四川省成都树德中学2016届高三上学期零诊考试 数学文 Word版缺答案
2016-2017年四川省成都市树德中学高二(上)期末数学试卷(文科)及答案
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5B．C．D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．7．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2=1上的点，则|MN|的最小值是（）A．﹣1B．﹣1C．2D．﹣1 11．（5分）已知椭圆C1：+=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（）A．2B．C．D．512．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24B．26C．30D．32二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，则常数a=．15．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=．16．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p ∧q为假命题，求m的取值范围．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l过点且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．21．（12分）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD的中点．设直线AB、CD 的斜率分别为k1、k2．（1）若AB⊥CD，且k1=1，求△FMN的面积；（2）若，求证：直线MN过定点，并求此定点．22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F （﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5B．C．D．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选：D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【分析】写出原命题的否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；判断原命题的真假，进而可判断其逆否命题的真假；写出原命题的逆命题，可判断D．【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故D正确；故选：D．5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】由上程序框图，当运行程序后，写出每次循环x，y，z的值，当z＜20不成立，输出所求结果即可．【解答】解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选：A．7．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据几何概型的概率公式，设AC=x，则BC=10﹣x，由矩形的面积S=x （10﹣x）≥9可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．【解答】解：设AC=x，则BC=10﹣x，矩形的面积S=x（10﹣x）≥9，∴x2﹣10x+9≤0解得1≤x≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm2的概率为P==．故选：A．8．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=．利用|MN|=2，可得k的取值范围，由于k=tanθ，解出即可．【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．9．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D．10．（5分）点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2=1上的点，则|MN|的最小值是（）A．﹣1B．﹣1C．2D．﹣1【分析】设圆心为C，则|MN|=|CM|﹣|CN|=|CM|﹣1，将|MN|的最小问题，转化为|CM|的最小问题即可．【解答】解：设圆心为C，则|MN|=|CM|﹣|CN|=|CM|﹣1，C点坐标（3，0），由于M在y2=x上，设M的坐标为（y2，y），∴|CM|==≥，∵圆半径为1，所以|MN|最小值为﹣1．故选：A．11．（5分）已知椭圆C1：+=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（）A．2B．C．D．5==|PM|．因此要使四边形【分析】由切线的性质可得S四边形PMFNPMFN面积取得最大值，|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c．【解答】解：如图所示，由椭圆C1：+=1可得a=4，c==1，∴F（﹣1，0）．由切线PM、PN，可得PM⊥MF，PN⊥FN．S四边形PMFN==|PM|．因此要使四边形PMFN面积取得最大值，则|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c=4+1=5．∴|PM|=2，∴四边形PMFN面积最大值为=2××|PM|×|MF|=2．故选：A．12．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24B．26C．30D．32【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）【分析】由茎叶图知甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，由此能求出结果．【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，则常数a=0．【分析】求出两个圆的圆心坐标与半径，利用圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，求出圆心距等于半径差，即可得出结论．【解答】解：∵圆O1：x2+y2=1的圆心（0，0），半径为1；圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，圆心坐标（﹣4，a），半径为：5，∵圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，∴两个圆的圆心距d==4，∴a=0．故答案为0．15．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=2．【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|并且，，在△F1PF2中根据勾股定理可得到：，该式可变成：=2．【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：得|PF1|+|PF2|=2a1+a2，∴|PF1|﹣||PF2|=2a2∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，在△PF1F2中由勾股定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2∴化简得：该式可变成：=2．故答案为：216．（5分）已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．【分析】根据指数函数的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，∴0＜a＜1，∴A={a|0＜a＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p ∧q为假命题，求m的取值范围．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式，取并集即可．【解答】解：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出分数在[70，80）内的频率．（2）利用频率分布直方图能求出中位数．（3）[60，70）分数段的人数为9人，[70，80）分数段的人数为18人．需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．由此利用列举法能求出从中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3…（3分）（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．…（6分）（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个…（8分）其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．…（10分）∴P（A）=．…（12分）19．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，即可得椭圆C的焦点坐标，结合椭圆的几何性质可得4﹣n=1，解可得n的值，代入椭圆的方程，即可得答案；（2）联立抛物线与椭圆的方程，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解可得x的值，即可得A、B的坐标，进而可得双曲线的渐近线方程，由此设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0），结合抛物线的几何性质可得λ的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线C：y2=4x，其焦点坐标为（1，0），椭圆的焦点为（1，0），则有c=1，对于椭圆，可知4﹣n=1，∴n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为，由渐近线，可设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0）．由点P（1，m）在抛物线C：y2=4x上，解得m2=4，P（1，±2），因为点P在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l过点且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程；（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，可求直线l的方程；（3）求出轨迹C1，直利用线与曲线C1只有一个交点，求k的值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0…（3分）（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x﹣y﹣1=0…（6分）（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥AP，，∴化简得…（9分）由于点P在圆内，去除点（1，0），所以C1：（x≠1）…（10分）因为直线与曲线C1只有一个交点，所以圆心到直线的距离d==或k=0，所以…（12分）21．（12分）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD的中点．设直线AB、CD 的斜率分别为k1、k2．（1）若AB⊥CD，且k1=1，求△FMN的面积；（2）若，求证：直线MN过定点，并求此定点．【分析】（1）设AB的方程为，联立，求出M，N的坐标，即可求△FMN的面积；（2）求出直线MN的方程，即可证明直线MN过定点，并求此定点．【解答】解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为联立，得x2﹣2x﹣1=0，，同理∴S=|FM|•|FN|==1△FMN△FMN的面积为1．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为联立，得x2﹣2k1x﹣1=0，，同理…（7分）k MN=∴MN的方程为，即，…（10分）又因为，所以k1+k2=k1k2，∴MN的方程为即∴直线MN恒过定点．…（12分）22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F （﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．【分析】（1）由题意列关于P的坐标的函数关系式，整理可得动点P的轨迹C 的方程；（2）设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线系方程和椭圆方程，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A、B中点的坐标，得到直线PQ的方程，求出|PQ|．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，可得2d=．结合题意化简可得2d=．代入得2d=．代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C的方程是；（2）∵AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．y1+y2=，y1y2=．x1+x2=m（y1+y2）﹣2=，于是AB的中点为M（），故直线PQ的斜率为﹣，PQ的方程为y=﹣x，即mx+2y=0，联立，整理得：x2=，|PQ|=．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，∴2d=．∵点A，B在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|，从而2d=．∵|y1﹣y2|==，∴2d=．故四边形APBQ的面积S=|PQ|•2d==2≥2．即m=0时，S min=2．。
四川省成都市2016届高三上学期开学摸底测试(2013级高中毕业班)数学(理)试题 PDF版含答案
高三数学(理科)摸底测试参考答案第1㊀页(共4页)成都市2013级高中毕业班摸底测试数学试题参考答案(理科)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一㊁选择题:(每小题5分,共60分)1.A ;2.D ;3.C ;4.D ;5.A ;6.B ;7.C ;8.C ;9.A ;10.B ;11.D ;12.D.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二㊁填空题:(每小题5分,共20分)13.12;㊀14.30;㊀15.439;㊀16.(28,55).三㊁解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)ȵәA B C 为等腰三角形,O 是底边B C 的中点,ʑA O ʅB C ,ʑA O ʅO B ᶄ,A O ʅO C . 4分又ȵO B ᶄɘO C =O ,ʑA O ʅ平面B ᶄO C . 6分(Ⅱ)由三视图知,直线O B ᶄ,O A ,O C 两两垂直,且O C =O B ᶄ=1,O A =3,建立如图所示空间直角坐标系O -x y z .则A (3,0,0),C (0,1,0),B ᶄ(0,0,1).ʑA C ң=(-3,1,0),A B ᶄң=(-3,0,1).设平面A B ᶄC 的法向量为m =(x ,y ,z ).则m ㊃A C ң=0m ㊃A B ᶄң=0{,即-3x +y =0-3x +z =0{.可取m =(1,3,3). 9分又n =(1,0,0)为平面B ᶄO C 的法向量,ʑc o s m ,n ⓪=m ㊃n |m ||n |=11ˑ19=1919.ʑ二面角A -B ᶄC -O 的余弦值为1919. 12分18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)f (x )=s i n x +3c o s x =2s i n (x +π3). 2分由-π2+2k πɤx +π3ɤπ2+2k π,得-5π6+2k πɤx ɤπ6+2k π,k ɪZ .ʑf (x )的单调递增区间为[-5π6+2k π,π6+2k π],k ɪZ . 6分(Ⅱ)g (x )=[f (x )]2-2=4s i n 2(x +π3)-2=-2[1-2s i n 2(x +π3)].=-2c o s (2x +2π3). 8分高三数学(理科)摸底测试参考答案第2㊀页(共4页)ȵx ɪ[0,π4],ʑ2x +2π3ɪ[2π3,7π6].ʑc o s (2x +2π3)ɪ[-1,-12].ʑ1ɤg (x )ɤ2. 11分ʑ函数g (x )的值域是[1,2]. 12分19.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)第3组的人数为0.3ˑ100=30,第4组的人数为0.2ˑ100=20,第5组的人数为0.1ˑ100=10.ʑ第3,4,5组共有60名志愿者.ʑ用分层抽样的方法在这3组志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060ˑ6=3;第4组:2060ˑ6=2;第5组:1060ˑ6=1.ʑ应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. 6分(Ⅱ)记第3组的3名志愿者分别为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者分别为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有:(A 1,A 2),㊀(A 1,A 3),㊀(A 1,B 1),㊀(A 1,B 2),㊀(A 1,C 1),(A 2,A 3),㊀(A 2,B 1),㊀(A 2,B 2),㊀(A 2,C 1),(A 3,B 1),㊀(A 3,B 2),㊀(A 3,C 1),(B 1,B 2),㊀(B 1,C 1),㊀(B 2,C 1),共有15种不同的结果.9分其中第3组的3名志愿者A 1,A 2,A 3都没有被抽中的可能情况有:(B 1,B 2),㊀(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有3种不同的结果.ʑ第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为1-315=45. 12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意,知动点P (x ,y )到定点E (-1,0),F (1,0)的距离之和等于4(大于|E F |),ʑ动点P 的轨迹是以(-1,0),(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆.ʑa =2,c =1,b 2=3.ʑ曲线G 的标准方程为x 24+y 23=1. 4分(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k (x -1)(k ʂ0).