数学：新人教A版选修1-1 1.1命题及其关系(同步练习)
高中数学第一章常用逻辑用语专题1.1命题及其关系课时同步试题新人教A版选修2_12018083121
1.1 命题及其关系一、选择题1．以下说法错误的是A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题【答案】B【解析】两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B错误.2．“若，则p”为真命题，那么p不能是A．B．C．D．【答案】D【解析】∵时，不一定有，所以p不能是.3．已知命题：若，则，则下列叙述正确的是A．命题的逆命题是：若，则B．命题的否命题是：若，则C．命题的否命题是：若，则D．命题的逆否命题是真命题【答案】D【解析】命题：若，则，则命题的逆命题是：若，则，故A错误；命题的否命题是：若，则，故B，C错误；由命题：若，则是真命题，可知命题的逆否命题是真命题.故选D.4．给定下列命题：①“若，则方程”有实数根；②若，，则；③对角线相等的四边形是矩形；④若，则中至少有一个为0.其中真命题的序号是A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B5．已知命题“若直线与平面垂直, 则直线与平面内的任意一条直线垂直”，则其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为该命题是正确的，所以逆否命题也是正确的；由于逆命题是正确的，而否命题也是逆命题的逆否命题，故也是正确的，应选D.6．已知命题若，则关于的方程有实根，是的逆命题，下面结论正确的是A．真假B．假真C．真真D．假假【答案】A【解析】因为，所以，所以方程有实根，所以是真命题．由题意知为“若关于的方程有实根，则”．因为要使方程有实根，则，即，解得，所以是假命题.故选A．二、填空题7．命题“奇函数的图象关于原点对称”的否命题是__________．【答案】若一个函数不是奇函数，则它的图象不关于原点对称【解析】要得到一个命题的否命题，需要同时否定条件和结论，据此可得：命题“奇函数的图象关于原点对称”的否命题是：“若一个函数不是奇函数，则它的图象不关于原点对称”.8．已知，如果是假命题，是真命题，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】因为是假命题，所以，解得；又因为是真命题，所以，解得.故实数的取值范围是.9．下列有关命题的说法正确的是________.（填出所有正确命题的序号）①“若x＞1，则2x＞1”的否命题为真命题；②“若cosβ＝1，则sinβ＝0”的逆命题是真命题；③“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题；④命题“若x＞1，则x＞a”的逆命题为真命题，则a＞0.【答案】③三、解答题10．给出下列语句:(1)北京是中国的首都;(2)x=2是方程x2-4x+4=0的根;(3)9100是个大数;(4)sin x>x;(5)0是自然数吗?(6)我希望明年考上北京大学.试判断以上语句是否是命题,若是,请判断其真假;若不是,请说明理由.11．写出命题“若”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.【解析】逆命题：若.是真命题.否命题：若.是真命题.逆否命题：若.是真命题.12．判断命题“已知为实数，如果关于的不等式的解集非空，那么”的逆否命题的真假.【解析】方法一：已知命题的逆否命题是“已知为实数，如果，那么关于的不等式的解集是空集”.因为对于方程，，所以当时，，，所以不等式的解集是空集，所以逆否命题为真命题.方法二：先判断原命题的真假，因为关于的不等式的解集非空，所以对于方程，，即，所以正确，即原命题为真命题.因为逆否命题与原命题同真假，所以逆否命题也是真命题.13．已知A：，B：，请选择适当的实数，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2018-2019学年人教A数学选修1-1第一单元单元测试卷：命题及其关系、充分条件与必要条件
2018-2019学年人教A 数学选修1-1第一单元单元测试卷：命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意)1. 下列命题中是假命题的是( )A.若a →⋅b →=0(a →≠0,b →≠0)，则a →⊥b →B. 若|a →|=|b →|，则a →=b →C.若ac 2>bc 2，则a >bD.若α=60∘，则cos α=122. “a +b >2”的一个充分条件是( )A.a >1或b >1B.a >1且b <1C.a >1且b >1D.a >1或b <13. 下列命题为真命题的是( )A.命题“若x >1，则x 2>1”的逆命题B.命题“若x =1，则x 2+x −2=0”的否命题C.命题“若x 2>0，则x >−1”的逆否命题D.命题“若x >y ，则x >|y|”的逆命题4. 已知a,b ∈R ，命题“若ab =2，则a 2+b 2≥4”的否命题是（ ）A.若ab ≠2，则a 2+b 2≤4B.若ab =2，则a 2+b 2≤4C.若ab ≠2，则a 2+b 2<4D.若ab =2，则a 2+b 2<45.命题：“若a 2+b 2=0(a, b ∈R)，则a =b =0”的逆否命题是（ ）A. 若a ≠b ≠0(a, b ∈R)，则a 2+b 2≠0B. 若a =b ≠0(a, b ∈R)，则a 2+b 2≠0C. 若a ≠0且b ≠0(a, b ∈R)，则a 2+b 2≠0D. 若a ≠0或b ≠0(a, b ∈R)，则a 2+b 2≠06. “a >3”是“函数f(x)=ax +2在[−1, 2]上存在零点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad =bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知p:a >1，q:(12)2a+1<(12)3−2a ，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9. 已知向量a →=(x −1,2)，b →=(2,1)，则“向量a →与b →的夹角为锐角”的一个必要不充分条件为（ ）A.x >1B.x <5C.x >0D.x >0且x ≠510. 设集合U ={(x, y)|x ∈R , y ∈R }，若集合A ={(x,y)|2x −y +m >0,m ∈R}，B ={(x, y)|x +y −n ≤0，n ∈R}，则点P(2, 3)∈A ∩(∁U B)的充要条件是（ ）A.m >−1，n <5B.m <−1，n <5C.m >−1，n >5D.m <−1，n >511. 在△ABC 中，“sin A cos A =√3cos √3sin A−2cos C ”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件12. 在平面直角坐标系中，定义两点P(x 1, y 1)与Q(x 2, y 2)之间的“直角距离”为d(P, Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|．给出下列命题：(1)若P(1, 2)，Q(sin α, cos α)(α∈R )，则d(P, Q)的最大值为3−√2；(2)若P ，Q 是圆x 2+y 2=1上的任意两点，则d(P, Q)的最大值为2√2；(3)若P(1, 3)，点Q 为直线y =2x 上的动点，则d(P, Q)的最小值为12．其中为真命题的是( )A.(1)(2)(3)B.(2)C.(3)D.