 与y 轴相交于点D ,以P 1,0为顶点的抛物线过点B 、D ．1求点A 的坐标用m 表示； 2求抛物线的解析式；3设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点E ,连结BQ 并延长交AC 于点F ,试证明：()FC AC EC +为定值．3. 2008山东济南已知：抛物线2y ax bx c =++a ≠0,顶点C1,3-,与x 轴交于A 、B 两点,(10)A -，． 1求这条抛物线的解析式； 2如图,以AB 为直径作圆,与抛物线交于点D ,与抛物线对称轴交于点E ,依次连接A 、D 、B 、E ,点P 为线段AB 上一个动点P 与A 、B 两点不重合,过点P 作断PM PNBE AD+是否为PM ⊥AE 于M ,PN ⊥DB 于N ,请判定值 若是,请求出此定值；若不是,请说明理由；3在2的条件下,若点S 是线段EP 上一点,过点S 作FG ⊥EP ,FG 分别与边．AE 、BE相交于点F 、GF 与A 、E 不重合,G 与E 、B 不重合,请判断PA EFPB EG=是否成立．若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．4. 2011湖南株洲孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ,两直角边与该抛物线交于A 、B 两点,请解答以下问题： 1若测得OA OB ==如图1,求a 的值；2对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时,过B 作BF x ⊥轴于点F ,测得1OF =,写出此时点B 的坐标,并求点A 的横坐标．．．； 3对该抛物线,孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现,交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标．5. 2009湖北武汉如图,抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，、()04C ，两点,与x 轴交于另一点B ．1求抛物线的解析式；2已知点(),1D m m +在第一象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； 3在2的条件下,连接BD ,点P 为抛物线上一点,且45DBP ∠=︒,求点P 的坐标．三、测试提高1. 2009湖南湘西在直角坐标系xOy与x 轴交于两点A 、B ,与y 的坐标是3,0．将直线y kx =沿y 轴向上平移3（1） 求k 的值；（2） 求直线BC 和抛物线的解析式； （3） 求△ABC 的面积；（4） 设抛物线顶点为D ,点P 在抛物线的对称轴上,且∠APD =∠ACB ,求点P 的坐标．、第八讲 中考压轴题十大类型之 几何三大变换问题1. 2009山西太原问题解决：如图1,将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一方法指导：图1 图2 图3 图4αθ4HB 2B 3A 3A 222B 1A 1A 011点E 不与点C ,D 重合,压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时,求AMBN 的值． 类比归纳：在图1中,若13CE CD =，则AMBN 的值等于 ；若14CE CD =，则AMBN的值等于 ；若1CE CD n=n 为整数,则AMBN 的值等于 ．用含n 的式子表示 联系拓广： 如图2,将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E 不与点C D ，重合,压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n=>=，，则AMBN 的值等于 ．用含m n ，的式子表示 2. 2011陕西如图①,在矩形ABCD 中,将矩形折叠,使B落在边AD 含端点上,落点记为E ,这时折痕与边BC 或边CD 含端点交于点F ,然后再展开铺平,则以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”.1由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF ”是一个_________三角形；2如图②,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =4．当它的“折痕△BEF ”的顶点E 位于边AD 的中点时,画出这个“折痕△BEF ”,并求出点F 的坐标；3如图③,在矩形ABCD 中, AB =2,BC =4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF ”若存在,说明理由,并求出此时点E 的坐标；若不存在,为什么图① 图② 图③3. 2010江西南昌课题：两个重叠的正多边形,其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题． 实验与论证设旋转角∠A 1A 0B 1＝αα＜∠A 1A 0A 2,θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6所表示的角如图所示． 1用含α的式子表示：θ3＝_________,θ4＝_________,θ5＝_________；图1－图4中,连接A 0H 时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在与直线0H 垂直且被它平分的线段若存在,请选择其中的一个图给出证明；若不存在,请说明理由；归纳与猜想图2NA B CD E F M图1A BCDE FM N设正n 边形A 0A 1A 2…A n -1与正n 边形A 0B 1B 2…B n -1重合其中,A 1与B 1重合,现将正n 边形A 0B 1B 2…B n -1绕顶点A 0逆时针旋转αn1800<<α． 