代入x 24+y 23=1,得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0.显然ә>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).则x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3. 6分(i )由题意,知C (x 1,-y 1).ʑ直线B C 的方程为y =y 2+y 1x 2-x 1(x -x 1)-y 1.令y =0,则x N =y 1(x 2-x 1)y 2+y 1+x 1=y 1x 2+y 2x 1y 2+y 1=2x 1x 2-(x 1+x 2)x 1+x 2-2=2㊃4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4.高三数学(理科)摸底测试参考答案第3㊀页(共4页)ʑ直线B C 恒过定点N ,且定点N 的坐标为(4,0). 9分(i i )由(i ),可知N (4,0),F (1,0).ʑәA B N 的面积可表示为S =12|F N ||y 2-y 1|=32|k (x 2-x 1)|.ʑS =32k 2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=32k 2[(8k 24k 2+3)2-4㊃4k 2-124k 2+3].=18k 2㊃k 2+1(4k 2+3)2设4k 2+3=t ,则t >3.ʑS =92t 2-2t -3t 2=92-3(1t +13)2+43.令u =1t ,则0<u <13.ȵ函数y =-3(u +13)2+43在(0,13)内单调递减,ʑy ɪ(0,1).故әA B N 的面积S 的取值范围是(0,92). 12分21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)ȵf (x )=a x 2+1n x ,ʑf ᶄ(x )=1x +2a x .令φ(x )=1x +2a x ,则φᶄ(x )=-1x 2+2a.由题意,知φᶄ(12)=0,ʑ-4+2a =0,ʑa =2.经检验,a =2符合题意.ʑ实数a 的值为2. 3分(Ⅱ)方程f (x )-g (x )+m =0恰有两个不相等的实数根,即m =g (x )-f (x )在x ɪ[12,2]内恰有两个不相等的实数根.4分令u (x )=g (x )-f (x ),则u (x )=3x -x 2-1n x ,x ɪ[12,2].ʑu ᶄ(x )=3-2x -1x =-(2x -1)(x -1)x .由u ᶄ(x )>0,得12<x <1;由u ᶄ(x )<0,得1<x <2.ʑ函数u (x)在[12,1]内单调递增,在[1,2]内单调递减.ʑu (x )在x =1处有极大值u(1)=2.又u (12)=54+1n 2,u (2)=2-1n 2,5分易知实数m 的取值范围是[54+1n 2,2).7分(Ⅲ)h (x )=f (x )-32x 2-(b +1)x =1n x +12x 2-(b +1)x .ʑh ᶄ(x )=1x +x -(b +1)=x 2-(b +1)x +1x .高三数学(理科)摸底测试参考答案第4㊀页(共4页)由题意,知x 1,x 2是方程x 2-(b +1)x +1=0的两个实数根,且x 2>x 1>0.ʑә>0.x 1+x 2=b +1,x 1x 2=1.ȵk A B =h (x 1)-h (x 2)x 1-x 2,x 1-x 2<0,ʑk A B ɤr x 1-x 2恒成立等价于h (x 1)-h (x 2)ȡr 恒成立,即r ɤ[h (x 1)-h (x 2)]m i n .10分由h (x 1)-h (x 2)=1n x 1-1n x 2+12x 21-12x 22-(b +1)(x 1-x 2)=1n x 1x 2-12(x 21-x 22)=1n x 1x 2-12x 1x 2(x 21-x 22)=1n x 1x 2-12(x 1x 2-x 2x 1).设x 1x 2=t (0<t <1),则h (x 1)-h (x 2)=1n t -12(t -1t ).又ȵ(b +1)2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2,b ȡ32,ʑt +1t +2ȡ(32+1)2=254.ʑt ɤ14,或t ȡ4.ʑ0<t ɤ14.设ν(t )=1n t -12(t -1t),0<t ɤ14.则νᶄ(t )=1t -12(1+1t 2)=-(t -1)22t 2.ȵ0<t ɤ14,ʑνᶄ(t )<0.㊀㊀ʑν(t)在(0,14]内单调递减.ʑν(t )m i n =ν(14)=158-21n 2,即r ɤ158-21n 2.ʑ实数r 的最大值为158-21n 2. 12分22.(本小题满分10分)解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为x 2=2a y ,直线l 的普通方程为x -y +2=0.4分(Ⅱ)将直线l 的参数表达式代入抛物线方程,得12t 2-(42+2a )t +4a +16=0.ʑt1+t 2=82+22a ,t 1t 2=8a +32. 6分ʑ|P M |=|t 1|,|MN |=|t 1-t 2|,|PN|=|t 2|.8分ȵ|P M |,|MN |,|P N |成等比数列,则|MN |2=|P M ||P N |.即|t 1-t 2|2=|t 1t 2|.则(t 1+t 2)2=5t 1t 2.将t 1+t 2=82+22a ,t 1t 2=8a +32代入,化简,得(a +4)(a -1)=0.ȵa >0,ʑa 1. 10分。
四川省成都市树德中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)精彩试题Word版含问题详解
树德中学高2015级第三期期末考试数学试题（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1、设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=±2x ，则其离心率为（ ）A ．5B ．C ．D ．3、设某高中的学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为$y =0.85x -85.71，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该高中某学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该高中某学生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 4、下列说确的是 （ ）A.命题“若21x >,则1x >”的否命题为“若21x >，则1≤x ”B.命题“若200,1x R x ∃∈>”的否定是“2,1x R x∀∈<”C.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆否命题为假命题D.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆命题为假命题 5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( ) A.85B.1311C.138D.21136、已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y=-的取值围是 （ ） A.3[,6]2-B.3[,1]2-- C.[1,6]- D.3[6,]2-7、在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC ，CB 的长，则该矩形面积不．小于．．9 cm 2的概率为（ ） A ．910 B ．45 C ．23 D ．128、直线y=kx+3与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4相交于M 、N 两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值围是（ ）A ．566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．20,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U ， C ．50,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U ， D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9、已知集合240(,)00x y x y x y x y ⎧+-≤⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎭⎩表示的平面区域为Ω，若在区域Ω任取一点P （x ，y ），则点P 的坐标满足不等式222x y +≤的概率为（ ） A ．316π B ．16π C ．32πD ．332π10、点M 是抛物线y 2= x 上的点，点N 是圆C ：()2231x y -+=上的点，则|MN|的最小值是（ ） A ． B ． C ．2D ．11、已知椭圆的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM 、PN ，其中切点为M 、N ，则四边形PMFN 面积的最大值为（ ） A ．2 B ．C ．D ．512、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于 （ ） A.24 B.26 C.30 D.32二、填空题（每小题5分，共20分）13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，___运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14、已知圆O 1：x 2＋y 2＝1与圆O 2： (x ＋4)2＋(y －a )2＝25切，则常数a ＝______15、已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且122F PF π∠=,椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则221211e e +=_____16、已知y =a x(a >0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；椭圆22=163x y +上存在关于直线y =x +m 对称的不同两点，记m 的所有可能取值构成集合B.若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素1λ，2λ，则1λ>2λ的概率是_____三、解答题17、（10分）设命题p ：点（1，1）在圆22222240x y mx my m +-++-=的部；命题q ：直线mx －y ＋1＋2m ＝0(k ∈R )不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值围．18、（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[70,80)的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60,70)、[70,80)分数段人数比例）的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．19、（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，(1,)P m 是抛物线C 上的一点.（1）若椭圆22:14x y C n'+=与抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C '的方程； （2）设抛物线C 与（1）中所求椭圆C '的交点为A B 、，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程.20、（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x+3=0， （1）求过()3,2M 点的圆的切线方程；（2）直线l 过点3122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且被圆C 截得的弦长最短时，求直线l 的方程；（3）过点()10，的直线m 与圆C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点P 的轨迹为1C ，直线5()2y k x =-与曲线1C 只有一个交点，求k 的值.21、（12分）已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为1.过F 作抛物线的两条弦AB 和CD ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．设直线AB 、CD 的斜率分别为1k 、2k . （1）若AB CD ⊥，且11k =，求△FMN 的面积； （2）若12111k k +=，求证：直线MN 过定点，并求此定点.22、（12分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点(),P x y 与定点F (－1，0)的距离和它到定直线2x =-的距离之比是.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,直线OM 与曲线C 交于,P Q 两点,求四边形APBQ 面积的最小值.树德中学高2015级第三期期末考试数学试题（文科）参考答案一、选择题 ADDDCA BCDAAD二、填空题13、乙 14、0 15、2 16、34三、解答题17、解：命题p 11m ⇔-<<，…………3分 命题q 0m ⇔≥……………6分① p 真q 假时，10m -<<；②p 假q 真时，1m ≥. 故m 的取值围为10m -<<或1m ≥………10分18、解：(1)分数在[70,80)的频率为：1－(0.＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3………3分 (2)中位数17373.33≈…………6分 (3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：0.3×60＝18(人)．∴需在[60,70)分数段抽取2人，分别记为a ，b ； 在[70,80)分数段抽取4人，分别记为c ，d ，e ，f.设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)”为事件A ，所有基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个…………8分其中事件A 包含(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．……10分 ∴P (A )＝815………12分19、解:（1）椭圆22:14x y C n'+=, 可知41,3n n -=∴=,故所求椭圆的方程为22143x y +=……....6分 （2）由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩,消去y 得到2316120x x +-=,解得122,63x x ==-(舍去). 所以2222(6),(,6)3333A B ,则双曲线的渐近线方程为6y x =……………………8分 60x y ±=,可设双曲线方程为226(0)x y λλ-=≠.由点(1,)P m 在抛物线2:4C y x =上,解得24,(1,2)m P =±………………...……10分 因为点P 在双曲线上, 642λ∴-==,故所求双曲线方程为: 22312y x -=……………………………………….…………..12分20、解：（1）3x =或3410x y --=………3分（2）当直线l CN ⊥时，弦长最短，此时直线的方程为10x y --=………6分（3）设点P （x ，y ），∵点P 为线段AB 的中点，曲线C 是圆心为C （2，0），半径r=1的圆，∴CP ⊥AP ，CP AP=0•u u u r u u u r ∴化简得223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭………9分由于点P 在圆，去除点（1，0），所以1C ：223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（1x ≠）………10分30k =………12分21、解：（1）抛物线的方程为x 2=2y ，设AB 的方程为12y x =+联立2122y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得x 2﹣2x ﹣1=0，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴S △FMN ＝12|FM |·|FN |＝1222＝1△FMN 的面积为1. ……....5分（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），设AB 的方程为112y k x =+联立12122y k x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得21210x k x --=，2111,2M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2221,2N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (7)分k MN ＝221212121122k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-∴MN 的方程为()()2112112y k k k x k ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即()121212y k k x k k =+-+，……....10分 又因为12111k k +=所以1212k k k k +=，∴MN 的方程为121212y k k x k k =-+即()12112y k k x =-+∴直线MN 恒过定点112⎛⎫⎪⎝⎭，．……....12分22、解：（1）由已知，得()221222x y x ++=+． 两边平方，化简得x 22＋y 2＝1．故轨迹C 的方程是．…（3分）（2）因AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0，…....5分22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得：x 2=，|PQ |22224=222m x y m ++=+....7分 方法一：设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m2m 2＋4.…....10分 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝2222221422112222224m m m m m m +++••=+++=2≥2即0m =时，min 2S =.…....12分 方法二：P （，），Q （，），P 到直线AB 的距离d 1=，Q 到直线AB 的距离d 2=，∵P ，Q 在直线AB 的两侧，且关于原点对称，∴S APBQ =丨AB 丨（d 1+d 2）=••（ +）=，.…....10分∴S APBQ ==2≥2，即0m =时，min 2S =.…....12分。