(2)(3)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)若p ：x 12+y 12<4（x 1，y 1∈R ），q ：点(x 1，y 1)在圆x 2+y 2=4内，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”).“a =18”是“对任意的正数x ，2x +a x ≥1”的________条件（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”）．已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)，则“y =f(x)与y =f(f(x))有相同的零点”的充要条件为________．给出命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2+(2a −1)x +a 2−2≤0的解集不是空集，则a ≤3”，则其逆否命题为________命题(填“真”或“假”).三、解答题(本大题共4小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题.(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn <0时，方程mx 2−x +n =0有实数根.指出下列各题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由.（1）p ：|x|=|y|，q ：x =y ；（2）在△ABC 中，p ：sin A >12，q ：A >π6.已知命题p ：方程x 2+mx +1=0有两个不相等的实根，且命题p 是真命题．(1)求实数m 的取值范围M ；(2)设不等式(x −a)(x −a −2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的充分条件，求a 的取值范围．设数列{a n }的各项都不为零，求证：对任意n ∈N ∗且n ≥2，都有1a1a 2+1 a2a3+...+1a n−1a n=n−1a1a n成立的充要条件是{a n}为等差数列．四、附加题(本大题共2小题,每小题10分,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)判断命题“若a=2或115≤a<3，则关于x的一元二次方程x2−2ax+a+2=0在区间(1, 3)上有且只有一个根”的真假．已知p：关于x的方程4x2−2ax+2a+5=0的解集至多有两个子集，q:1−m≤a≤1+m，m>0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2018-2019学年人教A 数学选修1-1第一单元单元测试卷：命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个选项符合题意) 1.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用向量的模平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】\overrightarrow解：因为|a →|=|b →|只能说明a →与b →的模相等，所以a →=b →不一定成立．故选B ．2.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A ，a >1或b >1，不能保证a +b >2成立；对于B ，a >1且b <1，不能保证a +b >2成立；对于C ，a >1且b >1，由不等式的性质知，a +b >2，故C 正确；对于D ，a >1或b <1，不能保证a +b >2成立.故选C ．3.【答案】D【考点】四种命题的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：命题“若x>1，则x2>1”的逆命题为“若x2>1，则x>1”，因为(−2)2>1,−2<1，所以A中的命题为假命题；命题“若x=1，则x2+x−2=0”的否命题为“若x≠1，则x2+x−2≠0”，因为−2≠1，(−2)2+(−2)−2=0，所以B中命题为假命题；命题“若x2>0，则x>−1”的逆否命题与原命题的真假性相同，因为(−2)2>0，−2<−1，所以C中命题为假命题；命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，因为x>|y|≥y，所以D中命题为真命题.故选D．4.【答案】C【考点】四种命题间的逆否关系【解析】此题暂无解析【解答】解：因为将原命题的条件和结论同时否定之后，可得到原命题的否命题，所以原命题“若ab=2，则a2+b2≥4”的否命题是“若ab≠2，则a2+b2<4”.故选C．5.【答案】D【考点】四种命题的定义【解析】根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；故选D．6.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：当a>3时，f(−1)f(2)=(−a+2)(2a+2)<0，即函数f(x)=ax+2在区间[−1, 2]上存在零点；但当函数f(x)=ax+2在区间[−1, 2]上存在零点时，不一定是a>3，如当a=−3时，函数f(x)=ax+2=−3x+2在区间[−1,2]上存在零点.所以“a>3”是“函数f(x)=ax+2在区间[−1,2]上存在零点”的充分不必要条件. 故选A．【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．【解答】解：若a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad =bc ，反之数列−1，−1，1，1满足−1×1=−1×1，但数列−1，−1，1，1不是等比数列，即“ad =bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．故选B ．8.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，等比数列的定义和性质．【解答】解：由(12)2a+1<(12)3−2a 得2a +1>3−2a ，解得a >12. 因为（1,+∞）是(12,+∞) 的真子集， 故p 是q 的充分不必要条件，故选A ．9.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若向量a →与b →的夹角为锐角，则 a →⋅b →>0且a →与b →不平行，所以 a →⋅b →=2x >0且x −1≠4，则x >0且x ≠5，所以“x >0”为“向量a →与b →的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选C ．10.【答案】【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断补集及其运算元素与集合关系的判断【解析】本题主要考查元素与集合的关系．【解答】解：由题意，知A ∩(∁U B )={(x,y)|{2x −y +m >0，x +y −n >0}， 则P(2,3)∈A ∩(∁U B )等价于{2×2−3+m >0，2+3−n >0， 可得{m >−1，n <5即P(2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是m >−1，n <5. 故选A .11.【答案】B【考点】等差数列的性质必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：在△ABC 中，由sin A cos A =√3cos √3sin A−2cos C得sin A(√3sin A −2cos C ）=cos A(2sin C −√3cos A)，√3sin 2A −2sin A cos C =2cos A sin C −√3cos 2A ，√3sin 2A +√3cos 2A =2cos A sin C +2sin A cos C ，√3=2sin (C +A) =2sin B ，得sin B =√32． 