3设θn 与上述“θ3,θ4,…”的意义一样,请直接写出θn 的度数；4试猜想在n 边形且不添加其他辅助线的情形下,是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段若存在,请将这条线段用相应的顶点字母表示出来不要求证明；若不存在,请说明理由．4. 2009山东德州已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG ． 1求证：EG =CG ；2将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o,如图②所示,取DF 中点G ,连接EG ,CG ．问1中的结论是否仍然成立若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由． 3将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问1中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论均不要求证明5. 2010江苏苏州刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②．图①中,90°，B ∠=306cm °，；A BC ∠==图②中,90D =°，45E ∠=°， 4cm DE =.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF △的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起,并将DEF △沿AC 方向移动．在移动过程中,D 、E 两点始终在AC 边上移动开始时点与点重合． 1在DEF △沿AC 方向移动的过程中,刘卫同学发现：F C 、两点间的距离逐渐_________．填“不变”、“变大”或“变小” 2刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题：问题①：当DEF △移动至什么位置,即AD 的长为多少时,F C 、的连线与AB 平行 问题②：当DEF △移动至什么位置,即AD 的长为多少时,以线段AD FC BC 、、的长度为三边长的三角形是直角三角形问题③：在DEF △的移动过程中,是否存在某个位置,使得15FCD ∠=°？如果存在,求出AD 的长度；如果不存在,请说明理由． 请你分别完成上述三个问题的解答过程．三、测试提高1. 2009湖南常德如图1,若△ABC 和△ADE 为等边三角形,M ,N 分别EB ,CD 的中点,易证：F BA D E G图①F A D G图② F A E 图③ ①图②F ED AB图③D。
2020年中考数学压轴题之动点产生的定值和最值专题Word版无答案
2020年中考数学压轴题之动点产生的定值和最值专题Word版无答案中考数学压轴题专题动点产生的定值与最值问题中考数学压轴题——动点产生的定值与最值问题目录第1 讲角为定值的常规解法第2 讲角为定值的高级解法第3 讲边为定值的动点问题第4 讲线段的和或差为定值的动点问题第5 讲比值为定值的动点问题第6 讲乘积为定值的动点问题第7 讲面积为定值的动点问题第8 讲动点产生的几何最值问题【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理第 1 讲 角为定值的常规解法（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点 O,∠MON=90°，点 A 、B 分别在射线 OM 、 ON 上移动，AC 是△BAO 的角平分线，BD 为∠ABN 的角平分线，AC 与 BD 的反向延长线交于 点 P.试问：随着点 A 、B 位置的变化，∠APB 的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。
、【例】如图所示,O 的直径 AB=4,点 P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作 O 的切线,切点为 C ， 连接 AC.(1)若∠CPA=30°，求 PC 的长；(2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交 AC 于点 M ，你认为∠CMP 的大小是否发 生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。
【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。
【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—圆与射影定理结合型压轴题(含解析)
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—圆与射影定理结合型压轴题（含解析）射影定理模型：射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各名校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。