2016级四川省成都树德中学高高三数学冲刺卷(三)理科数学试卷
成都树德中学高2016级高三数学冲刺卷（三）理注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，,m n 为实数，复数 i z m n =+为虚数，则（ ） A ．0m =B ．0n ≠C ．00m n =≠且D ．0mn ≠2．若集合(){}20A x x x =-<，且A B A =，则集合B 可能是（ ） A ．{}1-B ．{}0C ．{}1D ．{}23．设等比数列{}n a 的前n 项乘积为n T ，若11a =，532T =，则{}n a 的公比q =（ ） A ．2BC ．22或-D4．已知x ，y 满足的束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则22z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（）A ．4πB ．2πC ．4π3D ．π6． “22(log 2)(log 2)1a b x y ⋅+⋅=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（ ） A ．0a b <<B ．1a b <<C ．2a b <<D ．1b a <<7．函数()1cos1xxef x xe-=⋅+的局部图象的大致形状是（）A B C D8．如图，在正方体1111ABCD A B C D-的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B异面且夹角成60︒的直线的条数为（）A．3B．4C．5D．69．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为()sinsinαα，()cossinαα，()sincosαα，其中,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则输出的x为（）A．()coscosααB．()sinsinααC．()cossinααD．()sincosαα10．今年春节期间，甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是( )A．甲B．乙C．丙D．丁11. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为( )A．52B．2C．D．312．设函数()y f x=图象上不同两点()11,A x y，()22,B x y处的切线的斜率分别是Ak，Bk，规定(),A Bk kA BABϕ-=（AB为线段AB的长度）叫做曲线()y f x=在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数siny x=图象上两点A与B的横坐标分别为1和1-，则(),0A Bϕ=；②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；③设A，B是抛物线2y x=上不同的两点，则(),2A Bϕ≤；④设A，B是曲线e xy=（e是自然对数的底数）上不同的两点()11,A x y，()22,B x y，则(),1A Bϕ>．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3 D．4F()2222:10,0x yC a ba b-=>>l F(),0A a()0,B bl C31+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为47，则抽到的最小学号为________． 14．如图，在ABC △中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为______.15．已知8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++-，则6a ＝_______.16．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是__________.三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 02AA +．（1）求角A 的大小；（2）已知ABC △外接圆半径R =，且AC ，求ABC △的周长．18．（12分）成都有很多有名的小吃，比如陈麻婆豆腐，赖汤圆，钟水饺，小谭豆花等，很多外地游客和本地市民到店品尝．“小谭豆花”西大街店为了解顾客来源，调研品牌宣传效果，在西大街附近随机询问60名路人，调查到店光顾是否和事先知道“小谭豆花”是名小吃有关，得到如下列联表：附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（1）写出列联表中各字母代表的数字；（2）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为到店光顾和是否事先知道“小谭豆花”是名小吃有关系？（3）从被询问的q 名事先知道的路人中随机选取2名顾客，求抽到到店光顾过人数的分布列及其数学期望．19．（12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，2PA AD AB CD ====，4BC =，PA ⊥底面ABCD ．（1）证明：平面PAC ⊥平面PAB ；（2）过PA 的平面交BC 于点E ，若平面PAE 把四棱锥P ABCD -分成体积相等的两部分，求二面角A PE B --的余弦值．20．（12分）已知ABC △的直角顶点A 在y 轴上，点()1,0B ，D 为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴．（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E ．以CE 为直径的圆交y 轴于M 、N ，记此圆的圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值．21．（12分）已知函数()()221ln 2f x ax x x a a x =+-+．（1）若1a =-，证明：()0f x >； （2）若()f x 只有一个极值点，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】若0a >，0b >，且(1a b +=．（1）求3311a b+的最小值；（2）是否存在a ，b ，使得1123a b +说明理由．成都树德中学高2016级高三数学冲刺卷（三）理答案1.B2.C3.D4.D5.B6.C ．7.B8.B9.C 10.A ． 11.【答案】C ．【解析】因为为双曲线的左焦点，所以，又点，关于直线对称，，所以可得直线的方程为， 又，中点在直线上，所以，整理得，所以， 故，解得，因为，所以故选C ． 12．【答案】C【解析】对于①，由sin y x =，得cos y x '=，则cos1A k =，()cos 1cos1B k -==，则0A B k k -=，即(),0A B ϕ=，①正确； 对于②，如1y =时，0y '=，则(),0A B ϕ=，②正确；对于③，抛物线2y x =的导数为2y x '=，2A A y x =，2B B y x =，∴()()22A B A B A B A B y y x x x x x x -=-=+-， 则()||,2A B k k A B ABϕ-==≤，③正确；对于④，由e xy =，得e xy '=，()12,x x A B ϕ=，由不同两点()11,A x y ，()22,B x y ，可得(),1A B ϕ=，∴④错误；综上所述，正确的命题序号是①②③．故选C ．13.5 14．1615．－2816．【答案】3993【解析】第1次染色的数为111=⨯，共染色1个，第2次染色的最后一个数为623=⨯，共染色3个， 第3次染色的最后一个数为1535=⨯，共染色5个，第4次染色的最后一个数为2847=⨯，共染色7个， 第5次染色的最后一个数为4559=⨯，共染色9个，，∴第n 次染色的最后一个数为()21n n ⨯-，共染色21n -个，经过n 次染色后被染色的数共有()213521n n ++++-=个，而201945456=⨯-，∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为4589⨯， 且相邻两个数相差2，∴第2019的数为4589123993⨯-=．F ()2222:10,0x y C a b a b-=>>(),0F c -(),0A a ()0,B b l 00AB b b k a a -==--l ()ay x c b=+A B l 22b a a c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222b a ac =+22220c ac a --=2220e e --=1e =1e >1e =+17.【答案】（1）π3A =；（2）333+． 【解析】（1）223sin sin 302A A +-=，1cos 23sin 302A A -∴⨯+-=，即sin 3cos 0A A -=，tan 3A ∴=，（4分）又0πA <<，π3A ∴=．（6分） （2）2sin a R A =，2sin π23sin 33a R A ∴===，（8分） 3ACb ==，∴由余弦定理可得2222cos a bc bc A =+-，2933c c =+-，∴2360c c --=， ∵0c >，所以得23c =，（11分）∴周长333a b c ++=+．（12分）18.【解析】（1）由列联表能求出32m =，16n =，20p =，24q =，60t =．（3分） （2）由计算可得()22608432162010.82840202436K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为到店品尝和事先知道有关系”． （6分）（3）ξ的可能取值为0，1，2． ()28224C 7069C P ξ===；69322)1(22411618===C C C P ξ；()216224C 301026923C P ξ====，ξ∴的分布列为： ξ0 1 2 P76932691023ξ∴的数学期望：732109201269692369E ξ=⨯+⨯+⨯=．（12分） 19.【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD ，AD BC ∥，2AD AB CD ===，易得60ABC ∠=︒，在ABC △中，2222cos 416812AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-=，则有222AB AC BC +=，故AC AB ⊥，（3分）又PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥，（4分）即AC AB AC AC PA ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面PAB ，故平面PAC ⊥平面PAB ．（5分）（2）在梯形ABCD 中，设BE a =，P ABE P AECD V V --∴=三棱锥四棱锥，ABE AECD S S ∴=△梯形，()1sin 22CE AD h BA BE ABE +⨯∴⨯⨯∠=，而22213h =-=，即()423132222a a -+⨯⨯⨯⨯=，3a ∴=．（7分）以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图的空间坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()2,0,0B ，133,,022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAE 的法向量为()1,,x y z =n ，133,,022AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2AP =，由11AE AP ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩n n，得10220x y z +==⎧⎪⎨⎪⎩，取1x =，得y =，0z =，11,⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭n ， 同理可求得平面PBE的法向量为2⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ，设二面角A PE B --的平面角为θ，则121212,4cos cos 7θ⋅====n n n n n n ，所以二面角A PE B --的余弦值为47．（12分） 20.【解析】（1）设点C 的坐标为(),x y ，则BC 的中点D 的坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，点A 的坐标为0,2y ⎛⎫⎪⎝⎭．1,2y AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2y AC x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由AB AC ⊥，得204y AB AC x ⋅=-=，即24y x =，（4分）经检验，当点C 运动至原点时，A 与C 重合，不合题意舍去．∴轨迹Γ的方程为()240y x x =≠．（5分） （2）依题意，可知直线CE 不与x 轴重合，设直线CE 的方程为1x my =+， 点C 、E 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，圆心P 的坐标为()00,x y ．由241y x x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可得2440y my --=，∴124y y m +=，124y y =-．∴()21212242x x m y y m +=++=+，∴2120212x x x m +==+．∴圆P 的半径()()221211124422222r CE x x m m ==++=+=+．（8分） 过圆心P 作PQ MN ⊥于点Q ，则2MPQ α∠=．在Rt PQM △中，2022211cos122222PQ x m r r m m α+====-++，（10分） 当20m =，即CE 垂直于x 轴时，cos2α取得最小值为12，2α取得最大值为π3，∴α的最大值为2π3．（12分） 21.【解析】（1）当1a =-时，()0f x >等价于21ln 02x x x -+>，即2ln 0x x ->；设函数()2ln g x x x =-，则()221x g x x x'-=-=，（1分） 当()0,2x ∈时，()0g x '<；当()2,x ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞单调递增．故()222ln2g =-为()g x 的最小值，（3分）而22ln20->，故()0g x >，即()0f x >．（4分）（2）()2ln f x a x x a =+-'，设函数()2ln h x a x x a =+-，则()()10a x ah x x x x+=+=>'；（5分）①当0a >时，()0h x '>，()h x 在()0,+∞上单调递增，又()0e a h >，取b 满足01b << 且2b a <，则()0h b <，故()h x 在()0,+∞上有唯一一个零点1x ，且当()10,x x ∈时，()0h x <；()1,x x ∈+∞时，()0h x >，由于()()f x h x '=，所以1x x =是()f x 的唯一极值点；（7分）②当0a =时，()()2102f x x x =>在()0,+∞上单调递增，无极值点；（8分）③当0a <时，若()0,x a ∈-时，()0h x '<；若(),x a ∈-+∞时，()0h x '>．所以()h x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞单调递增．故()()ln 1h a a a a -=---⎡⎤⎣⎦为()h x 的最小值，（i ）若1a =-时，由于()0h a -=，故()h x 只有一个零点，所以x a ≠-时，()0f x '>，因此()f x 在()0,+∞上单调递增，故()f x 不存在极值； （ii ）若()1,0a ∈-时，由于()ln 10a a ---<，即()0h a ->，所以()0f x '>，因此()f x 在()0,+∞上单调递增，故()f x 不存在极值；（iii ）若(),1a ∈-∞-时，()ln 10a a --->，即()0h a -<．又()0e a h >，且0e 1a a <<<-，而由（1）知2ln x x >ln x >，取c >，则()20h c c a >->，故()h x 在()0,a -有唯一一个零点2x ，在(),a -+∞有唯一一个零点3x ；且当()20,x x ∈时，()0h x <，当()23,x x x ∈时，()0h x >，当()3,x x ∈+∞时，()0h x <，由于()()f x h x '=，故()f x 在2x x =处取得极小值，在3x x =处取得极大值， 即()f x 在()0,+∞上有两个极值点．综上，()f x 只有一个极值点时，a 的取值范围是()0,+∞．（12分） 22.【解析】（1）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ．曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=，（2分）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=．（5分） （2）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=，当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，28sin 404πΔα⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+，（7分）根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径．从而()122cos sin π4OA OB ρρααα⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭．当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，πππ,442α⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(．（10分）23.【解析】（1）()1a b +，()a b∴+=，0a >，0b >，()a b ∴+≥a b =时取等号，≥12ab ∴≤．3311a b ∴+≥=≥3311a b∴+≥a b =时取等号．（5分）（2）0a >，0b >，1123a b ∴+≥≥，6233<，∴不存在a ，b ，使得1123a b+．（10分）。
