最新-2011下册--东北大学高数期末考试试题

2008~2009学年第二学期

试题

一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）

1.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则[ ] (A)(0,0)

3dz

dx dy =-；

(B) 曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；

(C)曲线(,)

0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；

(D) 曲线(,)

0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1)

2. 设1

0 (1,2,)n u n n

≤<

=，则下列级数中必收敛的是[ ]

(A)1

n n u ∞

=∑； (B)

1

(1)n

n

n u

∞

=-∑； (C)

1

n ∞

= (D)

21

(1)n

n

n u

∞

=-∑.

3. 如果81

lim

1=+∞→n

n n a a ，则幂级数∑∞

=03n n n x a [ ]

(A) (B)

(C) (D) .

4. 设Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域，则222x y z dv Ω

++⎰⎰⎰= [ ] .

(A) 545a π； (B) 44a π； (C) 543a π； (D) 52

5

a π.

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）

1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为 .

2. 函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的全微分为 .

3. 已知曲线L 为连接(1,0)和(0,1)两点的直线段，则曲线积分

()L

x y ds +⎰= .

4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 .

5. 设∑为平面1234

x y z

++=在第一卦限中的部分，则曲面积分

()234x y z dS ∑

++⎰⎰= . 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为

0, 20

()3, 022

x f x x -≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，()f x 的Fourier 级数的和函数为()s x ，则

(4)s = .

三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1. 求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且与平面0x y z ++=垂直的平面方程.

2. 设z = f (e x

sin y , x 2

+ y 2

), 其中f 具有二阶连续偏导数，求2z

x y

∂∂∂.

3. 设(,,)F x y z 具有连续偏导数，且对任意实数t 有(,,)F tx ty tz (,,)k t F x y z =(k 为自然数)，试证:曲面(,,)0F x y z =上任意一点的切平面相交于一定点(设在任意点处2220x y z F F F ++≠).

4. 计算二重积分D

xydxdy ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y x =，2y x =所围成的闭区

域.

5. 将函数()arctan f x x =展开成关于x 的幂级数，并求展开式成立的区间. 四、 (8分) 设曲线积分[]

⎰-+B

A x dy x f ydx x f e )()(与路径无关，且2

1

)0(=

f ，求)(x f ，并求当A ，B 分别为（0，0），（1，1）时的曲线积分值.

五、(8分) 计算积分222(I x dydz y dzdx z dxdy ∑

=++⎰⎰，其中∑是抛物面22z x y =+被

平面4z =截下的有限部分的下侧.

六、(8分) 3．(10分)平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x - 2y - 2z )的中心, 且垂直于

直线L : 0

0x y z =⎧⎨+=⎩, 求平面与球面的交线在xOy 平面上的投影, 并求投影与(1, -4,

1)点的最短和最长距离.

七、(6分) )判断级数11

1ln n n n n ∞

=+⎛⎫- ⎪⎝

⎭∑的敛散性.

解答

一、1. 【解】应选择C

.),(),,(0000y x f y x f y x 存在只是全微分存在的必要条件，故A 是错误的。 曲

面

))

0,0(,0,0(),(f y x f z 在点=的法向量为)

1,1,3()1),0,0(),0,0((--±=-±y x f f 故

B

是

错

误

的

。

))

0,0(,0,0(0),(0),(f x

x y y x f z y y x f z 在点即曲线⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=====切向量为

)3,0,1(),

1(0

0===x x dx

dz dx

dy

，故C 是正确的，D 是错误的。

2. 【解】应选择D..

.

)1(,,,1,112

121222绝对收敛故收敛由比较法收敛而∑∑∑∞

=∞=∞=-

u u n n u .

3. 【解】应选择B

时即由比值法，2181,81lim lim 33313331<<==+∞→++∞→x x x x a a x

a x a n n n n n n n n 收敛∑∞

=0

3n n n

x a

.

4. 【解】应选择B.

5

420

2

22

225

4sin sin )(a dr r d d d drd r r dv z y x a

πϕϕθθϕϕπ

π=

=⋅=++⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

Ω

二、1. 【解】应填

122

146

x y z --+==-； )6,4,2(),,(z y x F F F n z y x ==→

，)12,8,2()2,2,1(-=→

-n