图形推导过程结论因为⎩⎨⎧∠=∠∠=∠ACDABCAA∴ABC∆∽ACD∆∴ACABADAC=①ABADAC ⋅=2;②BABDBC⋅=2;③BDADCD⋅=21.（长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）+＝．（2）若PN2＝PM•MN，则＝．【解答】解：（1）∵MN 为⊙O 的直径，∴∠MPN ＝90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°，∵NE 平分∠PNM ，∴∠MNE ＝∠PNE ，∴△PEN ∽△QFN ，∴，即①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°，∴∠NPQ ＝∠PMQ ，∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°，∴△NPQ ∽△PMQ ，∴②，∴①×②得，∵QF ＝PQ ﹣PF ，∴＝1﹣，∴+＝1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPM ，∴由射影定理得：PN 2＝QN •MN ，∵PN 2＝PM •MN ，∴PM ＝QN ，∴，∵，∴，∴，∴NQ 2＝MQ 2+MQ •NQ ，即，设，则x 2+x ﹣1＝0，解得，x ＝，或x ＝﹣＜0（舍去）．2．（北雅）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（不与M 、N 重合），PH MN ⊥于H 点，过N 点作NQ 与PH 平行交MP 的延长线于Q 点．（1）求QPN ∠的度数；（2）求证：QN 与O 相切；（3）若2PN PM MN =⋅，求MH NH 的值．【解答】（1）解：MN 是直径，90MPN ∴∠=︒，90QPN ∴∠=︒；（2）证明：PH MN ⊥ ，90PHM ∴∠=︒，//QN PH ，90QNM PHM ∴∠=∠=︒，ON QN ∴⊥，ON 是半径，QN ∴与O 相切；（3）解：90MNP PNQ ∠+∠=︒ ，90PNQ Q ∠+∠=︒，MNP Q ∴∠=∠，MPN QPN ∠=∠ ，NPM QPN ∴∆∆∽，∴PN PM QP PN=，2PN PM QP ∴=⋅，2PN PM MN =⋅ ，QP MN ∴=，//PH QN ，∴MH MP HN PQ=，∴MH MP HN MN =，同理得，MHP MPN ∆∆∽，∴MP MH MN MP =，HN MP ∴=，设PQ MN a ==，MP b =，∴MH MP HN PQ=，∴a b b b a -=，(12a b -∴=（舍)或1)2a b =∴12MH a b HN b -==．3．（长沙中考）如图，点A ，B ，C 在O 上运动，满足222AB BC AC =+，延长AC 至点D ，使得DBC CAB ∠=∠，点E 是弦AC 上一动点（不与点A ，C 重合），过点E 作弦AB 的垂线，交AB 于点F ，交BC 的延长线于点N ，交O 于点M （点M 在劣弧 AC 上）．（1）BD 是O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记BDC ∆，ABC ∆，ADB ∆的面积分别为1S ，2S ，S ，若212()S S S ⋅=，求2(tan )D 的值；（3）若O 的半径为1，设FM x =，FE FN y ⋅=，试求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【解答】解：（1）BD 是O 的切线．证明：如图，在ABC ∆中，222AB BC AC =+，90ACB ∴∠=︒．又点A ，B ，C 在O 上，AB ∴是O 的直径．90ACB ∠=︒ ，90CAB ABC ∴∠+∠=︒．又DBC CAB ∠=∠，90DBC ABC ∴∠+∠=︒．90ABD ∴∠=︒．BD ∴是O 的切线．（2）由题意得，112S BC CD =⋅，212S BC AC =⋅，12S AD BC =⋅．212()S S S ⋅= ，∴2111()222BC CD AD BC BC AC ⋅⋅⋅=⋅．2CD AD AC ∴⋅=．2()CD CD AC AC ∴+=．又90D DBC ∠+∠=︒ ，90ABC A ∠+∠=︒，DBC A ∠=∠，D ABC ∴∠=∠．tan tan BC AC D ABC CD BC∴∠==∠=．2BC CD AC ∴=．又2()CD CD AC AC +=，∴4222BC BC AC AC +=．4224BC AC BC AC ∴+⋅=．241(()AC AC BC BC ∴+=．由题意，设2(tan )D m ∠=，2(AC m BC∴=．21m m ∴+=．152m ±∴=．0m > ，152m ∴=．2(tan )D ∴∠=．（3）设A α∠=，90A ABC ABC DBC ABC N ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒ ，A DBC N α∴∠=∠=∠=．如图，连接OM ．∴在Rt OFM ∆中，OF =．1BF BO OF ∴=+=+，1AF OA OF =-=．∴在Rt AFE ∆中，tan (1tan EF AF αα=⋅=⋅，1cos cos AF AE αα==．在Rt ABC ∆中，sin 2sin BC AB αα=⋅=．(1r = ，2AB ∴=．)cos 2cos AC AB αα=⋅=．在Rt BFN ∆中，sin BF BN α==tan BF FN α==．y FE FN ∴=⋅2x =2x =2x =21x x=⋅x =．即y x =．FM AB ⊥ ，FM ∴最大值为F 与O 重合时，即为1．01x ∴< ．综上，y x =，01x <．4.（长沙中考）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．（1）求∠CDE 的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．解：（1）∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；(3)设DE＝1，则AC＝2，由射影定理得：AC2＝AD×AE,∴20＝AD（AD+1），∴AD＝4或﹣5（舍去），∵DC2＝AC2﹣AD2，∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；5.