高等数学下册期末考试试题及答案
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0高等数学A (下册)期末考试试题【A 卷】
考试日期:2009年
院(系)别 班级 学号 姓名
成绩
一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上)
1、已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,2b =,则a b ⋅= .
2、设ln()z x xy =,则32
z
x y
∂=∂∂ . 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 . 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数
在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 .
5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则()L
x y ds +=⎰ .
※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级.
二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分)
1、求曲线222
222
239
3x y z z x y
⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程. 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积.
3、判定级数1
1
(1)ln
n n n n
∞
=+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z
x x y
∂∂∂∂∂.
5、计算曲面积分,dS
z
∑
⎰⎰
其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部.
三、(本题满分9分)
抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最
大值与最小值. 四、 (本题满分10分)
计算曲线积分(sin )(cos )x x L
e y m dx e y mx dy -+-⎰,
其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>.
五、(本题满分10分)
求幂级数13n
n n x n
∞
=⋅∑的收敛域及和函数.
六、(本题满分10分)
计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=++-⎰⎰,
其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧.
七、(本题满分6分)
设()f x 为连续函数,(0)f a =,222()[()]t
F t z f x y z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω
是由曲面
z =
与z = 30
()
lim t F t t
+
→. -------------------------------------
备注:①考试时间为2小时;
②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交; 不得带走试卷。
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】
参考解答与评分标准 2009年6月
一、填空题【每小题4分,共20分】 1、4-; 2、21
y
-
;3、2414x y z ++=; 4、3,0; 5
、二、试解下列各题【每小题7分,共35分】
1、解:方程两边对x 求导,得323dy
dz y z x dx dx
dy dz y z x
dx
dx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩, 从而54dy x dx y =-
,74dz x dx z = (4)
该曲线在()1,1,2-处的切向量为57
1
(1,,)(8,10,7).488
T ==
…………..【5】 故所求的切线方程为
112
8107
x y z -+-==....................【6】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++=.. (7)
2、解:22
22
226z x y z x y
⎧=+⇒⎨=--⎩22
2x y +=,该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22:2xy D x y +≤. (2)
故所求的体积为V dv Ω
=
⎰⎰⎰22
2620
20
2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=⎰⎰
(7)
3、解:由11lim lim ln(1)lim ln(1)10n
n n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>,知级数1
n n u ∞
=∑发
散 (3)
又111||ln(1)ln(1)||1n n u u n n +=+>+=+,1
lim ||lim ln(1)0n n n u n
→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件
收敛.【7】 4、解:
121211
()0z f y f yf f x y y
∂''''=⋅+⋅+=+∂, …………………………………【3】 2111
122212222211[()][()]z x x
f y f x f f f x f x y y y y y
∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111
222
231.x
f xyf f f y y
''''''=+--【7】 5、解:∑
的方程为z =∑在xOy 面上的投影区域为
2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-.
又=3】
故
22222200xy D dS adxdy d a d z a x y a π
ρρθρ∑
==---⎰⎰⎰⎰⎰
220
12ln()2ln 2a
a a a h
πρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..
【7】
三、【9分】解:设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点,则点M
到原点的距离为
d =1】
令22222(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-,
则由22
220220201x y z L x x L y y L z z x y x y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪
=++=⎨⎪=+⎪
++=⎪⎩
,解得12x y -==,2
3z =.于是得到两个可能极值
点
121111(
,(2222
M M --+---+ (7)