2015年高考数学大题小练4 立体几何及数列

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2015年高考重庆理科数学试题与答案(word解析版)

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（ 1）【 2015 年重庆，理 1】已知集合 A 1,2,3 ， B 2,3 ，则（）（A ）A B（B ）A B（ C ） A üB（D ） B ü A【答案】 D【解析】 A={1,2,2} ， B={2,3}B A 且 B A B A ，故选 D ．（ 2）【 2015 年重庆，理 2】在等差数列 a n 中，若 a 24 ， a 4 2 ，则 a 6（）（A ） 1 （B ） 0（C ）1（D ） 6【答案】 B【解析】利用 a 2 +a 6 2a 4 可求得 a 6 0 ，故选 B ．（ 3）【 2015 年重庆，理 3】重庆市 2013 年各月的平均气温（C ）数据的茎叶图如右，则这组数据的中位数是（）（ A ）19 （B ）20 （C ） 21.5 （D ）23【答案】 B【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32 ．中位数是20+2020 ，故选 B ．（ 4）【 2015 年重庆，理 4】“ x 1 ”是“ log 1x22”的（）2（ A ）充要条件（ B ）充分不必要条件（ C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】 log 1 (x2) 0 x1，故选 B ．2（ 5）【 2015 年重庆，理 5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ）1（B ）2（C ）12（D ） 22【答案】 A 3 33 3【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：1 12 11( 12 ) 21 ，故选 A ．3223（ 6）【 2015 年重庆，理 6】若非零向量2 2b3a 2b ，则 a 与 b 的夹角为（）a, b 满足 | a |3| b |，且 a（ A ）4 （ B ）（C ）3（ D ）【答案】 A24【解析】 (ab)(3a 2b )(a b) (3a2b) 0 ，结合 | a |2 2| b |，可得 a b2| b | ，3 3cosa,ba b 2 , a, b [0, ] a,b 4，故选 A ．| a || b | 2（ 7）【 2015 年重庆，理 7】执行如图所示的程序框图，若输入 k 的值为 8，则判断框图可填入的条件是（）（ A ） s 3 5 （ C ） s 11 （ D ） s 154 （ B ） s 1224【答案】 C 6【解析】s 0,k0是k2， s1是，k4，s 1 + 1是，k 6，s 1 + 1 + 1 是22 42 4 61k 8， s 1 + 1 + 1 + 1否，判断框内应该填 s 1 + 1 + 1 =11，故选 C ．2 4 6 8 2 4 6 12（ 8）【 2015 年重庆，理 8】已知直线 l ：x ay 1 0 a R 是圆C ：2y 24 x 2 y 1 0 的对称轴，过点 A 4, ax作圆 C 的一条切线，切点为 B ，则|AB| （）（A ）2（B ）4 2（C ）6（D ） 2 10【答案】 C【解析】 C : x-22y-1 24 ，其圆心坐标为 C （2,1），半径 r2 ．由题意可知直线 l : x ay 10( a R) 是圆的直径所在直线，它过圆心，所以 2 a1 1 0 a1 A( 4,1)AC2 10 ．由几何图形可C （2,1）知， ABAC 2 r 240 46 ，故选 C ．cos(3 ) （ 9）【 2015 年重庆，理 9】若 tan2tan ，则10 ＝（）5sin()5（A ）1（B ） 2（C ）3（D ）4【答案】 C2sin【解析】tan 2 tansin5cos，5cos35cos() cos[() ] sin( ) sin cos cossin cos1052555sin(5 )sin( ) sin( ) sin coscossin cos5 355 5cos()10将式带入上式可得：3 ，故选 C ．sin()522（ 10）【 2015 年重庆，理 10】设双曲线xy1 a 0,b 0 的右焦点为 F ，右顶点为 A ，过 F 作 AF 的垂线a 2b 2 与双曲线交于 B,C 两点，过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线交于点 D ．若 D 到直线 BC 的距离小于 aa 2b 2 ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）（ A ） 1,00,1 （ B ）, 11,（ C ）2,00, 2（ D ）,22,【答案】 Ab 2AFca, BFb 2．在 Rt ABD中，由射影定理有：【解析】由题意可得： A(a,0), F (c,0), B(c, )a ba2BF 2AF DFDF BF 2 ( a )(ca)2 (c a)．即点 D 到直线 BC 的距离为 (c a) 2 ( ca)，由题AF ca2a 2a)2(ca意得：(c a)22a c 0b1．而双曲线的渐近线斜率a 2< aa babkk( 1,0)(0,1) ，故选 A ．a二、填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡的相应位置．（ 11）【 2015 年重庆，理 11】设复数 a bi a, b R 的模为3 ，则 abi abi．【答案】 3【解析】复数a bi(a,b R) 的模为3a 2b 23a 2b 2 3 ． (abi)( a bi)a 2b 23 ．215（ 12）【 2015 年重庆，理 12】 x 32 的展开式中 x 8的系数是（用数字作答）．x【答案】527 rr35 r1r r 1157r3 1 5 8【解析】Tr 1) ( )2158 r 2 ．故 (xC 5 ( x2 C 52r x22 ) 的展开式中 x 的系数为xx2 15C 52．2 2（ 13）【 2015 年重庆，理 13】在 ABC 中，，AB2 P ABCAD3，则 ACB 120 的角平分线．，【答案】 6【解析】由正弦定理可得：ADABsin ADB2ADB 45BAD 15BAC 30 ，sin BsinADB2C 30 ，再由正弦定理可得： AC AB AC 6 ．sin B sin C考生注意：（ 14）、（ 15）、（ 16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（ 14）【 2015 年重庆，理 14】如图，圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E ，过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P ，若 PA 6，AE9， PC3， CE: ED2:1 ，则 BE．【答案】 2【解析】由切割线定理可得： PA 2 PC PDPD 12 CD 9CE 6, ED 3 ．再由相交弦定理可得： AE BE CE DE BE 2 ．（ 15）【 2015 年重庆，理15】已知直线 l 的参数方程为x 1 ty1 （ t 为参数），以坐标原点为极t点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos24(350,) ．则直线44l 与曲线 C 的交点的极坐标为．【答案】 2,【解析】直线 l 的直角坐标方程为yx 2 ．2cos2 42(cos 2sin 2 ) 4 x 2 y 2 4. 由yx 2x222．由35． x 2y 24y 0 x y2 ysin0及 44 =故直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为（2, ．）