因为0<B <π，所以B =π3或B =2π3． 故“sin Acos A =√3cos √3sin A−2cos C ”是“角A ，B ，C 成等差数列”的必要不充分条件．故选B ．12.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】本题考查“折线距离”的定义.【解答】解：(1)d(P,Q)=|1−sin α|+|2−cos α|=(1−sin α)+(2−cos α)=3−(sin α+cos α)=3−√2sin (α+π4)，因为α∈R ，所以当sin (α+π4)=−1时， d(P,Q)取得最大值3+√2，所以(1)是假命题；(2)根据a+b 2≤√a 2+b 22，可得a +b ≤√2⋅√a 2+b 2，设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，可得d(P,Q)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|≤√2⋅√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2|PQ|， 因为P ，Q 是圆x 2+y 2=1上的任意两点，所以|PQ|的最大值为2，所以d(P,Q)的最大值为2√2，所以(2)是真命题；(3)设Q(x,2x)，则d(P,Q)=|1−x|+|3−2x|={4−3x,x <1，2−x,1≤x ≤323x −4,x >32， 可知该函数在(−∞,32)上单调递减，在(32,+∞)上单调递增， 所以当x =32时，d(P,Q)取得最小值，为2−32=12， 所以(3)是真命题.综上，可得(2)(3)是真命题.故选D .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)【答案】充要【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】此题暂无解析【解答】解：x 12+y 12<4(x 1，y 1∈R )⇔点(x 1，y 1)在圆x 2+y 2=4内，故p 是q 的充要条件.故答案为：充要 .【答案】充分不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据充分，必要条件的定义，判断两个命题的关系. 【解答】解：当a=18时，2x+ax=2x+18x≥2√2x⋅18x=1，反之不一定成立．所以“a=18”是“对任意的正数x，2x+ax≥1”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【答案】c=0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：设x0是函数y=f(x)与y=f(f(x))的零点，则f(x0)=0，f(f(x0))=0，∴f(0)=0，即c=0，∴ “y=f(x)与y=f(f(x))有相同的零点”的充要条件是“c=0”．故答案为：c=0．【答案】真【考点】四种命题的定义【解析】本题考查了四种命题的知识点.【解答】解：方法一原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a>3，则关于x的不等式x2+(2a−1)x+a2−2≤0的解集为空集”.抛物线y=x2+(2a−1)x+a2−2的开口向上，方程x2+(2a−1)x+a2−2=0根的判别式Δ=(2a−1)2−4(a2−2)=−4a+9，若a>3，则−4a+9<0，即抛物线y=x2+(2a−1)x+a2−2与x轴无交点，所以关于x的不等式x2+(2a−1)x+a2−2≤0的解集为空集.故原命题的逆否命题为真命题.方法二因为a，x为实数，若关于x的不等式x2+(2a−1)x+a2−2≤0的解集不是空集，则Δ=(2a−1)2−4(a2−2)≥0，解得a≤94.当a≤94时，a≤3恒成立，所以原命题为真命题.因为原命题与其逆否命题有相同的真假性，所以其逆否命题是真命题.三、解答题(本大题共4小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 【答案】解：(1)将命题写成“若p，则q"的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行.它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面.否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行.逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面.(2)将命题写成“若p，则q"的形式为：若mn<0，则方程mx2−x+n=0有实数根. 它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2−x+n=0有实数根，则mn<0.否命题：若mn≥0，则方程mx2−x+n=0没有实数根.逆否命题：若方程mx2−x+n=0没有实数根，则mn≥0.【考点】命题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)将命题写成“若p，则q"的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行.它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面.否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行.逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面.(2)将命题写成“若p，则q"的形式为：若mn<0，则方程mx2−x+n=0有实数根. 它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2−x+n=0有实数根，则mn<0.否命题：若mn≥0，则方程mx2−x+n=0没有实数根.逆否命题：若方程mx2−x+n=0没有实数根，则mn≥0.【答案】解：(1)因为|x|=|y|⇒x=y或x=−y，x=y⇒|x|=|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件.(2)因为A∈(0，π)时，sin A∈(0，1]，且A∈(0，π2]时，y=sin A单调递增，A∈[π2，π)时，y=sin A单调递减，所以sin A≥12⇒A>π6，但A>π6⇏sin A>12.所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为|x|=|y|⇒x=y或x=−y，x=y⇒|x|=|y|所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件.(2)因为A∈(0，π)时，sin A∈(0，1]，且A∈(0，π2]时，y=sin A单调递增，A∈[π2，π)时，y=sin A单调递减，所以sin A≥12⇒A>π6，但A>π6⇏sin A>12.所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.【答案】解：(1)∵命题p为真命题，∴Δ=m2−4>0，解得m>2或m<−2．∴M={m|m>2或m<−2}．(2)∵x∈N是x∈M的充分条件，∴N⊆M．又N={x|a<x<a+2}，∴a+2≤−2或a≥2，∴a≤−4或a≥2，即a的取值范围为(−∞,−4]∪[2,+∞)．