苏州大学2002数分

苏 州 大 学

2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目：数学分析

1．（12分）计算：

()a

21lim n n →∞+++ ，

()b 2

cos lim cos 2x n x x →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭

． 2．（10分）设000(,,)x y z 是方程组22

1

z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩的解，证明

：

22200099x y z -≤++≤+

3．（10分）设222,,,(,,)(,,)x vw y uw z uv f x y z F u v w ====，证明：

x y z u v w

xf yf zf uF vF wF ''''''++=++。 4．（12分）设1,1,2,,n n n y px qx n +=+= 其中p q <。证明：数列{}n y 收敛时，数列{}n x 也收敛。

5．（14分）设函数f 义在()+∞,a 上有定义，并且在每一个有限区间(),a b 内有界，

()a 证明：如果()()()

lim 1x f x f x →+∞+-=+∞，证明：()lim x f x x

→+∞=+∞。 ()b 举出反例说明当()()()

lim 1x f x f x →+∞+-=∞时，未必

成立()lim x f x x

→+∞=∞ 6．（12分）设()f x 是以T 为周期的周期函数，且0

1()T f x dx C T =⎰，证明2()lim n n f x n dx C x

+∞→∞=⎰。 7．（15分）设函数()f x 在整个实数轴有连续的三阶导函数，证明：

存在实数a ，使()()()()0f a f a f a f a ''''''⋅⋅⋅≥。

8．（15分）设半径为r 的球面S 的球心在半径为常数a 的定球面上，试证明：当43r a =时，S 位于定球面内部部分的面积最大。