（ 16）【 2015 年重庆，理 16】若函数 f ( x)x 1x a 的最小值为 5，则实数 a__．【答案】 4 或 -6【解析】分情况讨论：（ 1）当 a1时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知： f x 在 a 处取得最小值 5，所以 | a 1| 5a6 ；（ 2）当 a 1 时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：f x 在 a 处取得最小值 5， | a1| 5 a 4 ，综上，可得实数 a6 或 4．三、解答题：本大题共 6 题，共 75 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（ 17）【 2015 年重庆，理 17】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 8 分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1 个的概率；（Ⅱ）设 X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到一个”，则P AC 21C 31C 51 1 ．C 1034（Ⅱ） X 所有可能取值为 0,1,2，且PXC 83 71 C 21C 827P X2C 22C 8113， P X3， 3．C 1015 C 1015C 1015故分布列见表：X123P7 7 1151515且 E X7 1 7 2 1 3（个）．1515 155（ 18【） 2015 年重庆，理 18（】本小题满分 13分，（ Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 6 分）设 f xsinx sin x3 cos 2 x ．2（Ⅰ）求 f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论 fx 在, 2 上的单调性．36解：（Ⅰ）由题 f xcos x sin x3cos 2x1sin 2x3 1 cos2 x sin2x33，故 fx 的最小正周期222T，最大值为22 3 ．（ Ⅱ ）由 x 2知 0 2x，从而当 0 2 x即 x 5 时， f x 单调递增；当,332126362 2 x3即5x 2 时， f x单调递减．因此， f x在6, 5单调递增，在 5 , 2单1231212 3 调递减．（ 19）【 2015 年重庆，理 19】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 9 分）如图，三棱锥 PABC 中，PC 平面 ABC ，PC3， ACB2 ，D, E 分别为线段 AB, BC 上的点，且 CDDE2 ，CE 2EB2 ．（Ⅰ）证明： DE 平面 PCD ；（Ⅱ）求二面角 A PD C 的余弦值．解：（Ⅰ）因 PC 平面 ABC ，DE 平面 ABC ，故 PC DE ．又 CD DE 2 ，CE 2 ，故 CDE为等腰直角三角形，且 CD DE ．因 PC CD C ， PC 平面 PCD ， CD 平面 PCD ，所以 DE 平面 PCD ．（Ⅱ）如图，取 CE 的中点 F ，连 DF ．由（Ⅰ）知CDE 为等腰直角三角形，故DFCE ， DF CFFE 1 ．又 ACB，故 DF / /AC ，因此 DFFB2，从而 AC3 ．2ACCB 32zP以 C 为原点， CA, CB, CP 的方向分别为 x, y, z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Cxyz ．则 C 0,0,0 ， A3,0,0 ，E 0,2,0 ， D 1,1,0 ， P 0,0,3 ，故 DA1, 1,0，22DP1, 1,3 ， DE1,1,0 ．设 n 1x 1 , y 1 , z 1 为平面 APD 的法向量，则n 1 DA 0n 1 DPCF EyBADxx 1 2y 1，取 y 11 得 n 12,1,1 ．由（Ⅰ）知 DE平面 PCD ，故 DE 即为平面 PCD 的法即y 1 3z 1 x 1 0向量．因cos n 1, DEn 1 DE 3 ，故所求二面角 A PD C 的余弦值为3 ．| n 1 | |DE|66（ 20）【 2015 年重庆，理 20】（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 7 分，（Ⅱ）小问 5 分）设函数 f x3x 2 ax a R ．e x（Ⅰ）若 f x 在 x 0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线y f x 在点 1, f 1处的切线方程；（Ⅱ）若 fx 在 3,上为减函数，求 a 的取值范围．解：（Ⅰ）由题 f x6x a e x3x 2ax e x3x 26 a x a ，因 f x 在 x0 处取得极值，故 f0 ，e2xex得 a 0 ．因此 fx3x 2 e x， fx6x 3x 2 e x．从而 f13， f13，所以曲线yf x 在ee4点 1, f 1 处的切线方程为 y3 3 x1 即 3x ey0 ．ee（Ⅱ）由题知f x0 对 x3 恒成立，故26 a x a 0 即 a3 3 x1 对 x3 恒成立．显然3xx 1g xx 33 x1在 3,单调递减，故 g max xg 39，所以 a 9 ，即 a 的取值范围为1 229．,2（ 21）【 2015 年重庆，理 21】（本题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分）如图，椭圆2 2x y 1 ab 0 的左右焦点分别为F 1, F 2 ，过 F 2 的直线交椭圆于 P, Q 两点，且22abPQ PF 1 ．（Ⅰ）若 | PF 1 | 2 2 ，|PF 2| 2 2 ，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若 | PF 1 | | PQ |，求椭圆的离心率e ．解：（Ⅰ）由题 2a |PF 1 | |PF 2|4 ，故 a2 ．又 4c 2 | PF 1 |2 | PF 2 |2 12 ，故 c23 ，因此 b2a2c 21 ，从2而椭圆方程为x2 1 ．4y（Ⅱ）连 F 1Q ，由题 4a |F 1P| |PQ|| QF 1 |2 2 |F 1 P ，|故 |F 1P| 2 2 2 a ，从而 | F 2P | 2a |F 1P|2 2 1 a ，因此 4c2| PF 1 |2| PF 2 |24 96 2 a 2，所以 e 2 9 6 2632，得 e6 3 ．（ 22）【 2015 年重庆，理 22】（本题满分 12 分，（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 8 分）在数列a n 中， a 13 ，a n 1a n a n 120 n N ．a n（Ⅰ）若 0 ， 2 ，求数列 a n 的通项公式；（Ⅱ）若1 k 0 N , k 02 ，1 ，证明： 21 a k 0 1 21．k 03k 0 2k 011解：（Ⅰ）由0 ，2 得 a n 1an2a n 2 ．因 a 1 3 0 ，故 a n0 ，得 a n 1 2a n ．因此 a n 是首项为3 公比为2 的等比数列，从而a n3 2n 1 ．（Ⅱ）由题 a n 1 a n1 a n 2，因 a 1 3 0 ，故 3 a 1 a 2a n0．k 0因 a n 1a n 2 a n 1 11，即 a n 1a n111 ，1k 0k 0k 0 a n 1 k 0k 0 a n 1a nk 0故 a k1a 1k 0a i 1a i3k 01 1 1 3 k111 21 ，i 1i 1k 0 k 0 a i 1 i 1k 0 3k 0 13k 01因此 a 1a 2a k 0a k 0 12 ，从而 a k 013 k 0111 21．k 0 2k 011i 12k 0 综上可知 21 a k 121．3k 0 12k 015。