【考点】复合命题及其真假判断必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵命题p为真命题，∴Δ=m2−4>0，解得m>2或m<−2．∴M={m|m>2或m<−2}．(2)∵x∈N是x∈M的充分条件，∴N⊆M．又N={x|a<x<a+2}，∴a+2≤−2或a≥2，∴a≤−4或a≥2，即a的取值范围为(−∞,−4]∪[2,+∞)．【答案】证明：（充分性）{a n}为等差数列，设其公差为d.若d=0，则a1=a2=⋯=a n，所以1a1a2+1a2a3+⋯+1a n−1a n=n−1a1a n.若d≠0，则1a1a2+1a2a3+⋯+1a n−1a n=1d[(1a1−1a2)+(1a2−1a3)+⋯+(1a n−1−1a n)]=1d(1a1−1a n)=a n−a1 da1a n=n−1 a1a n（必要性）若1a1a2+1a2a3+⋯+1a n−1a n=n−1a1a n，则1a1a2+1a2a3+⋯+1a n−1a n+1a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得1a n a n+1=na1a n+1−n−1a1a n⇒a1=na n−(n−1)a n+1，①于是有a1=(n+1)a n+1−na n+2，②由①②，得na n−2na n+1+na n+2=0，所以a n+1−a n=a n+2−a n+1(n≥2).又由1a1a2+1a2a3=2a1a3⇒a3−a2=a2−a1，所以对任意n∈N∗，2a n+1=a n+2+a n，故{a n}为等差数列. 【考点】等差关系的确定【解析】本题考查充要条件的证明，及等差数列的判定.【解答】证明：（充分性）{a n}为等差数列，设其公差为d.若d=0，则a1=a2=⋯=a n，所以1a1a2+1a2a3+⋯+1a n−1a n=n−1a1a n.若d≠0，则1a1a2+1a2a3+⋯+1a n−1a n=1d[(1a1−1a2)+(1a2−1a3)+⋯+(1a n−1−1a n)]=1d(1a1−1a n)=a n−a1 da1a n=n−1 a1a n（必要性）若1a1a2+1a2a3+⋯+1a n−1a n=n−1a1a n，则1a1a2+1a2a3+⋯+1a n−1a n+1a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得1a n a n+1=na1a n+1−n−1a1a n⇒a1=na n−(n−1)a n+1，①于是有a1=(n+1)a n+1−na n+2，②由①②，得na n−2na n+1+na n+2=0，所以a n+1−a n=a n+2−a n+1(n≥2).又由1a1a2+1a2a3=2a1a3⇒a3−a2=a2−a1，所以对任意n∈N∗，2a n+1=a n+2+a n，故{a n}为等差数列.四、附加题(本大题共2小题,每小题10分,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)【答案】解：设f(x)=x2−2ax+a+2，则Δ=4a2−4(a+2)=4(a−2)(a+1).若关于x的一元二次方程x2−2ax+a+2=0在区间(1,3)上有且只有一个根，则①当Δ>0，即a>2或a<−1时，由f(1)f(3)<0，解得115<a<3.当f(3)=0，即a=115时，方程的两根为x1=75,x2=3，满足条件，当f(1)=0，即a=3时，方程的两根为x1=1,x2=5，不满足条件.所以满足条件的a的取值范围是{a|115≤a<3}.②当Δ=0，即a=2或a=−1时，由题意及函数f(x)的图象的对称轴为直线x=a，知1<a<3，得a=2.当a=2时，f(x)=x2−4x+4=(x−2)2，方程有两个相等的根x1=x2=2，满足条件.综上，可知当a=2或115≤a<3时，关于x的一元二次方程x2−2ax+a+2=0在区间(1,3)上有且只有一个根.所以该命题是真命题.【考点】复合命题及其真假判断【解析】本题考查真假命题的概念，一元二次方程的实数根的个数与判别式△的关系，以及二次函数的单调性．【解答】解：设f(x)=x2−2ax+a+2，则Δ=4a2−4(a+2)=4(a−2)(a+1).若关于x的一元二次方程x2−2ax+a+2=0在区间(1,3)上有且只有一个根，则①当Δ>0，即a>2或a<−1时，由f(1)f(3)<0，解得115<a<3.当f(3)=0，即a=115时，方程的两根为x1=75,x2=3，满足条件，当f(1)=0，即a=3时，方程的两根为x1=1,x2=5，不满足条件.所以满足条件的a的取值范围是{a|115≤a<3}.②当Δ=0，即a=2或a=−1时，由题意及函数f(x)的图象的对称轴为直线x=a，知1<a<3，得a=2.当a=2时，f(x)=x2−4x+4=(x−2)2，方程有两个相等的根x1=x2=2，满足条件.综上，可知当a=2或115≤a<3时，关于x的一元二次方程x2−2ax+a+2=0在区间(1,3)上有且只有一个根.所以该命题是真命题.【答案】解：∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q充分不必要条件.对于p，依题意，知Δ=(−2a)2−4×4(2a+5)=4(a2−8a−20)≤0，∴−2≤a≤10，令P={a|−2≤a≤10}.对于q，令Q={a|1−m≤a≤1+m，m>0}.由题意，知P⊊Q，∴{m>01−m<−21+m≥10或{m>01−m≤−21+m>10，解得m≥9.∴实数m的取值范围是 {m|m≥9}.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【解答】解：∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q充分不必要条件.对于p，依题意，知Δ=(−2a)2−4×4(2a+5)=4(a2−8a−20)≤0，∴−2≤a≤10，令P={a|−2≤a≤10}.对于q，令Q={a|1−m≤a≤1+m，m>0}. 由题意，知P⊊Q，∴{m>01−m<−21+m≥10或{m>01−m≤−21+m>10，解得m≥9.∴实数m的取值范围是 {m|m≥9}.。
高中数学人教A版选修1-1第一章1.1.1命题及四种命题 课件(共32张PPT)
原命题：若P，则q. 逆命题：若q, 则p. 否命题：若┐P ，则┐q。 逆否命题：若┐q ，则┐P 。
例1 把下列命题改写成“若P则 q”的形式，并写出它们的逆命 题、否命题与逆否命题：
（1） 负数的平方是正数； （2） 正方形的四条边相等，
（1）负数的平方是正数。 解：原命题可以写成：若一个数是负 数，则它的平方是正数。 逆命题：若一个数的平方是正数，则 它是负数。
原命题 若p则q
互 否
否命题 若┐p则┐q
互
逆命题
逆
若q则p
互 否
互
逆否命题
逆
若┐q则┐p
写出下列命题的逆命题，并判断它们 的真假：
（1）若X＜Y，则Y＞X
（2）若a=0,则ab=0
（1）逆命题：若Y＞X,则X＜Y 真命题
（2）逆命题:若ab=0,则a=0
假命题
原命题为真，逆命题不一定为真
写出下列命题的否命题，并判断 它们的真假： （1）若X＜Y，则Y＞X （2）若a=0,则ab=0
原命题为真，逆否否命 题的真假有什么关系呢？
一般地,四种命题的真假性,有而且仅有 下面四种情况:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
真
假
“若p, 则q” 的形式 也可写成 “如果p,那么q” 的形式 也可写成 “只要p,就有q” 的形式
记作: p q
例2 指出下列命题中的条件p和结论q; (1)若整数a能被2整除,则a是偶数; (2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.