四川省绵阳市2016届高三上学期第一次诊断数学试卷(文科) Word版含解析
四川省绵阳市2016届高三上学期第一次诊断数学试卷(文科) Word版含解析2015-2016学年四川省绵阳市高三（上）第一次诊断数学试卷（文科）一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．集合S={3，4，5}，T={4，7，8}，则S∪T=（）A．{4} B．{3，5，7，8} C．{3，4，5，7，8} D．{3，4，4，5，7，8}2．命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为（）A．∃x0∈N，x02+2x0≤3B．∀x∈N，x2+2x≤3C．∃x0∈N，x02+2x0＜3 D．∀x∈N，x2+2x＜33．已知幂函数过点（2，），则当x=8时的函数值是（）A．2 B．C．2 D．644．若a，b，c∈R，且abc≠0，已知P：a，b，c成等比数列；Q：b=，则P是Q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列四个函数中，最小正周期为π，且关于直线x=﹣对称的函数是（）A．y=sin（）B．y=sin（）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x+）6．在等差数列{a n}中，若a4+a9+a14=36，则2a10﹣a11=（）A．6 B．12 C．24 D．367．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c 2=，sinA=2，则cosC=（）A．B．C．﹣D．﹣8．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．设函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，9]内的零点个数是（）A．15 B．14 C．13 D．1210．直角△ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上，点M （，）．则||最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：每小题5分，共25分．11．函数f（x）=的定义域为．12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．13．已知函数f（x）=其中a＞0，a≠1，若对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，恒有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围．年内每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的贫困大学生每年净增a人．（1）当a=10时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过0.8万元？请说明理由．（2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？19．已知如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=6，点D、E是斜边AB上两点．（1）当点D是线段AB靠近A的一个三等点时，求•的值；（2）当点D、E在线段AB上运动时，且∠DCE=30°，设∠ACD=θ，试用θ表示△DCE的面积S，并求S的最小值．20．已知f（x）=ax3+bx2+cx﹣1的导函数为f′（x），且不等式f′（x）≥0的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（1）若函数f（x）在x=2处的切线斜率是﹣3，求实数a 的值；（2）当x∈[﹣3，0]时，关于x的方程f（x）﹣ma+1=0恰有两个实数根，求实数m的取值范围．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1一）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年四川省绵阳市高三（上）第一次诊断数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．集合S={3，4，5}，T={4，7，8}，则S∪T=（）A．{4} B．{3，5，7，8} C．{3，4，5，7，8} D．{3，4，4，5，7，8}【考点】并集及其运算．【分析】由已知条件利用并集的定义直接求解．【解答】解：∵集合S={3，4，5}，T={4，7，8}，∴S∪T={3，4，5，7，8}．故选：C．2．命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为（）A．∃x0∈N，x02+2x0≤3B．∀x∈N，x2+2x≤3C．∃x0∈N，x02+2x0＜3 D．∀x∈N，x2+2x＜3【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是求出命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为：∀x∈N，x2+2x＜3．故选：D．3．已知幂函数过点（2，），则当x=8时的函数值是（）A．2 B．C．2 D．64【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，用待定系数法求出函数的解析式，再计算对应的函数值．【解答】解：设幂函数y=x α，其图象过点（2，），∴2α=，解得α=，∴函数y==，∴当x=8时，函数y==2．故选：A．4．若a，b，c∈R，且abc≠0，已知P：a，b，c成等比数列；Q：b=，则P是Q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由P：b 2=ac，即b=；Q：b=，即可判断出结论．【解答】解：∵abc≠0，P：a，b，c成等比数列，可得：b 2=ac，于是；Q：b=，可得：Q⇒P，反之不成立．∴P是Q的必要不充分条件．故选：B．5．下列四个函数中，最小正周期为π，且关于直线x=﹣对称的函数是（）A．y=sin（）B．y=sin（）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x+）【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由函数的图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：对于函数y=sin（ωx+φ），由最小正周期为=π，求得ω=2，再根据它的图象直线x=﹣对称，可得2•（﹣）+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，故可取φ=，y=sin（2x+），故选：D．6．在等差数列{a n}中，若a4+a9+a14=36，则2a10﹣a11=（）A．6 B．12 C．24 D．36【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4+a9+a14=36，∴3a1+24d=36，即a1+8d=12．则2a10﹣a11=2（a1+9d）﹣（a1+10d）=a1+8d=12．故选：B．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c 2=，sinA=2，则cosC=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得a=2b，利用已知可求c2=5b2，根据余弦定理可得cosC的值．【解答】解：∵sinA=2，由正弦定理可得：a=2b，∴c 2==b2+2b×b=5b2，∴cosC===．故选：A．8．若实数x，y满足不等式组，则x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，1），代入目标函数z=x+y得z=2+1=3．即目标函数z=x+y的最大值为3．故选：C9．设函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则h （x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣6，9]内的零点个数是（）A．15 B．14 C．13 D．12【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用．【分析】根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），可得函数y=f（x）是以2为周期的周期函数，作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间[﹣6，9]内的图象，即可得到结论．【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x ﹣1），即f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）是以2为周期的周期函数，由h（x）=f（x）﹣g（x）=0得f（x）=g（x），∵当x∈（﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，∴分别作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象在区间[﹣6，9]内的图象，可得共有14个交点故选：B．10．直角△ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上，点M （，）．则||最大值是（）A．B．C．D．【考点】点与圆的位置关系．【分析】由题意，||=|+2|≤||+2||，当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即可求出||的最大值．【解答】解：由题意，||=|+2|≤||+2||，当且仅当M，O，A共线同向时，取等号，即||取得最大值，最大值是++1=+1，故选：C．二、填空题：每小题5分，共25分．11．函数f（x）=的定义域为[10，+∞﹚．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【分析】函数f（x）=的定义域为：{x|}，由此能够求出结果．【解答】解：函数f（x）=的定义域为：{x|}，解得{x|x≥10}．故答案为：[10，+∞）．12．求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用60°=20°+40°，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值．【解答】解：tan60°=tan（20°+40°）==tan20°+tan40°+tan20°tan40故答案为：13．已知函数f（x）=其中a＞0，a≠1，若对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，恒有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，则实数a的取值范围a≥2．【考点】分段函数的应用．【分析】由已知可得函数f（x）=在R上为增函数，则，解得答案．【解答】解：若对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，恒有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，则函数f（x）=在R上为增函数，则，解得：a≥2，故答案为：a≥2．14．已知a，b满足log2a﹣log b=1，则（1+2a）（1+b）的最小值为9．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得a、b为正数且b=，代入化简可得原式=5++2a，由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得a、b为正数且1=log2a﹣log b=log2a+log2b=log2ab，∴ab=2，∴b=，∴（1+2a）（1+b）=（1+2a）（1+）=1++2a+4=5++2a≥5+2=9当且仅当=2a即a=1且b2时取等号．故答案为：9．15．设集合M是实数集R的一个子集，如果点x0∈R满足：对任意ɛ＞0，都存在x∈M，使得0＜|x﹣x0|＜ɛ，称x0为集合M的一个“聚点”．若由集合：①有理数集；②无理数集；③{sin|n∈N*}；④{|n∈N*}其中以0为“聚点”的集合是①②③．（写出所有符合题意的结论序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据聚点的定义分别进行判断即可．【解答】解：①定义[x]为不大于x的最大整数，则对任意ɛ＞0，＜[]+2，则＞，取有理数x=即可得，0＜|﹣0|＜ɛ，故0为有理数集的“聚点”；②对任意的ɛ＞0，都存在x=，使得0＜|x|＜ɛ∴0是无理数集的聚点；③∵sinx＜x，x∈（0，1），∴对任意ɛ＞0，0＜|sinɛ|＜ɛ，∴0为集合{sin||n∈N*}的“聚点”；④∵＜＜…＜，∴0不是集合{|n∈N*}的“聚点”，故答案为：①②③．三、解答题：共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知向量=（cosα，1﹣sinα），=（﹣cosα，sinα）（α∈R）．（1）若⊥，求角α的值；（2）若|﹣|=，求cos2α的值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由，可得=0，解得即可得出；（2）由于﹣（2cosα，1﹣2sinα），可得|﹣|==，化简再利用倍角公式即可得出．【解答】解：（1）∵，∴=﹣cos 2α+（1﹣sinα）sinα=sinα﹣1=0，解得sinα=1．∴α=，（k∈Z）．（2）∵﹣（2cosα，1﹣2sinα），∴|﹣|===，∴sin．∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=．17．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n+1=2a n+1（n∈N*）．（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）由已知得a n+1+1=2（a n+1），a1+1=2，由此能证明数列{a n+1}是以2为公比，以其昏昏为首项的等比数列，并能求出{a n}的通项公式．（2）由，利用错位相减法能求出数列{b n}的前n 项和．【解答】证明：（1）∵数列{a n}的首项a1=1，且a n+1=2a n+1（n∈N*），∴a n+1+1=2（a n+1），a1+1=2，∴数列{a n+1}是以2为公比，以2为首项的等比数列，∴，∴．解：（2）∵，∴数列{b n}的前n项和：S n=，①，②①﹣②，得：=﹣=﹣=1﹣，∴S n=2﹣．18．某民营企业家去年为西部山区80名贫困大学生捐奖学金共50万元，该企业家计划从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的贫困大学生每年净增a人．（1）当a=10时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过0.8万元？请说明理由．（2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设从今年起的第x年后（今年为第0年后）受捐贫困大学生人均获得的奖学金y万元．在计划时间内，列出受捐贫困大学生人均获得的奖学金，令其大于或等于0.8万元，求出最低年限，即可得出结论．（2）设0≤x1＜x2≤9，利用函数的单调性定义，人均年终奖年年有增长，确定a的范围，然后确定资助的大学生每年净增量不能超过的人数．【解答】解：（1）设从今年起的第x年后（今年为第0年后）受捐贫困大学生人均获得的奖学金为y万元．则y=（x∈N+，0≤x≤9）；由题意，有＞0.8（a=10），解得，x＞7．所以，在计划时间内，第9年起受捐贫困大学生人均获得的奖学金超过0.8万元．（2）设0≤x1＜x2≤9，则f（x2）﹣f（x1）=﹣=＞0，所以，10×80﹣50a＞0，得a＜16．所以，为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过16人．19．已知如图，在Rt△ABC中，∠A=60°，AB=6，点D、E是斜边AB上两点．（1）当点D是线段AB靠近A的一个三等点时，求•的值；（2）当点D、E在线段AB上运动时，且∠DCE=30°，设∠ACD=θ，试用θ表示△DCE的面积S，并求S的最小值．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）以C为坐标原点建立平面直角坐标系，求出，的坐标带入公式计算；（2）在△ACD中，由正弦定理得CD的长，在△BCE中，由正弦定理求出CE的长，带入面积公式S=CD•CE•sin30°进行三角化简．【解答】解：（1）以CA为x轴，CB为y轴建立平面直角坐标系如图：∵∠A=60°，AB=6，∠BCA=90°．∴A（3，0），B（0，3），C（0，0），∴=（﹣3，3），==（﹣1，），=（3，0）．∴=+=（2，）．∴•=3×2+0×=6．（2）在△ACD中，∠ADC=180°﹣60°﹣θ=120°﹣θ，AC=3，由正弦定理得=∴CD=AC•=．在△BCE中，∠BCE=90°﹣30°﹣θ=60°﹣θ，∠BEC=180°﹣30°﹣（60°﹣θ）=90°+θ，BC=3．由正弦定理得=，∴CE=BC•=．∴S=CD•CE•sin30°=•=•=•．∵0°≤θ≤60°，∴60°≤2θ+60°≤180°，∴0≤sin（2θ+60°）≤1，∴当sin（2θ+60°）=1时，S取得最小值，最小值为．20．已知f（x）=ax3+bx2+cx﹣1的导函数为f′（x），且不等式f′（x）≥0的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（1）若函数f（x）在x=2处的切线斜率是﹣3，求实数a 的值；（2）当x∈[﹣3，0]时，关于x的方程f（x）﹣ma+1=0恰有两个实数根，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导f′（x）=3ax2+bx+c，从而可得f′（x）=3a （x+2）（x﹣1），且a＜0；再由f′（2）=﹣3解得；（2）结合（1）知b=3a，c=﹣6a，从而可化简方程为x3+x2﹣6x﹣m=0，利用数形结合的方法求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx﹣1，∴f′（x）=3ax2+bx+c，又∵不等式f′（x）≥0的解集为{x|﹣2≤x≤1}，∴f′（x）=3a（x+2）（x﹣1），且a＜0；∴f′（2）=3a（2+2）（2﹣1）=﹣3，解得，a=﹣；（2）由（1）知，b=3a，c=﹣6a，故f（x）﹣ma+1=0可化为ax3+•3ax2﹣6ax﹣1﹣ma+1=0，即x3+x2﹣6x﹣m=0，即x3+x2﹣6x=m，令g（x）=x3+x2﹣6x，则g′（x）=3x2+3x﹣6=3（x+2）（x ﹣1），故g（﹣3）=﹣27++18=，g（﹣2）=﹣8+6+12=10，g（0）=0，作g（x）=x3+x2﹣6x的图象如下，，结合图象可知，实数m的取值范围为[，10）．21．己知函数f（x）=lnx﹣ax+l，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1一）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a=1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k （t）=lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t ＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）=x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）=，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a ＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）=lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）=0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）=lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）=，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）=x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）=lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）=﹣1﹣k+2k=k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴．2016年12月5日。