2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标i)附详细解析

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）B2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．．．．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）．8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）﹣，，，）（2k+9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）255211．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）[[[[二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD ，DF 丄平面 ABCD ，BE=2DF ，AE 丄EC ．（Ⅰ）证明：平面AEC 丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i =1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）满足=iB．2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．．．．=﹣（﹣＜＜6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（），则，××（，÷7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）．利用向量的三角形法则首先表示为=本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）﹣，，，）（2k+）的部分图象，可得函数的周期为（﹣可得+=，）≤≤2k+）的单调递减区间为（）9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）﹣﹣≤﹣≤﹣=﹣=2552，的通项为=的系数为11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）×+22r+12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）[[[[＜﹣时，，＞﹣时，﹣，，解得二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=1．x+14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．解：一个圆经过椭圆，解得，，）．）15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．，则，解得，即=3的最大值为16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．x x xx+m=+AD=x+mx+m=，x+m x=+x的取值范围是（﹣+﹣，）三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．，利用裂项法即可求数列==（﹣（﹣+﹣）（﹣．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．AG=GC=，且BE=，故，，EF=，），=，）=，﹣，，＞=﹣．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．w=，建立y=c+dw=的线性回归方程，由于===563的线性回归方程为的回归方程为=100.6+68，的预报值=100.6+68=576.6的预报值的预报值=0.2100.6+68）﹣+20.12=20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由），利用导数的运算法则，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．．）联立M Ny=点处的切线斜率为=a=处的切线方程为：，化为==．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．，，即可得出零点的个数；，解得．时，﹣=a+＜﹣=a+=，∴当）在内单调递减，在x==，即，则，即，=a+a时，或时，或选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．，BE=选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．3的面积（3=2=．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．，或求得＜，a|=，，[2a+1]参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；qiss；maths；changq；caoqz；cst；lincy；吕静；双曲线；whgcn；孙佑中（排名不分先后）菁优网2015年7月20日。

2015届高考数学文二轮专题复习高考小题综合练(四)