解：（1）条件p : 整数a能被2整除， 结论q ：a是偶数.
【数学】1.1 命题及其关系 课件1(人教A版选修1-1)
否命题 若 p,则 q
逆否命题 若 q,则 p
相互关系
若p，则q 原命题 互 否 互逆 若q，则p 逆命题
否命题 若 p，则 q
逆否命题 若 q，则 p
相互关系
若p,则q 原命题 互 否 互逆 若q,则p 逆命题
互
为 逆
否 逆否命题 若 q,则 p
否命题 若 p,则 q
相互关系
解：（1）（3）（6）为真命题， （2）（4）（8）为假命题， （5）（7）不是命题 例1中的命题(2)(4）,具有 “若P, 则q” 的形式 的形式 的形式
也可写成 “如果P,那么q” 也可写成 “只要P,就有q”
通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题 的条件,q叫做结论.
记做:
pq
观察与思考
2 2
x y 0，所以x y 0
2 2 2 2
综上可知，原命题成立。
小结 （1）四种命题的概念与表示形式，即如果 原命题为：若p，则q，则它的：
逆命题为：若q，则p，即交换原命题的条件和结 论即得其逆命题. 否命题为：若┐p，则┐q，即同时否定原命题的 条件和结论，即得其否命题. 逆否命题为：若┐q，则┐p，即交换原命题的条 件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.
若p，则q 原命题 互 否 互逆 若q，则p 逆命题 互 否
互
为 逆
否 逆否命题 若 q，则 p
否命题 若 p，则 q
相互关系
若p,则q 原命题 互 否 互逆 若q,则p 逆命题 互 否
互
为 逆
否 逆否命题 若 q,则 p
否命题 若 p,则 q
互逆
相互关系
若p，则q 原命题 互 否 互逆 若q，则p 逆命题
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（2）逆命题:若ab=0,则a=0
假命题
原命题为真，逆命题不一定为真
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写出下列命题的否命题，并判断 它们的真假：
若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.
1.1《四种命题》
同位角相等，两直线平行。 两直线平行，同位角相等。
原命题：同位角相等，两直线平行。
互
条件
结论
相同
逆 命
题
逆命题：两直线平行，同位角相等。
条件
结论
同位角相等，两直线平行。 同位角不相等，两直线不平行。
原命题：同位角相等，两直线平行。
（1）若X＜Y，则Y＞X
（2）若a=0,则ab=0
（1）否命题：若X≥Y,则Y≤X 真命题 （2）否命题：若a≠0,则ab≠0。 假命题
原命题为真，否命题不一定为真
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它是负数。
否命题：若一个数不是负数，则它的 平方不是正数。
逆否命题：若一个数的平方不是正数， 则它不是负数。
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（2）正方形的四条边相等。 解：原命题可以写成：若一个四边形 是正方形，则它的四条边相等。
人教A版高中数学选修1-1课件-四种命题四种命题间的相互关系
『规律方法』 关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法： 首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式． 其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题； (2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p，则非q”即为否命题； (3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)
3．命题的结论的否定和条件的否定，
我们把这样的两个命题叫做________________，其中一个命题叫做__________，另一个叫做原命题的
____________.
互否命题
原命题
否命题
原命题
互为逆否命题 逆否命题
4．四种命题的相互关系
『规律方法』 1.由原命题写出其他三种命题，关键是要分清原命题的条件与结论，尤其是写否命题和 逆否命题时，要注意对原命题中条件和结论的否定，这种否定要从条件和结论的真假性上进行否定， 而不是仅仅加上一个“不”字，为此可根据“互为逆否关系的命题同真假”进行检验．
2．当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的．
命题方向 3
正难则反，等价转化思想
我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明 原命题为真命题．
证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－
b)，则a＋b≥0.