（青竹湖三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AE＝CE；（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD＝CF＝2cm，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若CF:CD=n（n＞0），求sin∠CAB．解：（1）证明：连接DE，∵∠ABC＝90°∴∠ABE＝90°∴AE是⊙O直径，∴∠ADE ＝90°∴DE ⊥AC 又∵D 是AC 的中点∴DE 是AC 的垂直平分线∴AE ＝CE ；（2）解：在△ADE 和△EFA 中，∵∠ADE ＝∠AEF ＝90°，由射影定理得：AE 2＝AD ×AF,∴AE 2＝2×6,∴AE ＝2cm ；（3）解：∵AE 是⊙O 直径，EF 是⊙O 的切线，∵CF:CD=n,令CD=1，则CF=n ，∵∠ADE ＝∠AEF ＝90°，由射影定理得：AE 2＝AD ×AF ，∴AE 2＝1×(n+2)，∴AE ＝=CE ，∵∠CAB ＝∠DEC,∴sin ∠CAB ＝sin ∠DEC ＝＝＝．6.（长郡）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE ＝EC ，过点B 的切线与AD 的延长线交于F ，过E 作EG ⊥BC 于G ，延长GE 交AD 于H ．（1）求证：AH ＝HD ；（2）若BFBD ＝，DF ＝9，求⊙O 的半径．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，DE ＝EC ，∴AB ⊥CD ，∴∠C +∠CBE ＝90°，∵EG ⊥BC ，∴∠C +∠CEG ＝90°，∴∠CBE ＝∠CEG ，∵∠CBE ＝∠CDA ，∠CEG ＝∠DEH ，∴∠CDA ＝∠DEH ，∴HD ＝EH ，∵∠A +∠ADC ＝90°，∠AEH +∠DEH ＝90°，∴AH ＝EH ，∴AH ＝HD ；（2）解：∵∠BDF ＝90°，BFBD ＝，令BD=4x ，BF=5x ，则222)5(94x x =+）（，∴2=x ，BD=12,由射影定理得：BD 2＝DF •DA ，∴144＝9×DA ，∴DA=16，又由射影定理得：AB 2＝AF •DA ，∴AB 2＝25×16，∴AB=20,即半径为10.10.如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为D ，直线DC 与AB的延长线交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ，BE =.（1）求证：AC 平分DAB ∠；BC=，求阴影部分的面积；（2）若5CD=，求PC的长度（射影定理）.（3）若3【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD．∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．即AC平分∠DAB．（2）解：连接AE．∵∠ACE＝∠BCE，∴，∴AE＝BE．又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．∴AB＝BE＝×5＝10，∵OB＝5，∴BC＝OB＝OC＝5，即△OBC是等边三角形，＝×5×＝，∴∠BOC＝60°，∴OH＝＝，CH＝OH＝，∴S△BOCS扇形BOC＝×π×52＝π，∴阴影部分的面积为π﹣；（3）解：过点C作CH⊥AB垂足为点H，如图：由（2）得：OC＝OB＝5，（2）∵AC平分∠DAB，CH⊥AB，CD⊥AD，∴CH＝CD＝3，∵∠ACB＝∠BHC＝90°，由射影定理得：CH2＝BH•AH，设BH＝x，AH＝10-x，∴32＝x（10﹣x），解得：x＝1或9(舍)，又由射影定理得：CH2＝O H•HP，∴32＝4HP，解得：HP＝．7.（雅礼）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD•AO＝AM•AP．（1）连接OP，证明：△ADM∽△APO；（2）证明：PD是⊙O的切线；（3）若AD＝24，AM＝MC，求的值．解：（1）证明：连接OD、OP、CD．∵AD•AO＝AM•AP，∴＝，∠A＝∠A，∴△ADM∽△APO．（2）∵△ADM∽△APO，∴∠ADM＝∠APO，∴MD∥PO，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵OD＝OM，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，∵OP＝OP，OD＝OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP＝∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP＝90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（2）连接CD．由（1）可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，∴R2+242＝9R2，∴R＝6，∴OD＝6，MC＝12，∵＝＝，∴DP＝12，∵O是MC的中点，∴＝＝，∴点P是BC的中点，∴BP＝CP＝DP＝12，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝24，MC＝12，∴BM＝12，由射影定理得：MC2＝MD×MB,∴122＝12×MD，∴MD＝4，∴＝．8.（广益）如图，已知PB与⊙O相切于点B，A是⊙O上的一点，满足PA=PB，连接PO，交AB于E，交⊙O于C，D两点，E在线段OD上，连接AD，OB。