高考小题综合练(四)(推荐时间：40分钟)1．(2014·福建)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i答案 C解析因为z ＝(3－2i)i ＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C.2．“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析因为m ＝1时，两直线分别是直线x －y ＝0和直线x ＋y ＝0，两直线的斜率分别是1和－1.所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直，则1×1＋(－1)m ＝0，所以m ＝1，所以必要性成立．故选C. 3．(2014·湖南)若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．e2x －e 1x>ln x 2－ln x 1B ．e 1x－e2x <ln x 2－ln x 1C ．x 2e 1x>x 1e 2x D ．x 2e 1x<x 1e 2x答案 C解析设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确．设g (x )＝e xx (0<x <1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数．又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴x 2e x 1>x 1e x 2.4．(2014·新课标Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案 B解析如图所示，当x ∈(0，π2)时，则P (cos x ，sin x )，M (cos x,0)，作MM ′⊥OP ，M ′为垂足，则|MM ′||OM |＝sin x ，∴f (x )cos x＝sin x ，∴f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，则当x ＝π4时，f (x )max ＝12；当x ∈(π2，π)时，有f (x )|cos x |＝s in(π－x )，f (x )＝－sin x cos x ＝－12sin 2x ，当x ＝3π4时，f (x )max ＝12.只有B 选项的图象符合．5．(2014·四川)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728D.10答案 B解析设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵OA →·OB →＝2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2， ∴m ＝2，即点M (2,0)．又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2， S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1，∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3，当且仅当y 1＝43时，等号成立．6．若不等式(a －a 2)·(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32答案 C解析 ∵x ∈(0,2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max＝12. 故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.故选C.7．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝12x －1＋12C ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e－xD ．f (x )＝cos x答案 C解析第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项，知函数f (x )＝e x －e －xe x ＋e－x 为奇函数，且存在零点．8．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心) 答案 C解析由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知O 为△ABC 的外心．∵P A →·PB →＝PB →·PC →，∴(P A →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0，同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0，∴点P 是△ABC 的垂心，由NA →＋NB →＋NC →＝0知NA →＋NB →＝－NC →，结合向量加法的平行四边形法则知N 为△ABC 的重心．故选C.9．函数y ＝xsin 2x，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫0，π2的图象可能是下列图象中的( )答案 C解析由函数y ＝xsin 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎫0，π2是偶函数，排除A ；又由函数y ＝sin 2x ，y ＝2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的图象可知恒有2x >sin 2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以y ＝x sin 2x >12，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，排除B 和D ，故选C.10．函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f (x 1＋x 22)≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的；②f (x 2)在[1，3]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1,3]；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有f (x 1＋x 2＋x 3＋x 44)≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④答案 D解析 ①中，反例：取函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2，x ∈[1，2]∪(2，3]，2，x ＝2，则函数f (x )满足题设条件具有性质P ，但函数f (x )的图象不是连续的．②中，反例：f (x )＝－x 在[1,3]上具有性质P ，f (x 2)＝－x 2在[1，3]上不具有性质P . ③中，在[1,3]上，f (2)＝f (x ＋(4－x )2)≤12[f (x )＋f (4－x )]⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋f (4－x )≥2，f (x )≤f (x )max ＝f (2)＝1，f (4－x )≤f (x )max ＝f (2)＝1⇒f (x )＝1，所以，对于任意x 1，x 2∈[1,3]，f (x )＝1. ④中，f (x 1＋x 2＋x 3＋x 44)＝f ((x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)4)≤12[f (x 1＋x 22)＋f (x 3＋x 42)] ⇒12[12(f (x 1)＋f (x 2))＋12(f (x 3)＋f (x 4))]≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．由以上推断可知①②错误，③④正确．11．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．答案255解析过点P 作PH 垂直上底面A 1B 1C 1D 1，过点E 作线段EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1，E 1在线段B 1C 1上，点P 到线段CC 1的距离PP 1＝HC 1.当点P 在线段ED 1上运动时，其最小值为点C 1到线段D 1E 1的距离，所以最小值就是△C 1D 1E 1的高为255.12．已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，若A ＝B ，则x ＝________，y ＝________. 答案－1 －1解析由A ＝B 知需分多种情况进行讨论，由lg(xy )有意义，则xy >0.又0∈B ＝A ，则必有lg(xy )＝0，即xy ＝1. 此时，A ＝B ，即{0,1，x }＝{0，|x |，y }． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|x |，xy ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，xy ＝1，|x |＝1，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝－1.当x ＝y ＝1时，A ＝B ＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当x ＝y ＝－1时，A ＝B ＝{0，－1,1}满足题意，故x ＝y ＝－1.13．若正实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋y ＋x ＋y z 的最小值是________．答案 3解析 ∵x ＋y ＋z ＝1，且x ，y ，z 都是正实数，∴1x ＋y ＋x ＋y z ＝x ＋y ＋z x ＋y ＋x ＋y z ＝1＋zx ＋y ＋x ＋y z ≥3.14．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________．答案 8π解析由已知条件得：12×2×1×sin 60°×AA 1＝3，∴AA 1＝2，∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos 60°，∴BC ＝3，设△ABC 的外接圆的半径为R ，则BC sin 60°＝2R ，∴R ＝1，∴外接球的半径为1＋1＝2， ∴球的表面积等于4π(2)2＝8π.15．若函数f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)的图象与直线x ＝1交于点P ，且在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋log 2 013x 3＋…＋log 2 013x 2 012的值为________．答案－1解析将x ＝1代入函数式得f (1)＝1n ＋1＝1，即P (1,1)，对函数求导得f ′(x )＝(n ＋1)x n ，则f ′(1)＝(n ＋1)×1n ＝n ＋1，则在点P (1,1)处的切线为y －1＝(n ＋1)(x －1)，y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0得x n ＝n n ＋1，又log 2 013x 1＋log 2 013x 2＋log 2 013x 3＋…＋log 2 013x 2 012＝log 2 013(x 1·x 2·x 3·…·x 2 012)＝log 2 013(12·23·34·…·2 0122 013)＝log 2 013(12 013)＝－1.。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全( 数列)