2016年成都树德中学高三理科第六期入学考试数学试卷
2016年成都树德中学高三理科第六期入学考试数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知复数满足，那么的共轭复数在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合，，若，则由的取值构成的集合为A. B. C. D.3. 设命题：函数是其定义域上的增函数；命题：函数为奇函数，则下列命题中真命题是A. B.C. D.4. 国家统计局公布：年我国经济增速为，创近年来新低．在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急．为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂年来这种产品的总产量与时间（年）的函数关系图初步了解到该工厂年来生产某种产品的情况是前年年产量的增长速度越来越快，后年年产量保持不变，则他们看到的图是A. B.C. D.5. 在单位圆内随机均匀产生一点，使得成立的概率是A. B. C. D.6. 如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A，B，C，D，E，F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已标明，则字母A，B，C对面的字母依次分别为A. D，E，FB. E，D，FC. E，F，DD. F，D，E7. 设，＜，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论有A. 个B. 个C. 个D. 个8. 命题：“，使直线是曲线的切线”是假命题，则实数的取值范围是A. B. C. D.9. 恒过定点的直线与抛物线交于，，若，是从集合中取出的两个不同元素，则使的不同取法有A. 种B. 种C. 种D. 种10. 如图，已知半平面，，是上的两个点，，在半平面内，且，，，，，在半平面上有一个动点，使得，则棱锥体积的最大值是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）11. 二项式的展开式中，二项式系数最大的是第项和第项，则．12. 若，则．13. 双曲线的两条渐近线与圆都没有公共点，则实数的取值范围是．14. 如图，三个边长为的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有个不同的点，，，，记，则的值为．15. 函数，其中．若动直线与函数的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为，，，则的最大值是．三、解答题（共6小题；共78分）16. 数列的各项均为正数，且在如图所示的算法框图中，已知输入时，输出；输入时，输出．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面与棱交于点．（1）求证：；（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．18. 某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是分．上个月该网站共卖出了份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三、四、五组的频率．（2）该网站在得分较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取份产品．①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；②某人决定在这份产品中随机抽取份购买，设第四组中有份产品被购买，求的分布列和数学期望．19. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，已知的部分图象如图所示，该图象与轴相交于点，与轴相交于点，，点为最高点，且的面积为．（1）求函数的解析式；（2）在中，，，分别是角，，的对边，，且，求面积的最大值．20. 如图，长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点是线段上的一点，且．（1）求点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种曲线；（2）设过点且斜率不为的直线交轨迹于，两点，设点在轴上，且恒满足，试求点的坐标．21. 已知函数，．（1）若，，求函数的极值点及相应的极值；（2）若对于任意，存在，满足且成立，求的取值范围．答案第一部分1. D 【解析】因为复数，所以复数的共轭复数．对应复平面上的点位于第四象限．2. C 【解析】因为，，所以，或，或，或．因为，所以中元素是关于的方程的解．所以或．当时，方程无解，所以；当时，方程的解为，所以．3. D 【解析】函数在，上是增函数，在其定义域上并不单调，故命题是假命题；函数的定义域为，，故为奇函数，所以命题为真命题．结合选项可知应选D．4. A 【解析】由题意判断函数图象，注意纵轴表示的是总产量与时间的函数，前年年产量的增长速度越来越快，图象类似指数函数的图象，后年产量保持不变，应是直线型．5. A【解析】不等式组表示的平面区域在内的部分如图中阴影部分．由于直线与直线垂直，故阴影部分的面积是圆的面积的．所以在单位圆内随机均匀产生一点，使得成立的概率阴影部分的面积．单位圆的面积6. B 【解析】长方体共有六个面，从题中所给的第一、二两个图中A，C所在面的位置可得出B，D为相对面，再从第一、三两个图中B，C所在面的位置可得出A，E为相对面，所以C，F为相对面．7. B 【解析】因为，，所以，，①正确；因为，所以在上单调递减，则，②错误；因为，所以在上单调递增，则，③错误；因为，则，④正确．综上所述，正确的结论有个．8. A 【解析】由，得．因为命题“，使直线是曲线的切线”是假命题，所以直线的斜率，即，解得．9. C 【解析】由直线可得直线过定点．由抛物线方程知是抛物线的焦点，设，，由抛物线的定义可知，．因为，所以．由消去，得．因为直线与抛物线有两个交点且直线过点，所以，．所以，所以，所以，所以．因为，是从集合中取得，所以当时，，共种取法；当时，，共种取法；当时，，共种取法．综上可得，共种不同取法．10. D【解析】因为，，，，，，，所以，，．因为，所以，所以，即，所以．在半平面内，以所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，．设，，所以，所以，，所以点到的距离的最大值为，即点到底面的距离的最大值为，棱锥高的最大值为．，又因为四边形所以的最大值为．第二部分11.【解析】由二项式系数的性质知．12.【解析】由，得，所以，所以，即，所以．13.【解析】双曲线的渐近线方程为，因为圆可化为，所以该圆的圆心为，半径．又因为双曲线的渐近线与圆无公共点，所以解得或，故的取值范围为．14.【解析】以所在直线为轴，为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．因为等边三角形的边长为，所以，，，则直线的方程为．设，则，所以．又因为，所以．所以．15.【解析】由，得，所以函数，作出函数的图象如图，．因为动直线与的图象有三个不同的交点，所以，且三个交点的横坐标分别为，，，所以．因为，所以，所以当时，取得最大值．第三部分16. （1）由题中框图知，数列是公差为的等差数列．当时，当时，，即所以由得所以所以，．（2）由（）得，所以．17. （1）因为底面是菱形，所以．又因为面，面，所以 面．又因为四点共面，且平面平面，所以．（2）取中点，连接．因为，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．在菱形中，因为，，是中点，所以．如图，建立空间直角坐标系．设，则，．又因为，点是棱中点，所以点是棱中点．所以，．所以，．设平面的法向量为，则有所以令，则平面的一个法向量为．因为平面，所以是平面的一个法向量．因为，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．18. （1）第三组的频率是；第四组的频率是；第五组的频率是．（2）①由题意可知，在分层抽样的过程中，第三组应抽到份，第三组共有份，所以甲、乙两产品同时被选中的概率．②在份产品中，第四组的产品有份．第四组共有份产品被购买，所以的取值为，，．；；．所以的分布列为：．19. （1）由题意可知．因为，所以，所以，即．又因为，且，所以，所以，所以．（2）因为，，所以，所以．由余弦定理，得，所以．所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为．20. （1）设，，的坐标分别为，，，则由，得，所以所以将代入，得，化简即得点的轨迹的方程为．当时，轨迹是焦点在轴上的椭圆；当时，轨迹是以原点为圆心，半径为的圆；当时，轨迹是焦点在轴上的椭圆．（2）依题意，设直线的方程为．由消去并化简整理，得，．设，，则，设定点，若，则，所以，即直线，的倾斜角互补，所以，即．因为，，所以，化简，得将代入，得，即，因为，所以对都成立，所以．故定点的坐标为．21. （1）当时，，，令得．当时，，为减函数；当时，，为增函数．所以只有一个极小值点，极小值为．（2）设依题意，即求在上存在零点时，的取值范围．当时，，且在定义域内单调递增，所以只需要在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立．①若，显然不成立，因为由（）知在上为增函数，所以．②因为，故在上恒成立，不妨设，，则，，令，得，．若，则，又，所以，所以为增函数，（不合题意），若，当时，，为增函数，（不合题意），若，当时，，为减函数，（符合题意）．综上所述，．。
成都树德中学高2016级高三数学冲刺卷(三)理科
成都树德中学高2016级高三数学冲刺卷（三）理注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，,m n 为实数，复数 i z m n =+为虚数，则（ ） A ．0m =B ．0n ≠C ．00m n =≠且D ．0mn ≠2．若集合(){}20A x x x =-<，且A B A =，则集合B 可能是（ ） A ．{}1-B ．{}0C ．{}1D ．{}23．设等比数列{}n a 的前n 项乘积为n T ，若11a =，532T =，则{}n a 的公比q =（ ） A ．2BC ．22或-D4．已知x ，y 满足的束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则22z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（）A ．4πB ．2πC ．4π3D ．π6． “22(log 2)(log 2)1a b x y ⋅+⋅=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（ ） A ．0a b <<B ．1a b <<C ．2a b <<D ．1b a <<7．函数()1cos 1xxe f x x e -=⋅+的局部图象的大致形状是（ ）A B C D8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 9．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为()sin sin αα，()cos sin αα，()sin cos αα，其中,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则输出的x 为（ ）A ．()cos cos ααB ．()sin sin ααC ．()cos sin ααD ．()sin cos αα10．今年春节期间，甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁11. 已知为双曲线的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为( ) A ．52B ．2C ．D ．312．设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题： ①函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=； ②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； ③设A ，B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设A ，B 是曲线e x y =（e 是自然对数的底数）上不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ， 则(),1A B ϕ>．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．F ()2222:10,0x y C a b a b-=>>l F (),0A a ()0,B b l C 31+13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为47，则抽到的最小学号为________． 14．如图，在ABC △中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为______.15．已知8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++-，则6a ＝_______.16．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是__________.三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 02AA +=．（1）求角A 的大小；（2）已知ABC △外接圆半径R =AC ，求ABC △的周长．18．（12分）成都有很多有名的小吃，比如陈麻婆豆腐，赖汤圆，钟水饺，小谭豆花等，很多外地游客和本地市民到店品尝．“小谭豆花”西大街店为了解顾客来源，调研品牌宣传效果，在西大街附近随机询问60名路人，调查到店光顾是否和事先知道“小谭豆花”是名小吃有关，得到如下列联表：附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（1）写出列联表中各字母代表的数字；（2）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为到店光顾和是否事先知道“小谭豆花”是名小吃有关系？（3）从被询问的q 名事先知道的路人中随机选取2名顾客，求抽到到店光顾过人数的分布列及其数学期望． 19．（12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，2PA AD AB CD ====，4BC =，PA ⊥底面ABCD ．（1）证明：平面PAC ⊥平面PAB ；（2）过PA 的平面交BC 于点E ，若平面PAE 把四棱锥P ABCD -分成体积相等的两部分，求二面角A PE B --的余弦值．20．（12分）已知ABC △的直角顶点A 在y 轴上，点()1,0B ，D 为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴．（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E ．以CE 为直径的圆交y 轴于M 、N ，记此圆的圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值．21．（12分）已知函数()()221ln 2f x ax x x a a x =+-+．（1）若1a =-，证明：()0f x >； （2）若()f x 只有一个极值点，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】若0a >，0b >，且(1a b +．（1）求3311a b +的最小值；（2）是否存在a ，b ，使得1123a b +？并说明理由．成都树德中学高2016级高三数学冲刺卷（三）理答案1.B2.C3.D4.D5.B6.C ．7.B8.B9.C 10.A ． 11.【答案】C ．【解析】因为为双曲线的左焦点，所以，又点，关于直线对称，，所以可得直线的方程为， 又，中点在直线上，所以，整理得，所以， 故，解得，所以故选C ． 12．【答案】C【解析】对于①，由sin y x =，得cos y x '=，则cos1A k =，()cos 1cos1B k -==，则0A B k k -=，即(),0A B ϕ=，①正确； 对于②，如1y =时，0y '=，则(),0A B ϕ=，②正确；对于③，抛物线2y x =的导数为2y x '=，2A A y x =，2B B y x =，∴()()22A B A B A B A B y y x x x x x x -=-=+-， 则()||,2A B k k A B ABϕ-==≤，③正确；对于④，由e xy =，得e xy '=，()12,x x A B ϕ=，由不同两点()11,A x y ，()22,B x y ，可得(),1A B ϕ=，∴④错误；综上所述，正确的命题序号是①②③．故选C ．13.5 14．1615．－2816．