分析力学综合习题08讲

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分析力学习题

例1 半径为R 、质量为m 的圆环挂在一半径为r 的固定圆柱上。设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对滑动，试写出圆环系统的哈密顿正则方程和运动微分方程，并求微幅摆动的周期。

解：圆环具有一个自由度，是完整系统。取θ为广义坐标，圆环的动能为

222

121ωO O J mv T +=

其中O O r R v θ )(-=，瞬心为A ，则 θω R

r R R v O -==

于是

2222

2

222)()(21)(21θθθ r R m R

r R mR r R m T -=-+-= 主动力有势，系统的势能为 V =－mg (R －r ) cos θ

θθ

θ

θθθθsin )(0)(2d d )(222r R mg V

T

r R m T t r R m T

-=∂∂=∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂ 代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程： 0sin )()(22=-+-θθ

r R mg r R m 即

0sin )(2=+-θθ

g r R 考虑到微幅，有

0)

(2=-+r R g θ

θ

周期为

g

r R )

2(π

2-=τ 由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数：

θθ

cos )()(22r R mg r R m V T L ---=-= 同样可以得到系统的动力学方程。

2

2. 已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；写出系统的哈密顿正则方程，求此摆的运动微分方程。

解 这是单自由度保守系统，选θ为广义坐标，选θ = 0为系统的零势能位置，则

]

cos )()sin [()(2

122θθθθθR l R l mg V R l m T +-+=+=

将T 、V 代入保守系统的拉格朗日方程

θθθ∂∂=∂∂-

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂V

T T t d d

或将拉格朗日函数L = T - V 代入如下形式的拉格朗日方程

0d d =∂∂-

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂θθL

L t 皆可得运动微分方程 0sin )(2=+++θθθ

θg R R l

例3 三角楔块A 可沿水平光滑面作直线运动，楔块A 的质量为m 1，

其上受有简谐力F ＝H sin ωt 的作用（H 和ω均为常量）。楔块斜边BD 上有一质量为m 2、半径为r 的圆柱体，沿BD 滚动而不滑动，二弹簧的刚体系数分别为k 1和k 2。试建立系统的运动微分方程。

解：系统具有二个自由度。取三角楔块的位移x 和圆柱体相对于楔块的位移ξ为广义坐标，二者均以其静平衡位置为原点。

楔块A 作平动，x v A =，圆柱体作平面运动，质心速度v C 为

αξξcos 222 x x v C ++=

角速度ω为

r ξω

=

3

系统的动能T 为

α

ξξξαξξcos 4

3)(2141)cos 2(212122222122222221 x m m x m m r r m x x m x m T +++=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++=

系统的势能V 为

220221012)(2

1

)(21sin δξδαξ++++

-=k x k g m V 在平衡位置有关系式

0sin ,

0)(2022101=+-=+δαδk g m x k

于是势能V 为

)(2

1212202221δξ++=

k x k V 非有势力F 相应的广义力分别为

x k x

V

m x m m x

T t x T

m x m m x

T Q t

H x x t

H Q x 1221221,cos )(d d 0,cos )(0

sin δδsin =∂∂++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂⋅++=∂∂===αξξαωωξ

又，

ξξ

αξξξ

αξξ

22222,cos 2

3d d 0,cos 23k V

x m m T t T

x m m T =∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂+=∂∂

4

代入拉格朗日方程，得到系统的运动微分方程：

02

3cos sin cos )(2221

221=++=+++ξξαωαξk m x

m t H x k m x m m

例4 图示系统中，半径为r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为m ，槽的半径为R 。试用哈密顿原理建立系统的运动方程。

解：

若选择θ 为广义坐标，则系统微幅振动时的能量为

222

])[(21ϕθ A I r R m T 1+-=

(a) 其中，ϕ

为圆盘的角速度，I A = mr 2

/2是圆盘对质心的转动惯量。圆盘作不滑动的滚动时，存在有

)(r R r -=θϕ (b)

由此，得到

θϕ r

r R -=

(c)

5

将式(c)代入式(a)，得到

22

243θ ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=r r R mr T (d)

而系统的位能

2)(2

1

)cos 1)((θθr R mg r R mg -≈--=∏ (e)

将T 与∏代入变分式

0d )(δ

δ21

=∏-=⎰

t T I t t

中，得到

d δ)(d δ)2

3

-δ)(2

3d δ)(δ23d )(2143δ

21

21

2

1

2

1

21

22222

222=--

--=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰

⎰

⎰

⎰

t r R mg t r m(R r R m t

r R mg r r R mr t

r R mg r r R mr t t t t t t t t t t θθθθθ

θθθθθθθ

(f)

由于，21t t t ==时，哈密顿原理要求δθ = 0，所以，式(f)满足时，必有

0)()(2

32=-+-θθr R mg r R m (g)

式(g)就是系统微幅振动时的运动方程。