【解析】
试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题
的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将 a1, a2 , a3, a4 转化成 a1 和 d，解方程得到 a1 和 d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到 b2 和 b3 的值，再利用等比数列的通项公式，将 b2 和 b3 转化为 b1 和 q，解出 b1 和 q 的值，得到 b6 的值，再代
a1
n
n
1
2
1
n(n 1) 2
所以
1 an
2( 1 n
n
1
), 1
Sn
2(1
n
1
) 1
2n n 1
,
S10
20 11
考点：数列通项，裂项求和
9、(2015 全国新课标Ⅰ卷文)数列an 中 a1 2, an1 2an , Sn 为an 的前 n 项和，若 Sn 126 ，则
n
.
第 5页（共 28页）
【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.
二、填空题：
1.（2015
安徽文）已知数列 {an } 中，
a1
1，
an
an1
1 2
（n
2
），则数列 {an } 的前
9
项和等
于
.
2.（2015 安徽理）已知数列{an}是递增的等比数列， a1 a4 9, a2a3 8 ，则数列{an} 的前 n 项和
4．（2015 广东理）在等差数列an 中，若 a3 a4 a5 a6 a7 25 ，则 a2 a8 =

2015届高考数学复习资料汇编：第4单元数列(真题解析+最新模拟)

数列1.【2010•浙江理数】设为等比数列的前项和，，则（A）11 （B）5 （C）（D）【答案】D【解析】解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题2.【2010•全国卷2理数】如果等差数列中，，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C【解析】3.【2010•辽宁文数】设为等比数列的前项和，已知，，则公比（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】B【解析】两式相减得，，.4. 【2010•辽宁理数】设{a n }是有正数组成的等比数列，为其前n 项和。

已知a 2a 4=1,,则（A ） (B) (C) (D)【答案】B 【解析】由a 2a 4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，故选B 。

5.【2010•全国卷2文数】如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=（A ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C【解析】∵ ，∴6. 【2010•江西理数】等比数列中，，=4，函数，则（） A ．B.C.D.【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。

考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。

7.【2010•江西理数】（）A. B. C. 2 D. 不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。

8.【2010•安徽文数】设数列的前n项和，则的值为（）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64【答案】A【解析】.9. 【2010•重庆文数】在等差数列中，，则的值为（）（A）5 （B）6（C）8 （D）10【答案】A【解析】由角标性质得，所以=510. 【2010•浙江文数】设为等比数列的前n项和，则(A)-11 (B)-8(C)5 (D)11【答案】A【解析】通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式11. 【2010•重庆理数】在等比数列中，，则公比q的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】12.【2010•北京理数】在等比数列中，，公比.若，则m=（）（A）9 （B）10 （C）11 （D）12【答案】C13.【2010•四川理数】已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0 （B）（C） 1 （D）2【答案】B【解析】由,且作差得a n＋2＝2a n＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 a2＝2a1故{a n}是公比为2的等比数列S＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1n则14. 【2010•天津理数】已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为（）（A）或5 （B）或5 （C）（D）【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。

2015年陕西高考数学(理科)试题与答案

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .）1. 1.设集合M { x | x2x} ，N{ x | lg x0}，则 M N（）A ．[0,1]B．(0,1]C．[0,1) D ．(,1]【答案】 A试题分析：x x 2x0,1，x lg x 0x 0x 1 ，所以0,1，故选．A考点： 1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．【分析及点评】本题主要考察了集合的表示及其相关运算，并结合一元二次方程以及对数运算，属于基础题型，难度不大。

2.某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．167B．137C．123D．93【答案】 B考点：扇形图．【分析及点评】本题主要考察了统计以及统计图表的相关知识，难度系数很小，属于基础题型。

3. 如图，某港口一天6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin( x) k ，据此函数6可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A ．5B．6C．8D．10【答案】 C试题分析：由图象知：y min 2 ，因为y min3k ，所以3 k2 ，解得：k5 ，所以这段时间水深的最大值是y max 3 k358 ，故选C．考点：三角函数的图象与性质．【分析及点评】本题重在转化，将实际问题转化成三角函数问题，对三角函数的图像、性质有较高要求，但作为基础题型，难度不大。