【答案】3993【解析】第1次染色的数为111=⨯，共染色1个，第2次染色的最后一个数为623=⨯，共染色3个， 第3次染色的最后一个数为1535=⨯，共染色5个，第4次染色的最后一个数为2847=⨯，共染色7个， 第5次染色的最后一个数为4559=⨯，共染色9个，，∴第n 次染色的最后一个数为()21n n ⨯-，共染色21n -个，经过n 次染色后被染色的数共有()213521n n ++++-=个，而201945456=⨯-，∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为4589⨯， 且相邻两个数相差2，∴第2019的数为4589123993⨯-=． 17.【答案】（1）π3A =；（2）3+ F ()2222:10,0x y C a b a b-=>>(),0F c -(),0A a ()0,B b l 00AB b b k a a -==--l ()ay x c b=+A B l 22b a a c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222b a ac =+22220c ac a --=2220e e --=1e =1e >1e =+【解析】（1）223sin sin 302A A +-=，1cos 23sin 302AA -∴⨯+-=，即sin 3cos 0A A -=，tan 3A ∴=，（4分）又0πA <<，π3A ∴=．（6分） （2）2sin a R A =，2sin π23sin 33a R A ∴===，（8分） 3ACb ==，∴由余弦定理可得2222cos a bc bc A =+-，2933c c =+-，∴2360c c --=， ∵0c >，所以得23c =，（11分）∴周长333a b c ++=+．（12分）18.【解析】（1）由列联表能求出32m =，16n =，20p =，24q =，60t =．（3分） （2）由计算可得()22608432162010.82840202436K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为到店品尝和事先知道有关系”． （6分）（3）ξ的可能取值为0，1，2．()28224C 7069C P ξ===；69322)1(22411618===C C C P ξ；()216224C 301026923C P ξ====，ξ∴的分布列为： ξ 0 1 2 P76932691023ξ∴的数学期望：732109201269692369E ξ=⨯+⨯+⨯=．（12分） 19.【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD ，AD BC ∥，2AD AB CD ===，易得60ABC ∠=︒，在ABC △中，2222cos 416812AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-=，则有222AB AC BC +=，故AC AB ⊥，（3分）又PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥，（4分）即AC AB AC AC PA ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面PAB ，故平面PAC ⊥平面PAB ．（5分）（2）在梯形ABCD 中，设BE a =，P ABE P AECD V V --∴=三棱锥四棱锥，ABE AECD S S ∴=△梯形，()1sin 22CE AD h BA BE ABE +⨯∴⨯⨯∠=，而22213h =-=，即()423132222a a -+⨯⨯⨯⨯=，3a ∴=．（7分）以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴， 建立如图的空间坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()2,0,0B ，133,,022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAE 的法向量为()1,,x y z =n ，133,,022AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2AP =，由11AE AP ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩n n，得10220x y z +==⎧⎪⎨⎪⎩，取1x =，得y =，0z =，11,⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭n ， 同理可求得平面PBE的法向量为2⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ，设二面角A PE B --的平面角为θ，则121212,4cos cos 7θ⋅====n n n n n n ，所以二面角A PE B --的余弦值为47．（12分） 20.【解析】（1）设点C 的坐标为(),x y ，则BC 的中点D 的坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，点A 的坐标为0,2y ⎛⎫⎪⎝⎭．1,2y AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2y AC x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由AB AC ⊥，得204y AB AC x ⋅=-=，即24y x =，（4分）经检验，当点C 运动至原点时，A 与C 重合，不合题意舍去．∴轨迹Γ的方程为()240y x x =≠．（5分） （2）依题意，可知直线CE 不与x 轴重合，设直线CE 的方程为1x my =+， 点C 、E 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，圆心P 的坐标为()00,x y ．由241y x x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可得2440y my --=，∴124y y m +=，124y y =-．∴()21212242x x m y y m +=++=+，∴2120212x x x m +==+．∴圆P 的半径()()221211124422222r CE x x m m ==++=+=+．（8分） 过圆心P 作PQ MN ⊥于点Q ，则2MPQ α∠=．在Rt PQM △中，2022211cos 122222PQx m r r m m α+====-++，（10分） 当20m =，即CE 垂直于x 轴时，cos 2α取得最小值为12，2α取得最大值为π3，∴α的最大值为2π3．（12分）21.【解析】（1）当1a =-时，()0f x >等价于21ln 02x x x -+>，即2ln 0x x ->；设函数()2ln g x x x =-，则()221x g x x x'-=-=，（1分） 当()0,2x ∈时，()0g x '<；当()2,x ∈+∞时，()0g x '>．所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞单调递增．故()222ln2g =-为()g x 的最小值，（3分）而22ln20->，故()0g x >，即()0f x >．（4分）（2）()2ln f x a x x a =+-'，设函数()2ln h x a x x a =+-，则()()10a x ah x x x x+=+=>'；（5分）①当0a >时，()0h x '>，()h x 在()0,+∞上单调递增，又()0e a h >，取b 满足01b << 且2b a <，则()0h b <，故()h x 在()0,+∞上有唯一一个零点1x ，且当()10,x x ∈时，()0h x <；()1,x x ∈+∞时，()0h x >，由于()()f x h x '=，所以1x x =是()f x 的唯一极值点；（7分）②当0a =时，()()2102f x x x =>在()0,+∞上单调递增，无极值点；（8分）③当0a <时，若()0,x a ∈-时，()0h x '<；若(),x a ∈-+∞时，()0h x '>．所以()h x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞单调递增．故()()ln 1h a a a a -=---⎡⎤⎣⎦为()h x 的最小值，（i ）若1a =-时，由于()0h a -=，故()h x 只有一个零点，所以x a ≠-时，()0f x '>，因此()f x 在()0,+∞上单调递增，故()f x 不存在极值； （ii ）若()1,0a ∈-时，由于()ln 10a a ---<，即()0h a ->，所以()0f x '>，因此()f x 在()0,+∞上单调递增，故()f x 不存在极值；（iii ）若(),1a ∈-∞-时，()ln 10a a --->，即()0h a -<．又()0e a h >，且0e 1a a <<<-，而由（1）知2ln x x >ln x >，取c ，则()20h c c a >->，故()h x 在()0,a -有唯一一个零点2x ，在(),a -+∞有唯一一个零点3x ；且当()20,x x ∈时，()0h x <，当()23,x x x ∈时，()0h x >，当()3,x x ∈+∞时，()0h x <，由于()()f x h x '=，故()f x 在2x x =处取得极小值，在3x x =处取得极大值， 即()f x 在()0,+∞上有两个极值点．综上，()f x 只有一个极值点时，a 的取值范围是()0,+∞．（12分）22.【解析】（1）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ．曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=，（2分）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=．（5分） （2）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=，当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，28sin 404πΔα⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+，（7分）根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径．从而()122cos sin π4OA OB ρρααα⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭．当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，πππ,442α⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(．（10分）23.【解析】（1）()1a b +=，()a b∴+，0a >，0b >，()a b ∴+≥a b =时取等号，≥12ab ∴≤．3311a b ∴+≥=≥3311a b∴+≥a b =时取等号．（5分）（2）0a >，0b >，1123a b ∴+≥≥，6233<，∴不存在a ，b ，使得1123a b+10分）。
四川省成都市树德中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．7．在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB 的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．8．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A． B．C．D．10．点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2=1上的点，则|MN|的最小值是（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣111．已知椭圆C1： +=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（）A．2 B． C． D．512．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26 C．30 D．32二、填空题（每小题5分，共20分）13．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，则常数a=．15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=．16．已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题17．设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．18．某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l过点且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．21．已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD的中点．设直线AB、CD的斜率分别为k1、k2．（1）若AB⊥CD，且k1=1，求△FMN的面积；（2）若，求证：直线MN过定点，并求此定点．22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C 交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．2．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线渐近线的方程，确定a，b的关系，进而利用离心率公式求解．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．3．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D 回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．4．下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；判断原命题的真假，进而可判断其逆否命题的真假；写出原命题的逆命题，可判断D．【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故D 正确；故选：D5．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由上程序框图，当运行程序后，写出每次循环x，y，z的值，当z＜20不成立，输出所求结果即可．【解答】解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．6．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A7．在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB 的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式，设AC=x，则BC=10﹣x，由矩形的面积S=x（10﹣x）≥9可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．【解答】解：设AC=x，则BC=10﹣x，矩形的面积S=x（10﹣x）≥9，∴x2﹣10x+9≤0解得1≤x≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm2的概率为P==．故选：A．8．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【分析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=．利用|MN|=2，可得k的取值范围，由于k=tanθ，解出即可．【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．9．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A． B．C．D．【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D10．点M是抛物线y2=x上的点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2=1上的点，则|MN|的最小值是（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】设圆心为C，则|MN|=|CM|﹣|CN|=|CM|﹣1，将|MN|的最小问题，转化为|CM|的最小问题即可．【解答】解：设圆心为C，则|MN|=|CM|﹣|CN|=|CM|﹣1，C点坐标（3，0），由于M在y2=x上，设M的坐标为（y2，y），∴|CM|==≥，∵圆半径为1，所以|MN|最小值为﹣1．故选A．11．已知椭圆C1： +=1的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点P向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM、PN，其中切点为M、N，则四边形PMFN面积的最大值为（）A．2 B． C． D．5【考点】椭圆的简单性质．==|PM|．因此要使四边形【分析】由切线的性质可得S四边形PMFNPMFN面积取得最大值，|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P 点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c．【解答】解：如图所示，由椭圆C1： +=1可得a=4，c==1，∴F（﹣1，0）．由切线PM、PN，可得PM⊥MF，PN⊥FN．S四边形PMFN==|PM|．因此要使四边形PMFN面积取得最大值，则|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c=4+1=5．∴|PM|=2，∴四边形PMFN面积最大值为=2××|PM|×|MF|=2．故选：A．12．某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26 C．30 D．32【考点】椭圆的简单性质；循环结构．【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．故选D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）【考点】茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】由茎叶图知甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，由此能求出结果．