初中数学二次函数做题技巧

二次函数与三角形综合

【例1】.（2012武汉中考）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为

（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C

（1）求点C的坐标；

（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；

（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ 时，求m的值．

【例2】.（2011武汉中考）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.

现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【例3】. （2010武汉中考）如图，拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，C(2，

2

3

)两点，与x轴交于另一点B；

(1) 求此拋物线的解析式；

(2) 若拋物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段MB上

移动，且∠MPQ=45︒，设线段OP=x，MQ=

2

2

y2，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与拋物线交于点E，G，与(2)中

的函数图像交于点F，H。问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由。

P

M

Q

A B

O

y

x

【例4】. （2009武汉中考）如图，抛物线24y ax bx a =+-经过(10)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标．

【例5】. （20XX 年四调）如果抛物线C 1的顶点在抛物线C 2上，同时，抛物线C 2的顶点

在抛物线C 1上，那么，我们称抛物线C 1与C 2关联．

（1）已知抛物线①y=x 2+2x ﹣1，判断下列抛物线②y=﹣x 2+2x+1；③y=x 2+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．

（2）抛物线C 1：y=（x+1）2﹣2，动点P 的坐标为（t ，2），将抛物线绕点P （t ，2）旋转180°得到抛物线C 2，若抛物线C 1与C 2关联，求抛物线C 2的解析式．

（3）A 为抛物线C 1：y=（x+1）2﹣2的顶点，B 为与抛物线C 1关联的抛物线顶点，是否存在以AB 为斜边的等腰直角△ABC ，使其直角顶点C 在y 轴上？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．

y x O

A B

C

【例6】. （20XX 年四调）已知抛物线y ＝ax 2

－2ax ＋b 与x 轴交于点A(3，0)，与y 轴

相交于点B(0，－9/4)

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图(1)，P 为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA 的面积等于△POB 的面积的2倍，求点P 的坐标；

(3)如图(2)，C 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点D 使△DAC 为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的D 点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例7】.

（20XX 年四调）抛物线2(6)3y a x =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴

相交于C ，D 为抛物线的顶点，直线DE x ⊥轴，垂足为E ，23AE DE =. （1）求这个抛物线的解析式；

（2）P 为直线DE 上的一动点，以PC 为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x 轴上.若在x 轴上的直角顶点只有一个时，求点P 的坐标；

（3）M 为抛物线上的一动点，过M 作直线MN DM ⊥，交直线DE 于N ，当M 点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E 三等分线段DN 的情况，若存在，请求出所有符合条件的M 的坐标，若不存在，请说明理由