4. 二项式(x 1)n(n N ) 的展开式中x2的系数为15，则n（）A ．4B ．5C．6 D ．7【答案】 C考点：二项式定理．【分析及点评】本题主要考察了学生对二项式定理的理解，以及二项式系数的计算，难度不大，属于基础题型。

5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3B ．4C．24D．34【答案】 D试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为 2 ，所以该几何体的表面积是121 1 2 2 2 34，故选 D．2考点： 1、三视图；2、空间几何体的表面积．【分析及点评】三视图以及体积、面积求值几乎每年必考，今年也不例外，题目设置与往年没有改变，难度不大，变化也不大。

2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析

2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D 是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（） A ． [0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ． [1，2] 考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可．解答：解：由P 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0，解得：x ≤0或x ≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2）， ∵Q=（1，2]，∴（∁R P ）∩Q=（1，2），故选：C ．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A ． 8cm 3B ． 12cm 3C ．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2答：的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ，由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B ．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分根据全称命题的否定是特称命题即可得到析：结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f（n 0）＞n 0，故选：D ．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（）A ．B ．C ．D ．考点：直线与圆锥曲线的关系．专圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=﹣1，过A ，B 分别作AE ⊥DE 于E ，交y 轴于N ，BD ⊥DE 于E ，交y 轴于M ，由抛物线的定义知BF=BD ，AF=AE ，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1， |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A ，B ，若“A ≠B ”，则A ∪B ≠A ∩B ，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），故“d （A ，B ）＞0”成立，若d （A ，B ）＞0”，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），则A ∪B ≠A ∩B ，故A ≠B 成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立，故选：A 点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A ．取x=0，则sin2x=0，∴f （0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f （0）=1；∴f （0）=0，和1，不符合函数的定义； ∴不存在函数f （x ），对任意x ∈R 都有f （sin2x ）=sinx ；B ．取x=0，则f （0）=0；取x=π，则f （0）=π2+π；∴f （0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；C ．取x=1，则f （2）=2，取x=﹣1，则f （2）=0；这样f （2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；D ．令|x+1|=t ，t ≥0，则f （t 2﹣1）=t ；令t 2﹣1=x ，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f （x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确．故选：D ．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC ，AC ≠BC 两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC 时，∠A ′DB=α； ②当AC ≠BC 时，如图，点A ′投影在AE上，α=∠A ′OE ，连结AA ′，易得∠ADA ′＜∠AOA ′，∴∠A ′DB ＞∠A ′OE ，即∠A ′DB ＞α 综上所述，∠A ′DB ≥α，故选：B ．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2 ，渐近线方程是 y=±x ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=， ∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x ．故答案为：2；y=±x ．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= 0 ，f （x ）的最小值是．考函数的值．点：专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f （﹣3）=1，然后代入可求f （f （﹣3））；由于x ≥1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=lg （x 2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f （x ）=，∴f （﹣3）=lg10=1，则f （f （﹣3））=f （1）=0，当x ≥1时，f （x ）=，即最小值，当x ＜1时，x 2+1≥1，（x ）=lg （x 2+1）≥0最小值0，故f （x ）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [k π+，k π+]（k ∈Z ）．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ）点本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的评：周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log 43，则2a +2﹣a = ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a 代入2a +2﹣a ，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log 43，可知4a =3，即2a =，所以2a +2﹣a =+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME 说明异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME ，则ME ∥AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC ， ∵AN=2，∴ME==EN ，MC=2，又∵EN ⊥NC ，∴EC==，∴cos ∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ．考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0，即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x ，y ∈R ，，则x 0=1 ，y 0=2 ，|= 2 ．考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t ），可得|﹣（|2=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos ＜•＞=cos ＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m ，n ，t ），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t ）， ∵﹣（）=（﹣x ﹣y ，，t ）， ∴|﹣（|2=（﹣x ﹣y ）2+（）2+t 2 =x 2+xy+y 2﹣4x ﹣5y+t 2+7=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1，此时t 2=1，故|==2故答案为：1；2；2 点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，b 2﹣a 2=c 2．（1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c ，即可得出b ．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2，又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π）， ∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1，又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=x 2+ax+b （a ，b ∈R ），记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M （a ，b ）≥2；（2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2时，求|a|+|b|的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M （a ，b ）≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f （1）=1+a+b ，f （﹣1）=1﹣a+b ，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f （x ）在[﹣1，1]上单调，所以M （a ，b ）=max{|f （1），|f （﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M （a ，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b ）﹣（1﹣a+b ）|≥|2a|≥|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x ∈[﹣1，1]．有﹣2≤x 2+ax+b ≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，易知|a|+|b|=max{|a ﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M （a ，b ）是|f（x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A ，B 关于直线y=mx+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．可得△＞0，设线段AB 的中点P （x 0，y 0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P ，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，可得S △OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由题意，△=4m 2n 2﹣4（m 2+2）（n 2﹣2）=8（m 2﹣n 2+2）＞0，设线段AB 的中点P （x 0，y 0），则．x 0=﹣m ×+n=，由于点P 在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m 4+4m 2﹣4＞0，解得m 2，∴或m ．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n 2（m 2﹣n 2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n 2=m 2﹣n 2+2，即2n 2=m 2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *）（1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *），又∵a 2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a 1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。