【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，则常数a=0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两个圆的圆心坐标与半径，利用圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y ﹣a）2=25内切，求出圆心距等于半径差，即可得出结论．【解答】解：∵圆O1：x2+y2=1的圆心（0，0），半径为1；圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，圆心坐标（﹣4，a），半径为：5，∵圆O1：x2+y2=1与圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25内切，∴两个圆的圆心距d==4，∴a=0．故答案为0．15．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|并且，，在△F1PF2中根据勾股定理可得到：，该式可变成：=2．【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：得|PF1|+|PF2|=2a1+a2，∴|PF1|﹣||PF2|=2a2∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1﹣a2，设|F1F2|=2c，∠F1PF2=，在△PF1F2中由勾股定理得，4c2=（a1+a2）2+（a1﹣a2）2∴化简得：该式可变成：=2．故答案为：216．已知y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，记a的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+1对称，记的所有可能取值构成集合B．若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．【考点】几何概型．【分析】根据指数函数的性质以及直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：∵y=a x（a＞0且a≠1）是定义在R上的单调递减函数，∴0＜a＜1，∴A={a|0＜a＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：三、解答题17．设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m 的不等式，取并集即可．【解答】解：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，能求出分数在[70，80）内的频率．（2）利用频率分布直方图能求出中位数．（3）[60，70）分数段的人数为9人，[70，80）分数段的人数为18人．需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．由此利用列举法能求出从中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3…（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．…（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个…其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．…∴P（A）=．…19．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，即可得椭圆C的焦点坐标，结合椭圆的几何性质可得4﹣n=1，解可得n的值，代入椭圆的方程，即可得答案；（2）联立抛物线与椭圆的方程，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解可得x的值，即可得A、B的坐标，进而可得双曲线的渐近线方程，由此设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0），结合抛物线的几何性质可得λ的值，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线C：y2=4x，其焦点坐标为（1，0），椭圆的焦点为（1，0），则有c=1，对于椭圆，可知4﹣n=1，∴n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为，由渐近线，可设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0）．由点P（1，m）在抛物线C：y2=4x上，解得m2=4，P（1，±2），因为点P在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l过点且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程；（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，可求直线l的方程；（3）求出轨迹C1，直利用线与曲线C1只有一个交点，求k的值．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y ﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0…（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x﹣y﹣1=0…（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥AP，，∴化简得…由于点P在圆内，去除点（1，0），所以C1：（x≠1）…因为直线与曲线C1只有一个交点，所以圆心到直线的距离d==或k=0，所以…21．已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD，且M，N分别是AB，CD的中点．设直线AB、CD的斜率分别为k1、k2．（1）若AB⊥CD，且k1=1，求△FMN的面积；（2）若，求证：直线MN过定点，并求此定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设AB的方程为，联立，求出M，N的坐标，即可求△FMN的面积；（2）求出直线MN的方程，即可证明直线MN过定点，并求此定点．【解答】解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为联立，得x2﹣2x﹣1=0，，同理=|FM|•|FN|==1∴S△FMN△FMN的面积为1．…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为联立，得x2﹣2k1x﹣1=0，，同理…k MN=∴MN的方程为，即，…又因为，所以k1+k2=k1k2，∴MN的方程为即∴直线MN恒过定点．…22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与曲线C 交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系；轨迹方程．【分析】（1）由题意列关于P的坐标的函数关系式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线系方程和椭圆方程，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A、B中点的坐标，得到直线PQ的方程，求出|PQ|．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，可得2d=．结合题意化简可得2d=．代入得2d=．代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C的方程是；（2）∵AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．y1+y2=，y1y2=．x1+x2=m（y1+y2）﹣2=，于是AB的中点为M（），故直线PQ的斜率为﹣，PQ的方程为y=﹣x，即mx+2y=0，联立，整理得：x2=，|PQ|=．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，∴2d=．∵点A，B在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|，从而2d=．∵|y1﹣y2|==，∴2d=．故四边形APBQ的面积S=|PQ|•2d==2≥2．即m=0时，S min=2．2017年3月9日。
四川省成都树德中学高三数学上学期期中试题 文 新人教A版
数学试题（文科）时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上． 1．已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，若{}0,1,3,5,8A =，{}2,4,5,6,8B =时， 则()()UU A B ⋂=A ．{}5,8B ．{}7,9C ．{}0,1,3D ．{}2,4,62．若函数()2232log mxmx y -+=的定义域为R ，则实数m 的取值范围是A ．()0,3B ．[)0,3C ．(]0,3D ．[]0,33．已知3cos 22θ=，则44sin cos θθ-的值为（ ） A ．23 B ．23- C ． 32 D ．32-4．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为 A ．12 B ．1 C ．13D ．23 5．函数21()log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为A ．()1,0-B ．()1,2C ． ()2,1D ．()2,36．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，满足:sin()2cos sin 2sin 2A B A B C -+=-,且2221616130a b c +-=．若ABC ∆的面积为4153，则a b c +-值为 A ．1 B ．2 C ． 47．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处 8．函数253x y x -=-的值域是{}0,4y y y ≤≥或，则此函数的定义域为 A ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．57,33,22⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．57,33,22⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D ．73,2⎛⎤ ⎥⎝⎦9．若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围是( )A ．(]0,4B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当0x >时，()()0f x x f x '+⋅>（其中()f x '是()f x 的导函数）恒成立．若2211lnln a f e e ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2(2)b f =⋅，lg5(lg5)c f =⋅，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷相应的横线上． 11． 计算: ()20328123log 32lg1002718⎛⎫---+⨯⨯= ⎪⎝⎭； 12．已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =，若在区间[]1,1-上，不等式()20f x x m -->恒成立，则实数m 的取值范围为 ； 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点．已知点A 的横坐标为5；B 点的纵坐标为52．则tan()αβ+的值为 ；14．已知定义在R 上的函数()y f x = 满足条件3()()2f x f x +=-，且 (1)=2014f ，则(2014)=f ； 15．对任意实数,a b ，函数()1(,)2F a b a b a b =+--．如果函数()sin ,()cos f x x g x x ==，那么对于函数()()(),()G x F f x g x =．对于下列五种说法： (1)函数()G x 的值域是2,2⎡⎤-⎣⎦；(2) 当且仅当()22+1 ()2k x k k Z πππ+<<∈时，()0G x <；(3) 当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，函数()G x 取最大值1；(4)函数()G x 图象在9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的4倍；(5) 对任意实数x 有5544G x G x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立． 其中正确结论的序号是 ．成都树德中学高2011级高三上期期中考试数学试题（文科）答题卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷相应的横线上．11． ；12． ；13． ；14． ；15． ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(12分)设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．(1)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．17．(12分)已知等差数列{}n a 满足：3579,30a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ；（2）已知数列{}n b 的第n 项为n b ，若11,, (*)2n n n b b a n N +∈成等差数列，且13b =，设数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nT ．求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．(12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ． (1) 证明：BD ⊥平面PAC ；(2) 若AD ＝2，当PC 与平面ABCD 所成角的正切值为22时，求四棱锥P －ABCD 的外接球表面积．19．(12分)已知函数()log (3)a f x ax =-．(1) 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；(2) 是否存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[]2,3上为增函数，并且()f x 的最大值为1．如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．20．(13分)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图象如图所示．(1) 求函数()f x 的解析式； (2) 设函数()414g x f x π⎛⎫=---- ⎪⎝⎭，且[]lg ()0g x >，求()g x 的单调区间．21．(14分)已知函数2()ln(), (),f x x a g x x x =+=+若函数()()()F x f x g x =-在x = 0处取得极值． (1) 求实数a 的值； (2) 若关于x 的方程5()02F x x m +-=在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围；(3)证明：对任意的正整数n ，不等式211ln n n n n++⎛⎫< ⎪⎝⎭都成立．成都树德中学高2011级高三上期期中考试数学答案一、选择题：BBDCB ，AACBA二．填空题：11．(理科) 1；(文科) 0； 12． (),1-∞-； 13． (理科) 324παβ+=；(文科)3；14．(理科) 0；(文科)2014； 15．(2) (4) (5) 三．解答题：16．【解析】设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”．当0,0a b ≥≥时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件， ………………4分事件A 发生的概率为93()124P A ==． ………………6分(2) 试验的全部结果所构成的区域为{}(,)03,02a b a b ≤≤≤≤，………………8分构成事件A 的区域为{}(,)03,02,a b a b a b ≤≤≤≤≥， ………………10分所以所求的概率为2132222()323P A ⨯-⨯==⨯． (12)分17．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，因为5730a a +=，又57662,15a a a a +=∴=； ………………2分63263a ad -==-，所以2+3n a n =． ………………4分15a ∴=，()()21523422n n n a a n n S n n +++∴===+． ………………6分（2）由(1)知,b a =，3b ∴=因为()11,,*2n n n b b a n N +∈成等差数列，1122n n n a b b ++=⨯ ()* n N ∈，1n n nb b a +∴-=，所以 ()11 2,n n n b b a n n *---=≥∈N ． ………………8分故112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+…1211n n a a a b --=++++…()()()()212133313322n n n n n n--++⎡⎤⎣⎦=+=-++=+()()22,n n n n *=+≥∈N ．又因为13b =满足上式，所以()()2 n b n n n *=+∈N ………………10分 所以()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． 故111111111111232422212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=+-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭… ()()235412n nn n +=++．…………12分 18．【解析】 (1)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ．………………2分同理由PC ⊥平面BDE 可证得PC ⊥BD ． ………………4分 又PA ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面PAC ． ……………6分 (2) (理科做)解：如图，分别以射线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系A xyz -．由(1)知BD ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ， ∴ BD ⊥AC ． 故矩形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2．………………6分∴ A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，1)．∴ ()()()2,0,1,0,2,0,2,2,0PB BC BD ===-．。