[思路分典析例] 已3 知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大小关系相互转化，本题中条件较
2．当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定是真命题的是( )
A．若q，则p
高中数学新课标人教A版选修1-1《1.1.1命题及其关系》课件
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【变式1】 下列语句是命题的是( )．
A．x－1＝0
B．2＋3＝8
C．你会说英语吗
D．这是一棵大树
解析 A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是
命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”
的标准不确定，无法判断真假．
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[规范解答] (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命 题．(3分) (2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角 形．假命题．(6分) (3)若ac>bc，则a>b.假命题．(9分) (4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两 边的距离相等．真命题．(12分)
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解 (1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相 等．其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个 内角相等． (2)当a>0时，若x的值增加，则函数y＝ax＋b的值也随之增 加．其中条件p：x的值增加(a>0)，结论q：函数y＝ax＋b的值 也随之增加． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件 p：一个四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直．
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高中人教A版数学选修1-1测评1-1-2四种命题1-1-3四种命题间的相互关系
1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系课后篇巩固提升基础巩固1.命题“若a n =2n 1,则数列{a n }是等差数列”的逆否命题是( )A.若a n ≠2n 1,则数列{a n }不是等差数列B.若数列{a n }不是等差数列,则a n ≠2n 1C.若a n =2n 1,则数列{a n }不是等差数列D.若数列{a n }是等差数列,则a n ≠2n 12.“若sin x ≥12,则x ≥π6”的否命题是( )A.若sin x<12,则x<π6B.若x ≥π6,则sin x ≥12C.若x<π6,则sin x<12D.若sin x ≤12,则x ≤π6若sin x ≥12,则x ≥π6”的否命题是“若sin x<12,则x<π6”.故选A .3.命题“a>1,则lg a>0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个数为( )A.0B.2C.3D.4,则逆否命题为真;又当lg a>0时,必有a>1,所以逆命题为真,否命题也为真,故一共有4个命题是真命题.4.若命题r :“若p ,则 q ”的逆命题是真命题,那么下列命题一定为真命题的是( )A.若 p ,则qB.若q ,则 pC.若 p ,则 qD.若q ,则p“若p,则 q”的否命题“若 p,则q”一定是真命题.5.原命题为:“若α+β≠π2,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是()A.与其逆命题同为假命题B.与其否命题同为假命题C.与其否命题同为真命题D.与其逆否命题同为假命题“若sinα=cosβ,则α+β=π2”,显然是假命题,故原命题也为假命题.其否命题是“若α+β=π2,则sinα=cosβ”,显然是真命题,故D项正确.6.有下列四个命题:①“已知函数y=f(x),x∈D,若D关于原点对称,则函数y=f(x),x∈D为奇函数”的逆命题;②“对应边平行的两角相等”的否命题;③“若a≠0,则关于x的方程ax+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A≠B”的逆否命题.其中的真命题是()A.①②B.②③C.①③D.③④逆命题:“若函数y=f(x),x∈D为奇函数,则定义域D关于原点对称”,为真命题;②否命题:“对应边不平行的两角不相等”,为假命题;③逆否命题:“若关于x的方程ax+b=0无实根,则a=0”,为真命题;④逆否命题:“若A=B,则A∪B≠B”,是假命题.7.原命题:若x2+y2=0,x,y∈R,则x=0,y=0,则原命题的逆否命题为.x≠0或y≠0,x,y∈R,则x2+y2≠08.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角9.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假:(1)若x≥10,则2x+1>20;(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;(3)在整数中,奇数不能被2整除.逆命题:若2x+1>20,则x≥10,为假命题;否命题:若x<10,则2x+1≤20,为假命题;逆否命题:若2x+1≤20,则x<10,为真命题.(2)逆命题:如果两圆圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,是真命题;否命题:如果两圆不外切,那么两圆圆心距不等于两圆半径之和,是真命题;逆否命题:如果两圆圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,是真命题.(3)逆命题:在整数中,不能被2整除的数是奇数,是真命题;否命题:在整数中,不是奇数的数能被2整除,是真命题;逆否命题:在整数中,能被2整除的数不是奇数,是真命题.10.已知m是整数,求证:若m2+6m是偶数,则m不是奇数.p:m是整数,若m2+6m是偶数,则m不是奇数.其逆否命题是:m是整数,若m是奇数,则m2+6m是奇数.以下证明该逆否命题为真命题.由于m是奇数,不妨设m=2k1(k∈Z),则m2+6m=(2k1)2+6(2k1)=4k2+8k5=4(k2+2k1)1,由于k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k1)1为奇数,即m2+6m是奇数.因此逆否命题是真命题,从而原结论正确.能力提升1.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假状况是()A.原命题与逆命题均为真命题B.原命题为真命题,逆命题为假命题C.原命题为假命题,逆命题为真命题D.原命题与逆命题均为假命题“若a,b中没有一个大于等于1,则a+b<2”,等价于“若a<1,b<1,则a+b<2”,显然这个命题是真命题,所以原命题为真命题;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,取a=5,b=5,则a,b中至少有一个不小于1,但a+b=0,所以原命题的逆命题为假命题.故选B.2.与命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”等价的命题是()A.若a,b,c不成等比数列,则b2=acB.若a,b,c成等比数列,则b2=acC.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列D.若b2=ac,则a,b,c成等比数列,命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”的逆否命题是“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”,故选D.3.有下列四个命题:①“相似三角形周长相等”的否命题;②“若x>y,则x>|y|”的逆命题;③“若x=1,则x2+x2=0”的否命题;④“若b≤0,则方程x22bx+b2+b=0有实根”的逆否命题.