2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练：大题综合突破练：数列

规范练(二) 数列1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p ，其中p 是不为零的常数．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋a n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．(1)证明因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)，则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p 3.所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列．(2)解当p ＝3时，由(1)知，则a n ＝(43)n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1，当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－(43)n －11－43＝3(43)n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3(43)n －1－1(n ∈N *)．2．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·(a n ＋2)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a 1＝2和a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，得 (2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，解得d ＝2或d ＝－1. 当d ＝－1时，a 3＝0与a 2，a 3，a 4＋1成等比数列矛盾，舍去．所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·(a n ＋2)＝2n ·(2n ＋2)＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1. S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，b n ＝log 24a n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，则a n a n －1＝2，数列{a n }为以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1；b n ＝log 24a n ＝log 24×2n －1＝log 22n ＋1＝n ＋1；(2)由(1)可知a n b n ＝(n ＋1)2n －1，T n ＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋(n ＋1)×2n －1，2T n ＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n ＋1)×2n ，上面两式相减：－T n ＝2＋21＋22＋23＋…＋2n －1－(n ＋1)×2n ＝－n ×2n ，∴T n ＝n ·2n .4．已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n 2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 015项和．解 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n 2＝3n ，因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根．所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，解得：b 2＝4，b 4＝16，所以：b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4，公比均是8，T2015＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2015)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c 2014)＝2×(1－81 008)1－8＋4×(1－81 007)1－8＝20×81 007－67.。

2015年浙江省高考数学试卷(理科)

2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（）A．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）已知{an }是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞04．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nD．∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A． B．C． D．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f （x2+2x）=|x+1|8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= ，f（x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a= ．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y∈R），则x=，y= ，|= ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）P）∩Q=（）1．（5分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RA．[0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．[1，2]【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），P=（0，2），∴∁R∵Q=（1，2]，P）∩Q=（1，2），∴（∁R故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）已知{an }是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{an }的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．∃n0∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nD．∃n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）A． B．C． D．【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1，过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M，由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1，|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card （A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B 成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B ∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，故选：A．【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f （x2+2x）=|x+1|【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣y2=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x ．【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．【解答】解：双曲线=1中，a=，b=1，c=，∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2；y=±x．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））= 0 ，f（x）的最小值是．【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x ≥1时，f（x）=，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=lg10=1，则f（f（﹣3））=f（1）=0，当x≥1时，f（x）=，即最小值，当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0，故f（x）的最小值是．故答案为：0；．【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得最小正周期，解不等式2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1=（1﹣cos2x）+sin2x+1=sin（2x﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）故答案为：π；[kπ+，kπ+]（k∈Z）【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．12．（4分）若a=log3，则2a+2﹣a= ．4【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案．3，可知4a=3，【解答】解：∵a=log4即2a=，所以2a+2﹣a=+=．故答案为：．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 3 ．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，=1（x0，y∈R），则x= 1 ，y= 2 ，|= 2．【分析】由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t），可得|﹣（|2=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得．【解答】解：∵•=||||cos＜•＞=cos＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m，n，t），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t），∵﹣（）=（﹣x﹣y，，t），∴|﹣（）|2=（﹣x﹣y）2+（）2+t2 =x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+）2+（y﹣2）2+t2，由题意当x=x0=1，y=y=2时，（x+）2+（y﹣2）2+t2取最小值1，此时t2=1，故==2故答案为：1；2；2【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．或由A=，b2﹣a2=c2．可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，∴sin2B﹣=sin2C，∴﹣cos2B=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴﹣sin=sin2C，∴sin2C=sin2C，∴tanC=2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．则BC=AC=2，A1O==，易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A1D⊥OA1，又∵•=0，∴A1D⊥BC，又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC；（2）解：设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，，1），∴cos＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调，所以M（a，b）=max{|f（1），|f（﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）|≥|2a|=|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x∈[﹣1，1]．有﹣2≤x2+ax+b≤2，得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤≤2，易知（|a|+|b|）max=max{|a﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y），则．x=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）已知数列{an }满足a1=且an+1=an﹣an2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为Sn，证明（n∈N*）．【分析】（1）通过题意易得0＜an ≤（n∈N*），利用an﹣an+1=可得＞1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=an ﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1，对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围，从而得出结论．【解答】证明：（1）由题意可知：an+1﹣an=﹣an2≤0，即an+1≤an，故an≤，1≤．由an =（1﹣an﹣1）an﹣1得an=（1﹣an﹣1）（1﹣an﹣2）…（1﹣a1）a1＞0．所以0＜an≤（n∈N*），又∵a2=a1﹣=，∴==2，又∵an ﹣an+1=，∴an＞an+1，∴＞1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*），综上所述，1＜≤2（n∈N*）；（2）由已知，=an ﹣an+1，=an﹣1﹣an，…，=a1﹣a2，累加，得Sn =++…+=a1﹣an+1，①由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得，和1≤≤2，得1≤≤2，累加得1+1+...1≤+﹣+...+﹣≤2+2+ (2)所以n≤﹣≤2n，≤（n∈N*）②，因此≤an+1由①②得≤（n∈N*）．【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。

