考研数学李永乐经典400题

李永乐经典400题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）

(1) 设f(x)在[0，+）∞连续，

0,0,1)(lim >>=+∞

→c a x

x f x a

为常数，则

=+∞

→⎰

-)

()(lim 0

x f ds

s f e

e

x x

cs

cx

.

(2) 曲线1ln 2=+y y x 在点(1,1)处的法线方程是 . (3) 曲线x

e x y 1)3(-

+=的斜渐近线方程是 .

(4)

以

知

)

,(y x z z =满足

),(,s i n

)0,(,

)0,(,22

y x z x y

x z e x z x y

x x

则=∂∂==∂∂= . (5) 行列式

1

6

263030314001---= .

(6) 以知向量组T

T T a a a )1,6,13,1(,)5,,1,2(,)2,1,1321-+=-=-=

ααα，（线性相关，则α= .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

(7) 下列

命

题

中

正

确

的

是

【 】

(A) 若连续在连续，则在00)()(x x x f x x x f == (B) 若0)]()([0

lim )(000=--+→=h x f h x f h x x x f 连续，则

在

(C) 若不连续在不连续，则在连续，在000)()()()(x x x g x f x x x g x x x f === (D) 设

连续在则000)(,0)]()([0

lim x x x f h x f h x f h ==--+→

(8)

当0→x 时，下面几个无穷小量中阶数最高的是

【 】 (A)

2

211x x --+ (B) x x sin tan -

(A) 53254x x x -+ (D)⎰

-x

tdt cos 10

sin

(9) 设函数⎪⎩

⎪⎨⎧≤>=,0,,

0,1c o s )(2

2

x x x x

x x f 则下列结论正确的是

【 】

(A) )(x f 有间断点

(B) )(x f 在(-+∞∞,)上连续，但在(-+∞∞,)上有不可导的点 (C) )(x f 在(-+∞∞,)上处处可导，但)(x f ‘在(-+∞∞,)上不连续 (D) )(x f 在(-+∞∞,)上连续

(10) 设点(0,1)是曲线c bx ax y ++=23的拐点，则系数c b a ,,满足

【 】

(A) 1,2,1==-=c b a (B) 1,0,0==≠c b a (C) 0,1,1===c b a (D) 1,0,==c b a 可为任意实数

(11)微分方程x x x y y s i n 4c o s 2''-=+满足初始条件1)0()0('

==y y 的特解

点附近的图形是在0)(==x x f y

【 】

(A) (B) (C) (D) (12) dx

x x x

x )sin 1|

|(

2

1

1

2

3+-⎰

-=

【 】 (A)

3

1 (B) 3

4 (C)1 ( D)

2

1

(13) 设b 为常数，积分

dx x

x bx x )11(

1

2

2

-+++⎰

∞

+收敛，则该积分值为

【 】 (A)

2ln 2

1 (B)

3ln 2

1 (C) 2ln (D) ln3

(14) 以知A=

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----+a a a a a a a a a a 221413222

21,那么，秩r(A)为

【 】

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 不能确定，与a 有关

三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

(15)(本题满分12分)

以知)(x f 在[0,+∞]上有二阶连续导数，)(x f ＝)(x f ＝0且)(x f >0.若对0>∀x ，则函数

)(x u 表示曲线)(x f y =在切点轴上的截距

处的切线在x x f x ))(,(.

(1)写出)(x u 的表达式； (2) 求)

(0

lim )(0

lim '

x u x x u x +

+

→→与

(16)(本题满分12分)

设函数32z xy u =，又有方程

03222=-++x y z z y x ―――――――――――――――――――(*) (1) 当),(y x z z =是由方程(*)所确定的隐函数时，求

x

u ∂∂

(2) 当),(x z y y =是由方程(*)所确定的隐函数时，求)1,1,1(|x

u ∂∂

(17)(本题满分10分)

计算二重积分I=所围成的区域与为其中||)0(1,12

22x y y y

x D dxdy y D

=≥=+-⎰⎰

(18)(本题满分9分)

求证：当x x

x

x cos sin 2033

>≤≤时，π

(19)(本题满分9分)

以知某池塘最多只能工10000尾某种鱼生存，因此该种鱼的尾数在时刻t 的变化率与)(t x 和10000-)(t x 的乘积成正比，其中)(t x 是时刻t 该池塘中这种鱼的尾数.若开始时（即t=0）有这种鱼200尾，当时鱼的变化率是9.8,求)(t x