其中真命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确,根据逆否命题同真同假,可得其否命题不正确;②“若x>y ,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y ”正确;③“若x=1,则x 2+x 2=0”的否命题为“若x ≠1,则x 2+x 2≠0”不正确;④“若b ≤0,则方程x 22bx+b 2+b=0有实根”,由Δ=4b 24(b 2+b )=4b ≥0,可得原命题正确,其逆否命题也正确.故选C .4.已知命题“若1<x<2,则m 1<x<m+1”的逆否命题是真命题,则实数m 的取值范围是 .,所以原命题为真命题,因此有{m -1≤1,m +1≥2,解得1≤m ≤2.5.命题:已知a ,b 为实数,若关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是非空数集,则a 24b ≥0.写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断这些命题的真假.:已知a ,b 为实数,若a 24b ≥0,则关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是非空数集.否命题:已知a ,b 为实数,若关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是空集,则a 24b<0.逆否命题:已知a ,b 为实数,若a 24b<0,则关于x 的不等式x 2+ax+b ≤0的解集是空集.原命题、逆命题、否命题和逆否命题均为真命题.6.(选做题)求证:若x+y+z>60,则x ,y ,z 中至少有一个大于20.:若x+y+z>60,则x ,y ,z 中至少有一个大于20.其逆否命题是:若x ,y ,z 都小于或等于20,则x+y+z ≤60.由于x ≤20,y ≤20,z ≤20,由不等式的性质可得x+y+z ≤20+20+20=60,因此逆否命题正确,从而原结论正确.。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案：第一章1.1命题及其关系含答案
第1课时命题[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P4，回答下列问题．观察教材P2“思考”中的6个语句．(1）这6个语句都是陈述句吗？提示：是．(2)能否判断这6个语句的真假性？提示:能．2．归纳总结,核心必记命题及相关概念命题错误!［问题思考］(1)“x〉5”是命题吗？提示:不是．（2)陈述句一定是命题吗？提示：不一定．(3）命题“当x＝2时,x2－3x＋2＝0”的条件和结论各是什么?提示：条件：x＝2；结论：x2－3x＋2＝0．(4)“若p则q"形式的命题一定是真命题吗？提示：不一定．(5）数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？提示：是．[课前反思]（1)命题的定义是：；(2)真、假命题的定义是:；(3)命题的条件和结论的定义是：．［思考］一个语句是命题应具备哪两个要素？提示：(1）是陈述句；(2)可以判断真假．讲一讲1．判断下列语句中，哪些是命题？（链接教材P2－例1) (1)函数f(x)＝错误!在定义域上是减函数；（2)一个整数不是质数就是合数；(3)3x2－2x〉1；(4）在平面上作一个半径为4的圆；（5)若sin α＝cos α，则α＝45°；(6）2100是一个大数；（7)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？（8)若x∈R，则x2＋2>0.［尝试解答] （1）是陈述句,且能判断真假，是命题．（2）是陈述句,且能判断真假，是命题．（3）当x∈R时，3x2－2x与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题．（4）不是陈述句，不是命题．(5）是陈述句，且能判断真假，是命题．（6)是陈述句,但是“大数"的标准不确定,所以无法判断其真假，不是命题．(7）不是陈述句,不是命题．(8)是陈述句，且能判断真假，是命题．(1）一个语句是命题应具备两个条件:一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．（2)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若能，就是命题；若不能,就不是命题．(3）还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论,这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．(4）数学中的定义、公理、定理和推论都是命题．练一练1．下列语句中是命题的有________．(填序号）①地球是太阳的一个行星．②甲型H1N1流感是怎样传播的？③若x,y都是无理数，则x＋y是无理数．④若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行．⑤60x＋9〉4。
数学：1.1《命题及关系》课件(新人教A版选修1-1)
例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断 真假; (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等; (4)等腰三角形两腰的中线相等;
(5)偶函数的图像关于y轴对称;
(6)垂直于同一个平面的两个平面平行.
下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和 结论之间分别有什么关系?
假命题
22 2 ;
真命题
(6)x>15.
判断 一个语句是不是命题，关键判断：（1）是否为陈 述句；（2）能否判断真假。
例1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是 假命题？ (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数，则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗？ (4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行; (5)
1.1.1命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符 号或式子表达的,可以判断真假的陈述句 叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题,判 断为假的语句叫做假命题.
例 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假 命题？ (1)x>7; (2)如果a,b是正实数且 a b , 那么a b;
2 2
(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分. 解：(1)条件p:整数a能被2整除,结论q：整数a是偶数;
(2)条件p:四边形是菱形,结论q：四边形的对角线互 相垂直且平分. 有一些命题表面上不是“若p,则q”的形式,但 可以改写成“若p,则q”的形式,例如:
垂直于同一条直线的两个平面平行.
若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行.
原命题与其逆 原命题与其逆 原命题与其否 命题的真假是 否命题的真假 命题的真假是 否存在相关性 是否存在相关 否存在相关性 呢? 性呢? 呢?
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1.1 命题及其关系测试练习
第1题. 已知下列三个方程
24430xaxa，2210xaxa，2
220xaxa
至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
答案：312aaa或，剠．
第2题. 若abcR，，，写出命题“200acaxbxc若则，”有两个相异实根的逆
命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
答案：逆命题 ：200axbxcabcacR有实根，则若，，，假；
否命题：200acaxbxc若则，…（abcR，，）没有实数根，假；
逆否命题：200axbxcabcacR若没有两实根，则，，…，真．
第3题. 在命题22abab若则“，”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数
为 .
答案：3．
第4题. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时反设是 .
答案：假设三角形的内角中没有钝角．
第5题. 命题“若0xy，则0x或0y”的逆否命题是 .