2015年高考数学数列真题汇编

2015年高考试卷数列题摘录1.(全国卷Ⅰ理科第17题，12分)n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +. （Ⅰ）求{n a }的通项公式：（Ⅱ）设b n =1an a n+1,求数列{b n }的前n 项和2.(全国卷Ⅰ文科第7题，5分)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和。

则S 8=4S 4，a 10=（A ）172（B ）192（C ）10 （D ）123.(全国卷Ⅰ文科第13题，5分)在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和,若S n =126，则n= .4.(全国卷Ⅱ理科第4题，5分)已知等比数列{}n a 满足a 1 = 3，a 1 + a 3 + a 5 = 21，则a 3 + a 5 + a 7 =A ．21B ．42C ．63D ．845.(全国卷Ⅱ理科第16题，5分)设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且a 1 = -1，a n +1 = S n S n +1，则S n = __________.6.(全国卷Ⅱ文科第5题，5分)设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。

若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 =A ．5B ．7C ．9D ．117.(全国卷Ⅱ文科第9题，5分)已知等比数列{}n a 满足114a =，a 3a 5 = 44(1)a -，则a 2 = A ．2B ．1C ．12D ．188.(江苏卷第11题，5分)数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 前10项的和为 . 9.(江苏卷第20题，16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a依次构成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由。

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高三文科数学大题小练4：立体几何及数列
1. 如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E、F分别为AD和BC上的点，且EF∥AB，
AD＝2AE＝2AB＝4FC＝4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的形状，使AD＝AE
.

(1)求证：BC∥平面DAE；
(2)求四棱锥D－AEFB的体积．
解析 (1)证明 ∵BF∥AE，CF∥DE，BF∩CF＝F，AE∩DE＝E，
∴平面CBF∥平面DAE.
又BC⊂平面CBF，∴BC∥平面DAE.
(2)取AE的中点H，连接DH.∵EF⊥DE，EF⊥EA，∴EF⊥平面DAE.
又DH⊂平面DAE，∴EF⊥DH.
∵AE＝DE＝AD＝2，∴DH⊥AE，DH＝3.
∴DH⊥平面AEFB.

则四棱锥D－AEFB的体积V＝13×3×2×2＝433.

2. 如图5，已知BCD中，90,1BCDBCCD，
6AB
，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．

（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）设平面BEF平面BCDl，求证//CDl；
（3）求四棱锥B-CDFE的体积V．
图5

解：（1）证明：AB⊥平面BCD，CD平面BCD ABCD
又BCCD， ABBCB， CD平面ABC，
又E、F分别是AC、AD的中点，∴//.EFCD
∴EF⊥平面ABC
又EF平面BEF，平面BEF⊥平面ABC
（2） CD // EF，CD平面BEF，EF平面BEF
∴//CD平面BEF， -------------6分
又CD平面BCD，且平面BEF平面BCDl
∴//CDl．
（3）解法1：由（1）知EF//CD, ∴AEFACD
1
,4AEFACDSS ∴14BAEFBACDVV

331
444
BACDABCDBCDVVVSAB

116

116.428

[解法2]：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB，
∵AB⊥平面BCD，∴FG ⊥平面BCD，
由（1）知EF⊥平面ABC，
∴FEBCFBCDVVV1133EBCBCDSEFSFG
1611166
113423228
.

3. 已知nS为数列na的前n项和，3(1)nnSnann（*nN），且212a．
（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）求证：1211113nSSS．
（4）求和：122666nnaaa
解：（1）由2122232(21)Saaa和212.a可得16a，
（2）解法1：当2n时，由1nnnaSS
得13(1)(1)3(1)(2)nnnanannnann，

1(1)(1)6(1)nnnanan


16(2,)nnaannN


∴数列{}na是首项16a，公差为6的等差数列，∴16(1)6naann
（3）证明：由（2）知1()3(1)2nnnaaSnn
11111
()3(1)31nSnnnn




12111111111[(1)()()]32231n
SSSnn

111
(1)313n


（4）16666nnnnann，设122666nnnaaaT ，则
012112306666nnnT

①

1231112310666666nnnnnT


②

由①－②，得

215111166666nnnnnT



4. 已知数列}{na满足11a，13nnnaaa，求na.

（1）求证：数列11{}2na是等比数列；（2）求数列{}na的通项公式；
（3）若数{}na的前n项和为nS，求证：113nnS
【解析】（1）∵13nnnaaa，∴11131nnaa，

∴111113()22nnaa，即11123112nnaa
∴数列11{}2na是等比数列，它的首项111322a，公比为3q
（2）由（1）知，数列11{}2na是等比数列
其中，它的首项111322a，公比为3q
∴111333222nnna，1131313222nnna∴231nna．
（3）由（2）得，22313nnna

123nn
Saaaa
2321(1)2222133113333313nnn





从而，有113nnS