相似三角形的定义及其判定定理

相似三角形的定义及其判定定理

本周重点和难点：相似三角形的判定定理 一、知识点回顾

1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2、定理：平行于三角形的一边的直线和和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3、相似三角形的传递性：如果△ABC ∽ △A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1 ∽ △A 2B 2C 2，那么△ABC ∽ △A 2B 2C 2。

4、相似三角形的判定方法：

（1）根据定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。

（2）根据平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所

构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似。

（4）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。

（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

二、例题：

例1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长。

解：∵DE ∥BC

∴

EC AE

DB AD =

（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。） ∴AD×EC=DB×AE 又∵AD=EC ，AE=4cm ，DB=1cm ∴AD=EC=

DB AE ⋅=2cm

又∵DE ∥BC ∴

BC DE

AB AD =

（平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。）

∴DE=

3

10

例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AE 平分∠CAB ，BD ⊥AC 于D ，交AE 于F ，那么图中相似三角形共有多少对？

解：∵BD ⊥AC ，∠ABC=90°

∴△ADB ∽ △BDC ∽ △ABC 。 又∵AF 平分∠BAC ∴∠DAF=∠BAE

∴Rt △ABE ∽ Rt △ADF

∴图中共有4对相似三角形。

D

A

D E

例3、如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，FC=4

1

BC ，那么图中共有多少对相似三角形？

解：设FC=1，则BC=4 ∵正方形ABCD

∴AB=BC=CD=DA=4，∠C=∠D=∠B=90° ∵E 是CD 的中点 ∴CD=2

在△ADE 中，∠D=90°

∴AE 2=AD 2+DE 2 即：AE=25 同理：AF=5，EF=5

∴FC ：EC ：EF=DE ：AD ：AE=EF ：AE ：AF

∴△FCE ∽ △EDA ∽ △FEA （三边对应成比例，两三角形相似） ∴图中共有三对相似三角形。

例4、如图，E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且AD

AC

AE AB =

，∠1=∠2，求证：∠ABC=∠AED 。

分析：看到题中的两个条件，很自然就会想到证△ABE ∽ △ACD 。然而证出这两个相似三角形之后却还是无法证出要证的结论，因此应当另想它法。注意到

AD

AC

AE AB =

不仅意味着△ABC 与 △AED 两边对应成比例，同时也可看成△ABC 和△AED 的两边对应成比例。

证明：∵∠1=∠2

∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC 即：∠BAC=∠EAD

∵

AD

AC

AE AB =

∴△ABC ∽ △AED （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） ∴∠ABC=∠AED

三、训练题：

1、△ABC 中，D 是AB 上的一点，在AC 上截一点E ，使得以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则这样的点的个数最多是（ ）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、无数个

2、在直角三角形中，两直角边分别为3，4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是（ ）

A 、

12

25 B 、

12

5 C 、

4

5 D 、

3

5 3、如右图：点P 为△ABC 的AB 边上一点（AB>AC ），下列

D

A

B D E F

条件中不一定能保证△ACP ∽ △ABC 的是（ ）

A 、∠ACP=∠

B B 、∠APC=∠ACB

C 、

AC

AP

AB AC =

D 、

AB

AC

BC PC =

4、已知：△ABC ∽ △A’B’C’，且BC=3，B ’C’=1.8，则△A’B’C’与△ABC 的相似系数为_______________。

5、DE 是△ABC 的中位线，则△ADE ∽ _________，相似比为___________。

6、一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm ，则它的最小边为_____________。

5、如图，BD 、CE 为△ABC 的高，求证：△ADE ∽ △ABC 。

6、若CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，且AD=9，BD=16，求AC 、BC 、CD 。

7、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4。求证：△ABD ∽ △ACE 。

四、解答： 1、C

2、A

3、D

4、

5

3 5、△ABC ，

2

1 6、5cm

5、证明：∵BD 、CE 是△ABC 的高

∴∠AEC=∠ADB=90° 又∵∠A=∠A

∴△AEC ∽ △ADB （两角对应相等，两三角形相似）

E