答案：若0x且0y，则0xy．
第6题. 命题“若ab，>则55ab>”的逆否命题是( )
(A)若ab，<则55ab< (B)若55ab，>则ab>
(C) 若ab，„则55ab„ (D)若55ab，„则ab„
答案：Ｄ
第7题. 命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”
的( )
(A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题
答案：Ａ
第8题. 命题“若60A，则ABC△是等边三角形”的否命题是( )
(A)假命题
(B)与原命题同真同假
(C)与原命题的逆否命题同真同假
(D)与原命题的逆命题同真同假
答案：Ｄ
第9题. 用反证法证明命题“23是无理数”时，假设正确的是（ ）
(A)假设2是有理数 (B)假设3是有理数
(C)假设23或是有理数 (D)假设23是有理数
答案：Ｄ
第10题. 命题“对顶角相等”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( )
(A)上述四个命题 (B)原命题与逆命题
(C)原命题与逆否命题 (D)原命题与否命题
答案：Ｃ
第11题. 原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( )
(A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题
(C) 否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题
答案：Ｃ
第12题. 命题“若aAbB则，”的否定形式是( )
(A)aAbB若则， (B)aAbB若则，
(C)aAbB若则， (D)bAaB若则，
答案：Ｂ
第13题. 与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
(A)能被3整除的整数，一定能被6整除
(B)不能被3整除的整数，一定不能被6整除
(C)不能被6整除的整数，一定不能被3整除
(D)不能被6整除的整数，不一定能被3整除
答案：Ｂ
第14题. 下列说法中，不正确的是( )
(A)“若pq则”与“若qp则”是互逆的命题
(B)“若非pq则非“与“若qp则”是互否的命题
(C)“若非pq则非”与“若pq则”是互否的命题
(D)“若非pq则非”与“若qp则”是互为逆否的命题
答案：Ｂ
第15题. 以下说法错误的是( )
(A) 如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题
(B)如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题
(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
(D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
答案：Ｂ
第16题. 下列四个命题:
⑴“若220xy，则实数xy，均为0”的逆命题；
⑵ “相似三角形的面积相等“的否命题 ;
⑶ “ABAAB则，”逆否命题;
⑷ “末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题 ，其中真命题为( )
(A) ⑴ ⑵ (B)⑵ ⑶ (C)⑴ ⑶ (D)⑶ ⑷
答案：Ｃ
第17题. 命题“ab，都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题是 ．
答案：ab不是偶数则ab，不都是偶数．
第18题. 已知命题:33p…；:34q>，则下列选项中正确的是（ ）
A．p或q 为真，p且q为真，非p为假；
B．p或q 为真，p且q为假，非p为真；
C．p或q 为假，p且q为假，非p为假；
D．p或q 为真，p且q为假，非p为假
答案：Ｄ
第19题. 下列句子或式子是命题的有（ ）个．
①语文和数学；②2340xx；③320x；④垂直于同一条直线的两条直线必平行
吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．
Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．5个 Ｄ．2个
答案：Ａ
第20题. 命题①12是4和3的公倍数；命题②相似三角形的对应边不一定相等；命题③三
角形中位线平行且等于底边长的一半；命题④等腰三角形的底角相等．上述4个命题中，是
简单命题的只有（ ）．
Ａ．①，②，④ Ｂ．①，④ Ｃ．②，④ Ｄ．④
答案：Ａ
第21题. 若命题p是的逆命题是q，命题q的否命题是r，则q是r的（ ）
Ａ．逆命题 Ｂ．逆否命题 Ｃ．否命题 Ｄ．以上判断都不对
答案：Ｂ
第22题. 如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么q为 命题．
答案：真
第23题. 下列命题：①“若1xy，则x，y互为倒数”的逆命题；②4边相等的四边形是
正方形的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“22acbc则ab”的逆
命题，其中真命题是 ．
答案：①，②，③
第24题. 命题“若0ad，则0a或0b”的逆否命题是 ，是 命题．
答案：若0a且0b，则0ab，真
第25题. 已知命题:pNZÜ，:{0}qN，由命题p，q构成的复合命题“p或q”
是 ，是 命题；“p且q”是 ，是 命题；“非p”
是 ，是 命题．
答案：p或q：NZÜ或{0}N，为真；
p
且q:NZÜ且{0}N，为假；
非:pNZÚ或NZ，为假．
第26题. 指出下列复合命题构成的形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假．
（1）23≤；（2）()AABÚ；（3）1是质数或合数；（4）菱形对角线互相垂直平分．
答案：（1）这个命题是“p或q”形式，p：23，q：23．
p真q假，p
或q为真命题．
（2）这个命题是“非p”形式，:()pAAB，
p为真，非p
是假命题．
（3）这个命题形式是p或q的形式，其中:1p是命 数，:1q是质数．
因为p假q假，所以“p或q”为假命题．
（4）这个命题是“p且q”形式，:p菱形对角线互相垂直；:q菱形对角线互相平分．
因为p真q真，所以“p且q”为真命题．
第27题. 如果p，q是2个简单命题，试列出下列9个命题的直值表：（1）非p；（2）非q；
（3）p或q；（4）p且q；（5）“p或q”的否定；（6）“p且q”的否定；（7）“非p或
非q”；（8）“非p且非q”；（9）“非‘非p’”．
p
q 非p 非q p或q p且q
“p或q”的否定 “p且q”的否定 “非p或非q” “非
p
且非
q
”
“非‘非
p
’”
真 真 假 假 真 真 假 假 假 假 真
真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真
假 真 真 假 真 假 假 真 真 假 假
假 假 真 真 假 假 真 真 真 真 假
答案：
第28题. 设命题为“若0m，则关于x的方程20xxm有实数根”，试写出它的否
命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．
答案：否命题为“若0m，则关于x的方程20xxm没有实数根”；
逆命题为“若关于x的方程20xxm有实数根，则0m” ；
逆否命题“若关于x的方程20xxm没有实数根，则0m≤”．
由方程的判别式14m得0，即14m，方程有实根．
0m使140m
，方程20xxm有实数根，
原命题为真，从而逆否命题为真．
但方程20xxm有实根，必须14m，不能推出0m，故逆命题为假．