四川省成都市树德中学2016_2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
树德中学高2015级第三期期末考试数学试题 （文科）、选择题（每小题5分，共60分）1、设 a R ，贝U a = 1"是 直线 l i : ax + 2y — 1 = 0 与直线 12: x + (a + 1)y + 4 = 0 平行"的()2 2X y2、已知双曲线2 -1 a 0,b 0的渐近线方程为y= ±2x ,则其离心率为（a bB - 一y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（X i , y i ）（i=1 , 2，…，n ）,用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71 ,则下列结论中不正确.的是（）A. y 与x 具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心 （x , y ）C. 若该高中某学生身高增加 1cm ,则其体重约增加0.85kgD. 若该高中某学生身高为 170cm ,则可断定其体重必为 58.79kg 4、 下列说法正确的是（）A.命题若x 2 1,则x 1 ”的否命题为若x 2 1,则X 乞1” B 命题 若 心 R,x 02 1"的否定是’“ x R,x 2 1"C 命题 若x = y ,则cosx 二cosy "的逆否命题为假命题 D.命题 若x = y ,则cosx 二cosy ”的逆命题为假命题 5、 阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）81313 21 A.B. C. D.— 511 8 13A .充分不必要条件 C .充分必要条件B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件C .3、设某高中的学生体重x 2y _2已知变量x, y 满足约束条件2x • y 空4 ,则目标函数z = 3x - y 的取值范围是 ()4x - y 】：-1A . A10斜角的取值范围是A .卓B ._6 6_3，C .已知集合 (x, y)2x y 「4 乞 0 I yx y _0 x - y _0表示的平面区域为 Q,若在区域Q 内任取一点PJ(x , y ),则点 P 的坐标满足不等式 寸匚2的概率为()1631B . —C .—16 3210、点 M 是抛物线 D .322 2上的点，点N 是圆C : (x —3)+y =1上的点，则|MN|的最小值B .C . 2 2 11、已知椭圆;的左焦点为F ，点P为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM 、PN ,其中切点为 M 、N ,则四边形PMFN 面积的最大值为 (3 3 人匕'6] B,-?-1]弘1'6】D“|]在长为10 cm 的线段AB 上任取一点 C , 现作一矩形，邻边长分别等于 AC , CB 的长，则该矩形面积不 小于 9 cm 2的概率为(8、 直线y=kx+3 与圆 (x — 2) 2+ (y -3)2=4 相交于M 、N 两点，若|MN| —2二，则直线倾C. =D. 512、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A.24B.26C.30D.3214、已知圆 O i ： x 2+ y 2= 1 与圆 02： (x + 4)2+ (y — a )2= 25 内切，则常数 a = _______ 15、已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且.F 1PF 2 •椭圆21 1和双曲线的离心率分别为 e 、e 2,则 p+r =e e 216、 已知y =a x （a >0且1是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合 A ;2 2椭圆-—=1上存在关于直线y =x +m 对称的不同两点，记m 的所有可能取值构成集合 B. 63若随机地从集合 A , B 中分别抽出一个元素 鮎，兀2 ,则入〉爲的概率是 __________三、解答题2 2 217、 （ 10分）设命题p :点（1 , 1）在圆x y -2mx 2my 2m -4=0的内部；命题q :直线mx — y + 1 + 2m = 0（k € R ）不经过第四象限，如果p V q 为真命题,p A q 为假命题,求m 的取 值范围.18、（ 12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六、填空题（每小题5分，共20分）13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图 表示，从茎叶图的分布情况看，___运动员的发挥更稳 定•（填甲”或乙”）甲乙& 06 13 12 5 8 63 21 5 9 8 33 1 1 6 6 7 944 9 J 5段后得到如下部分频率分布直方图如图•观察图形的信息，回答下列问题：（1 ）求分数在［70,80）内的频率;(2)估计本次考试的中位数；(精确到0.1 )(3)用分层抽样(按［60,70)、［70,80)分数段人数比例)的方法在分数段为［60,80)的学生中O 40 50 60 7G 9() 100 分数抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段［70,80)的概率.219、( 12分)已知抛物线C: y =4x的焦点为F , P(1,m)是抛物线C上的一点.2 2(1)若椭圆C :―' =1与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C •的方程；4 n(2)设抛物线C与(1)中所求椭圆C的交点为A B ,求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程.20、( 12 分)已知圆C: x2+y2- 4x+3=0 ,(1) 求过M 3,2点的圆的切线方程;(2) 直线l过点N 3,丄且被圆C截得的弦长最短时，求直线I的方程;12 2丿(3) 过点1,0的直线m与圆C交于不同的两点A、B,线段AB的中点P的轨迹为C1,直线y =k(x -号)与曲线G只有一个交点，求k的值.21、( 12分)已知抛物线x 2= 2py (p > 0),其焦点F到准线的距离为1•过F作抛物线的两条弦AB和CD,且M , N分别是AB, CD的中点.设直线AB、CD的斜率分别为k1、k2.(1)若AB — CD ,且k1 =1 ,求厶FMN的面积；1 1(2 )若1，求证：直线MN过定点，并求此定点k1k222、( 12分)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，动点P X, y与定点F(—1 , 0)的距离和它到定直线x=-2的距离之比是丄—.2(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB ,M为AB的中点，直线0M与曲线C交于P,Q两点，求四边形APBQ面积的最小值.树德中学高2015级第三期期末考试数学试题（文科）参考答案一、选择题ADDDCA BCDAAD二、填空题13、乙14、0 15、2 16、34三、解答题17、解：命题p= T ：：：m 1 , ........... 3 分命题q：= m _ 0 ................ 6-分① p真q假时，-1 ：：：m 0 :②p假q真时，m亠1.故m的取值范围为-1 ：：：m . 0或m亠1 .. 10分18、解：(1)分数在［70,80)内的频率为：1 —(0.010 + 0.015 + 0.015 + 0.025 + 0.005) X10 = 1 —0.7 = 0.3 ....... 3 分1(2)中位数73 —: 73.3 .......... 6分3⑶由题意,［60,70)分数段的人数为:0.15 X60 = 9(人);［70,80)分数段的人数为:0.3X60 =18(人).••需在［60,70)分数段内抽取2人，分别记为a, b ;在［70,80)分数段内抽取4人，分别记为c, d , e, f.设从样本中任取2人，恰有1人在分数段［70,80)内”为事件A,所有基本事件有(a, b), (a,c), (a, d), (a, e), (a, f), (b, c), ( b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f), (d ,e ), (d ,f ), (e , f ),共 15 个 8分其中事件 A 包含(a , c ), (a , d ), (a , e ), (a , f ), (b , c ), (b , d ), (b , e ), (b , f ),共 8 个 (10)分12分2 2X y19、解：(1)椭圆C :1,可知4-n =1” n =3,故所求椭圆的方程为4 n所以A(2,2 \ 6), B(2,_2，则双曲线的渐近线方程为y =：M 6X ....................... 8•分3 333由渐近线、、6x _ y =0,可设双曲线方程为 6x 2-y 2= - C - 0).由点P(1,m)在抛物线C:y 2 =4x 上，解得m 2 = 4,P(1,±2) ...................... ………10分 因为点P 在双曲线上,.6 - 4二，二2 ,2故所求双曲线方程为：3x 21220、解：(1) x =3或 3x-4y-1=0 ................... 3 分(2) 当直线I 丄CN 时，弦长最短，此时直线的方程为 x —y —1 = 0 •……6分 (3) 设点P (x , y ),v 点P 为线段AB 的中点，曲线C 是圆心为C (2 , 0),半径r=1的3 21圆，.・.CP 丄 AP , cP ・AP=0 ••化简得 X —巴 l+y2=」•••••••6 分 I 2丿 4-2 2—匕(2)由 432y 4x",消去y 得到3x 2-16x -12 二 0 懈得捲二23 X 2 = -6 (舍去)..-.•12 分2 2： (6), 1y =丘水2 x -1 --2(1 )••直线MN 恒过定点1,- I.……••••12分I 2丿由于点P 在圆内，去除点（1, 0）,所以G ：k = 士空或0 ......... 12分3「-列 +y =4( )•…"10 分21、解：（1）抛物线的方程为x 2=2y ,设AB 的方程为1j y = X + — 联立 2，得x 2- 2x -仁0 , M2X -2y1,，同理 N -1,3 21 1 _ _ •S FMN =严 F| 2^ -2 = 1 △ FMN 的面积为1.…•••••••5分（2）设 A （X 1, y 1），B （X 2，y 2）, C(X3, y 3）， D （ X 4，y 4） 设AB 的方程为1y = k 1x21联立2，得 x -2k 1X -1 = 0 , Mx 2 =2y k 1,k 12 2，同理2N k 2, k 22 -12k MN =k121k 22 2K - k ?21一—=k 1 k 2•••MN 的方程为y - kj 」I 1 2=kik 2 x ,即 y 二 K k 21-k 1 k 2, ...... ••••10 分21 1又因为丄•」 k 1 k 21 所以 k< k 2二 k 1 k 2, ••• MN 的方程为 y n k j k z x — k j k ?」即2>2x 22两边平方，化简得尹y2=1•故轨迹C 的方程是：’亠一(3分)(2)因AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x = my — 1, A (x i , y i ), B (X 2, y 2),rx = my — 1 ,由 x 2得(m 2+ 2)y 2— 2my — 1 = 0.7+y2= 12m — 1— 4y1+y2=兀，y1y2=齐.x1+x2=m (y1+y2)—2=m^，于是AB 的中点为—2m 2 + 2,m 故直线PQ 的斜率为一-,PQ 的方程为y = m _x ,即 mx + 2y = 0,・・・....5分 整理得：x 2^ ', 2+n |PQ |=2..、x 2 y 2 =2 m 2 4 m 22 …....7分 方法一：设点A 到直线PQ 的距离为d ,则点B 到直线PQ 的距离也为d ,所以2d =|mx 1 + 2y 1|+ |mx 2+ 2y 2| / ----- 〔因为点A , B 在直线 mx + 2y = 0的异侧，所以(mx 1 + 2yJ (mx 2 + (m 2+ 2) |y 1 — y 2| 2y 2)<0 ,于是 |mx 1 + 2y 1|+ |mx 2+ 2y 2|= |mx 1 + 2y 1— mx 2 — 2y 2|,从而 2d = m 2+ 4 又因为|y 1 — 2：、2 '• 1 + m 2 2 2 ■- 1 + m 2 y 2| = \/ (y 1 + y 2) 2 — 4y 1y 2 = 2 ,所以 2d = .…....10 分 m+ 2 十 m 2+ 41 故四边形 APBQ 的面积S =；|PQ |2d = 1・2：m 2 4 .2 .2 ,1 m 2 _ ? 2m 2 2 . m 2 4m 2 国 1 _ m 2 2 =2即m=0时，久山=2 .…....12分22、解：(1)由已知，得2专业.专注方法二：P （ . 「，——'一）, P 到直线AB 的距离d i = 2 2+m £ 71 + m 2 ,Q 到直线AB 的距离 d 2=••P , Q 在直线AB 的两侧，且关于原点对称， ••S APBQ =「丨 AB 丨(d i +d 2)=「？一 二 I' ?2 2 2+m 2)=*「丁 , ......10 分 V2+m V2+ID _ Vl+m 2 ••S APBQ = • 「T=2W -->2, 7 2+ ID 2+ ID 即m=0时，久山=2 •…….12分。
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高2013级第五期零诊考试
文科数学试题
时间:120分钟 满分:150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．
1．已知,xy均不为0，则xyxy的值组成的集合的元素个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2．设集合2320Mxxx，集合142xNx，则MN（ ）
A.2xx B.1xx C.1xx D.2xx
3．已知集合Axxa，12Bxx，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a<1 C．a≥2 D．a >2
4.若命题2000:3,3,210pxxx，则对命题p的否定是( )
A．23,3,210xxx
B．2,33,,210xxx
C．2000,33,,210xxx
D．20003,3,210xxx
5. “0ab”是“11()()44ab”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件
6.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
7.命题:p函数2yxx在1,4上的值域为93,2；命题1122(1):loglog(0)aaqa.下列命题中，真命题的是
( )
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A．pq B．pq C．pq D．pq
8．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{ x|x<0或x>6} D．{ x|x<-2或x>5}
9.若函数()(01)xxfxkaaaa且在,上既是奇函数又是增函数，则函数()()logxkagx的
图象是 （ ）
10．已知函数(1)2,(1)()(4)3,(1)xcxfxcxx的单调递增区间为,，则实数c的取值范围是（ ）
A.1,4 B.3,4 C.3,4 D.1,3
11.已知函数()fx是,上的奇函数，且()fx的图像关于直线1x对称，当1,0)x时，
1
()12xfx
，则(2016)(2017)ff( )
A.1 B.0 C.1 D.2
12. 已知函数lg (010)()16 (10)2xxfxxx若abc, 且()()()fafbfc
则223cabab的取值范围是( )
A.4,13 B.8,9 C.23,27 D.
13,15
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．答案填在答题卡上．
13.幂函数2(33)mymmx=-+的图象过点(2,4)，则m ．
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14. 设2(0)(),(0)xxfxxx，若4fa ，则实数a
15.设函数1()fxxx，对1,,x使不等式()()0fmxmfx恒成立的实数m称为函数()fx的
“伴随值”，则实数m的取值范围是 .
16. 具有性质：1()()ffxx的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：
①1;yxx②1;yxx③,(01)0,(1)1(1)xxyxxx中满足“倒负”变换的是 .
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满12分）
已知集合|(1)(21)0Axxaxa，|13Bxx.
（1）若{|15}Axx，求a的值；
（2）若124a且AB，求实数a的取值范围.
18.
（本小题满12分）
设3()21xfxx的定义域为A， ()lg(1)(2)(1)gxxaaxa的定义域为B.
（1）求,AB；
（2）若:,:pxAqxB，p是q充分不必要条件，求实数a的取值范围。
19.（本小题满分12分）
设命题:P关于x的不等式2221(0,1)xaxaaaa的解集为xaxa;命题
2
:lg()Qyaxxa
的定义域为R.如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围.
20.
（本小题满分12分）
函数yfx对任意实数x、y满足fxfyxfy，且当0x时，0fx。
（1）求证：yfx是奇函数，并判断yfx的单调性;
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（2）对任意21,2,22tftxxft恒成立，求x的范围。
21.（本小题满分12分）
定义在上的函数fx，如果满足：对任意，存在常数，都有fxM成立，则称fx是上
的有界函数，其中称为函数fx的上界．已知函数12()12xxmfxm
（1）当1m时，求函数fx在,0上的值域，并判断函数fx在,0上是否为有界函数，请说明
理由；
（2）若函数fx在0,1上是以3为上界的有界函数，求实数m的取值范围；
22.（本小题满分10分）
已知441()(2log2)(log)2xxfx
(1)当2,4x时，求该函数的值域；
(2)若4()logxfxm关于4,16x恒成立，求实数m的取值范围。